人教版数学-备课资料巧用构造法

巧用构造法，妙证不等式
关于不等式的证明，教材中介绍了我们必须掌握的三种常规通法：比较法；分析法；综合法，这三种方法是证明不等式的最基本的方法。

问题是并不是所有的不等式都可以用这三种方法容易证明的，有些不等式问题，如果从正面上直接探求，常常给人的感觉是相当繁难，甚至是百思不得其解，令人一筹莫展，这时，偿若变换一下思维角度，通过对条件与结论的充分剖析，从不等式的结构和特征出发，巧妙构造与之相关的数学模型，使问题转化，便可使不等式巧妙获证。

[什么是构造法又怎样去构造？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。

]这里举例说明之。

一、构造函数 例1：求证：||1|
|||||1||||b a b a b a b a ++++++≥（人教版高二数学.上.教材P23习题6.5第4题） 证明：构造函数：x x
x x f x x f ++-=+∞∈=
11
11)(),0[,)(，则
∴)(x f 在),0[+∞上为单调递增函数。

又∵||||||b a b a +≥+，∴|)(||)||(|b a f b a f +≥+， 即：||1|
|||||1||||b a b a b a b a ++++++≥.
[备用例题]例：已知ABC ∆三边长是，、、c b a 且m 为正数，求证：m c c m
b b
m a a
++++
＞（人
教版高二数学.上.教材P17习题6.3第9题*）.
证明：从不等式的整体结构考察：三角形两边之和大于第三边，局部考察：每一项可视为函数m
x x x f +=
)(的函数值，故构造函数)0,0(1)(＞＞m x x f m
x m m
x x ++-
==
易知)(x f 在
),0(+∞上为增函数。

∵c b a ＞+，∴m
c m c f b a f +=
+)()(＞，而
)()()()()(b a f b f a f m
b a b a m
b a b
m b a a m b b m a a +==
++=
++++++++++＞
∴)()()(c f b f a f ＞+，即m c c m b b
m a a
++++＞.
[备用例题]
例：已知.,a
b b a e b a e R b a ＞：是自然对数的底，证明，其中＜＜并且、∈
证明：b b
a a a
b b a a b b a b a e ln ln ln ln ＞，即证：＞，只须证＞要证，＜＜∵∴.
构造函数)()(ln e x x f x
x ＞=
，求导数得：2
ln 1'x x
y -= ∵e x ＞，∴0'
＜y ，∴函数)()(ln e x x f x
x
＞=是减函数，
b b a a b f a f b a e ln ln )()(＞，＞，＜＜∵∴∴，即：.a b b a ＞
评注：函数在我们整个中学数学是占有相当的内容，对于函数的性质我们也比较熟悉。

选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时也达到了训思维，增强思维的灵活性，开拓性和创造性；依据待证不等式的特征构造函数，利用函数的性态，可使不等式轻松获证。

有些数学题似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质得到了简捷的证明。

二、构造数列 对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时可构造有关数列模型，利用其单调性解决．
[备用例题]例：已知.1,,2,11
n a n a N n n a --∈≥＜求证：＞
证明：由,0111＞，即＞得：
＞-n n
a a a 故原不等式等价于：
n n n n n a a a n a ＞，即：＞（11
)1
1----
构造以1为首项，n a 为公比的等比数列{}n a ，则：
,S .1)(1
1
)(1n S a a n a a n n n n n
n n ＞问题转化为证明，＞---=
=即：
n a a a n ＞+++ 21，由于1＞n a ，所以原不等式成立。

[备用例题]例：证明：)3()1(1
≥∈++n N n n n
n n ，＞
证明：构造数列n
n n n n n a a )1(1
}{++=
，，则1
2)2()1(1,0+++++=
n n n n n n a a 且＞
1313
31
2121
12
14331)2()12()
1()2()1(＞时，＞＞=
≥≥⇒⇒=•=
+++++++++++++a a n a a n n n n n n n n n n n a a n n n n
n n n
n
∴1)1(1
＞n
n n n
++,即：)3()1(1
≥∈++n N n n n n n ，＞
例2： 设任意实数x ，y 满足||1x ≤ ，||1y ≤，求证：.12111122xy y x ---≥+
证明： 结论的左边
2
11
x -与211y -的结构类似无穷等比数列求和公式(逆用求和公式)，所
以构造无穷等比数列}{2
2-n x
，}{22-n y ，从而有
=+--22
1111y x (1+...42++x x )+(1+...42++y y )=2+(22y x +)+(44y x +)+…
...)(2222+++≥xy xy =xy -12．
评注：当要求解得问题与自然数相关时，除考虑“数学归纳法”外，可根据问题特征构造数列使问题方便、快捷获解。

一般地，对含有形如
，
n n
n n a a a a ++±11
1的问
题，可尝试通过三角换元构造一个新数列，把一般数列转化为特殊数列问题；欲证含有与自然数n 有关的和的不等式f(n)>g(n)，可以构造数列模型n a = f(n)-g(n)，只需证明数列{n a }是单调递增，且1a >0；欲证含有与自然数n 有关的积(乘方)的不等式f(n)<g(n)， 可以构
造数列模型n a =
)
()
(n g n f ，只需证明数列{n a }为单调递减，且1a <1． 三、构造方程
[备用例题]例：已知实数a, b, c 满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c 中至少有一个不小于2.
证：由题设：显然a, b, c 中必有一个正数，不妨设a > 0，
则⎩⎨
⎧=-=+a
bc a c b 2
即b, c 是二次方程02
2=++a ax x 的两个实根。

∴082
≥-
=∆a
a 即：a ≥2
[备用例题]例：已知223
3
≤+∈=+q p R q p q p ，证明：、，.（此例可用作学生练习）
证明：设，则：t q p =+2))(223
3=-++=+pq q p q p q p （，∴t
t pq 32231-=
构造方程：032
2
312=-
+-t
t tx x ，由韦达定理知q p 、恰好是此方程的两实数根
∴.220)(432
2312≤+≤≥--=∆q p t t t t ，即：，解之得：
例3： 若{n a }是由正数组成的等比数列，n S 是它的前n 项的和．证明：2
12++<⋅n n n S S S ．
证明： 把结论化为42
12)2(++<⋅n n n S S S ，其结构形式很类似一元二次方程的判别式
ac b 42-，因此可以尝试构造一元二次方程去解决．
构造一元二次方程 02212
=++++n n n S x S x S ， ①
∵n S 是正项数列前n 项的和，故0n S >，
欲证n S 2+n S <21+n S ，只需22
14)2(++-n n n S S S >0 （*）
为此只需证明方程①有两个不等实根即可．
(I)当q=1时，不妨令1a =l ，则①为0)2()1(22
=++++n x n nx ， ②
即[nx+(n+2)](x+1)=0，可见方程②有二不同实根，即①有二异实根，则(*)成立；
(II) 当q≠1时，方程①即为0)1()1(2)1(21
2
=-+-+-++n n n
q x q
x q ，
即0)()1(2
2
=+-+q x q x n
，显然它也有二异实根，故(*)成立．
综上，2
12++<⋅n n n S S S 成立．
评注：韦达定理与判别式都是方程的产物。

因此，若题设或结论中有积、和的形式，或有判别式的形式，可将问题设法转化为一元二次方程来解决——即根据不等式的结构和特征，构造方程，利用韦达定理，根据解的情况，利用判别式来证明不等式。

四、构造向量 例4：证明不等式R b b a a b b a a b a b a ∈++≤+21212
22
12
22
12
2211),)(()(、、、. 证明：设),(),,(2121b b n a a m ==，则2211b a b a n m +=• ，
2
2
21222212||,||b b a a +=+=， ∵|,|||||≤• ∴222||||||≤•, ∴))(()(2
22
12
22
12
2211b b a a b a b a ++≤+.
评注：什么问题可用向量知识解决呢？是不是题中明显出现向量符号时才用向量解题？上例题知，当求解问题中（式子）含有乘积或乘方时，可利用向量内积坐标表达式||||2121y y x x ≤•+=• 构造向量解之，从而要求我们掌握好向量的基本知识，养成应用向量知识解题的习惯、意识。

五、构造（空间图形）几何体
例6：已知
z y x 、、构造三棱锥如图：使在令y OB x OA ==,22y xy x AB +-=.22z yz y BC +-=即：2
2
y xy x +
+-评注：数式的图形背景的发现很重要，细心观察数式的结构：从整体看不等式表述的内容（结构特征）与我们熟悉的“三角形两边之和大于第三边”相似，而对每一项而言，3个被开放的式子又可看作是余弦定理的结果，可同上例构造图形，意到“-”号，故由不能构造平面图形（三角形）证之，大致思维程序为：观察特征——联想原型——构造图形。

六、构造不等式
例7：已知.1,92
3131＜
，求证：且＞＞b a ab b a += 证明：由条件可构造不等式0))((31
31＞--b a ，
即：0)(91
31＞++-b a ab ， ∴.1＜
b a + 评注：从表面上看，要证明不等式，又去构造一个不等式，同学们可能都会问：这不是把问题搞复杂了吗？由此例可知并非如此，当条件是几个不等式给出时，可考虑用此法。

[备用例题]例、已知三个实数a 、b 、c 满足|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：ab+bc+ca+1>0. 证明：因为|a|<1，|b|<1，|c|<1，所以-1<a<1，-1<b<1，-1<c<1， 从而有1+a>0，1+b>0，1+c>0，1+a>0，1+b>0，1+c>0， 所以(1+a)(1+b)(1+c)>0，(1-a)(1-b)(1-c)>0，
两式相加得：2+2（ab+bbc+ac)>0，即ab+bc+ca+1>0.
七、构造区间
例8：设函数R x x f ∈对)(适合)()1(10)(x f x f x
x f =+；②＜＜①，求证：对于任意+
∈R
x 都有.1)(0＜＜x f
证明：构造区间,设 ]1,(]2,1(]1,0(+=+
k k R 若]1,0(∈x ，则由得：＜＜
10)
(x
x f .1)(0＜＜x f
若]1,(+∈k k x ，则]1,0(∈-k x ，从而有 1)(0＜＜k x f -，而)()1(x f x f =+ ∴)()(x f k x f =-，∴1)()(0＜＜x f k x f =-即：1)(0＜＜x f ∴对于任意+
∈R x 都有.1)(0＜＜x f
评注：对于具有周期性变化的函数或数列问题，实施区间的变换来转视角，是解决这类问题的最佳手段。

从以上解题可以看出，用构造法求解有简捷、明快、精巧的特点。

应用好构造法解题的关键有二点，一是要有明确的方向，即为了什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点，根据条件的特点，要善于联想，以便重新进行逻辑组合。

当然，一种方法的掌握不是一朝一夕的事，也不是一章一节之内容，而应该长期坚持，自觉应用。

换个角度看问题，换个方面去解释，换个方向去思考。

在数学学习过程中，要注意多角度、多方向、多层次地去思考问题，这样不但对问题的认识更全面、更深刻，还可以发展自己的思维能力.
在用构造法的解题时，我们不仅要知道构造什么，更重要的是要通过揭示构造的思维方式学会如何去构造，慢慢培养并增强构造意识。