数学人教版九年级上册22.1.3y=a(xh)2k的图象和性质同步训练(解析版)

2019-2019 学年数学人教版九年级上册
y=a （x-h ）2+k 的图象和性质同步训练
一、选择题
1.抛物线 y=2（x+3）2﹣4 的极点坐标是（）
A. （3，4）
B. （3，﹣ 4）
C.（﹣ 3，
4） D. （﹣ 3，﹣ 4）
2.二次函数（）
A. 有最大值 1
B. 有最小值 1
C.有最大值
3 D. 有最小值 3
3.对于二次函数 y＝－ 3(x－8)2＋2，以下说法中，正确的选项是 ( )
A. 张口向上，极点坐标为 (8，2)
B. 张口向下，极点坐标为(8，2)
C. 张口向上，极点坐标为 (－8，2)
D. 张口向下，极点坐标为(－8，2)
4.已知二次函数 y=3（x﹣2）2+5，则有（）
A. 当 x＞﹣ 2 时，y 随 x 的增大而减小
B. 当 x＞﹣ 2 时，y 随x的增大而增大
C. 当 x＞ 2 时， y 随 x 的增大而减小
D. 当 x＞2 时， y 随 x 的增大而增大
5.对于二次函数的图像，给出以下结论:①张口向上 ;②对称轴
是直线;③极点坐标是;④与x
轴有两个交点.此中正确的结
论是()
A. ①②
B.③④
C.②③
D. ①④
6.已知二次函数有最大值0，则a,b的大小关系为（）
A. a b
B. a b
C.a b
D. 大小不可以确立
7.在平面直角坐标系中，二次函数 y=a（x–h）2+k（a<0）的图象可能是（）
A. B. C.
D.
8.已知二次函数 y=﹣（ x﹣h）2+1（为常数），在自变量x 的值知足 1≤x≤3的状况下，与其对应的函数值 y 的最大值为﹣ 5，则 h 的值为（）
A. 3﹣或 1+
B. 3﹣或 3+
C. 3+或1﹣
D. 1﹣或 1+
二、填空题
9.函数的最小值是 ________．
10.已知点 A（x1， y1）和 B（x2， y2）是抛物线 y=2（x﹣3）2+5 上的
两点，假如x
1＞x2＞4，那么y1________y2
“”“”“”．（填＞、 =或＜）
11.已知函数为常数 ),当x
<
m
时
,
y
随
x,
的增大而减小则
的取值范为 ________．
12.若抛物线 y=(x-m) 2+(m+1) 的极点在第一象限 ,则 m 的取值范围为
________.
13.已知二次函数 y=a（x﹣1）2﹣2（a≠0）的图象在﹣ 1＜x＜0 这一段位于 x 轴下方，在 3＜x＜4 这一段位于 x 轴的上方，则 a 的值为 ________．
14.把抛物线 y=﹣x2先向上平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位，所得的抛物线是 ________．
12﹣3 与 y
22
15.如图，抛物线 y =a（x+2）= （x﹣3） +1 交于点 A（ 1，3），过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无
论 x 取何值，y2的值老是正数；②a=1；③当 x=0 时，y2﹣
y1=4④2AB=3AC ．此中正确结论是 ________．
三、解答题
16.已知二次函数的图象的极点坐标为（﹣2，﹣3），且图象过点（﹣ 3，﹣1），求这个二次函数的分析式．
17.把二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，获得二次函数y=(x+1) 2-1 的图象 .
（1）试确立 a，h，k 的值；
（2）指出二次函数 y=a(x-h)2+k 的张口方向，对称轴和极点坐标 .
18.如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2 的图象的一部分，依据图象回答以下问
题：
（1）抛物线与 x 轴的一个交点 A 的坐标是 ________，则抛物线与 x 轴的另
一个交点 B 的坐标是 ________；
（2）确立 a 的值；
（3）设抛物线的极点是P，试求△PAB 的面积．
19.在直角坐标系中，二次函数图象的极点为A（1、﹣4），且经过点 B（3，0）．
（1）求该二次函数的分析式；
（2）当﹣ 3＜x＜3 时，函数值 y 的增减状况；
（3）将抛物线如何平移才能使它的极点为原点．
20.已知：抛物线．
（1）写出抛物线的张口方向、对称轴；
（2）函数 y 有最大值仍是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与 y 轴的交点为 P，与 x 轴的交点为 Q，求直线 PQ 的函数分析式．
21.如图是二次函数y=（x+m）2+k 的图象，其极点坐标为M （1，﹣ 4）（1）求出图象与 x 轴的交点 A、B 的坐标；
（2）在二次函数的图象上能否存在点 P，使 S△PAB = S△MAB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．
答案分析部分
一、选择题
1.【答案】 D
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k 的图像
【分析】【解答】∵y=2（x+3）2﹣4，
∴抛物线极点坐标为（﹣ 3，﹣ 4），
故答案为： D．
【剖析】依据二次函数的极点式y=a(x-h)2+k 可得极点坐标为（ h,k），因此题中的极点为（ -3，-4）.
2.【答案】 D
【考点】二次函数的最值
【分析】【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函数有最小值3．故答案为： D【分析】该函数的二次项系数大于0，图像张口向上，其极点坐标为（1,3），故函数有最小值 3.
3.【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c 的性质
【分析】【解答】∵-3<0,∴张口向下 .
∵分析式是： y＝－ 3(x－8)2＋2，
∴极点坐标为 (8，2).
答案为： B
【剖析】利用二次函数的极点式特色及 a 的正负性与张口方向关系，可得
出答案 .
4.【答案】 D
【考点】二次函数的性质
【分析】【解答】∵
∴抛物线张口向上，对称轴为x=2，极点坐标为（ 2，5），
∴A、B、C 都不正确，
∵二次函数的图象为一条抛物线，当时，y随x的增大而增大
∴D 不切合题意，
【剖析】依据 a=3可知抛物线张口向上，对称轴为x=2，由二次函数的性质可得，在对称轴左边即x，y随x的增大而减小；在对称轴右边即x，y 随 x 的增大而增大 .
5.【答案】 D
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】【解答】解：∵a=1＞0∴张口向上，①正确；
∵x-3=0
∴对称轴为 x=3，②错误；
∴极点坐标为：（ 3，-4），故③错误；
∴在第四象限，
因此与 x 轴有两个交点 .故④正确 .
故答案为： D
【剖析】该函数的二次项系数大于0，故图像张口向上；该函数的极点坐标为（ 3，-4）故其对称轴为直线x=3；因为该抛物线极点坐标在第四象限，且张口向上，故与x 轴有两个交点。

6.【答案】 A
【考点】二次函数的最值
【分析】【解答】∵二次函数 y=a（x+1）2-b（a≠0）有最大值，∴抛物线张口方向向下，即a<0，
又最大值为 0，∴b=0，
∴a<b，
【剖析】因为二次函数有最大值，故抛物线张口方向向下，即a<0，又该函数的极点坐标为（ -1，b），最大值为 0，故 b=0，从而得出 a,与 b 的关系。

7.【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】【解答】二次函数y=a（x–h）2+k（a<0）的极点坐标为（ h，k），它的张口方向向下，故答案为： B【剖析】该二次函数中二次项系数小于0，故图像张口向下，从而得出答案。

8.【答案】 C
【考点】二次函数的最值
【分析】【解答】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h 时， y 随 x 的增大而减小，
∴①若 h＜1≤x≤3，x=1 时， y 获得最小值﹣ 5，
可得：﹣（ 1﹣h）2+1=﹣5，
解得： h=1﹣或h=1+（舍）；
②若 1≤x≤3＜h，当 x=3 时， y 获得最小值﹣ 5，
可得：﹣（ 3﹣h）2+1=﹣5，
解得： h=3+或h=3﹣（舍）．
综上， h 的值为 1﹣或3+，
答案为 C．
【剖析】可分类议论由分析式可知该函数在x=h 时获得最小值 1、x＜h 时，y 随 x 的增大而增大、当x＞h 时， y 随 x 的增大而减小，依据1≤x≤3时，
函数的最小值为﹣ 5，可分以下两种状况议论：①若 h＜1≤x≤3，x=1 时， y 获得最小值﹣ 5；②若 1≤x≤3＜h，当 x=3 时， y 获得最小值﹣ 5，分别列出对于 h 的方程求解即可．
二、填空题
9.【答案】 -2
【考点】二次函数的最值
【分析】【解答】解：在函数y=中，∵a=＞0，∴当x=﹣1时， y 获得最小值﹣ 2．故答案为：﹣ 2
【剖析】该二次函数的二次项系数大于0，故函数有最小值，又该函数的解析式是极点式，直接得出极点坐标为（-1，-2），故可直接得出其最小值就是极点的纵坐标。

10.【答案】＞
【考点】二次函数的性质
【分析】【解答】∵y=2（x﹣3）2+5，
∴a=2＞ 0，有最小值为 5，
∴抛物线张口向上，
∵抛物线 y=2（x﹣3）2+5 对称轴为直线 x=3，
∵x1＞x2＞4，
∴y1＞y2．
故答案为：＞
【剖析】依据二次函数的性质可得，当a0 时，抛物线张口向上。

在对称
轴的左边， y 随 x 的增大而减小；在对称轴右边，y 随 x 的增大而增大；由
题意 x1＞x2＞4 得，点 A（x1，y1）和B（x2，y2）在对称轴x=3的右侧，因此 y 随 x 的增大而增大，则y1y2
11.【答案】 m≤3
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k 的性质
【分析】【解答】解 :，∵a=2＞0，对称轴x=3
∴当 x≤3时， y 随 x 的增大而减小．
∴m≤3.
故答案为： x≤3
【剖析】依据抛物线的二次项系数大于0，图像张口向上，故对称轴左边的
图像上的点 y随x的增大而减小，又由该抛物线的对称轴是直线x=3，从而即可直接得出答案。

12.【答案】 m＞0
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k 的性质
【分析】【解答】解：∵抛物线y=（x﹣m）2+（m+1），
∴极点坐标为（ m，m+1）．
∵极点在第一象限，
∴m＞0，m+1＞0，
∴m的取值范围为 m＞
0．故答案为： m＞0．
【剖析】先将函数分析式配方成极点式，再依据极点在第一象限，成立关
于 m 的不等式组，解不等式组，即可得出m 的取值范围。

13.【答案】
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k 的性质
【分析】【解答】∵抛物线 y＝a(x﹣1)2﹣2（a≠0）的对称轴为直线x＝1，而抛物线在 3＜x＜4 这一段位于 x 轴的上方，
∴抛物线在﹣ 2＜x＜﹣ 1 这一段位于 x 轴的上方，
∵抛物线在﹣ 1＜x＜0 这一段位于 x 轴的下方，
∴抛物线过点（﹣ 1，0），
把（﹣ 1，0）代入 y＝a(x﹣1)2﹣2（a≠0）得 4a﹣2＝0，解得 a＝．
答案为：
【剖析】可数形联合，抛物线在对称轴双侧单一性发生变化，抛物线在﹣2
＜x＜﹣ 1 这一段位于 x 轴的上方，抛物线在﹣ 1＜x＜0 这一段位于 x 轴的下方，可得出 x=-1 时， y=0,即抛物线过点（﹣ 1，0），带入分析式，可求出 a.
14.【答案】 y=﹣（ x+3）2+2
【考点】二次函数图象的几何变换
【分析】【解答】 y=-x2平移后的图像为： y=-（x+3）2+2【剖析】依据二次函数的平移的规律：上加下减，左加右减，由极点式即可直接得出平移后
的函数分析式。

15.【答案】①④
【考点】二次函数图象上点的坐标特色，二次函数y=a（x-h）^2+k 的性质
【分析】【解答】（ 1）∵抛物线 y2=（x﹣3）2+1的张口向上，极点在x 轴上方，∴y2的值老是正数 .故①正确；
（ 2 ）把点 A（1，3）代入 y1=a（x+2）2﹣3 得： 3=a(1+2)2-3，解得： a=
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，
∴② 错误；
（3）∵当时，，，
∴.
∴③ 错误；
（ 4 ）∵在中，当时，可得，解得：，∴点 B 的坐标为（ -5，3）；
∵在中，当时，可得，解得：，∴点 C 的坐标为（ 5，3）；
∴A B=6， AC=4，
∴2AB=3AC.
∴④ 正确；
综上所述：正确的选项是①④
【剖析】抛物线y2=（x﹣3）2+1的极点坐标是（3,1）在第一象限，二次
项项系数大于 0，图像的张口向上，故图像全在 x 轴的上方，即 y2的值老是
正数；把 A 点的坐标代入抛物线 y1=a（x+2）2﹣3 即可求出 a 的值；把
x=0 分别代入两抛物线分别求出 y1,与 y2，即可求出 y2- y1；将 y=3 分别代入
两抛物线即可求出 B,C 两点的坐标，从而得出 AB,AC 的长，从而得出
AB,AC 的关系。

三、解答题
16.【答案】解:设分析式为： y=a（x+2）2﹣3，将（﹣ 3，﹣ 1）代入得出：﹣1=a（﹣ 3+2）2﹣3，
解得：a=2．
故这个二次函数的分析式为：y=2（x+2）2﹣3
【考点】待定系数法求二次函数分析式
【分析】【剖析】因为本题给出了抛物线的极点坐标，故设出其极点式，
再代入点（﹣ 3，﹣1）即可求出二次项的系数，从而得出抛物线的分析式。

17.【答案】（ 1）解：∵二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，获得二次函数 y=(x+1) 2-1，
∴能够看作是将二次函数 y=(x+1) 2-1先向右平移 2 个单位，再向下平移
4 个单位获得二次函数 y=a(x-h)2+k ，
而将二次函数 y=(x+1)2-1先向右平移2 个单位，再向下平移 4 个单位得到二次函数为： y=(x-1) 2-5，
∴a= ，b=1，k=-5；
（2）解：二次函数 y= (x-1)2-5，
张口向上，对称轴为 x=1，极点坐标为（ 1， -5）.
【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数y=a（x-h）^2+k 的性质
【分析】【剖析】（ 1）利用逆向思想的方法求解：把二次函数y=（x+1）2-1 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位获得二次函数 y=a（x-h）
2+k 的图象，而后利用极点的平移状况确立原二次函数分析式，而后写出a、h、k 的值。

（2）依据二次函数的性质求解。

18.【答案】（ 1）(－3，0)；(1，0)
（2）解：将 (1，0)代入 y＝a(x＋1)2＋2，可得 0＝4a＋2，解得 a＝－
（3）解：∵y＝a(x＋1)2＋2，∴抛物线的极点坐标是 (－1，2)，
∵A(－3，0)，B(1，0)，
∴AB ＝1－ (－3)＝4，
∴S△PAB＝×4×2＝4
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k 的性质
【分析】【解答】解：(1)由图象可知 A 点坐标为 (-3 ，0)，∵y=a(x+1)2+2，∴抛物线对称轴方程为x=-1 ，
∵A、B 两点对于对称轴对称，
∴B 的坐标为 (1，0)，
故答案为： (-3 ，0)；(1，0)
【剖析】（1）依据图像和方格纸的特色即可直接对出 A 点的坐标，对称轴直线，依据抛物线的对称性即可得出其与x 轴另一个交点 B 的坐标；（2）将 B 点的坐标代入二次函数 y＝a(x＋1)2＋2 即可求出 a 的值 ;
（3）依据二次函数 y＝a(x＋1)2＋2 直接得出极点坐标，依据 A,B 两点的坐标求出 AB 的长，依据三角形的面积公式即可算出答案。

19.【答案】（ 1）解：∵二次函数图象的极点为A（1，﹣4），∴可设二次函数的分析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
又∵二次函数图象过点B（3，0）
∴a（3﹣1）2﹣4=0，解得： a=1，
∴y=（x﹣1）2﹣4
（2）解：∵抛物线对称轴为直线x=1，且张口向上，∴当﹣ 3＜x＜1 时，y 随 x 的增大而减小；当1≤x＜3，y 随 x 的增大而增大
（3）解：将抛物线 y=（x﹣1）2﹣4 向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单
位即可实现抛物线极点为原点
【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数y=a（x-h）^2+k 的图像，二次函数 y=a（x-h）^2+k 的性质
【分析】【剖析】（ 1）因为本题告诉了二次函数的极点坐标，故用待定系
数法，设出其极点式，再代入 B 点的坐标即可求出二次项的系数，从而求
出其分析式；（ 2）依据（ 1）求出的分析式可知此函数的对称轴直线及开
口方向，从而依据二次函数的性质即可得出答案；
（3）依据二次函数图像的几何变换规律“左加右减，上加下减”，极点坐标
由（ 1，-4）变成（ 0,0）即可得出平移规律。

20.【答案】（ 1）解：抛物线，∵a=＞0，
∴抛物线的张口向上，
对称轴为 x=1
（2）解：∵a=＞0，∴函数 y 有最小值，最小值为－ 3
（3）解：令 x=0，则，因此，点 P 的坐标为（0，），
令 y=0，则，
解得 x12
=-1，x =3，
因此，点 Q 的坐标为（ -1，0）或（ 3，0），
当点 P（0，），Q（-1，0）时，设直线PQ的分析式为y=kx+b，
则，解得 k=，b=，
因此直线 PQ 的分析式为，
当 P（0，），Q（3，0）时，设直线PQ的分析式为y=mx+n，
则，解得m=，n=-，
因此，直线 PQ 的分析式为，
综上所述，直线PQ 的分析式为或
【考点】二次函数的最值，二次函数图像与坐标轴的交点问题，二次函数
y=a（x-h）^2+k 的性质
【分析】【剖析】（ 1）此函数的分析式就是极点式，依据极点式即可直接得出对称轴直线，又其二次项的系数大于0，故张口向上；
（2）因为此函数的图像张口向下，故函数有最大值，其最大值就是极点
的纵坐标，又此函数的分析式就是极点式，即可直接得出极点坐标，从而
得出答案；
（3）依据抛物线与坐标轴交点的坐标特色求出 P,Q 两点的坐标，而后利用待定系数法即可求出直线 PQ 的分析式。

21.【答案】（ 1）解：∵抛物线分析式为y=（x+m）2+k 的极点为 M （1，﹣4）∴，
当 y=0 时，（ x﹣1）2﹣4=0，解得 x1=3，x2=﹣1，
∴A（﹣ 1，0）， B（3，0）
（2）解：∵△ PAB 与△ MAB 同底，且 S△PAB = S△MAB，∴
，即=，
又∵点 P 在 y=（ x﹣1）2﹣4 的图象上，
∴y P≥﹣4，
∴=5，则，解得：，
∴存在适合的点 P，坐标为（ 4，5）或（﹣ 2，5）
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特
征
【分析】【剖析】（1）将 M 点的坐标，代入抛物线的极点式中，求出抛物
线的分析式，再依据抛物线与x 轴交点的坐标特色得出A,B 两点的坐标；（2）依据同底三角形面积的关系式，其本质就是高之间的关系得出| y P |= | y M |= ×4=5 ，即 y P=±5 ，再依据抛物线的最低点的纵坐标为-4，从而得出 y P=5，将 y P=5 代入抛物线的分析式，即可算出对应的自变量的值，从
而得出 P 点的坐标。