(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题
1．给出下列函数：①(
))
ln f x x =；②()3cos f x x x =；③()x
f x e x =+.0a ∃>使得
()0a
a
f x dx -=⎰
的函数是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
2．给出以下命题： （1）若()0h
a
f x dx >⎰
，则()0f x >；
（2）
20
|sin |4x dx π
=⎰
；
（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：
()()a
a T
T
f x dx f x dx +=⎰
⎰
其中正确命题的个数为（ ）． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知是i 虚数单位，复数()1a i z a R i -=∈-，若01
||(sin )z x dx ππ
=-⎰，则a =（ ）
A ．±1
B ．1
C ．1-
D ．1
2
±
4．若2
(sin cos )2x a x dx π
-=⎰
，则实数a 等于（ ）
A ．1-
B ．1
C
．D
5．
已知)
2
2
1
a ex dx π-=
⎰，若()
2016
20121ax b b x b x -=++ 2016
2016b x ++（x R ∈），则12
2
22b b + 2016
2016
2b ++
的值为（ ） A ．1- B ．0
C ．1
D ．e
6
．定积分2
]x dx ⎰
的值为（ ）
A ．
2
4
π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-
7．曲线22y x x =-与直线1
1x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．2 B ．83 C ．43 D ．2
3
8．已知1
(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角
形的面积为
A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 9．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力
相同的方向,从x=0
处运动到
(单位:
)处,则力
做的功为( )．
A ．44
B ．46
C ．48
D ．50
10．已知1
251
1
3,log ,log 3,a a x dx m a n p a
-====
⎰
，则 （ ） A ．m n p << B ．m p n <<
C ．p m n <<
D ．p n m <<
11．已知3
20
n x dx =
⎰
，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则
12310
01210
2310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A ．
823
B ．
845
C ．965
-
D ．
877
12．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现
()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）
34
3
V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四
维测度W =（ ）. A ．224r π
B ．2
83
r π
C ．5
14
r π
D ．42r π
二、填空题
13．若2
2
11
S x dx =
⎰
，221
1S dx x
=⎰，2
31x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___． 14．由曲线2
y x
=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________． 15．
(
)
120
12x x dx -=⎰__________．
16．定积分1
2
(1)x x dx -=⎰
______________.
17．计算由曲线22,4y x y x ==-所围成的封闭图形的面积S =__________． 18．
20
1x dx -=⎰
__________．
19．定积分
()1
2x
x e dx +=⎰__________．
20．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6
x π
=
围成的封闭图形的面积为b ，若
2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________． 三、解答题
21．已知函数1
()ln ()f x x b x b R x
=--∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直． （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）设2()g x x =，求证()()2ln 2g x f x >-． 22．计算曲线223y x x =-+与直线3y
x
所围图形的面积．
23．已知定义域为R 的函数f (x)有一个零点为1， f (x)的导函数()12
f x x '=
()()221
2
ax a g x f x +-=+，其中a R ∈．
（1）求函数f (x)的解析式； （2）求()g x 的单调区间；
（3）若()g x 在[
)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．
24．已知()y f x =是二次函数，方程0f
x
有两相等实根，且()22f x x '=+
（Ⅰ）求()f x 的解析式．
（Ⅱ）求函数()y f x =与函数241y x x =--+所围成的图形的面积． 25．由定积分的性质和几何意义，求出下列各式的值：
（1）a
-⎰
；
（2）
)
10
x dx ⎰.
26．利用定积分的定义，计算2
21
(2)d x x x -+⎰
的值，并从几何意义上解释这个值表示什
么．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③.
【详解】
对①，()f x 的定义域为R
1())))()f x x x x f x --===-=-
即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0a
a
f x dx -=⎰
对②，()f x 的定义域为R
33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得
()0a
a
f x dx -=⎰
对③，若0a ∃>，使得
()0a
a
f x dx -=⎰
成立
则()2102a
a
x x a a
a a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝
==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】
本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.
2．B
解析：B 【分析】
(1)根据微积分基本定理,得出
()()()0h
a
f x dx F h F a =->⎰
,可以看到与()f x 正负无关.
(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为
220
|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx π
ππ
π
=+⎰
⎰⎰求解判断即可.
(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0h
a
f x dx F h F a =->⎰
,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.
(2)
()2220
0|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx π
π
π
ππ
ππ
=+=+-⎰
⎰⎰⎰⎰
()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.
(3)()()0()0a
f x dx F a F =-⎰,()()()()()0a T
T
f x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；
故
()()a
a T T
f x dx f x dx +=⎰
⎰
；(3)正确.
所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.
3．A
解析：A 【解析】 因为11122a i a a z i i -+-=
=+-
，所以z ==式00
1
1
(sin )[cos ]|1x dx x x π
ππ
π
-
=--
=⎰
211a =⇒=，即1a =±，应选答案A 。

4．A
解析：A 【解析】
试题分析：解：因为
()()()2
200
sin cos cos sin |cos
sin
cos0sin 02
2
x a x dx x a x a a π
π
π
π
-=--=-----⎰
＝()010a ----＝1a -，所以12a -=，所以， 1.a =-故选A. 考点：定积分.
5．A
解析：A 【解析】
因为
2
2
x -表示的是以原点为圆心、半径为2
的上半圆的面积，即
2
2πx -=，2
2222
1e d (e )|02x x x --==⎰
，所以)
2
2
1
e d 2a x x π-
==⎰，
则()
2016
201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令1
2
x =
，得12
02022
b b b =+
+ 20162016
2b ++
，则12
222
b b + 2016
2016
12
b ++
=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.
6．B
解析：B 【解析】
试题分析：由定积分的几何意义有
⎰
表示的是以(2,0)为圆心，半径为2
的圆的1
4
部分，而20xdx ⎰表示的是直线y x =，0,2,x x x ==轴所围成的面积，故
2
20
[4(2)]x x dx ---⎰表示的图形如下图的阴影部分，面积为221122242
ππ⨯-⨯=-.故选B.
考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简.
7．A
解析：A 【解析】
试题分析：在抄纸上画出图像，可根据图像列出方程
1
221
(20)(2)x x dx x x dx
---+-+⎰
⎰=
3
203211
11
()
3
3
x x x x --+-+=
110(1)(1)33---+-+=4233+=2
考点：区间函数的运用
8．A
解析：A 【解析】
试题分析：由1
(1)1x f x x e
++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x
f x e f ''=+⇒=，
而(0)1f =-，即切点坐标为
()
0,1-，切线斜率(0=2k f '=）
，则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
和()0,1-，则
切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224
S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线
9．B
解析：B 【解析】
由定积分的物理意义，得
，即力
做的功为
46．
考点:定积分的物理意义．
10．B
解析：B 【解析】
1
23
521
1132,log 2,log 3,12
a x dx x m n p -===∴===-⎰
5211
log 2log ,log 31,22
m n p ====
m p n ∴<<
故选B
11．A
解析：A 【分析】
利用微积分基本定理，可计算得3
2
9n x dx ==⎰
，又
210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-
利用赋值法，令1x =，可得解 【详解】
由题意3
32
32
00
|3093x n x dx ===-=⎰ 令1x =有：9
01210(21)(23)3a a a a +++⋅⋅⋅+=+-=-
210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-
令1x =有：9
8
12102...10(23)27(21)(23)82a a a +++=--+-=-
故1231001210231082
3
a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+
故选：A 【点睛】
本题考查了导数、定积分和二项式定理综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
12．D
解析：D 【解析】
因为4328W r W r V ππ'=⇒==，所以42W r π=，应选答案D ． 点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：
3441
8824
W r dr r r πππ=⎰=
⨯=，应选答案D ．
二、填空题
13．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题 解析：213S S S <<
【分析】
先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可． 【详解】
223
2
11
1173
3
S x dx x ===
⎰ 2
221112S dx lnx ln x
===⎰
2
2
2311
|x x S e dx e e e ===-⎰
27
23
ln e e <
<- 213S S S ∴<<
故答案为：213S S S << 【点睛】
本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
14．【分析】转化为定积分求解【详解】如图：曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形因为曲线与直线及的交点分别为且所以由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为【点睛】本题考查定积分的意义及计算 解析：12ln 22
-
【分析】 转化为定积分求解. 【详解】 如图：
,
曲线2
y x
=
与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2
y x
=
与直线1y =x -及1x =的交点分别为(1,2)，(2,1) 且21
2
ABCD S dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰，
所以，()2
2
2
22111
121(1)2ln 2ABC
S dx x dx x x x x ⎛⎫
=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()221112ln 22ln122112ln 22
22⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.
由曲线2y x =与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为1
2ln 22
-. 【点睛】
本题考查定积分的意义及计算.
15．【解析】【分析】根据定积分的运算将函数分为两个部分分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解再合并起来即可【详解】由定积分的几何意义可知表示的为单位圆在第一象限内的面积即由微积分基本定理可知 解析：
14π
+
【解析】 【分析】
根据定积分的运算，将函数分为两个部分，分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解，再合并起来即可。

【详解】
)
1
20
12x x dx -⎰
1
1
2dx xdx =+⎰
⎰
由定积分的几何意义可知
1
dx ⎰表示的为单位圆在第一象限内的面积，即
1
4
dx π
=
⎰
由微积分基本定理可知1
20
2xdx x
=⎰
10
1=
所以
)
1
214
x dx π
=
+⎰
【点睛】
本题考查了定积分的求法，定积分几何意义与微积分基本定理的应用，属于基础题。

16．【解析】函数表示以为圆心为半径的单位圆位于第一象限的部分则由微积分基本定理可得：则： 解析：
2
4
π-
【解析】
函数)01y x =≤≤表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆位于第一象限的部
分，则4
π
=
⎰，
由微积分基本定理可得：
()1
2100
11
|22x dx x ⎛
⎫-=-=- ⎪⎝⎭
⎰
，
则：
)
1
12
4
24
x dx π
π-=
-
=⎰. 17．18【解析】因为或所以应填答案
解析：18 【解析】
因为22224x y x y y x =⎧=⎧⇒⎨⎨=-=-⎩⎩或8
4
x y =⎧⎨=⎩
，所以
2
8
33
2
282202
02
116564)|4)|618233S x dx x x x =++=+-+=-+=⎰⎰，应填答案18。

18．【解析】根据积分的几何意义原积分的值即为单元圆在第一象限的面积则
解析：4
π
【解析】
根据积分的几何意义，原积分的值即为单元圆在第一象限的面积
则04π=
19．e 【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；
(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分
解析：e
【解析】
121212000(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰.
点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
20．k≥0【解析】由题意可知则由在上单调递减则在上恒成立即在上恒成立令则当时函数在上为减函数则故实数的取值范围是点睛：曲线与轴轴直线围成的封闭图形的面积为为函数在上的定积分求出后代入函数由在上单调递减可 解析：k≥0
【解析】
由题意可知，
6011cos sin sin sin 0066220
b xdx x π
π
π===-=-=⎰ 则()22222g x lnx bx kx lnx x kx =--=-- ()22g x x k x
-'=- 由()222g x lnx bx kx =--在[)1,+∞上单调递减，
则()22?0g x x k x '=
--≤在[)1,+∞上恒成立， 即22k x x
≥-在[)1,+∞上恒成立， 令()22t x x x =
-
则()222t x x =-'- 当)1,x ⎡∈+∞⎣时，()2220t x x '=-
-< ∴函数()22t x x x
=-在)1,⎡+∞⎣上为减函数， 则()()10max t x t ==
0k ∴≥
故实数k 的取值范围是0k ≥
点睛：曲线y cosx =与x 轴、y 轴、直线6x π
=围成的封闭图形的面积为b ，b 为函数
y cosx =在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的定积分，求出b 后代入函数()222g x lnx bx kx =--，由()222g x lnx bx kx =--在[)1,+∞上单调递减，可知其导函数在[)1,+∞上小于等于0恒成立，然后利用分离变量法可求k 的取值范围．
三、解答题
21．(1) 2b = (2)见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出函数的切线，建立方程关系即可求b 的值； （Ⅱ）求函数的导数，构造函数，利用函数最值和导数之间的关系进行证明即可． 试题
(Ⅰ）()1ln f x x b x x
=-- ， 所以()222111b x bx f x x x x
-='+=+- 由题设知()120,2f b b =-=∴='.
（Ⅱ）由(Ⅰ）可得()12ln f x x x x =-
-，故只需证212ln 2ln20x x x x -+++> ， 设()()212ln 2ln20F x x x x x x
=-+++>，
令()0F x '=，得12x =
. 当102
x <<时，()0F x '<，
当12x >时，()0F x '>， 所以，()()min 170,024
F x F F x ⎛⎫==>> ⎪⎝⎭ 所以，()()2ln2g x f x >-．
22．
92
． 【解析】
【详解】 试题分析：利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数． 试题
由23{23
y x y x x =+=-+解得03x x ==及．
从而所求图形的面积
33
2200[(3)(23)](3)S x x x dx x x dx =+--+=-+⎰⎰3230139=|322x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 考点：定积分．
23．（1）2()1f x x =-；（2）见解析
【解析】
分析：
（1）由导函数可设()2
f x x c =+，结合条件可得c ； （2）由()()()()2221'1x a ax
g x x -+-=
+，讨论0a =，0a <和0a >导数的正负，从而得函
数的单调性； （3）结合（2）中函数的单调性，考虑极值点和端点处的函数值讨论最值即可. 详解：
(1)因为f (x)的导函数()12
f x x '=，所以()2f x x c =+， 又函数f (x)有一个零点为1，所以()21f x x =-，
（2）由（1）知：()()()()()
22222121'11x a ax ax a g x g x x x -+-+-==++， ①0a =时()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增
②0a <时()g x 的单调递增区间()1,
,,a a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递减区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ③0a >时()g x 的单调递增区间1,
a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间()1,,,a a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ （3）①由（2）0a =时不符合题意
②0a <时()g x 在()0,a -上递减，在(),a -+∞上递增，
则当()0,x ∈+∞ ()()min 1g x g a =-=-
当x a >-时，22221210ax a a a +-<-+-<,210x +> 故()0f x <
则()00g ≥解得1a ≤-
③0a >时()g x 在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减 则()2max 10g x g a a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭且1x a >时()0g x > 则()00g ≤解得01a <≤
综上：1a ≤-或01a <≤.
点睛：（1）利用导数求函数的最值时要注意函数单调性的运用，由单调性得到函数的极值，然后再求最值．对于含有参数的问题，要结合条件对参数进行分类讨论，分类时要做到合理、不重不漏．
（2）对于已知函数的最值求参数或其范围的问题，在解题仍要注意单调性的应用，结合函数的单调性进行求解、判断．
24．（Ⅰ）()2
21x x x f =++（Ⅱ）9 【分析】
试题分析：（1）用待定系数法设出解析式，据判别式为零，和f′（x ）=2x+2确定结果；（2）利用定积分求曲边图形面积，找准积分区间和被积函数
试题
（1）设()()2
0f x ax bx c a =++≠． 240
{222
b a
c ax b x -=+=+ 得：1,2,1a b c === ()221f x x x ∴=++
（Ⅱ）由题2221{
341y x x x y x x =++⇒=-=--+或 0x =. ()()
02232033241213|93S x x x x dx x x --⎛⎫⎡⎤=--+-++=--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰. 考点：函数与方程的综合运用；定积分 25．（1）22a π；（2）142π-. 【分析】
（1）由定积分2
2a
a a x dx 的几何意义可知，该定积分表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，则根据圆的面积公式即可求值；
（2）在同一直角坐标系内画出圆22(1)1x y -+=和直线y x =的图像，由定积分()
1
201(1)x x dx ---⎰的几何意义可知，该定积分表示表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形的面积，
【详解】
解：(1)
22a a a x dx 表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积， 因此
2222a a a a x dx π； (2) ()
1
201(1)x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x = 所围成的图形(如图所示)的面积，
因此21
201111(1)=114242
x x dx ππ. 【方法点睛】 定积分的几何意义为曲边梯形的面积，故求定积分()d b
a
f x x ⎰时，可考虑为函数()y f x =的图像与x 轴，以及直线x a =和x b =所围成的图形的面积.若求的是
()()b
a f x g x dx ，则可考虑为()y f x =为上边界，()y g x =为下边界的图形位于直
线x a =和x b =之间的部分的面积.
26．由直线1x =，2x =，0y =与曲线2()2f x x x =-+所围成的曲边梯形的面积．
【分析】
利用定积分的定义在区间[]
1,2进行分割，后近似代替、作和，取极限，可得()
2212x
x dx -+⎰的值，与其表示的几何意义. 【详解】
解：令()2
2f x x x =-+． （1）分割：在区间[]
1,2上等间隔地插入1n -个分点，将它等分成n 个小区间()1,1,2,,n i n i i n n n +-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
其长度为11n i n i x n n n
++-∆=-=． （2）近似代替、作和：取()11,2,,i i i n n ξ=+=， 则2111(1)121n n n i i i i i S f x n n n n
==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅∆=-+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑ ()()()()()2223212122122n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+++++++++++⎣⎦⎣⎦
()()()()()32221411211212662n n n n n n n n n n n ⎡⎤++++++=--+⋅⎢⎥⎣⎦
11111112412336n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （3）取极限：
()
221111111122lim lim 24123363n n n x
x dx S n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+==-+++++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰． ()
221223x
x dx -+=⎰的几何意义：由直线1x =，2x =，0y =与曲线()22f x x x =-+所围成的曲边梯形的面积．
【点睛】
本题主要考查利用定积分的定义求定积分,并求其几何意义，属于中档题型.。