高考数学复习理数通用版：第十四单元 椭圆、双曲线、抛物线

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第十四单元椭圆、双曲线、抛物线
教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过
椭圆
[过双基]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)
x2
b2＋
y2
a2＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围－b≤y≤b－a≤y≤a－a≤x≤a，－b≤x≤b，对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝
c
a，e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
[小题速通]
1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 2
4＝1的离心率是( )
A.
13
3
B.53
C.23
D.59
解析：选B 根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝5
3.
2．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 上的点A ，C 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，若点B 在椭圆x 225＋y 2
9＝1上，则sin A ＋sin C sin (A ＋C )
＝( )
A.43
B.53
C.45
D.54
解析：选D 由椭圆x 225＋y 2
9＝1，得椭圆的半焦距为4，
则A (－4,0)和C (4,0)为椭圆x 225＋y 2
9＝1的两个焦点．
∵点B 在椭圆x 225＋y 2
9＝1上， 作出示意图如图所示，
∴sin A ＋sin C sin (A ＋C )
＝sin A ＋sin C sin B ＝2a 2c ＝54.
3．已知椭圆x 225＋y 2
m 2＝1(m ＞0)的焦距为8，则m 的值为( )
A ．3或41
B ．3
C.41
D ．±3或±41
解析：选A 当m ＜5时，焦点在x 轴上，焦距2c ＝8，则c ＝4， 由25－m 2＝16，得m ＝3；
当m ＞5时，焦点在y 轴上，焦距2c ＝8，则c ＝4， 由m 2－25＝16，得m ＝41， 故m 的值为3或41.
4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1
2，则m ＝________.
解析：因为焦点在x 轴上，所以0＜m ＜2， 所以a 2＝2，b 2＝m ，c 2＝a 2－b 2＝2－m . 因为椭圆的离心率为e ＝1
2
，
所以e 2
＝14＝c 2a 2＝2－m 2，解得m ＝3
2
.
答案：3
2
[清易错]
1．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，|x |≤a ，|y |≤b ，
这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
1．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为4
5，则k 的值为( )
A ．－21
B ．21
C ．－
19
25
或21 D.19
25
或－21 解析：选D 当9＞4－k ＞0，即－5<k <4时， a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ， ∴
5＋k 3＝45，解得k ＝19
25
； 当9＜4－k ，即k ＜－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5， ∴
－k －54－k ＝4
5
，解得k ＝－21， ∴k 的值为19
25
或－21.
2．已知椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥
F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→
的最大值为( )
A.3
2
B.332
C.94
D.154
解析：选B 由椭圆方程知c ＝4－3＝1， 所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．
因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝9
4，所以y 0＝±32
.
设P (x 1，y 1)，则F 1P ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 2A ―→
＝(0，y 0)，
所以F 1P ―→·F 2A ―→＝y 1y 0.
因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3， 故F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为332
.
双曲线
[过双基]
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)；
(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
3．双曲线的性质 标准方程
x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2
b 2
＝1(a >0，b >0) 图形
性质
范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R
y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)
A 1(0，－a )，A 2(0，a )
渐近线
y ＝±b a x
y ＝±a b x
离心率 e ＝c
a ，e ∈(1，＋∞)
a ，
b ，
c 的关系 c 2＝a 2＋b 2
实虚轴
线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；
线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
1．(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过
F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A.x 24－y 2
4＝1 B.x 28－y 2
8＝1 C.x 24－y 2
8
＝1 D.x 28－y 2
4
＝1 解析：选B 由离心率e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，
故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则
a 2＝
b 2＝
c 2
2
＝8， 故双曲线的方程为x 28－y 2
8
＝1.
2．已知双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 2
12＝1 B.y 23－x 2
2＝1 C ．x 2
－y 2
3
＝1
D.3y 223－x 2
23
＝1 解析：选C 由双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ， 可设其方程为y 2
3
－x 2＝λ(λ≠0)．
又双曲线过点(2,3), 则32
3－22＝λ， 解得λ＝－1，
所以双曲线的方程为y 23－x 2＝－1，即x 2－y 2
3
＝1.
3．(2018·张掖一诊)如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)
的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A.7 B ．4 C.233
D. 3
解析：选A 依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，因为△ABF 2为等边三角形，所以∠F 1BF 2＝120°，由余弦定理，可得4a 2＋16a 2
＋2×2a ×4a ×1
2
＝4c 2，整理得c a ＝7，故选A.
4．已知F 为双曲线C ：x 29－y 2
16＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴
长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．
解析：由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.
答案：44
[清易错]
1．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2
＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.
2．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b
a ，
当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a
b
.
1．双曲线x 236－m 2－y 2
m 2＝1(0＜m ＜3)的焦距为( )
A ．6
B ．12
C ．36
D ．236－2m 2
解析：选B ∵c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6， ∴双曲线的焦距为12.
2．已知直线l ：4x ＋3y －20＝0经过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的一个焦点，且与双曲线C 的
一条渐近线平行，则双曲线C 的实轴长为( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选C ∵双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的焦点在x 轴上，直线l ：4x ＋3y －20＝0与x 轴
的交点为(5,0)．
∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①
∵直线l ：4x ＋3y －20＝0与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线平行，∴b a ＝4
3.②
由①②解得a ＝3，
∴双曲线C 的实轴长为2a ＝6.
抛物线
[过双基]
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程
y 2＝2px (p ＞0)
y 2＝－2px (p ＞0)
x 2＝2py (p >0)
x 2＝－2py (p >0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点 O (0,0)
对称轴 y ＝0
x ＝0
焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0
F ⎝⎛⎭
⎫－p
2，0 F ⎝⎛⎭
⎫0，p 2 F ⎝
⎛⎭⎫0，－p
2 离心率 e ＝1
准线方程 x ＝－p 2
x ＝p 2
y ＝－p
2
y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
y ≥0，x ∈R
y ≤0，x ∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)) |PF |＝x 0＋p
2
|PF |＝－x 0＋p
2
|PF |＝y 0＋p
2
|PF |＝－y 0＋p
2
1．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线x 213－y 2
12＝1的右焦点，则此抛物线的方程为
( )
A ．y 2＝2x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝10x
D ．y 2＝20x
解析：选D 双曲线x 213－y 2
12＝1的右焦点为(5,0) ，
由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0) ， ∵抛物线的焦点为双曲线x 213－y 2
12＝1的右焦点，
∴p
2＝5，p ＝10， ∴抛物线方程为y 2＝20x .
2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716
B.1516
C.78
D ．0
解析：选B 点M 到准线的距离等于点M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－1
16，设
M (x ，y )，则y ＋1
16
＝1，
故y ＝1516
.
3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.12 C.14
D.18
解析：选D 设点P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ， 又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝1
2y,
则其准线方程为y ＝－1
8
，
所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值1
8，
即|PF |的最小值为1
8
.
4．已知抛物线y 2＝6x 上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________．
解析：可知抛物线y 2＝6x 的焦点F ⎝⎛⎭⎫
32，0，设P (x ，y )，x ＞0. 由抛物线的定义，得点P 到焦点的距离d 1＝x ＋p 2＝x ＋32，
点P 到y 轴的距离d 2＝x .
由x ＋32＝2x ，解得x ＝32，∴该点的横坐标为3
2.
答案：32
[清易错]
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中的参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．
1．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，
根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .
答案：y 2＝4x
2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－1
8y .
∴2p ＝18，p ＝1
16，∴焦点为⎝⎛⎭⎫0，－132. 答案：⎝
⎛⎭⎫0，－1
32
直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．
即⎩⎪⎨⎪
⎧
Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，
消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．
(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝
1＋1
k 2·|y 1－y 2
|＝ 1＋1
k
2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. [小题速通]
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
解析：选A 因为直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，
故直线与椭圆相交．
2．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点M 的纵坐标为4，则|AB |＝________.
解析：由题意，可得焦点F (0,2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8，过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝8＋4＝12.
答案：12
3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相交，则双曲线
C 的离心率的取值范围是________．
解析：双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，其与圆相交，则圆心(2,0)到渐近线的距离小于半径，即
2b
a 2＋
b 2
＜1， ∴3b 2＜a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＜4
3a 2，∴e ＝c a ＜233.
又e ＞1，∴1＜e ＜
23
3
. 答案：⎝
⎛⎭⎫1，
233
[清易错]
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点．
1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的交点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b
a x 平行，所以它与双曲线只有1
个交点．
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0).
一、选择题
1．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，若其上一点P (m,1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为( )
A ．y ＝8x 2
B ．y ＝16x 2
C ．x 2＝8y
D ．x 2＝16y
解析：选D 根据题意知，点P (m,1)在x 轴上方，则抛物线开口向上， 设其标准方程为x 2＝2py ， 其准线方程为y ＝－p
2
，
由点P 到焦点的距离为5，得1－⎝⎛⎭⎫－p
2＝5, 解得p ＝8，
则抛物线的标准方程为x 2＝16y .
2．椭圆x 216＋y 2
m ＝1的焦距为27，则m 的值为( )
A ．9
B ．23
C ．9或23
D ．16－7或16＋7
解析：选C 由椭圆x 216＋y 2
m ＝1的焦距为27，
可得，216－m ＝27或2m －16＝27， 解得m ＝9或23.
3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2
＝6，则|PQ |＝( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
解析：选B 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.
4．若双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上一点，满足PF 1―→·PF 2
―→
＝0的点P 依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，则四边形P 1P 2P 3P 4的面积为( )
A.855
B ．2 5 C.865
D ．2 6
解析：选C 设P (x ，y )，由已知得F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 则(－5－x ，－y )·(5－x ，－y )＝x 2－5＋y 2＝0，
即x 2
＋y 2
＝5，与双曲线方程x 24
－y 2
＝1联立，
可得交点分别为⎝⎛⎭⎫
2305
，55，⎝⎛⎭⎫－2305，55，
⎝
⎛⎭⎫－2305，－55，⎝⎛⎭⎫2305，－55，
它们构成一个长为4305，宽为255的长方形，
所以四边形P 1P 2P 3P 4的面积为
4305×255＝86
5
. 5．若双曲线y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则其渐近线方程为( )
A ．y ＝±3x
B ．y ＝±1
2x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±1
3
x
解析：选D 因为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，所以e ＝c
a ＝10，
即e 2＝
c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2
＝10，所以b a ＝3.
因为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的焦点在y 轴上，其渐近线方程为y ＝±a
b x ，所以该双曲线的渐近
线方程为y ＝±1
3
x .
6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为3
3，过F 2的直线
l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )
A.x 23＋y 2
2＝1 B.x 23＋y 2
＝1 C.x 212＋y 2
8
＝1 D.x 212＋y 2
4
＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2
＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝
1.
7．已知双曲线x 212－y 2
4＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个
交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫
－33，
33 B.()－3，3 C.⎣
⎡⎦
⎤
－
33，
33 D.[]－3，3
解析：选C 由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±
3
3
x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.
8．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π
4，
则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )
A.12
B.22
C ．1
D. 2
解析：选B 如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，
|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1， |PF 1|－|PF 2|＝2a 2，
∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2. 设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π
4，
在△PF 1F 2中，由余弦定理得，
4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π
4
，
化简得：(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2
，
即2－2e 21＋2＋2e 22
＝4.
又∵2－2e 21＋2＋2e 22≥222－2e 1·e 2＝22e 1·e 2，
∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22
， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22
. 二、填空题
9．(2017·北京高考)若双曲线
x 2－
y 2
m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________.
解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以e ＝1＋m 1
＝3，解得m ＝2.
答案：2
10．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3
5x ，则a ＝________.
解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
9＝1(a ＞0)，
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3
a
x .
又双曲线的一条渐近线方程为y ＝3
5x ，∴a ＝5.
答案：5
11．与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为5
5的椭圆的标准方程为__________．
解析：由椭圆x 29＋y 2
4＝1，得a 2＝9，b 2＝4，
∴c 2＝a 2－b 2＝5，
∴该椭圆的焦点坐标为()±5，0. 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，a ＞b ＞0，
则c ＝5，又c a ＝5
5，得a ＝5，∴b 2＝25－5＝20.
∴所求椭圆方程为x 225＋y 2
20＝1.
答案：x 225＋y 2
20
＝1
12．(2018·西安中学模拟)如图，过抛物线y ＝1
4x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y
－1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→
＝________.
解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，
因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→
＝－1.
答案：－1 三、解答题
13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，且函数y ＝x 2－65
16的图象与椭圆C
仅有两个公共点，过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点P 为线段MN 的中垂线与椭圆C 的一个公共点，求△PMN 面积的最小值，并求此时直线l 的方程．
解：(1)由题意可得，2b ＝2，所以b ＝1. 联立x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)与y ＝x 2－65
16，消去y ，
整理得x 4＋⎝⎛⎭⎫1a 2－658x 2＋81×49162＝0，
根据椭圆C 与抛物线y ＝x 2－65
16的对称性，可得Δ＝⎝⎛⎭⎫1a 2
－6582－4×81×49162
＝0，a ＞1，解得a ＝2.
∴椭圆C 的标准方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)①当直线l 的斜率不存在时，S △PMN ＝1
2×2b ×a ＝2；
当直线l 的斜率为0时，S △PMN ＝1
2×2a ×b ＝2；
②当直线l 的斜率存在且不为0时． 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，
解得
x 2＝
41＋4k 2，y 2
＝4k 21＋4k 2
. ∴|MN |＝2
x 2＋y 2＝4
1＋k 2
1＋4k 2
. 由题意可得，线段MN 的中垂线方程为y ＝－1
k x ，
联立⎩⎨⎧
y ＝－1k x ，
x
2
4＋y 2
＝1，
可得x 2＝
4k 2k 2＋4，y 2＝4
k 2＋4
. ∴|OP |＝x 2＋y 2＝2
1＋k 2
k 2＋4
. ∴S △PMN ＝12·|MN |·|OP |＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4)≥4(1＋k 2)(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝8
5
，当且仅当k ＝±1时取等号，此时△PMN 的面积的最小值为8
5
.
∵2>85，∴△PMN 的面积的最小值为8
5
，直线l 的方程为y ＝±x .
14.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.
(1)求抛物线E 的方程；
(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．
解：(1)由抛物线的定义得 |AF |＝2＋p
2
.
因为|AF |＝3，即2＋p
2＝3，解得p ＝2，
所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .
(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.
由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．
由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．
由⎩⎨⎧
y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，
得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，
所以k GA ＝22－02－(－1)＝22
3，
k GB ＝
－2－012
－(－1)＝－22
3，
所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．
高考研究课(一)
椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系 [全国卷5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度 椭圆的标准方程 5年2考 求椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 5年3考 求离心率，求参数 直线与椭圆的位置关系 5年6考
弦长问题、面积最值、斜率范围
椭圆的定义及标准方程
[典例] (1)若椭圆C ：x 29＋y 2
2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠
F 1PF 2＝( )
A.π
6 B.π3 C.2π3
D.5π6
(2)(2018·大庆模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，其
中左焦点为F (－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )
A.x 225＋y 2
5＝1 B.x 236＋y 2
16＝1 C.x 230＋y 2
10
＝1 D.x 245＋y 2
25
＝1 [解析] (1)由题意得a ＝3，c ＝7，则|PF 2|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得 cos ∠F 2PF 1＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1||PF 2|
＝42＋22－(27)22×4×2
＝－12.
又∵∠F 2PF 1∈(0，π)，∴∠F 2PF 1＝2π
3
.
(2)设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F (－25，0)，得c ＝2 5. 由|OP |＝|OF |＝|OF 1|， 知PF 1⊥PF .
在Rt △PF 1F 中，由勾股定理， 得|PF 1|＝|F 1F |2－|PF |2＝
()452－42＝8.
由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF |＝2a ＝4＋8＝12， 从而a ＝6，得a 2＝36，
于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，
所以椭圆C 的方程为x 236＋y 2
16＝1.
[答案] (1)C (2)B [方法技巧]
(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．
(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
[即时演练]
1．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 2
3＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，
则|PA |＋|PB |的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选D ∵椭圆方程为y 24＋x 2
3＝1，
∴焦点坐标为B (0，－1)和B ′(0,1)， 连接PB ′，AB ′，根据椭圆的定义， 得|PB |＋|PB ′|＝2a ＝4， 可得|PB |＝4－|PB ′|，
因此|PA |＋|PB |＝|PA |＋(4－|PB ′|) ＝4＋(|PA |－|PB ′|)． ∵|PA |－|PB ′|≤|AB ′|，
∴|PA |＋|PB |≤4＋|AB ′|＝4＋1＝5.
当且仅当点P 在AB ′延长线上时，等号成立． 综上所述，可得|PA |＋|PB |的最大值为5.
2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1
―→
⊥PF 2―→
.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.
解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩
⎪⎨⎪⎧
r 1＋r 2＝2a ，
r 21＋r 22＝4c 2，
∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22
)＝4a 2－4c 2＝4b 2， 又∵S △PF 1F 2＝1
2r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.
答案：3
椭圆的几何性质
[典例](1)(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是
椭圆
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝
b
2与椭圆交于B，C两点，
且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
(2)如图，椭圆
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
①若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；
②若|PQ|＝λ|PF1|，且
3
4≤λ＜
4
3，求椭圆离心率e的取值范围．
[解析](1)将y＝b
2代入椭圆的标准方程，
得
x2
a2＋
b2
4
b2＝1，
所以x＝±
3
2a，故B⎝
⎛
⎭
⎫
－
3
2a，
b
2
，C⎝
⎛
⎭
⎫
3
2a，
b
2
.
又因为F(c,0)，所以BF
―→
＝⎝
⎛
⎭
⎫
c＋
3
2a，－
b
2
，
CF
―→
＝⎝
⎛
⎭
⎫
c－
3
2a，－
b
2
.
因为∠BFC＝90°，所以BF
―→
·CF
―→
＝0，
所以⎝
⎛
⎭
⎫
c＋
3
2a⎝
⎛
⎭
⎫
c－
3
2a
＋⎝⎛⎭⎫
－
b
22＝0，
即c2－
3
4a
2＋
1
4b
2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，
得a2＝
3
2c
2，所以e2＝
c2
a2＝
2
3，所以e＝
6
3(负值舍去)．
[答案]6
3
(2)①由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2
＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24
＋y 2
＝1.
②如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，
得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.
由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a . 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ， 解得|PF 1|＝
4a
1＋λ＋1＋λ2
，
故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝
2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2
.
由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2， 从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22
＝4c 2， 两边除以4a 2，得
4
(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2.
若记t ＝1＋λ＋1＋λ2， 则上式变成
e 2＝
4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋1
2
. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ单调递增，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤1
3. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.
所以椭圆离心率e 的取值范围为⎝⎛⎦
⎤22，53.
[方法技巧]
椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，
在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
[即时演练]
1．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△F 1PF 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为__________．
解析：作出示意图如图，由题可知，|PF 2|
|PF 1|
＝2，
即|PF 2|＝2|PF 1|， 又|PF 2|＋|PF 1|＝2a ， ∴|PF 1|＝ 23a ，|PF 2|＝4
3a ，
∴(2c )2＝⎝⎛⎭⎫23a 2＋⎝⎛⎭⎫43a 2
， 即c 2＝59a 2，∴e ＝53.
答案：
5
3
2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点P 为椭圆C 与y 轴
的交点，若以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．
解析：∵点P 为椭圆C 与y 轴的交点，以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，即∠F 1PF 2≤90°，∴tan ∠OPF 2≤1，∴c b ≤1，c ≤b ，c 2≤a 2－c 2，∴0＜e ≤2
2
.
答案：⎝⎛⎦
⎤0，
22
直线与椭圆的位置关系
[典例] (2017·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为1
2.
已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1
2
.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为
6
2
，求直线AP 的方程．
[思路点拨] (1)由A 为抛物线的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，得a －c ＝1
2，又
椭圆的离心率为1
2
，求出c ，a ，b ，p ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；
(2)由(1)知，A (1,0)，设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，解出P ，Q 两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据△APD 的面积为
6
2
解方程，求出m ，得出直线AP 的方程． [解] (1)设F 的坐标为(－c,0)．
依题意⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝12，
p
2＝a ，
a －c ＝12，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
c ＝12，
p ＝2，
于是b 2＝a 2－c 2＝3
4
.
所以椭圆的方程为
x 2＋
4y 2
3
＝1，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ，故点Q ⎝
⎛⎭⎫－1，2
m . 联立⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝my ＋1，x 2＋4y 23＝1消去x ，
整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0， 解得y ＝0或y ＝
－6m
3m 2＋4
.
由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4. 由Q ⎝
⎛⎭⎫－1，2
m ，可得直线BQ 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝⎛⎭⎫y －2m ＝0， 令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.
所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 2
3m 2＋2.
又因为△APD 的面积为
62
，
故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝6
2
， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63
， 所以m ＝±6
3
.
所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0. [方法技巧]
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝
⎝⎛⎭
⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
[即时演练]
1．设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，斜率为k 的直线过右焦点F 2，与椭圆
交于A ，B ，与y 轴交于C ，B 为CF 2的中点，若|k |≤25
5
，则椭圆离心率e 的取值范围为__________．
解析：椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的焦点在x 轴上，设椭圆的右焦点为F 2 (c,0)，则直线的方
程可设为y ＝k (x －c )，
令x ＝0，得y ＝－kc ，即C (0，－kc )． 由于B 为CF 2的中点，
∴B ⎝⎛⎭⎫c 2，－kc
2，又B 为椭圆上的点， ∴c 24a 2＋k 2c 2
4b
2＝1， 由b 2＝a 2－c 2，e ＝c
a ，
可得e 24＋k 2e 2
4(1－e 2)＝1，
∴k 2＝
e 4－5e 2＋4
e 2
.
∵|k |≤
255，∴k 2≤4
5
， 即0≤e 4－5e 2＋4e 2≤4
5.
又0＜e ＜1, 解得25
5≤e ＜1.
答案：
⎣⎡⎭
⎫255，1 2．(2017·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1
2，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标． 解：(1)设椭圆的半焦距为c .
因为椭圆E 的离心率为1
2，两准线之间的距离为8，
所以c a ＝12
，2a 2
c ＝8，
解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 2
3＝1.
(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限的点， 故x 0>0，y 0>0.
当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符． 当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0
x 0＋1
， 直线PF 2的斜率为
y 0
x 0－1
. 因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1
y 0
， 直线l 2的斜率为－x 0－1
y 0，
从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1
y 0
(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－
x 0－1
y 0
(x －1)．②
由①②解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1
y 0，
所以Q ⎝
⎛⎭⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 2
0－1
y 0＝±y 0，
即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20
＝1. 又点P 在椭圆E 上，故x 204＋y 20
3
＝1.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 2
0＝1，x 204＋y 203
＝1，解得x 0＝477，y 0＝377； 联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 20＋y 20＝1，x 204＋y 20
3＝1，无解． 因此点P 的坐标为
⎝⎛⎭⎫477
，377.
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线
段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )
A.63
B.33
C.23
D.13
解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab
b 2＋a
2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝6
3
. 2．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2
m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满
足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )
A ．(0,1]∪[9，＋∞)
B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)
C ．(0,1]∪[4，＋∞)
D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)
解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3
m ≥3，
解得0＜m ≤1.
当m ＞3时，焦点在y 轴上，
要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9.
故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
3．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4
，则该椭圆的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14
×2b ，解得c a ＝12，即e ＝1
2.
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 2
3＝1的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E
于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .
(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3＜k ＜2. 解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π
4.
又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 2
3＝1得7y 2－12y ＝0.
解得y ＝0或y ＝
127，所以y 1＝127
. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝144
49.
(2)证明：设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)， 代入x 24＋y 2
3＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.
由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)
3＋4k 2，
故|AM |＝|x 1＋2|
1＋k 2＝
121＋k 2
3＋4k 2
.
由题意，设直线AN 的方程为y ＝－1
k (x ＋2)，
故同理可得|AN |＝12k 1＋k 2
3k 2＋4.
由2|AM |＝|AN |，得
2
3＋4k 2＝k 3k 2＋4
， 即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.
设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3)＝153－26＜0，f (2)＝6＞0，因此f (t )在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3＜k ＜2.
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .
(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m
3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．
解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．
将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，消去y ， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝
x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9
. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M
＝－9
k ， 即k OM ·k ＝－9.
所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．
因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x .
设点P 的横坐标为x P .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，
得x 2
P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝⎛⎭⎫m
3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m (3－k )3， 因此x M ＝k (k －3)m
3(k 2＋9)
.
四边形OAPB 为平行四边形，
当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是
±km 3k 2＋9
＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)，
解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，
所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时， 四边形OAPB 为平行四边形．
一、选择题
1．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)
解析：选A
x 2＋ky 2＝2
转化为椭圆的标准方程，得x 22＋y 2
2
k
＝1，∵x 2＋ky 2＝2表示焦点
在y 轴上的椭圆，
∴2
k ＞2，解得0＜k ＜1. ∴实数k 的取值范围是(0,1)．
2．已知直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2
m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围为( )
A ．(1,9]
B ．[1，＋∞)
C ．[1,9)∪(9，＋∞)
D ．(9，＋∞)
解析：选C ∵直线2kx －y ＋1＝0恒过定点P (0,1), 直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2
m ＝1恒有公共点，
即点P (0,1)在椭圆内或椭圆上， ∴09＋1
m ≤1，即m ≥1, 又m ≠9，∴1≤m ＜9或m ＞9.
3．椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的中心在原点，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆
的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率为( )
A.13
B.12
C.
22
D.
55
解析：选D 如图所示，把x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
可得P ⎝⎛⎭
⎫－c ，b
2
a ， 又A (0，
b )，B (a,0)，F 2(c,0)， ∴k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 2
2ac
，
∵PF 2∥AB ，∴－b a ＝－b 2
2ac ，化简得b ＝2c .
∴4c 2＝b 2＝a 2－c 2，即
a 2＝5c 2，∴e ＝
c 2a 2＝5
5
. 4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F 1，F 2，它们在第一象限的交点为A ，且AF 1⊥AF 2 ，∠AF 1F 2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率之积为( )
A ．2 B. 3 C.1
2
D.32
解析：选A 设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，焦距为2c, 由椭圆与双曲线的定义可知， |AF 1|＋|AF 2|＝2a 1, |AF 1|－|AF 2|＝2a 2,
在Rt △AF 1F 2中，∠AF 1F 2＝30°，
则|AF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|AF 1|＝3
2|F 1F 2|＝3c,
所以2a 1＝(3＋1)c,2a 2＝(3－1)c ， 即e 1＝c a 1＝23＋1，e 2＝c a 2＝2
3－1，
所以e 1·e 2＝
23＋1×2
3－1
＝2, 即椭圆与双曲线的离心率之积为2.
5．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→
<0，则x 0的取值范围为( )
A.⎝⎛⎭⎫－263，263
B.⎝⎛⎭⎫－
233，233
C.⎝
⎛
⎭
⎫
－
33，
33 D.⎝
⎛
⎭
⎫
－
63，
63
解析：选A ∵F 1(－3，0)，F 2(3，0)，
∴PF 1―→·PF 2―→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 2
0－3.又∵x 204＋y 20＝1， ∴PF 1―→·PF 2―→＝x 20＋1－x 204－3<0，
解得－
263<x 0<26
3
. 6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为1
2
，则该椭圆方程为( ) A.2x 275＋2y 2
25＝1 B.x 275＋y 2
25＝1 C.x 225＋y 2
75
＝1 D.2x 225＋2y 2
75
＝1 解析：选C 由已知得c ＝52， 设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2
a 2＝1，
联立得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
a 2－50＋y 2
a 2＝1，
y ＝3x －2
消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0， 设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由根与系数关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)
10a 2－450
，
由题意知x 1＋x 2＝1，即12(a 2－50)
10a 2
－450＝1，解得a 2＝75， 所以该椭圆方程为y 275＋x 2
25＝1.
二、填空题
7．若F 1，F 2分别是椭圆
E ：x 2＋
y 2
b 2
＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________．
解析：设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，
由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1―→＝3F 1B ―→
，
故⎩⎪⎨⎪⎧
－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，
即⎩⎨⎧
x 0＝－5
3c ，
y 0
＝－1
3
b 2
，
代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2
＝1，
解得b 2＝2
3，
故椭圆方程为x 2＋
3y 2
2
＝1. 答案：x 2＋
3y 2
2
＝1 8．已知过点M (1，－1)的直线l 与椭圆x 24＋y 2
3＝1相交于A ，B 两点，若点M 是AB 的
中点，则直线l 的方程为____________________．
解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),
由中点坐标公式可知：x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2,
则⎩⎨⎧
x 214＋y 21
3
＝1，x 22
4＋y
22
3＝1，
两式相减得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
3＝0，
则y 1－y 2x 1－x 2＝－3(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝3
4， 所以直线AB 的斜率k ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝3
4
， 所以直线l 的方程y ＋1＝3
4(x －1)，
即3x －4y －7＝0.
法二：由点M 是AB 的中点，可设A (1＋m ，－1＋n )， B (1－m ，－1－n ),
则(1＋m )24＋(－1＋n )23＝1，①
(1－m )24＋(－1－n )23＝1，② 两式相减得：m －4
3n ＝0，即n m ＝34，
所以直线AB 的斜率k ＝n m ＝3
4，
则直线l 的方程y ＋1＝3
4(x －1)，
即3x －4y －7＝0. 答案：3x －4y －7＝0
9．椭圆x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆
于P ，Q 两点，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是________．
解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，
所以只需求△F 1PQ 面积的最大值． 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
3＝1，x ＝my ＋1消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0,
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－9
3m 2＋4
，
于是S △F 1PQ ＝1
2|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12
m 2＋1
(3m 2＋4)2
.
设m 2＋1＝t ，则t ≥1， 即S △F 1PQ ＝12
t
(3t ＋1)2
＝12
1
9t ＋1t ＋6
. 因为g (t )＝9t ＋1
t 在[1，＋∞)上为单调递增函数，
所以g (t )≥g (1)＝10，
所以S △F 1PQ ≤3，所以内切圆半径r ＝
2S △F 1PQ 8≤3
4
， 因此△F 1PQ 内切圆面积的最大值是9
16π.
答案：9
16π
三、解答题
10．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－1，e )在椭圆上，e 为椭
圆的离心率，且点M 为椭圆短半轴的上顶点，△MF 1F 2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F 2作不与坐标轴垂直的直线l ，设l 与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D 两点，当F 1A ―→·F 1B ―→
＝λ且λ∈⎣⎡⎦⎤23，1时，求△F 1CD 的面积S 的取值范围．
解：(1)由△MF 1F 2是等腰直角三角形，得b ＝c ，a 2＝2c 2＝2b 2，从而得到e ＝
2
2
，故而。