开封市第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

C．2015 D． 8． 已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l⊥m，（2）α⊥β⇒l∥m， （3）l∥m⇒α⊥β，（4）l⊥m⇒α∥β， 其中正确命题是（ ） A．（1）与（2） B．（1）与（3） C．（2）与（4） D．（3）与（4） 2x 1 9． 已知函数 f x 1 ，则曲线 y f x 在点 1 ，f 1 处切线的斜率为（ x 1 A．1 10．已知双曲线 ﹣ B． 1 =1 的一个焦点与抛物线 y2=4 ） ﹣y2=1 C．x2﹣ =1 D． ﹣ =1 C．2
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令 t=|x|﹣4，t＞0，则函数 f（x）=log
（|x|﹣4）转化为 g（t）=
在其定义域内是单调减函数．
而函数 t=|x|﹣4，当 x 在（﹣∞，4）时，函数 t 是单调减函数，当 x 在（4，+∞）时，函数 t 是单调增函数． 根据复合函数的单调性“同增异减”， 可得：函数 f（x）=log 故选 D． 【点评】本题考查了复合函数的单调性的问题，要抓住定义域，利用根据复合函数的单调性“同增异减”求解． 属于基础题． 6． 【答案】C. 【 解 析 】 根 据 等 差 数 列 的 性 质 ， a4 2(a2 a3 ) a1 3d 2(a1 d a1 2d ) ， 化 简 得 a1 d ， ∴ （|x|﹣4）的单调递减区间为（4，+∞）．
二、填空题
11．【答案】 ．
【解析】解：已知数列 1，a1，a2，9 是等差数列，∴a1+a2 =1+9=10． 数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1，b1，b2，b3，9 是等比数列，∴ ∴b2=3，则 ， =1×9，再由题意可得 b2=1×q2＞0 （q 为等比数列的公比） ，
=
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故答案为
．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题． 12．【答案】 【解析】
开封市第二高级中学 2018-2019 学年高三上学期 12 月月考数学试卷 班级__________ 一、选择题
1． 若当 x R 时，函数 f ( x) a （ a 0 且 a 1 ）始终满足 f ( x) 1 ，则函数 y
| x|
座号_____
姓名__________
分数__________
) 取最大值时 C ． 4 13．在直角梯形 ABCD, AB AD, DC/ / AB, AD DC 1, AB 2, E, F 分别为 AB, AC 的中点， 点 P 在以 A 为圆心， AD 为半径的圆弧 DE 上变动（如图所示）．若 AP ED AF ，其中 , R ，
正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列
1 1 1 abc . ab sin C , ah, (a b c)r , 2 2 2 4R 13．【答案】 1,1
不同形式 【解析】
考
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点：向量运算． 【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量 积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到 化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直 问题转化为向量的数量积来解决． 14．【答案】 240 ． 【解析】解：a= （ cosx﹣sinx）dx=（ sinx+cosx） =﹣1﹣1=﹣2， •2r•x12﹣3r， •24=240，
）
3． 双曲线 A．12 ，则（ B．20 ） C．
的焦点与椭圆 D．
4． 如图所示，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 E 为上底面对角线 A1C1 的中点，若
=
+x
+y
A．x=﹣ 5． 函数 f（x）=log A．（﹣∞，﹣4）
B．x=
C．x=﹣ ）
D．x=
（|x|﹣4）的单调递减区间为（ C．（﹣∞，0）
log a | x | 的图象大致是 x3
（
）
【命题意图】 本题考查了利用函数的基本性质来判断图象， 对识图能力及逻辑推理能力有较高要求， 难度中等． 2． 设 S n 是等差数列 {an } 的前项和，若 A．1 B．2 C．3 D．4 的焦点重合，则 m 的值等于（ ）
a5 5 S ，则 9 （ a3 9 S5
，M 为 BC 的中点．
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开封市第二高级中学 2018-2019 学年高三上学期 12 月月考数学试卷（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】 C 【解析】由 f ( x) a 始终满足 f ( x) 1 可知 a 1 ．由函数 y
| x|
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∵直线 l⊥平面 α，α⊥β，∴l∥平面 β，或 l⊂平面 β，又∵直线 m⊂平面 β，∴l 与 m 可能平行也可能 相交，还可以异面，故（2）错误； ∵直线 l⊥平面 α，l∥m，∴m⊥α，∵直线 m⊂平面 β，∴α⊥β，故（3）正确； ∵直线 l⊥平面 α，l⊥m，∴m∥α 或 m⊂α，又∵直线 m⊂平面 β，则 α 与 β 可能平行也可能相交，故（ 4）错误； 故选 B． 【点评】 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系， 其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的 判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键． 9． 【答案】A 【解析】 试题分析：由已知得 f x

4
考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1 【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于 难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现 ab 及
b 2 、 a 2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为
考点：等差数列的前项和． 3． 【答案】A 【解析】解：椭圆 由双曲线 故选：A． 4． 【答案】A 【解析】解：根据题意，得； = = = 又∵ + ﹣ = + （ + + +x ， +y ， + ） 的焦点为（±4，0）， 的焦点与椭圆的重合，可得 =4，解得 m=12．
∴x=﹣ ，y= ， 故选：A． 【点评】本题考查了空间向量的应用问题，是基础题目． 5． 【答案】D 【解析】解：由题意：函数 f（x）=log （|x|﹣4），其定义域为{x|x＞4 或 x＜﹣4}．
2x 1 1 1 2 ，则 f ' x 2 ，所以 f ' 1 1 ． x x x
考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 10．【答案】B 【解析】解：已知抛物线 y2=4 则双曲线的焦点坐标为（ 即 c= ， x 的焦点和双曲线的焦点重合， ，0），
又因为双曲线的渐近线方程为 y=± x， 则有 a2+b2=c2=10 和 = ， 解得 a=3，b=1． 所以双曲线的方程为： 故选 B． 【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题． ﹣y2=1．
2 2 2
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21．如图，直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N 分别是所在棱的 中点． （1）证明：平面 MNE⊥平面 D1DE； （2）证明：MN∥平面 D1DE．
22．如图，边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC= （Ⅰ）证明：AM⊥PM； （Ⅱ）求点 D 到平面 AMP 的距离．
18．已知函数 f（x）=4 （Ⅰ）当 x∈[0，
sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．
]时，求函数 f（x）的值域； ， =2+2cos（A+C），
（Ⅱ）若△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 = 求 f（B）的值．
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19． AD∥BC， AB⊥AD， AB⊥PA， BC=2AB=2AD=4BE， 如图， 在四棱锥 P﹣ABCD 中， 平面 PAB⊥平面 ABCD ， （Ⅰ）求证：平面 PED⊥平面 PAC； （Ⅱ）若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 ，求二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值．
B．（0，+∞）
D．（4，+∞）
6． 设公差不为零的等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，若 a4 2(a2 a3 ) ，则
S7 （ a4
）
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A．
7 4
B．
14 5
C．7
D．14
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前 n 项和，意在考查运算求解能力. 7． 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2Sn=an+ A． B． ，则 S2015 的值是（ ）

.
三、解答题
17．（本小题满分 10 分）直线 l 的极坐标方程为 θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中 α∈[0，π），曲线 C1 的参数方 ＝ 程为 x cos t （t 为参数），圆 C2 的普通方程为 x2＋y2＋2 3x＝0. y＝1＋sin t
{
)
（1）求 C1，C2 的极坐标方程；
（2）若 l 与 C1 交于点 A，l 与 C2 交于点 B，当|AB|＝2 时，求△ABC2 的面积．
76 S7 7 a1 2 d 14d 7 ，故选 C. a4 a1 3d 2d
7． 【答案】D 【解析】解：∵2Sn=an+ 当 n=2 时，2（1+a2）= 同理可得 猜想 验证：2Sn= = 因此满足 2Sn=an+ ∴ ∴Sn= ∴S2015= 故选：D． 【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方 法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 8． 【答案】B 【解析】解：∵直线 l⊥平面 α，α∥β，∴l⊥平面 β，又∵直线 m⊂平面 β，∴l⊥m，故（1）正确； ． ． ， ． ， ． ． …+ = ， = ，∴ ，化为 ，解得 a1=1． =0，又 a2＞0，解得 ，
log a | x | 是奇函数，排除 B ； 当 x (0,1) 时， x3
log a | x | 0 ，此时 y
2． 【答案】A 【解析】1111]
log a | x | 0 ，排除 A ；当 x 时， y 0 ，排除 D ，因此选 C ． x3
9(a1 a9 ) S9 9a 2 试题分析： 5 1 ．故选 A．111] S5 5(a1 a5 ) 5a3 2
则 2 的取值范围是___________．

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14．已知 a=
（
cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2﹣ ）6 展开式中的常数项是 ．
15．不等式 x2+x﹣2＜0 的解集为 ． 16．三角形 ABC 中， AB 2 3, BC 2, C 60 ，则三角形 ABC 的面积为
） D． 2
x 的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为 y=± x，则
该双曲线的方程为（ A． ﹣ =1 B．
二、填空题
11．已知数列 1，a1，a2，9 是等差数列，数列 1，b1，b2，b3，9 是等比数列，则
2 2
的值为 ．
2
12．已知△ ABC 的面积为 S ，三内角 A ， B ， C 的对边分别为，，．若 4 S a b c ， 则 sin C cos( B
20． （本小题满分 12 分） 已知两点 F1 (1,0) 及 F2 (1,0) ， 点 P 在以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 C 上， 且 PF1 、 F1 F2 、
PF2 构成等差数列．
（I）求椭圆 C 的方程； （II）设经过 F2 的直线 m 与曲线 C 交于 P、Q 两点，若 PQ = F1 P + F1Q ，求直线 m 的方程．