(2021年整理)新人教版八年级下册数学勾股定理教案

(完整版)新人教版八年级下册数学勾股定理教案
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（完整版）新人教版八年级下册数学勾股定理教案
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新人教版八年级下册数学第十七章勾股定理教案
勾股定理（一)
一、教学目标
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。

二、教学重点、难点
1．重点:勾股定理的内容及证明.
2．难点：勾股定理的证明.
三、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五."这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾)的长是3，长的直角边(股)的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52,52+122=132，那
么就有勾2+股2=弦2.
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
完成23页的探究，补充下表，你能发现正方形A 、B 、C 的关系吗？
由此我们可以得出什么结论？可猜想：
命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ， 那么 。

四、合作探究:
方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的
对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明.
⑵拼成如图所示，其等量关系为:4S △+S 小正=S 大正 4×2
1
ab ＋（b －
a ）2=c 2,化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。

方法2：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

A B
求证：a 2＋b 2=c 2。

分析:左右两边的正方形边长
相等，则两
个正方形的面积相等. 左边S=4×2
1ab ＋c 2
右边S=（a+b)2
左边和右边面积相等，即 4×2
1ab ＋c 2=（a+b ）2 化简可证。

五、课堂小结
六、作业 P28页习题第1题
七、教学反思
勾股定理（二）
一、教学目标
1．会用勾股定理进行简单的计算.
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重点、难点
1．重点：勾股定理的简单计算。

2．难点：勾股定理的灵活运用。

三、课堂引入
复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形.学习勾股定理重在应用.
b
b
b
a
四、合作探究
问题（1）在长方形ABCD 中AB 、BC 、AC 大小关系？
（2）一个门框的尺寸如图1所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢?
③若薄木板长3米，宽2。

2米呢?为什么？
例：如图2，一个3米长的梯子AB ,斜着靠在竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米．
①求梯子的底端B 距墙角O 多少米？
②如果梯的顶端A 沿墙下滑0。

5米至C .
算一算,底端滑动的距离近似值(结果保留两位小数）．
五、课堂小结
六、作业 P28页习题第2、5题
七、教学反思
B
C
1m
2
A
C
A C A
O B O
勾股定理（三）
一、教学目标
1．会用勾股定理解决较综合的问题。

2．树立数形结合的思想。

二、重点、难点
1．重点：勾股定理的综合应用。

2．难点：勾股定理的综合应用。

三、课堂引入
复习勾股定理的内容.本节课探究勾股定理的综合应用。

四、合作探究：
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

如图,已知OA=OB,
（1)说出数轴上点A所表示的数。

（2）在数轴上作出8对应的点?
变式训练：在数轴上画出表示2
-的点。

2,1
3-
五、课堂小结
六、作业 P28页习题第6题
七、教学反思
图17.2-2
勾股定理的逆定理（一）
一、教学目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点
1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

2．难点:勾股定理的逆定理的证明。

三、课堂引入
创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形?
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形?和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

四、合作交流：
1、如图17。

2—2，若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2
22c b a =+，试证明△ABC 是
直角三角形，请简要地写出证明过程．
分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证.
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形,从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑷先做直角,再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证.
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲,再探究理论证明方法.充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

证明略。

2、.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
（1）什么叫互为逆命题
.
（2）什么叫互为逆定理。

(3）任何一个命题都有 _____,但任何一个定理未必都有 __
3。

说出下列命题的逆命题。

这些命题的逆命题成立吗？
（1）两直线平行,内错角相等;
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用.
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假,可能都真,也可能一真一假,还可能都假。

解略。

例1:判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形： (1）17,8,15===c b a ； （2）15,14,13===c b a ． （3）25,24,7===c b a ； (4）5.2,2,5.1===c b a ;
五、课堂小结
六、作业 P34页习题第1题
七、教学反思
勾股定理的逆定理（二）
一、教学目标
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题. 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识. 二、重点、难点
1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．难点:灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

三、课堂引入
创设情境:在军事和航海上经常要确定方向和位置,从而使用一些数学知识和数学方法。

四、自学展示:
A D
(完整版)新人教版八年级下册数学勾股定理教案
已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6,CD=5，AD=3。

求：四边形ABCD 的面积。

归纳：求不规则图形的面积时,要把不规则图形
分析：⑴作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）；
⑵DE=AB=4，BE=AD=3,EC=EB=3；⑶在△DEC 中,3、4、5勾股数，△DEC 为直角三角形,DE ⊥BC ；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

五、合作探究
例2 “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航"号每小时航行16海里，“海天"号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航"号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航
行吗?
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1。

5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为242+182=302，PQ 2+PR 2=QR 2，根据勾股定理 的逆定理,知∠QPR=90°; ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS =45°。

六、课堂小结
让学生养成“已知三边求角,利用勾股定理的逆定理”的意识.
七、作业 P34页习题第3题
八、教学反思
E
勾股定理复习（一）
教学目标
1。

理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边。

2。

勾股定理的应用.
3。

会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形。

重点：掌握勾股定理及其逆定理.
难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 一、复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系,并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途;本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：
1.勾股定理：
（1）直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c,那么一定有： 这就是勾股定理．
（2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系,是解决有关线段计算问题的重要依据．
22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．
勾股定理的探索与验证,一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式,从而得出或验证勾股定理． 2。

勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理。

它可以帮助我们判断三角形的形状。

为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法。

定理的证明采用了构造法。

利用已知三角形的边a ，
b ，
c （a 2+b 2=c 2），先构造一个直角边为a,b 的直角三角形,由勾股定理证明第三边为c ，进而通过“SSS"证明两个三角形全等,证明定理成立。

3.勾股定理的作用：
（1
）已知直角三角形的两边，求第三边；
(2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点．
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角,从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理,通过计算来证明，体现了数形结合的思想．
(3）三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边,若2
22c b a =+，则三角形是直角
三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2
<+c b a 22,则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边． 二、合作交流:
例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?
例2:如图，在四边形ABCD 中,∠C=90°,AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证:AD ⊥BD ．
例3：。

如图ABC ∆中，90C ∠=︒,12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =,求AC 的长
例4：。

如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ，两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树
2
1E
D
C
B
A
的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
m
A
B
C
D E
四、学习检测：
1。

如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ）
A ．7,24，25
B ．32
1
,42
1,52
1 C ．3，4，5 D ．4，72
1,82
1
2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ）A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍
3.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm ，其中斜边上的高为（ ）
A ．6cm
B ．8．5cm
C ．
1330cm D ．13
60cm 4.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1,b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是,哪个角是直角
5．两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距（ )
A ．50cm
B ．100cm
C ．140cm
D ．80cm 6．等腰△ABC 的面积为12cm 2,底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为 ． 7．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为 ．
8．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是 。

勾股定理复习（课时二)
教学目标
1。

掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定
理和逆定理来解决实际问题．
2。

经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理． 重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用． 难点：应用勾股定理以及逆定理． 考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为______． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 3．在数轴上作出表示10的点．
4．已知,如图在ΔABC 中,AB=BC=CA=2cm,AD 是边BC 上的高．
求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．
考点二、利用列方程求线段的长
1．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C,D 两
村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
2.如图,某学校(A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站(D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距
离．
A
D
E
B
C
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17
(4）4、5、6,其中能够成直角三角形的有
2。

若三角形的三别是a 2+b 2,2ab,a 2—b 2(a 〉b>0),则这个三角形是 。

3.如图1，在△ABC 中，AD 是高,且CD BD AD 2⋅=，求证:△ABC 为直角三角形。

考点四、灵活变通
1.在Rt △ABC 中， a,b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c= 2。

直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．
3.如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm,一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm
4.如图:带阴影部分的半圆的面积是 (π取3）
5。

一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱 的A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线 的长是 。

6.若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m ，
其他
A
B
6
8
两边之差为3c m ，则这个三角形是_____________________． 7.如图：在一个高6米,长10米的楼梯表面铺地毯， 则该地毯的长度至少是 米.
考点五、能力提升
1。

如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点,
且BC CE 4
1 ．你能说明∠AFE 是直角吗？
2。

如图，有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合，你能求出CD 的长吗?
C
B
A
D
E。