精品2019高中数学考点51直线与圆的位置关系庖丁解题新人教A版必修2

考点51 直线与圆的位置关系
直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆（x －a ）2
＋（y －b ）2
＝r 2
的位置关系及判断
位置关系相交相切相离公共点个数
2 个
1 个
0 个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离
d ＝
|Aa ＋Bb ＋C|
A 2
＋B
2
d < r d = r d > r
代数法：由
Ax ＋By ＋C ＝0
－
2＋－
2
＝r
2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ > 0Δ = 0 Δ< 0
【例】直线20x
y
与圆2
2
240x
y
x y 的位置关系为_____________．
【规律总结】判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而
代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．
1．在平面中下列说法中正确的是（
）
A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切
B ．与半径垂直的直线与圆相切
C ．过半径外端的直线与圆相切
D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点【答案】D
【解析】A 为相交，B 、C 中的直线有无数条．2．直线1x
y
与圆2
2
200x
y
ay a
没有公共点，则a 的取值范围是（）
要点阐述
典型例题
小试牛刀
A ．021，
B ．
21,21C ．
2
1,21
D ．0,2
1
【答案】A 【解析】用圆心0a ，到直线1x
y
的距离大于半径
a 求解；也可联立方程通过
Δ< 0求解．
3．对任意的实数
k ，直线1y kx 与圆2
2
2x y
的位置关系一定是（
）
A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
【答案】C 【解析】直线
y =kx +1过圆2
2
1x
y
恒过定点（0，1），而该点在圆C 内且圆心不在该直线上．
【秒杀技】考虑到直线恒过定点，定点在圆内，可得结论．4．直线210x
y
与圆2
2
224210x
y
x y
的位置关系是（
）
A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
【答案】C
5．点M （x 0，y 0）是圆x 2＋y 2＝a 2
（a ＞0）内不为圆心的一点，则直线
x 0x ＋y 0y ＝a 2
与该圆的位置关系是（
）
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．相切或相交
【答案】C
【解析】M 在圆内，且不为圆心，则2
22
00
0x y a ＜＋＜，则圆心到直线
x 0x ＋y 0y ＝a 2
的距离为d ＝
a
2
x 20
＋y
20
＞
a
2a
2
＝a ，
所以相离．【易错易混】由
2
22
00
0x y a ＜＋＜，可得
a
2
x 20
＋y
20
＞
a
2a
2
，勿将方向弄反．
6．已知⊙O ：x 2
＋y 2
＝1和定点A (2,1)，由⊙O 外一点P (a ，b )向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足|PQ |＝|PA |．求
实数a ，b 间满足的等量关系．【解析】连接
OP ，∵Q 为切点，∴PQ ⊥OQ ，由勾股定理有|PQ |2＝|OP |2－|OQ |2
．
又∵|PQ |＝|PA |，∴|PQ |2＝|PA |2，即a 2＋b 2－1＝(a －2)2＋(b －1)2
，整理，得2a ＋b －3＝0．
1．若直线1
0x
y 与圆2
2
2x
a
y
有公共点，则实数
a 的取值范围是（）
A ．3,1
B ．1,3
C ．
3,1
D ．
,3
1,
【答案】C 【解析】设圆2
2
2x
a
y
的圆心,0C a 到直线10x y
的距离为d ，则
1222a d r 剟，
12a ,，31a
剟．
2．直线346
0x
y
与圆2
2
2
3
4x
y 的位置关系是（）
A ．相离
B ．相切
C ．相交且过圆心
D ．相交但不过圆心
3．若直线
1x y a
b
与圆2
2
1x
y
有公共点，则（
）A ．2
2
1a b ,B ．2
2
1a b …C ．
2
2
111
a
b
,D ．
2
2
111
a
b
…【答案】D
【解析】由已知得圆心（0，0）到直线0bx ay ab 的距离小于或等于圆的半径1，即
2
2
01b a
ab a b
,，即
2
2
22
1a
b
a b
…，则
2
2
111a
b
…．
4．实数a (a >0)取什么值时，直线
x ＋y －2a ＋1＝0与圆(x －a )2
＋(y ＋1)2
＝a ．
考题速递
（1）相离；（2）相切；（3）相交．
数学文化
使至塞上
王维
单车欲问边，属国过居延．
征蓬出汉塞，归雁入胡天．
大漠孤烟直，长河落日圆．
萧关逢候骑，都护在燕然．
第三句以出色的描写，道出了边塞之景的奇特壮丽和作者的孤寂之感．“荒无人烟的戈壁滩上只有烽火台的浓烟直冲天空”，如果我们从数学的角度看到的将是这样一副几何图形：一条直线垂直于一个平面．那么“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”又是怎样的几何图形呢？。