2013届3年高考2年模拟(2)函数与导数

【3年高考2年模拟】第二章函数与导数
三年高考荟萃
2012年高考数学分类（1）函数的概念
一、选择题
1 ．（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为
（ ）
A ．1y x =+
B ．2
y x =-
C ．1
y x
=
D ．||y x x =
2 ．（2012年高考（江西文））设函数211()21x x f x x x
⎧+≤⎪
=⎨>⎪
⎩,则((3))f f =
（ ）
A ．
15
B ．3
C ．
23
D ．
139
3．（2012年高考（湖北文））已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则
(2)y f x =--的图像为
4．（2012年高考（福建文））设1,()0,1,f x ⎧⎪⎪
=⎨⎪-⎪⎩0
(0)(0)
x x x >=<,1,()0,g x ⎧⎪=⎨⎪⎩()(x x 为有理数为无理数)
,则(())f g π的
值为 （ ）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．π
5 ．（2012年高考（上海春））记函数()y f x =的反函数为1
().y f x -=如果函数()y f x =的
图像过点(1,0),那么函数1
()1y f x -=+的图像过点 [答]
（ ）
A ．(0,0).
B ．(0,2).
C ．(1,1).
D ．(2,0).
6 ．（2012年高考（陕西理））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为
（ ）
A ．1y x =+
B ．2
y x =-
C ．1
y x
=
D ．||y x x =
二、填空题
7．（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________ 8．（2012年高考（浙江文））设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]
时,f(x)=x+1,则3
f 2
（）=_______________.
9．（2012年高考（广东文））(函数)
函数y =
的定义域为__________.
10．（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =
11．（2012年高考（天津文））已知函数211
x y x -=
-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,
则实数k 的取值范围是________.
12．（2012年高考（四川文））函数()
f x =
____________.(用区间表示) 13．（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .,则
=-)1(g _______ .
14．（2012年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为
m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.
祥细答案
一、选择题
1. 解析:运用排除法,奇函数有1
y x
=
和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确. 2. 【答案】D
【解析】考查分段函数,2
2213
((3))()()13
3
9
f f f ==+=
. 3. B 【解析】特殊值法:当2x =时,()()()22200y f
x f f =--=--=-=,故可排除D 项;
当1x =时,()()()22111y f x f f =--=--=-=-,故可排除A,C 项;所以由排除法知选B.
【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有x
e 的指数型函数或含有ln x 的对数型函数的图象的识别. 4. 【答案】B
【解析】因为()0g π= 所以(())(0)0f g f π==. B 正确
【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力. 5. B
6. 解析:奇函数有1
y x
=
和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确. 7. 【答案】4
【解析】由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+--
4a ⇒=.
【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a 都有()()f a f a =-成立.
8. 【答案】
32
【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性. 【解析】331113()(2)()()12
2
2
2
22
f f f f =-=-==
+=. 9.解析:[)
()1,00,-+∞.由10
0x x +≥⎧⎨
≠⎩
解得函数的定义域为[)()1,00,-+∞.
10. 【解析】6- 由对称性:362
a
a -
=⇔=- 11. 【解析】函数
1
)
1)(1(1
12-+-=
--=
x x x x x y ,当1
>x
时,11112+=+=--=x x x x y ,当1<x 时,⎩
⎨⎧-<+<≤---=+-=--=
1,11
1,1111
2x x x x x x x y ,综上函数⎪
⎩⎪
⎨⎧-<+<≤---≥+=--=
1
,111,11
111
2x x x x x x x x y ，,做出函数的图象,要使函数y 与kx y =有两个不同的交点,则直线kx y =必须在蓝色或黄色区域内,如图,则此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ,k 满足21<<k ,当经过蓝色区域时,k 满足10<<k ,综上实数的取值范围是10<<k 或21<<k .
12. [答案](2
1-，∞)
[解析]由分母部分的1-2x>0,得到x∈(2
1-，∞).
[点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为0;偶次根下的式子大于等于0;对数函数的真数大于0;0的0次方没有意义.
13. [解析] )(x f y =是奇函数,则)1()1(f f -=-,44)1()1()1()1(=+-+=-+f f g g ,
所以3)1(4)1(=-=-g g .
14.答案:
14 解析:当1a >时,有214,a a m -==,此时1
2,2
a m ==,
此时()g x =,不合题意.若01a <<,则124,a a m -==,故11
,416a m ==,检验知符合题意.
另解:
由函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数可知4
1
,041<
>-m m ; 当1>a 时()x f x a =在[-1,2]上的最大值为=2
a 4,解得2=a ,最小值为211
=
=-a m 不符合题意,舍去;当10<<a 时,()x f x a =在[-1,2]上的最大值为41
=-a ,解得4
1
=a ,
此时最小值为411612
<=
=a m ,符合题意, 故a =4
1. 2012年高考数学分类（2）基本初等函数
一、选择题
1．（2012年高考（安徽文））23log 9log 4⨯=
（ ）
A ．
1
4
B ．
12
C ．2
D ．4
2．（2012年高考（广东理））(函数)下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是 （ ）
A ．()ln 2y x =+ B
．y =C ．12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
D ．1y x x
=+
3 ．（2012年高考（重庆文））设函数2()43,()32,x
f x x x
g x =-+=-集合
{|(())0},M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则M
N 为 （ ）
A ．(1,)+∞
B ．(0,1)
C ．(-1,1)
D ．(,1)-∞
4 ．（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）
A ．cos 2y x =
B ．2log ||y x =
C ．2
x x e e y --= D ．3
1y x =+
5 ．（2012年高考（四川文））函数(0,1)x
y a a a a =->≠的图象可能是 6 ．（2012年高考（山东文））
函数1
()ln(1)
f x x =
+ （ ）
A ．[2,0)(0,2]-
B ．(1,0)
(0,2]- C ．[2,2]-
D ．(1,2]- 7．（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是 （ ）
A ．sin y x =
B ．3y x =
C ．x y e =
D
．y =8．（2012年高考（安徽文））设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定
义域;则A B =
（ ）
A ．(1,2)
B ．[1,2]
C ．[,)12
D ．(,]12
9 ．（2012年高考（新课标理））设点P 在曲线12
x
y e =
上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为 （ ）
A ．1ln2-
B
ln 2)-
C ．1ln2+
D
ln 2)+
10 ．（2012年高考（四川理））函数1
(0,1)x y
a a a a
=->≠的图象可能是
11．（2012年高考（江西理））下列函数中,与函数
（ ）
A ．y=
1
sin x
B ．y=
1nx
x
C ．y=xe x
D ．
sin x
x
12．（2012年高考（湖南理））已知两条直线1l :y =m 和2l : y=
8
21
m +(m >0),1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A,B ,2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时,b
a
的最小值为 （ ）
A
．
B
．C
．D
．
二、填空题
13．（2012年高考（上海文））方程032
41
=--+x x 的解是_________.
14．（2012年高考（陕西文））设函数发
,0,
()
1(),0,2
x
x x f x x ,则((4))f f =_____ 15．（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x
g x =-.若
,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________.
16．（2012
年高考（北京文））已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,则
22()()f a f b +=_________.
17．（2012年高考（上海春））函数224
log ([2,4])log y x x x
=+
∈的最大值是______.
18．（2012年高考（江苏））函数x x f 6log 21)(-=的定义域为____.
三、解答题
19．（2012年高考（上海文理））已知函数)1lg()(+=x x f .
(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;
(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数
)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.
基本初等函数参考答案
一、选择题
1. 【解析】选D 23lg9lg 42lg32lg 2
log 9log 44lg 2lg3lg 2lg3
⨯=
⨯=⨯= 2.解析:A.()ln 2y x =+在()2,-+∞上是增函数. 3. 【答案】:D
【解析】:由(())0f g x >得2
()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x -<或
323x ->
所以1x <或3log 5x >;由()2g x <得322x -<即34x <所以3log 4x <故
(,1)M N =-∞
【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题
以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.
4. 【解析】函数x y
2log =为偶函数,且当0>x 时,函数x x y 22log log ==为增函数,所
以在)2,1(上也为增函数,选B.
5. [答案]C
[解析]采用特殊值验证法. 函数(0,1)x
y a a a a =->≠恒过(1,0),只有C 选项符合. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.
6. 解析:要使函数)(x f 有意义只需⎩⎨
⎧≥-≠+040)1ln(2
x x ,即⎩
⎨⎧≤≤-≠->220
,1x x x ,解得21≤<-x ,且0≠x .答案应选B.
7.解析:D.()
()f x f x -=.
8. 【解析】选D
{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-,(1,)(1,2]B A B =+∞⇒=
9. 【解析】选A
函数12
x
y e =
与函数ln(2)y x =互为反函数,图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =
的距离为d =
设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=
-⇒=-⇒=-⇒=
由图象关于y x =对称得:PQ
最小值为min 2ln 2)d =-
10. [答案]C
[解析]采用排除法. 函数(0,1)x
y a a a a =->≠恒过(1,0),选项只有C 符合,故选C. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.
11. D 【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域.
函
数y =
的定义域为()(),00,-∞+∞,而答案中只有sin x
y x
=
的定义域为()(),00,-∞+∞.故选D.
【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法. 12. 【答案】B
【解析】在同一坐标系中作出y=m,y=
8
21
m +(m>0),2log y x =图像如下图,
由2log x = m,得122,2m
m
x x -==,2log x = 821
m +,得8
21
8
21342,2m m x x +-+==.
依照题意得821
821
821
821
222
2
,22
,22
m m m
m
m
m m m b a b a
++-
-+-
-+-=-=-=-821
821
22
2
m m m
m ++
+==.
814111
43
1212222
2
m m m m +
=++-≥-=++,min ()b a ∴=【点评】在同一坐标系中作出y=m,y=8
21
m +(m>0),2log y x =图像,结合图像可解得.
二、填空题
13. [解析] 0322)2(2
=-⋅-x
x ,0)32)(12(=-+x
x
,32=x
,3log 2=x . 14.解析:
4
1(4)
()162
f ,((4))(16)164f f f
15. 【答案】(4,0)-
【解析】首先看()22x g x =-没有参数,从()22x
g x =-入手,显然1x <时,()0g x <,1x ≥时,()0g x ≥,而对,()0x R f x ∀∈<或()0g x <成立即可,故只要
1x ∀≥时,()0f x <(*)恒成立即可.当0m =时,()0f x =,不符合(*),所以舍去;当
0m >时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<得32m x m --<<,并不对1x ∀≥成立,
舍去;当0m <时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<,注意20,1m x ->≥,故
20x m ->,所以30x m ++>,即(3)m x >-+,又1x ≥,故(3)(,4]x -+∈-∞-,所以4m >-,又0m <,故(4,0)m ∈-,综上,m 的取值范围是(4,0)-.
【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对m 进行讨论.
16. 【答案】2
【解析】
()lg ,()1f x x f ab ==,lg()1ab ∴=
【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉. 17. 5
18.
【答案】(
0.
【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式.
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得
1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨
⎩⎪⎪⎩⎩
三、解答题 19. [解](1)由⎩
⎨
⎧>+>-010
22x x ,得11<<-x .
由1lg )1lg()22lg(01
22<=+--<+-x x
x x 得101122<<
+-x x 因为01>+x ,所以1010221+<-<+x x x ,31
3
2<<-
x .
由⎩⎨⎧<<-<<-31
3
211x x 得31
32<<-x (2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此 由单调性可得]2lg ,0[∈y .
因为y
x 103-=,所以所求反函数是x
y 103-=,]2lg ,0[∈x
2012年高考数学分类（3）函数的应用
一、选择题
1．（2012年高考（北京文））函数1
2
1()()2
x
f x x =-的零点个数为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2 ．（2012年高考（天津理））函数3
()=2+2x
f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3 ．（2012年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与OB 的夹角为
6
π
,以A 为圆心,AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交与点
C ．甲.乙两质点同时从点O
出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB 行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧BDC 行至点C 后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA 行至A 点后停止.设t 时刻甲、乙所到的两
点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是
4．（2012年高考（湖南文））设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是
()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2
x π
≠
时 ,()()02
x f x π
'->,则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．8
5．（2012年高考（湖北文））函数()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．（2012年高考（辽宁理））设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当[0,1]
x ∈时,f (x )=x 3
.又函数g (x )=|x cos ()x π|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13
[,]22
-上的零点个数
为 （ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．（2012年高考（湖北理））函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为
（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、解答题 8．（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?
9．（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系xoy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,
单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
221
(1)(0)20
y kx k x k =-
+>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,
炮弹可以击中它?请说明理由.
10．（2012年高考（湖南理））某企业接到生产3000台某产品的A,B,C 三种部件的订单,每台产
品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A 部件6件,
或B 部件3件,或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比,比例系数为k(k 为正整数). (1)设生产A 部件的人数为x,分别写出完成A,B,C 三种部件生产需要的时间;
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
参考答案
一、选择题 1. 【答案】B
【解析】函数1
2
1()()2x f x x =-的零点,即令()0f x =,根据此题可得1
21()2
x
x =,在平面
直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,
答案B.
到图像幂函数和指数函数. 2. 【答案】B
定理以及作图与用图的数学能力.
【解析】解法1:因为(0)=1+02=1f --,f 且函数()f x 在(0,1)内连续不断,故()f x 在解法2:设1=2x
y ,3
2=2y x -,知B 正确. 3. 【答案】A 4. 【答案】B
【解析】由当x∈(0,π) 且x≠
2
π
时 ,(x -又[]0,x π∈时,0<f (x )<1,在R 上的函数f (系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下,由图知y=f(x)-sinx 在[-2π,2π] 上的零点个数为4个.
【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.
5. D 【解析】由()cos 20==f x x x ,得
0=x 或cos20=x ;其中,由cos20=x ,得
()22
x k k π
π=+
∈Z ,故()24
k x k ππ
=
+∈Z .又因为[]0,2x ∈π,所以π3π5π7π
,,,4444
x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.
【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定义域是R ,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区间等问题. 6. 【答案】B
【
解
析
】
因
为
当
[0,1]x ∈时,f (x )=x 3
.
所以当
[1,2]-)[0,1]x x ∈∈时，(2,f (x )=f (2-x )=(2-x )3,
当1
[0,]2x ∈时,g (x )=x cos ()x π;当13[,]22
x ∈时,g (x )= -x cos ()x π,注意到函数f (x )、
g (x )都是偶函数,且f (0)= g (0), f (1)= g (1),13()()022
g g ==,作出函数f (x )、 g (x )
的大致图象,函数h (x )除了0、1这两个零点之外,分别在区间1113[,0][][][1]2222
-、0,、,1、,上各有一个零点,共有6个零点,故选B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大. 7.考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.
解析:0)(=x f ,则0=x 或0cos 2
=x ,Z k k x ∈+=,2
2
π
π,又[]4,0∈x ,4,3,2,1,0=k
所以共有6个解.选C.
二、解答题
8.解:(1)设内环线列车运行的平均速度为v 千米/小时,由题意可知,
30
6010209v v
⨯≤⇒≥ 所以,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是20千米/小时. (2)设内环线投入x 列列车运行,则外环线投入(18)x -列列车运行,内、外环线乘客最长
候车时间分别为12,t t 分钟,则123072306060,602530(18)18t t x x x x
=⨯==⨯=-- 于
是
有
2
122150129607260150114||||1182211412960
x x t t x x x x x ⎧-+≤-+⎪-=-≤⇒⇒≤≤
⎨-⎪+-≤⎩ 又
*x N ∈,所以10x =,所以当内环线投入10列,外环线投入8列列车运行,内、外环线
乘客最长候车时间之差不超过1分钟.
9. 【答案】解:(1)在221(1)(0)20y kx k x k =-
+>中,令0y =,得221
(1)=020
kx k x -+. 由实际意义和题设条件知00x>k >，.
∴2202020
=
==10112
k x k k k
≤++,当且仅当=1k 时取等号. ∴炮的最大射程是10千米.
(2)∵0a >,∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >,使221
(1)=3.220
ka k a -+成立, 即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根. 由()()
2
22=204640a a a ∆--+≥得6a ≤.
此时,
0k (不考虑另一根).
∴当a 不超过6千米时,炮弹可以击中目标.
【考点】函数、方程和基本不等式的应用. 【解析】(1)求炮的最大射程即求221
(1)(0)20
y kx k x k =-
+>与x 轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解.
(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解. 10. 【解析】
解:(Ⅰ)设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为
123(),(),(),T x T x T x 由题设有
期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.
(Ⅱ)完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为
2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭
易知,12(),()T x T x 为减函数,3()T x 为增函数.注意到
212
()(),T x T x k
=于是
(1)当2k =时,12()(),T x T x = 此时
{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫
==⎨⎬-⎩⎭
,
由函数13(),()T x T x 的单调性知,当
10001500
2003x x
=
-时()f x 取得最小值,解得 400
9x =
.由于 134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113
f T f T f f <<====<而.
故当44x =时完成订单任务的时间最短,且最短时间为250
(44)11f =.
(2)当2k >时,12()(),T x T x > 由于k 为正整数,故3k ≥,此时
{}1375
(),()max (),()50T x x T x T x x
ϕ=
=-易知()T x 为增函数,则 1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫
==⎨⎬-⎩⎭
.
由函数1(),()T x T x 的单调性知,当
100037550x x =
-时()x ϕ取得最小值,解得400
11
x =.由于1400250250375250
3637,(36)(36),(37)(37),119111311
T T ϕϕ<<==>==>而
此时完成订单任务的最短时间大于250
11
.
(3)当2k <时,12()(),T x T x < 由于k 为正整数,故1k =,此时
{}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫
==⎨⎬-⎩⎭
由函数23(),()T x T x 的单调性知,
当
2000750100x x =
-时()f x 取得最小值,解得800
11
x =.类似(1)的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为2509,大于250
11
.
综上所述,当2k =时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C 三种部件的人数
分别为44,88,68.
【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想.
2012年高考数学分类（4）函数的应用
一、选择题
1．（2012年高考（北京文））函数1
2
1()()2
x
f x x =-的零点个数为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2 ．（2012年高考（天津理））函数3
()=2+2x
f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3 ．（2012年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与OB 的夹角为
6
π
,以A 为圆心,AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交与点
C ．甲.乙两质点同时从点O
出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB 行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧BDC 行至点C 后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA 行至A 点后停止.设t 时刻甲、乙所到的两
点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是
4．（2012年高考（湖南文））设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是
()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2
x π
≠
时 ,()()02
x f x π
'->,则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．8
5．（2012年高考（湖北文））函数()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．（2012年高考（辽宁理））设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当[0,1]
x ∈时,f (x )=x 3
.又函数g (x )=|x cos ()x π|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13
[,]22
-上的零点个数
为 （ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．（2012年高考（湖北理））函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为
（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、解答题 8．（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?
9．（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系xoy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,
单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
221
(1)(0)20
y kx k x k =-
+>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,
炮弹可以击中它?请说明理由.
10．（2012年高考（湖南理））某企业接到生产3000台某产品的A,B,C 三种部件的订单,每台产
品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A 部件6件,
或B 部件3件,或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比,比例系数为k(k 为正整数). (1)设生产A 部件的人数为x,分别写出完成A,B,C 三种部件生产需要的时间;
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
参考答案
一、选择题 1. 【答案】B
【解析】函数1
2
1()()2x f x x =-的零点,即令()0f x =,根据此题可得1
21()2
x
x =,在平面
直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,
答案B.
到图像幂函数和指数函数. 2. 【答案】B
定理以及作图与用图的数学能力.
【解析】解法1:因为(0)=1+02=1f --,f 且函数()f x 在(0,1)内连续不断,故()f x 在解法2:设1=2x
y ,3
2=2y x -,知B 正确. 3. 【答案】A 4. 【答案】B
【解析】由当x∈(0,π) 且x≠
2
π
时 ,(x -又[]0,x π∈时,0<f (x )<1,在R 上的函数f (系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下,由图知y=f(x)-sinx 在[-2π,2π] 上的零点个数为4个.
【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.
5. D 【解析】由()cos 20==f x x x ,得
0=x 或cos20=x ;其中,由cos20=x ,得
()22
x k k π
π=+
∈Z ,故()24
k x k ππ
=
+∈Z .又因为[]0,2x ∈π,所以π3π5π7π
,,,4444
x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.
【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定义域是R ,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区间等问题. 6. 【答案】B
【
解
析
】
因
为
当
[0,1]x ∈时,f (x )=x 3
.
所以当
[1,2]-)[0,1]x x ∈∈时，(2,f (x )=f (2-x )=(2-x )3,
当1
[0,]2x ∈时,g (x )=x cos ()x π;当13[,]22
x ∈时,g (x )= -x cos ()x π,注意到函数f (x )、
g (x )都是偶函数,且f (0)= g (0), f (1)= g (1),13()()022
g g ==,作出函数f (x )、 g (x )
的大致图象,函数h (x )除了0、1这两个零点之外,分别在区间1113[,0][][][1]2222
-、0,、,1、,上各有一个零点,共有6个零点,故选B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大. 7.考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.
解析:0)(=x f ,则0=x 或0cos 2
=x ,Z k k x ∈+=,2
2
π
π,又[]4,0∈x ,4,3,2,1,0=k
所以共有6个解.选C.
二、解答题
8.解:(1)设内环线列车运行的平均速度为v 千米/小时,由题意可知,
30
6010209v v
⨯≤⇒≥ 所以,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是20千米/小时. (2)设内环线投入x 列列车运行,则外环线投入(18)x -列列车运行,内、外环线乘客最长
候车时间分别为12,t t 分钟,则123072306060,602530(18)18t t x x x x
=⨯==⨯=-- 于
是
有
2
122150129607260150114||||1182211412960
x x t t x x x x x ⎧-+≤-+⎪-=-≤⇒⇒≤≤
⎨-⎪+-≤⎩ 又
*x N ∈,所以10x =,所以当内环线投入10列,外环线投入8列列车运行,内、外环线
乘客最长候车时间之差不超过1分钟.
9. 【答案】解:(1)在221(1)(0)20y kx k x k =-
+>中,令0y =,得221
(1)=020
kx k x -+. 由实际意义和题设条件知00x>k >，.
∴2202020
=
==10112
k x k k k
≤++,当且仅当=1k 时取等号. ∴炮的最大射程是10千米.
(2)∵0a >,∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >,使221
(1)=3.220
ka k a -+成立, 即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根. 由()()
2
22=204640a a a ∆--+≥得6a ≤.
此时,
0k (不考虑另一根).
∴当a 不超过6千米时,炮弹可以击中目标.
【考点】函数、方程和基本不等式的应用. 【解析】(1)求炮的最大射程即求221
(1)(0)20
y kx k x k =-
+>与x 轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解.
(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解. 10. 【解析】
解:(Ⅰ)设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为
123(),(),(),T x T x T x 由题设有
期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.
(Ⅱ)完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为
2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭
易知,12(),()T x T x 为减函数,3()T x 为增函数.注意到
212
()(),T x T x k
=于是
(1)当2k =时,12()(),T x T x = 此时
{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫
==⎨⎬-⎩⎭
,
由函数13(),()T x T x 的单调性知,当
10001500
2003x x
=
-时()f x 取得最小值,解得 400
9x =
.由于 134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113
f T f T f f <<====<而.
故当44x =时完成订单任务的时间最短,且最短时间为250
(44)11f =.
(2)当2k >时,12()(),T x T x > 由于k 为正整数,故3k ≥,此时
{}1375
(),()max (),()50T x x T x T x x
ϕ=
=-易知()T x 为增函数,则 1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫
==⎨⎬-⎩⎭
.
由函数1(),()T x T x 的单调性知,当
100037550x x =
-时()x ϕ取得最小值,解得400
11
x =.由于1400250250375250
3637,(36)(36),(37)(37),119111311
T T ϕϕ<<==>==>而
此时完成订单任务的最短时间大于250
11
.
(3)当2k <时,12()(),T x T x < 由于k 为正整数,故1k =,此时
{}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫
==⎨⎬-⎩⎭
由函数23(),()T x T x 的单调性知,
当
2000750100x x =
-时()f x 取得最小值,解得800
11
x =.类似(1)的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为2509,大于250
11
.
综上所述,当2k =时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C 三种部件的人数
分别为44,88,68.
【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想.
2012年高考数学分类汇编（5）导数
一、选择题
1 ．（2012年高考（重庆文））设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2
x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是
2 ．（2012年高考（浙江文））设a>0,b>0,e 是自然对数的底数
（ ）
A ．若e a +2a=e b
+3b,则a>b
B ．若e a +2a=e b
+3b,则a<b
C ．若e a -2a=e b
-3b,则a>b
D ．若e a -2a=e b
-3b,则a<b
3 ．（2012年高考（陕西文））设函数f(x)=
2
x
+lnx 则 （ ）
A ．x=
1
2为f(x)的极大值点 B ． x=
1
2
为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点
D ．x=2为 f(x)的极小值点
4 ．（2012年高考（山东文））设函数1
()f x x
=
,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ）
A ．12120,0x x y y +>+>
B ．12120,0x x y y +>+<
C ．12120,0x x y y +<+>
D ．12120,0x x y y +<+<
5 ．（2012年高考（辽宁文））函数y=
12
x 2
-㏑x 的单调递减区间为 （ ）
A ．(-1,1]
B ．(0,1]
C ．[1,+∞)
D ．(0,+∞)
6 ．（2012年高考（湖北文））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB
为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概
率是 （ ） A ．
11
2π
- B ．
1π
C ．2
1π
-
D ．
2π
7 ．（2012年高考（福建文））已知32
()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且
()()()0
f a f b f c ===.现给出如下结
论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是 （ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
8 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1
()ln(1)f x x x
=+-;则()y f x =的图像大致为
9 ．（2012年高考（浙江理））设a >0,b >0.
（ ）
A ．若2223a b a b +=+,则a >b
B ．若2223a b a b +=+,则a <b
C ．若2223a b a b -=-,则a >b
D ．若2223a b a b -=-,则a <b
10 ．（2012年高考（重庆理））设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且
函数(1)()y x f x '=-的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 （ ）
A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f
C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -
D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f
11 ．（2012年高考（陕西理））设函数()x
f x xe =,则
（ ）
A ．1x =为()f x 的极大值点
B ．1x =为()f x 的极小值点
C ．1x =-为()f x 的极大值点
D ．1x =-为()f x 的极小值点
12 ．（2012年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x
f x a =在R 上是减函数 ”,是“函
数3
()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
13 ．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的
面积为
（ ）
A ．2π
5
B ．43
C ．32
D ．π2
14 ．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点
y
x
O 第3题图
P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）
A ．
14
B ．
15
C ．
16
D ．
17
15 ．（2012年高考（大纲理））已知函数3
3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个
公共点,则c =
（ ）
A ．2-或2
B ．9-或3
C ．1-或1
D ．3-或1
二、填空题
16 ．（2012年高考（上海文））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中
A (0,0),
B (21,1),
C (1,0).
函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .
17 ．（2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________ 18 ．（2012年高考（上海理））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中
A (0,0),
B (21,5),
C (1,0).
函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .
19．（2012年高考（山东理））设0a >.若曲线y x =
与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面
积为2
a ,则a =______.
20．（2012年高考（江西理））计算定积分
1
21
(sin )x x dx -+=⎰
___________.
21．（2012年高考（广东理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________. 三、解答题
22．（2012年高考（重庆文））已知函数3
()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -
(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.
23．（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数3
()42f x x ax a =-+
(1)求f(x)的单调区间
(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a ->0.
24．（2012年高考（天津文））已知函数
32
11()(0)32
a f x x x ax a a -=+-->
(I)求函数)(x f 的单调区间;。