高考数学一轮复习第四章三角函数层级快练25文

层级快练(二十五)
1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π
2]的值域是( )
A ．(－
32，1
2
] B ．[－12，32]
C ．[12，3
2]
D ．[－
32，－12
] 答案 B
解析 x∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，3
2]．
2．如果|x|≤π4，那么函数f(x)＝cos 2
x ＋sinx 的最小值是( )
A.
2－1
2
B ．－
2＋1
2
C ．－1 D.
1－2
2
答案 D
解析 f(x)＝－sin 2
x ＋sinx ＋1＝－(sinx －12)2＋54，当sinx ＝－22时，有最小值，y min ＝24－
22＝1－2
2
. 3．(2018·湖南衡阳月考)定义运算：a*b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b.例如1*2＝1，则函数f(x)＝sinx*cosx
的值域为( ) A ．[－
22，2
2
] B ．[－1，1]
C ．[
2
2
，1] D ．[－1，
2
2
] 答案 D
解析 根据三角函数的周期性，我们只看在一个最小正周期内的情况即可．设x∈[0，2π]，当π4≤x ≤5π4时，sinx ≥cosx ，f(x)＝cosx ，f (x)∈[－1，22]，当0≤x<π4或5π
4<x≤2π时，cosx>sinx ，f(x)＝sinx ，f (x)∈[0，
22)∪[－1，0]．综上知f(x)的值域为[－1，2
2
]． 4．(2018·河北石家庄一检)若函数f(x)＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图像
关于点(π2，0)对称，则函数f(x)在[－π4，π
6]上的最小值是( )
A ．－1
B ．－ 3
C ．－1
2
D ．－
32
答案 B
解析 因为f(x)＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin(2x ＋θ＋π6)，则由题意，知f(π
2)
＝2sin(π＋θ＋π6)＝0.又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f(x)＝－2sin2x ，则f(x)在[－π
4，
π6]上是减函数，所以函数f(x)在[－π4，π6]上的最小值为f(π6)＝－2sin π
3＝－ 3.故选B.
5．(2018·黄冈中学适应性考试)将函数f(x)＝cos2x －sin2x 的图像向左平移π8个单位后得
到函数F(x)的图像，则下列说法中正确的是( ) A ．函数F(x)是奇函数，最小值是－2 B ．函数F(x)是偶函数，最小值是－2 C ．函数F(x)是奇函数，最小值是－ 2 D ．函数F(x)是偶函数，最小值是－ 2
答案 C
解析 f(x)＝cos2x －sin2x ＝2cos(2x ＋π4)，将f(x)的图像向左平移π
8个单位后得到F(x)
＝2cos[2(x ＋π8)＋π4]＝2cos(2x ＋π
2)＝－2sin2x 的图像，易知F(x)为奇函数，最小
值为－2，故选C.
6．当0＜x ＜π4时，函数f(x)＝cos 2
x
cosxsinx －sin 2x 的最小值是( )
A.1
4 B.1
2 C ．2 D ．4
答案 D
解析 f(x)＝1
－tan 2
x ＋tanx ＝1
－（tanx －12）2＋
14
，当tanx ＝1
2
时，f(x)的最小值为4，故选
D.
7．已知f(x)＝sinx ＋1
sinx ，x ∈(0，π)，下列结论正确的是( )
A ．有最大值无最小值
B ．有最小值无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值
答案 B
解析 令t ＝sinx ，t ∈(0，1]，则y ＝1＋1
t ，t ∈(0，1]是一个减函数，则f(x)只有最小值
而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sinx ，得出sinx ＝1
y －1，由sinx ∈(0，1]也可求出，故
选B.
8．当函数y ＝sinx －3cosx (0≤x<2π)取得最大值时，x ＝________． 答案 5
6
π
解析 y ＝sinx －3cosx ＝2sin(x －π3)，∵x ∈[0，2π)，∴x －π3∈[－π3，5π
3)，∴当x
－π3＝π2，即x ＝5
6
π时，函数取得最大值2. 9．(2018·北京西城模拟)已知函数f(x)＝sin(2x ＋π6)，其中x∈[－π6，α]．当α＝π3时，
f(x)的值域是________；若f(x)的值域是[－1
2，1]，则α的取值范围是________．
答案 [－12，1] [π6，π
2
]
解析 若－π6≤x ≤π3，则－π3≤2x ≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin(2x ＋π
6)≤1，
即f(x)的值域是[－1
2
，1]．
若－π6≤x ≤α，则－π3≤2x ≤2α，－π6≤2x ＋π6≤2α＋π6
.
∵当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin(2x ＋π6)＝－12，∴要使f(x)的值域是[－1
2，1]，
则有π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，∴π6≤α≤π2，即α的取值范围是[π6，π
2]．
10．若函数y ＝sin 2
x ＋2cosx 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是
________． 答案 (－2π3，2π
3
]
解析 y ＝2－(cosx －1)2
，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性α∈(－2π3，2π3]．
11．(2014·课标全国Ⅱ，理)函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为
________． 答案 1
解析 f(x)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sinx ，因为x∈R ，所以f(x)的最大值为1.
12．(2017·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝3sin2x ＋2cos 2
x ＋m 在区间[0，π2]上的最大
值为3，则： (1)m ＝________；
(2)对任意a∈R ，f(x)在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________． 答案 (1)0 (2)40或41
解析 (1)f(x)＝3sin2x ＋2cos 2
x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1，
因为0≤x≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π
6
.
所以－12≤sin(2x ＋π
6)≤1，f(x)max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，所以m ＝0.
(2)由(1)f(x)＝2sin(2x ＋π6)＋1，T ＝2π
2
＝π，
在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41. 13．(2015·天津)已知函数f(x)＝sin 2x －sin 2
(x －π6)，x ∈R .
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－π3，π
4]上的最大值和最小值．
答案 (1)T ＝π (2)
34，－12
解析 (1)由已知，有f(x)＝1－cos2x 2－1－cos （2x －π
3）
2＝12(12cos2x ＋32sin2x)－1
2cos2x
＝
34sin2x －14cos2x ＝12sin(2x －π
6
)． 所以，f(x)的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)方法一：因为f(x)在区间[－π3，－π6]上是减函数，在区间[－π6，π
4]上是增函数，f(－
π3)＝－14，f(－π6)＝－12，f(π4)＝34.所以，f(x)在区间[－π3，π4]上的最大值为3
4
，最
小值为－1
2
.
方法二：∵x∈[π3，π4]，∴2x －π6∈[－56π，π
3]
∴sin(2x －π6)∈[－1，3
2]
∴12sin(2x －π6)∈[－12，3
4
]， ∴f(x)在区间[－π3，π4]内的最大值和最小值分别为34，－12.
14．已知函数f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)，g(x)＝12sin2x －1
4.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x 的集合． 答案 (1)π (2)
22 {x|x ＝k π－π
8
，k ∈Z } 解析 (1)f(x)＝cos(
π3＋x)cos(π3－x)＝(12cosx －32sinx)(12cosx ＋32sinx)＝14cos 2
x －34
sin 2
x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝12cos2x －14，∴f(x)的最小正周期为2π2＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π
4)，
当2x ＋π4＝2k π(k∈Z )时，h(x)取得最大值2
2
.
h(x)取得最大值时，对应的x 的集合为{x|x ＝k π－π
8
，k ∈Z }．
15．(2018·吉林长春朝阳实验中学二模)设函数f(x)＝3sinxcosx ＋cos 2
x ＋a. (1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)当x∈[－π6，π3]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为3
2，求实数a 的值．
答案 (1)T ＝π [π6＋k π，2π
3＋k π](k∈Z ) (2)a ＝0
解析 (1)f(x)＝
32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，∴T ＝π.由π2
＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k∈Z )，得π6＋k π≤x ≤2π
3＋k π(k∈Z )． 故函数f(x)的单调递减区间是[π6＋k π，2π
3
＋k π](k∈Z )．
(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6，∴－12≤sin(2x ＋π
6
)≤1.
当x∈[－π6，π3]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为(1＋a ＋12)＋(－12＋a ＋12)＝3
2，解
得a ＝0.
16．(2018·沧州一中月考)设f(x)＝4cos (ωx－π
6)sin ωx －cos (2ωx＋π)，其中ω>0.
(1)求函数y ＝f(x)的值域；
(2)若f(x)在区间[－3π2，π
2]上为增函数，求ω的最大值．
答案 (1)[1－3，1＋3] (2)1
6
解析 (1)f(x)＝4(
32cos ωx ＋12
sin ωx)sin ωx ＋cos2ωx ＝23sin ωxcos ωx ＋2sin 2
ωx ＋cos 2
ωx －sin 2
ωx ＝3sin2ωx ＋1，因为－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f(x)的值域为[1－3，1＋3]．
(2)因y ＝sinx 在每个闭区间[2k π－π2，2k π＋π
2](k∈Z )上为增函数，故f(x)＝3sin2
ωx ＋1(ω>0)在每个闭区间[k πω－π4ω，k πω＋π
4ω](k∈Z )上为增函数．
依题意知[－
3π2，π2]⊆[k πω－π4ω，k πω＋π
4ω
]对某个k∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧－3π2≥－π
4ω，π2≤π4ω，
解得ω≤16，故ω的最大值为1
6
.
1．当x≠π4＋k π2(k∈Z )时，6cos 4x ＋5sin 2
x －mcos2x －4＝0有解，求实数m 的取值范围．
答案 －1≤m≤2且m≠1
2
解析 mcos2x ＝6cos 4x ＋5sin 2
x －4，∵x ≠π4＋k π2，∴2x ≠π2＋k π，k ∈Z ，
即cos2x ≠0.
∴m ＝6cos 4
x ＋5sin 2
x －4cos2x ＝6cos 4
x －5cos 2
x ＋1cos2x ＝（2cos 2
x －1）（3cos 2
x －1）cos2x ＝3cos 2
x －
1(cos 2
x ≠12
)．
∴－1≤m≤2且m≠1
2
.
2．(2018·湖北重点校联考)已知函数f(x)＝sin(5π6－2x)－2sin(x －π4)cos(x ＋3π
4)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x∈[π12，π3]，且F(x)＝－4λf(x)－cos(4x －π3)的最小值是－3
2，求实数λ的值．
答案 (1)T ＝π，[k π－π6，k π＋π3](k∈Z ) (2)1
2
解析 (1)∵f(x)＝sin(5π6－2x)－2sin(x －π4)cos(x ＋3π
4)
＝12cos2x ＋3
2sin2x ＋(sinx －cosx)(sinx ＋cosx) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋3
2sin2x －cos2x ＝
32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6
)， ∴T ＝2π
2
＝π.
由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k∈Z )得k π－π6≤x ≤k π＋π
3(k∈Z )，∴函数f(x)的单
调递增区间为[k π－π6，k π＋π
3](k∈Z )．
(2)F(x)＝－4λf(x)－cos(4x －π
3)
＝－4λsin(2x －π6)－[1－2sin 2
(2x －π6)]
＝2sin 2
(2x －π6)－4λsin(2x －π6)－1
＝2[sin(2x －π6
)－λ]2－1－2λ2
.
∵x ∈[π12，π3]，∴0≤2x －π6≤π2，∴0≤sin(2x －π
6
)≤1.
①当λ<0时，当且仅当sin(2x －π
6)＝0时，F(x)取得最小值－1，这与已知不相符；
②当0≤λ≤1时，当且仅当sin(2x －π6
)＝λ时，F(x)取得最小值－1－2λ2
，由已知得－
1－2λ2
＝－32，解得λ＝12，λ＝－12
(舍去)；
③当λ>1时，当且仅当sin(2x －π
6)＝1时，F(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝
－32，解得λ＝5
8，这与λ>1相矛盾． 综上所述，实数λ的值为12
.。