2021届安徽省蚌埠市第二中学高三下学期4月质量检测数学(文)试题
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（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）对 及 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
由图象可知阴影部分对应的集合为 ，然后根据集合的基本运算求解即可．
【详解】
由Venn图可知阴影部分对应的集合为 ，
或 ，
，
即 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．
5．已知 ， ，若 ，则实数 的值等于
A．3B． C． 或3D．2
6．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的部分图象如图所示，为了得到 的图象，只需将 的图象（ ）
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．设函数 ，则 ________.
15．过定点 且与直线 相切的动圆圆心 的轨迹方程为________.
16．如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔 ， 与桥面 垂直，且 米， 米， 米. 为 上的一点，则当角 达到最大时， 的长度为________米.
三、解答题
17．若数列 的前 项和为 ，且 ， ．
【详解】
模拟程序的运行，可得
；
；
；
；
；
；
…
根据观察以及正切函数的性质可知， 的值以3为周期循环出现，
参考公式： ，其中
临界值表
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
19．如图，三棱柱 中， ， ，平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ， 为 的中点，求三棱锥 的体积.
20．已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 周长为8.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面 列联表；
锻炼不达标
锻炼达标
合计
男
女
20
110பைடு நூலகம்
合计
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出5人，进行体育锻炼体会交流，从参加体会交流的5人中，随机选出2人作重点发言，求恰好选出一名男生的概率.
【详解】
，则由正弦定理得 ，
又 ， ，
由余弦定理
得 ， ，
， ，
由 得 ，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题.
7．B
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
2．A
【分析】
首先求出 ，代入 中，利用复数模的公式即可得到 ．
【详解】
由 ，所以 .故选A.
【点睛】
本题考查复数幂的运算以及复数模的计算公式，属于基础题．
3．B
【详解】
试题分析：由题意知，样本容量为 ，其中高中生人数为 ，
高中生的近视人数为 ，故选B.
【考点定位】
本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.
11．设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为
A． B． C． D．
12．定义在 上的函数 的图象关于 轴对称，且 在 上单调递减，若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．岳阳市某高中文学社计划招入女生 人，男生 人，若 满足约束条件 则该社团今年计划招入学生人数最多为___．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）是否存在直线 ，使以 为直径的圆经过坐标原点 ，若存在求出直线 的方程；若不存在，说明理由.
21．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 图象在点 处的切线方程；
（2）当 时，讨论函数 的单调性；
（3）是否存在实数 ，对任意 ， 且 有 恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.
2019届安徽省蚌埠市第二中学高三下学期4月质量检测数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ， ，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C．2D．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．
18．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟
总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均体育锻炼时间在 的学生评价为“锻炼达标”.
4．B
【详解】
或 ，所以是 的必要非充分条件，故选B.
考点：充分必要条件
5．C
【解析】
【分析】
由题意得 ，根据 ，即可得出 ，由数量积的坐标运算即可求出 的值．
【详解】
解： ， ；
；
解得 或3．故选C．
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算，属基础题．
6．A
【分析】
由正弦定理， 可化为 ，将其代入由余弦定理列出的 ，结合题中所给 ， ，可求出 ， .由 求得 ，最终可求出 .
22．已知直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l与圆C交于A，B两点．
(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；
(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数
A．向右平移 个单位B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位D．向左平移 个单位
9．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
10．已知抛物线 的准线过双曲线 的左焦点且与双曲线交于 ､ 两点， 为坐标原点，且 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．4C．3D．2
（Ⅱ）对 及 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
由图象可知阴影部分对应的集合为 ，然后根据集合的基本运算求解即可．
【详解】
由Venn图可知阴影部分对应的集合为 ，
或 ，
，
即 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．
5．已知 ， ，若 ，则实数 的值等于
A．3B． C． 或3D．2
6．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的部分图象如图所示，为了得到 的图象，只需将 的图象（ ）
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．设函数 ，则 ________.
15．过定点 且与直线 相切的动圆圆心 的轨迹方程为________.
16．如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔 ， 与桥面 垂直，且 米， 米， 米. 为 上的一点，则当角 达到最大时， 的长度为________米.
三、解答题
17．若数列 的前 项和为 ，且 ， ．
【详解】
模拟程序的运行，可得
；
；
；
；
；
；
…
根据观察以及正切函数的性质可知， 的值以3为周期循环出现，
参考公式： ，其中
临界值表
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
19．如图，三棱柱 中， ， ，平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ， 为 的中点，求三棱锥 的体积.
20．已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 周长为8.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面 列联表；
锻炼不达标
锻炼达标
合计
男
女
20
110பைடு நூலகம்
合计
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出5人，进行体育锻炼体会交流，从参加体会交流的5人中，随机选出2人作重点发言，求恰好选出一名男生的概率.
【详解】
，则由正弦定理得 ，
又 ， ，
由余弦定理
得 ， ，
， ，
由 得 ，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题.
7．B
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
2．A
【分析】
首先求出 ，代入 中，利用复数模的公式即可得到 ．
【详解】
由 ，所以 .故选A.
【点睛】
本题考查复数幂的运算以及复数模的计算公式，属于基础题．
3．B
【详解】
试题分析：由题意知，样本容量为 ，其中高中生人数为 ，
高中生的近视人数为 ，故选B.
【考点定位】
本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.
11．设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为
A． B． C． D．
12．定义在 上的函数 的图象关于 轴对称，且 在 上单调递减，若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．岳阳市某高中文学社计划招入女生 人，男生 人，若 满足约束条件 则该社团今年计划招入学生人数最多为___．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）是否存在直线 ，使以 为直径的圆经过坐标原点 ，若存在求出直线 的方程；若不存在，说明理由.
21．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 图象在点 处的切线方程；
（2）当 时，讨论函数 的单调性；
（3）是否存在实数 ，对任意 ， 且 有 恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.
2019届安徽省蚌埠市第二中学高三下学期4月质量检测数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ， ，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C．2D．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．
18．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟
总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均体育锻炼时间在 的学生评价为“锻炼达标”.
4．B
【详解】
或 ，所以是 的必要非充分条件，故选B.
考点：充分必要条件
5．C
【解析】
【分析】
由题意得 ，根据 ，即可得出 ，由数量积的坐标运算即可求出 的值．
【详解】
解： ， ；
；
解得 或3．故选C．
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算，属基础题．
6．A
【分析】
由正弦定理， 可化为 ，将其代入由余弦定理列出的 ，结合题中所给 ， ，可求出 ， .由 求得 ，最终可求出 .
22．已知直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l与圆C交于A，B两点．
(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；
(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数
A．向右平移 个单位B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位D．向左平移 个单位
9．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
10．已知抛物线 的准线过双曲线 的左焦点且与双曲线交于 ､ 两点， 为坐标原点，且 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．4C．3D．2