绥阳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

绥阳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b c
A B C
++++等于（ ）
A ．
B
C
D 2． 已知{}n a 是等比数列，251
24
a a ==，，则公比q =（ ）
A ．12-
B ．-2
C ．2
D ．12
3． 设a ，b ，c ，∈R +，则“abc=1”是“”的（ ）
A ．充分条件但不是必要条件
B ．必要条件但不是充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要的条件 4． 将函数)63sin(
2)(π+=x x f 的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）
A ．3)43sin(
2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=π
x x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)12
3sin(2)(--=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 5． 现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（ ）
A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
6．若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．
7．已知条件p：|x+1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3
8．函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示：函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）
A．14 B．12 C．10 D．8
9．随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2，当x=﹣2时，v1的值为（）
A．1 B．7 C．﹣7 D．﹣5
11．满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）
A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3 D．a=5或a=±3
二、填空题
13．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=．
14．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为．15．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为．
16．已知平面向量a ，b 的夹角为
3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23
π，23c a -=，则a 与c
的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC
②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°
⑤当
tanB ﹣1=
时，则sin 2
C ≥sinA •sinB ．
18
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=在（，f （））处的切线方程为8x ﹣9y+t=0（m ∈N ，t ∈R ）
（1）求m 和t 的值；
（2）若关于x 的不等式f （x ）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．
20．已知椭圆C 1： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为e=，直线l ：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C 1的短
半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 1的方程；
（2）抛物线C 2：y 2
=2px （p ＞0）与椭圆C 1有公共焦点，设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R ，S 在C 2上（R ，
S 与Q 不重合），且满足•=0，求||的取值范围．
21．已知f （）=﹣x ﹣1．
（1）求f （x ）；
（2）求f （x ）在区间[2，6]上的最大值和最小值．
22．（本小题满分12分）
一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号． （Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；
（Ⅱ）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．
23．（本小题满分10分）
已知曲线22
:149x y C +=，直线2,:22,
x t l y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与夹角为30的直线，交于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
24．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设1a >,函数()()
21x
f x x e a =+-.
（1）证明在(上仅有一个零点；
（2）若曲线在点
处的切线与轴平行,且在点
处的切线与直线
平行,（O 是坐标原点）,
证明:1m ≤
绥阳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，三角形的面积011sin sin 60224S bc A bc =
===4bc =，又1b =，所
以4c =，又由余弦定理，可得222220
2cos 14214cos6013a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =
sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++B ． 考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到sin sin sin sin a b c a
A B C A
++=++是解答的关键，属于中档试题．
2． 【答案】D 【解析】
试题分析：∵在等比数列}{a n 中，41,2a 52==a ,2
1,81q 253
=∴==∴q a a . 考点：等比数列的性质. 3． 【答案】A
【解析】解：因为abc=1，所以，则
=
=
≤a+b+c ．
当a=3，b=2，c=1时，
显然成立，但是abc=6≠1，
所以设a ，b ，c ，∈R +，则“abc=1”是“”的充分条件但不是必要条件．
故选A ．
4． 【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移
4
π个单位得到函数)4(π
+x f 的图
象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4
(++π
x f
3)4
3sin(23]6)4(31sin[2++=+++=π
ππx x .
5．【答案】A
【解析】解；观察所给的四组数据，
①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，
②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，
在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，
在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，
故选A．
6．【答案】B
【解析】解：∵函数是R上的单调减函数，
∴
∴
故选B
【点评】本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．7．【答案】A
【解析】解：由|x+1|≤2得﹣3≤x≤1，即p：﹣3≤x≤1，
若p是q的充分不必要条件，
则a≥1，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．8．【答案】A
【解析】解：由图象可知，
若f（g（x））=0，
则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；
由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；
g（x）=0时，x的值有3个；
g（x）=1时，x=2或x=﹣2；
故m=7；
若g（f（x））=0，
则f（x）=﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；
由图1知，
f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5各有2个；
f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；
故n=7；
故m+n=14；
故选：A．
9．【答案】C
【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称，因为P（x1＜3）=P（x2≥a），
所以3﹣2=4﹣a，
所以a=3，
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
10．【答案】C
【解析】解：∵f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2
=（（（（（x﹣5）x+6）x+0）x+2）x+0.3）x+2，
∴v0=a6=1，
v1=v0x+a5=1×（﹣2）﹣5=﹣7，
故选C．
11．【答案】D
【解析】解：由{0，1}∪A={0，1}易知：
集合A⊆{0，1}
而集合{0，1}的子集个数为22=4
故选D
【点评】本题考查两个集合并集时的包含关系，以及求n个元素的集合的子集个数为2n个这个知识点，为基础题．
12．【答案】B
【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，
∴2a﹣1=9或a2=9，
当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；
当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；
∴a=﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，
∴，解得b=1，a=2．
∴|a﹣bi|=|2﹣i|=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
14．【答案】20．
【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a．
∴△PQF2的周长=20．，
故答案为20．
【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．
15．【答案】3．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，
∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），
故三角形的面积S=×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．
π，18+
16．【答案】
6
【解析】
17．【答案】①④⑤
【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，
又∵tan（A+B）=，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；
当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；
若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，
此时sin2C=，
sinA•sinB=sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（cosA+sinA）=sinAcosA+sin2A=sin2A+﹣
cos2A=sin（2A﹣30°）≤，
则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；
故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
18．【答案】8升．
【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=，
由题意可得，f（）=，f′（）=，
即=，且=，
由m∈N，则m=1，t=8；
（2）设h（x）=ax+﹣，x≥．
h（）=﹣≥0，即a≥，
h′（x）=a﹣，当a≥时，若x＞，h′（x）＞0，①
若≤x≤，设g（x）=a﹣，
g′（x）=﹣＜0，g（x）在[，]上递减，且g（）≥0，
则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②
由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=≥0，
则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立；
当a＜时，h（）＜0，不合题意．
综上可得a≥．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．
20．【答案】
【解析】解：（1）由直线l：y=x+2与圆x2
+y2=b2相切，∴=b，解得b=．
联立解得a=，c=1．
∴椭圆的方程是C1：．
（2）由椭圆的右焦点（1，0），抛物线y2=2px的焦点，
∵有公共的焦点，∴，解得p=2，故抛物线C2的方程为：y2=4x．
易知Q（0，0），设R（，y1），S（，y2），
∴=（，y1），=，
由•=0，得，
∵y1≠y2，∴，
∴=64，当且仅当，即y1=±4时等号成立．
又||===，
当=64，即y 2=±8时，
|
|min=8，
故
|
|的取值范围是[8
，+∞）．
【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、向量的数量积运算和基本不等式的性质、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
21．【答案】 【解析】解：（1）令
t=，则
x=
，
∴f （t ）=， ∴f （x ）
=
（x ≠1）…
（2）任取x 1，x 2∈[2，6]，且x 1＜x 2， f （x 1）﹣f （x 2）
=
﹣
=
，
∵2≤x 1＜x 2≤6，∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）＞0，2（x 2﹣x 1）＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0， ∴f （x ）在[2，6]上单调递减，…
∴当x=2时，f （x ）max =2，当x=6时，f （x ）min
=…
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，
∴所求概率为22
44225516
125
C C P C C =-⋅=（6分）
（Ⅱ）0,1,2,ξ= 23253(0)10C P C ξ===，1123253(1)5C C P C ξ⋅===，2
22
51
(2)10
C P C ξ===，（9分）
（10分）
∴3314
012105105
E ξ=⨯
+⨯+⨯= （12分）
23．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，26y x =-+；（2.
【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线上C 任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线的距离，利用正弦函数求出PA ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA 的最大值与最小值. 试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩，（为参数），直线的普通方程为26y x =-+.
（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到的距离为4cos 3sin 6|d θθ=
+-．
则|||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取
得最大值，最大值为5.当sin()1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为5
.
考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程.
24．【答案】（1）f x （）
在∞+∞（﹣，）上有且只有一个零点（2）证明见解析 【解析】试题分析：
试题解析：
（1）()()
()2
2211x
x f x e
x x e x +='=++，()0f x ∴'≥，
()(
)2
1x
f x x e
a ∴=+-在(),-∞+∞上为增函数．
1a >，()010f a ∴=-<，
又(
)
1f
a a =-=-，
10,1a ->∴>，即0f
>，
由零点存在性定理可知，()f x 在(),-∞+∞上为增函数，且()00f f
⋅<，
()
f x ∴在(上仅有一个零点。

（2）()()2
1x
f x e x ='+，设点()00,P x y ，则()()0
2
001x f x e
x '=+，
()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，()()0
2
0010x
f x e x ∴+'==，01x ∴=-，
21,P a e ⎛⎫
∴-- ⎪⎝⎭
，2OP k a e ∴=-，
点M 处切线与直线OP 平行，
∴点M 处切线的斜率()()2
21m k f m e m a e
=+'==-
，
又题目需证明1m ≤
，即()3
21m a e +≤-，
则只需证明()3211m m e m +≤+，即1m
m e +≤。

令()()1m
g m e m =-+，则()1m
g m e '=-，
易知，当(),0m ∈-∞时，()0g m '<，单调递减， 当()0,m ∈+∞时，()0g m '>，单调递增，
()()min 00g m g ∴==，即()()10m g m e m =-+≥，
1m m e ∴+≤，
1m ∴≤，得证。