第四节 晶体的宏观对称性
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（seven crystal systems and fourteen Bravais lattices）
本节思路：给出晶体的对称性、对称操作、对称元素，介绍点群和
空间群的概念，在此基础上介绍晶体的七大晶系和十四 种布拉菲格子等。
School of Physics, Northwest University
Solid state physics
§1.4
晶体的宏观对称性（crystal symmetry）
一、 晶体的对称性（crystal symmetry） 二、 晶体的对称操作和对称元素
（symmetrical operation and basic symmetry elements ）
三、 点群和空间群（point group and space group） 四、 七大晶系和十四种布拉菲格子
立方体的对称操作
1) 绕三个立方轴转动
—— 9个对称操作
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Solid state physics
2) 绕6条面对角线轴转动
—— 共有6个对称操作
School of Physics, Northwest University
（一）对称操作（symmetrical operation）
从对称性的角度概括和区别不同晶体的宏观对称性，就是要考查这些晶体所 具有的刚性对称操作。这些对称操作包括： 绕某一个轴的转动操作 对某一个面的镜像操作 对某一个点的反演操作以及它们的组合操作 这些对称操作不是平移对称操作，被称作是宏观对称操作。因为这些操作保持空 间的某一点不动，又称为点对称操作。
用矩阵可以表示，（1.4.1）式可以写成
x ' Ax
x '1 x ' x '2 x' 3
（1.4.2）
，
x1 x x2 x 3
a12 a22 a32 a13 a23 a33
，
a11 A (aij ) a21 a 31
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Solid state physics
正四面体的对称操作
—— 四个原子位于正 四面体的四个顶角上
—— 对称操作包含在 立方体操作之中
—— 金刚石晶格
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Solid state physics
3) 绕4个立方体对角线 轴转动 —— 8个对称操作
4) 正交变换
—— 1个对称操作
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Solid state physics
5) 以上24个对称操作 加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个
1、n 度旋转轴（n-fold rotation axis）
晶体绕某一固定轴旋转角度
2 n
后，能够自身重合的操作称为旋转对称操作。 对称元素是该操作所依赖的旋转轴，称为 n 度（或者 n 重、n 次）旋转 对称轴，熊夫利符号用 Cn 表示， 国际符号用 n 表示。
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—— 6个对称操作 5) 绕6条面对角线轴转动 加上中心反演 —— 6个对称操作 —— 正四面体 对称操作共有24个
加中心反演
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Solid state physics
正六面柱的对称操作
1) 绕中心轴线转动 2) 绕对棱中点连线转动 3) 绕相对面中心连线转动 —— 3个 —— 5个
x ' j a jk x， k
这里
( j, k 1, 2,3)
（1.4.1）
x x1i x2 j x3k
x ' x '1 i x '2 j x '3 k
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Solid state physics
Solid state physics
1) 绕三个立方轴转动
—— 共有3个对称操作 —— 8个对称操作
2) 绕4个立方体对角线轴转动
3) 正交变换
—— 1个对称操作
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Solid state physics
4) 绕三个立方轴转动
直角坐标的转动
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Solid state physics
变换关系用矩阵表示，则为
x1' 1 0 ' x2 0 cos x3' 0 sin
x1 sin x2 cos x3 0
不变）和微观对称操作（对称操作中包括平移操作，或者是有平移操作
的复合操作）。 晶体的宏观对称性，归根结底是由于晶体中原子规则排列的结果，
它必然受到平移对称性的制约。对称操作所依赖的几何要素，如点、线
和面等，称为对称元素。
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Solid state physics
对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变
—— 物体的对称操作越多，其对称性越高
比如，立方体结构的对称操作共有48个，金刚石结构 共有24个对称操作，所以，立方结构的对称性比金刚
石结构的对称性高。
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Solid state physics
因此，要求
I 是单位矩阵
I AA
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
（1.4.5） 也就是说，应有
A1 A
即 A 为正交矩阵，其行列式的值
A 1
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Solid state physics
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Solid state physics
一、 晶体的对称性（crystal symmetry）
（一）晶体的平移对称性（ crystal translation symmetry ） 一个晶格，在平移格矢
Rl l1a1 l2a2 l3a3
三维晶体的正交变换有以下几种：
1、转动（rotation）
如图，使晶体绕直角坐标 x1 轴转动 θ角，则晶体中的点
( x1, x2 , x3 ) ( x1' , x2' , x3' )
变换关系为
x1 ' x1 x2 ' x2 cos x3 sin x3 ' x2 sin x3 cos
Solid state physics
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Solid state physics
Symmetry everywhere
Pictures from Dr. John Reid
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(r ) (r R)
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Solid state physics
（二）晶体的对称性与对称操作（crystal symmetry and operation）
晶体的对称性就是指晶体经过某些特定的操作之后，能够回复到原来 状态的性质。这些特定的操作，称为对称操作。 （三）晶体对称性的分类 晶体对称性可以分为宏观对称性（指操作时，晶体至少有一点保持
（1.4.3）
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Solid state physics
操作前后，两点间的距离应保持不变，这要求
x '12 x ' 22 x '32 x12 x22 x32
即
（1.4.4）
Ax xAAx ' x ' ( Ax) xx x
Solid state physics
由于晶格周期性的限制，n 只能取1，2，3，4和6，即晶体不能有5度或6度以 上的旋转轴，这个规律称为晶体的对称性规律。
证明如下：
如图所示，设此平面为一晶面，格 点 A 、 B 是位于同一晶列 O 点上 的两个最近邻格点。将晶格绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴逆时针方 向旋转θ角度后，B 点转到 B’ 点， 如果这时晶体与自身重合， B’ 点处 原来必定有一格点。如果再绕 O 点 顺时针方向转轴旋转 θ角度，晶格又 恢复到未转动时的状态。但是，顺 时针方向转轴旋转 θ 角， A 点转到 A’ 点，A’点处原来也一定是格点。
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Symmetry everywhere
Pictures from Dr. John Reid
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Mirror Plane Symmetry
“Arises when one half of an object is the mirror image of the other half”
—— 3个
4) 正交变换 —— 1个
5) 12个对称操作加中心反演 —— 正六面柱的对称操作有24个
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Solid state physics
二、 晶体的对称操作和对称元素 （symmetrical operation and basic symmetry elements ）
取中心为原点，经过中心反演后，图形中的一点
( x1 , x2 , x3 )
变成
( x1 , x2 , x3 )
x '1 x1 x '2 x2 x '3 x3
变换关系为
变换矩阵
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
变换矩阵
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
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（二）对称元素（ symmetry elements ）
对称元素是对称操作所依赖的几何要素，如点、线和面等。
可以用变换矩阵A 具体代表这一转动操作。
0 1 A 0 cos 0 sin
sin cos 0
A 1
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2、中心反演 (centre inverse)
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Solid state physics
3、镜像（mirror planes）
以
x3 0
面作为镜面，镜像对称操作是将 ( x1 , x2 , x3 ) 变成 ( x1 , x2 , x3 )
变换关系为
x '1 x1 x '2 x2 x '3 x3
（ l1 , l2 , l3 为整数）之后，结果与原来晶格完全一样，特性也完全相同，这 种性质称为晶体的平移对称性。 晶体的平移对称性，概括了晶体的周期性，也就是说，在晶格中，位 置矢量
表示的格点和位置矢量 r
r R 表示的格点情况完全相同，相
应的物理性质也完全相同。
如果用 Г 表示晶格的某一个物理量，则有
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和刚体一样，晶体中任何两点之间的距离，在操作前后应保持不变。 如果用数学表示，这些操作就是我们熟知的线性变换。
设经过某个操作，把晶格中的任一点 x
变为
x'
这个操作可以表示为线性变换：
本节思路：给出晶体的对称性、对称操作、对称元素，介绍点群和
空间群的概念，在此基础上介绍晶体的七大晶系和十四 种布拉菲格子等。
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§1.4
晶体的宏观对称性（crystal symmetry）
一、 晶体的对称性（crystal symmetry） 二、 晶体的对称操作和对称元素
（symmetrical operation and basic symmetry elements ）
三、 点群和空间群（point group and space group） 四、 七大晶系和十四种布拉菲格子
立方体的对称操作
1) 绕三个立方轴转动
—— 9个对称操作
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2) 绕6条面对角线轴转动
—— 共有6个对称操作
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（一）对称操作（symmetrical operation）
从对称性的角度概括和区别不同晶体的宏观对称性，就是要考查这些晶体所 具有的刚性对称操作。这些对称操作包括： 绕某一个轴的转动操作 对某一个面的镜像操作 对某一个点的反演操作以及它们的组合操作 这些对称操作不是平移对称操作，被称作是宏观对称操作。因为这些操作保持空 间的某一点不动，又称为点对称操作。
用矩阵可以表示，（1.4.1）式可以写成
x ' Ax
x '1 x ' x '2 x' 3
（1.4.2）
，
x1 x x2 x 3
a12 a22 a32 a13 a23 a33
，
a11 A (aij ) a21 a 31
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正四面体的对称操作
—— 四个原子位于正 四面体的四个顶角上
—— 对称操作包含在 立方体操作之中
—— 金刚石晶格
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3) 绕4个立方体对角线 轴转动 —— 8个对称操作
4) 正交变换
—— 1个对称操作
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5) 以上24个对称操作 加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个
1、n 度旋转轴（n-fold rotation axis）
晶体绕某一固定轴旋转角度
2 n
后，能够自身重合的操作称为旋转对称操作。 对称元素是该操作所依赖的旋转轴，称为 n 度（或者 n 重、n 次）旋转 对称轴，熊夫利符号用 Cn 表示， 国际符号用 n 表示。
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—— 6个对称操作 5) 绕6条面对角线轴转动 加上中心反演 —— 6个对称操作 —— 正四面体 对称操作共有24个
加中心反演
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正六面柱的对称操作
1) 绕中心轴线转动 2) 绕对棱中点连线转动 3) 绕相对面中心连线转动 —— 3个 —— 5个
x ' j a jk x， k
这里
( j, k 1, 2,3)
（1.4.1）
x x1i x2 j x3k
x ' x '1 i x '2 j x '3 k
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1) 绕三个立方轴转动
—— 共有3个对称操作 —— 8个对称操作
2) 绕4个立方体对角线轴转动
3) 正交变换
—— 1个对称操作
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4) 绕三个立方轴转动
直角坐标的转动
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变换关系用矩阵表示，则为
x1' 1 0 ' x2 0 cos x3' 0 sin
x1 sin x2 cos x3 0
不变）和微观对称操作（对称操作中包括平移操作，或者是有平移操作
的复合操作）。 晶体的宏观对称性，归根结底是由于晶体中原子规则排列的结果，
它必然受到平移对称性的制约。对称操作所依赖的几何要素，如点、线
和面等，称为对称元素。
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对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变
—— 物体的对称操作越多，其对称性越高
比如，立方体结构的对称操作共有48个，金刚石结构 共有24个对称操作，所以，立方结构的对称性比金刚
石结构的对称性高。
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因此，要求
I 是单位矩阵
I AA
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
（1.4.5） 也就是说，应有
A1 A
即 A 为正交矩阵，其行列式的值
A 1
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一、 晶体的对称性（crystal symmetry）
（一）晶体的平移对称性（ crystal translation symmetry ） 一个晶格，在平移格矢
Rl l1a1 l2a2 l3a3
三维晶体的正交变换有以下几种：
1、转动（rotation）
如图，使晶体绕直角坐标 x1 轴转动 θ角，则晶体中的点
( x1, x2 , x3 ) ( x1' , x2' , x3' )
变换关系为
x1 ' x1 x2 ' x2 cos x3 sin x3 ' x2 sin x3 cos
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(r ) (r R)
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（二）晶体的对称性与对称操作（crystal symmetry and operation）
晶体的对称性就是指晶体经过某些特定的操作之后，能够回复到原来 状态的性质。这些特定的操作，称为对称操作。 （三）晶体对称性的分类 晶体对称性可以分为宏观对称性（指操作时，晶体至少有一点保持
（1.4.3）
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操作前后，两点间的距离应保持不变，这要求
x '12 x ' 22 x '32 x12 x22 x32
即
（1.4.4）
Ax xAAx ' x ' ( Ax) xx x
Solid state physics
由于晶格周期性的限制，n 只能取1，2，3，4和6，即晶体不能有5度或6度以 上的旋转轴，这个规律称为晶体的对称性规律。
证明如下：
如图所示，设此平面为一晶面，格 点 A 、 B 是位于同一晶列 O 点上 的两个最近邻格点。将晶格绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴逆时针方 向旋转θ角度后，B 点转到 B’ 点， 如果这时晶体与自身重合， B’ 点处 原来必定有一格点。如果再绕 O 点 顺时针方向转轴旋转 θ角度，晶格又 恢复到未转动时的状态。但是，顺 时针方向转轴旋转 θ 角， A 点转到 A’ 点，A’点处原来也一定是格点。
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Mirror Plane Symmetry
“Arises when one half of an object is the mirror image of the other half”
—— 3个
4) 正交变换 —— 1个
5) 12个对称操作加中心反演 —— 正六面柱的对称操作有24个
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二、 晶体的对称操作和对称元素 （symmetrical operation and basic symmetry elements ）
取中心为原点，经过中心反演后，图形中的一点
( x1 , x2 , x3 )
变成
( x1 , x2 , x3 )
x '1 x1 x '2 x2 x '3 x3
变换关系为
变换矩阵
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
变换矩阵
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
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（二）对称元素（ symmetry elements ）
对称元素是对称操作所依赖的几何要素，如点、线和面等。
可以用变换矩阵A 具体代表这一转动操作。
0 1 A 0 cos 0 sin
sin cos 0
A 1
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Solid state physics
2、中心反演 (centre inverse)
School of Physics, Northwest University
Solid state physics
3、镜像（mirror planes）
以
x3 0
面作为镜面，镜像对称操作是将 ( x1 , x2 , x3 ) 变成 ( x1 , x2 , x3 )
变换关系为
x '1 x1 x '2 x2 x '3 x3
（ l1 , l2 , l3 为整数）之后，结果与原来晶格完全一样，特性也完全相同，这 种性质称为晶体的平移对称性。 晶体的平移对称性，概括了晶体的周期性，也就是说，在晶格中，位 置矢量
表示的格点和位置矢量 r
r R 表示的格点情况完全相同，相
应的物理性质也完全相同。
如果用 Г 表示晶格的某一个物理量，则有
School of Physics, Northwest Univeics
和刚体一样，晶体中任何两点之间的距离，在操作前后应保持不变。 如果用数学表示，这些操作就是我们熟知的线性变换。
设经过某个操作，把晶格中的任一点 x
变为
x'
这个操作可以表示为线性变换：