最新高中数学历届数学高考试题精选 (空间直线和平面)

一、选择题：(每小题5分，计50分)
题号12345678910
答案
1β
α,β
α⊥
⊥
⊥,
,a
m
n
m,则( )
.A nβ
⊥,
//
.β
n
B或β
⊂
nα
⊥
n
C. D ,
//
.α
n或α
⊂
n
2.(2007广东文)若,,
l m n是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为
真命题的是（）
3. (2007安徽理)设l,m,n均为直线，其中m,n在平面α
内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
(C)充分必要条件（D）既不充分也不必要
条件
4.（2007福建文)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
5.（2006北京文）设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）
（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
(C) 若AB=AC，DB=DC，则AD=BC (D) 若AB=AC，
DB=DC ，则AD ⊥BC
6(2006四川文、理)已知二面角l αβ--的大小为
060,m n αβ⊥⊥且，，m n 则、所成的角为( )
（A ）030（B ）060（C ）090（D ）0120
7.（2005北京文、理）在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，
下面四个结论中不成立的是（ ） （A ）BC//平面PDF （B ）DF ⊥平面PA E
（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面 ABC
8．(2021模拟全国Ⅰ卷文)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．1
3
B ．
3
C D ．23
9．（2005全国卷III 文、理）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个
D ．7个
10．（2000上海文、理）设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、
γ，给出下列三个命题：
（1）若α//a ，α//b ，则b a //。

（2）若α//a ，βα//，则β//a 。

（3）若γα⊥，γβ⊥，则β//a 。

其中正确的个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
二.填空题:(每小题5分，计20分)
11.(2007江苏)正三棱锥P ABC -高为2,侧棱与底面所成角为45,则点A 到侧面PBC 的距离是___.
12.（2006全国Ⅰ卷文、理）已知正四棱锥的体积为12，底
面对角线的长为__________.
13．（2005辽宁）如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，
A 、
B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是.
14.（2002
图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中 相互异面的有对.
三、解答题：(15、16每小题12分，其余各题每小题14分，计80
分)
15．（
2004湖南文）如图，在底面 是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，
∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=a 2,点E 是PD 的中点.
（I ）证明PA ⊥平面ABCD ， PB ∥平面EAC ； （II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值.
F D
16．（2002春招北京文）在三棱锥S–ABC中，SAB=SAC= ACB=90，AC=2，
BC=13，SB=29．（Ⅰ）证明：SC BC；
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成的二面角大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积VS–ABC．
17.（2007天津文）如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥底面ABCD，AB AD AC CD
⊥⊥
，，
60
ABC
∠=°，PA AB BC
==，E是PC的中点．
（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A PD C
--的大小．A
B
C
D P
E
18．（2005辽宁）已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的
中点,△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB. (Ⅰ)证明PC ⊥平面PAB ；(Ⅱ)求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值； (Ⅲ) 若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长.
A
C
B
P F
E
19．(2021模拟天津文、理)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =，22PD =，60PAB =∠． （Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A --的大小．
20．（2004天津理） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。

（
（2）证明PB ⊥平面—D 的大小。

历届高考中的“空间直线和平面”试题精选(参考答案)
题号12345678910答案D D A B C B C B D A
二.填空题:(每小题5分，计20分)
11．
55
6; 12.60O ; 13.
3
2; 14.3
三、解答题：(15、16每小题12分，其余各题每小题14分，计80分)
15．（Ⅰ）证法一因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA2+AB2=2a2=PB2知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD. 因为 DA DC ED CB DC PD PB ++=++=2
.)()(EC EA DC ED DA ED +=+++=
所以 PB 、EA 、EC 共面.
又PB ⊄平面EAC ，所以PB//平面EAC. 证法二 同证法一得PA ⊥平面ABCD. 连结BD ，设BD ⋂AC=O ，则O 为BD 的中点. 连结OE ，因为E 是PD 的中点，所以PB//OE. 又PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，故PB//平面EAC. （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD. 知EG ⊥平面ABCD.
作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角.
又E 是PD 的中点，从而G 是AD 的中点，
.4
360sin ,21,21a AG GH a AG a EG =︒===
所以 .33
2tan ==GH EG θ
16．（Ⅰ）证明：∵
SAB=
SAC =90
，
∴SA ⊥AB ， SA ⊥AC ， 又AB ∩AB=A ∴SA ⊥平面ABC ， 所以SA ⊥BC 又ACB=90，所以AC ⊥BC
∴BC ⊥平面SAC
∴SC
BC
(Ⅱ)由AC ⊥BC 和SC BC,可知∠SCA 是二面角S —
BC —A 的平面角；
由AC=2，BC=
13，SB=29．可求得SC=4， SA=23
∴2
14
2SCA cos ==∠， 所以∠SCA=60
；
即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角为60；
（Ⅲ）=⨯⨯⨯⨯=-32)1322
1(3
1V ABC S 3
39
2；
17．（Ⅰ）解：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA AB ⊥．
又AB AD ⊥，PA AD A =，从而AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射
影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角．
在Rt PAB △中，AB PA =，故45APB =∠． 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45． （Ⅱ）证明：在四棱锥P ABCD -中，
因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD PA ⊥． 由条件CD PC ⊥，PA AC A =，CD ∴⊥面PAC ． 又AE ⊂面PAC ，AE CD ∴⊥．
由PA AB BC =，60ABC =∠，可得AC PA =．
E 是PC 的中点，AE PC ∴⊥， PC CD C ∴=．综上得AE ⊥平面PCD ．
（Ⅲ）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结AM ．由（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM PD ⊥．因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角．
由已知，可得30CAD =∠．设AC a =，可得
PA a =，233AD a =
，213PD a =，2
2
AE a =． 在Rt ADP △中，AM PD ⊥，AM PD PA AD ∴=，则
23
273721a
a
PA AD
AM PD
a =
=． A
B C
D P E
M
在Rt AEM △
中，sin AE AME AM =
=
所以二面角A PD C --
的大小arcsin 4
．
18．（Ⅰ）证明：连结CF.AC BC EF PE 2
1
21=== ，∴PC AP ⊥
AB PF AB CF ⊥⊥, ，∴⊥AB 平面PCF ， PCF PC 平面⊂ ，∴AB PC ⊥
∴⊥PC 平面PAB
（Ⅱ）解：,,CF AB PF AB ⊥⊥ 所以PFC ∠
为所求二面角的平面角.
设AB=a ，则a CF a EF PF
2
3,2==
=， ∴33
2
32cos ==∠a a
PFC ．
（Ⅲ）解：设PA=x ，球半径为R.，,,PB PA PAB PC ⊥⊥平面
∴ 以PA 、PB 、PC 为相邻棱做一个长方体，其对角线即为圆的直径，即R x 23=，
ππ1242=R ，∴3=R ，得2=x ，
∴22的边长为ABC ∆.
19.（Ⅰ）证明：在PAD △中，由题设2PA =，2AD =，PD =222PA AD PD +=，于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ．
（Ⅱ）解：由题设，BC AD ∥，
所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角． 在PAB △中，由余弦定理得
PB =
由（Ⅰ）知AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥，因而BC PB ⊥，于是PBC △是直角三角形，
故tan 2
PB PCB BC =
=． 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为arctan
2
． P
C
A
E
D
O F A B
C
D
P
H E
（Ⅲ）解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ． 因为AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，所以AD PH ⊥．又AD AB A =，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角． 由题设可得，sin 603PH PA ==cos601AH PA ==，
2BH AB AH =-
=
，BD ==，13
AD HE BH BD =
=． 于是在Rt PHE
△中，tan PH PEH HE =
=． 所以二面角P BD A
--的大小为．
20．(1) 证明：连结AC ，AC 交BD 于O
∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 在PAC ∆中，EO 是中位线，∴ 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ， 所以，PA // 平面EDB
（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC ABCD ，
∴DC PD ⊥
∵PD=DC ，可知PDC ∆而DE 是斜边PC 的中线， ∴PC DE ⊥。

①
同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC 。

∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PDC 。

而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥。

② 由①和②推得⊥DE 平面PBC 。

而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥
又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD 。

（3）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角。

由（2）知，DB PD EF DE ⊥⊥,。

设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,=== a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=, a PC DE 2
2
21==。

在PDB Rt ∆中，a a
a a PB BD PD DF 36
32=⋅=⋅=。

在EFD Rt ∆中，233
6
22sin ===a a
DF DE EFD ，∴3π=∠EFD 。

所以，二面角C —PB —D 的大小为3
π。