【解析版】数学高一下期中习题(培优)

一、选择题
1．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=
D ．4340x y --=
2．(0分)[ID ：12417]已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥，直线c 与直线a 成30角，则c 与b 所成的角的大小范围是( ) A ．[]60,90︒︒
B ．[]30,90︒︒
C ．[]30,60︒︒
D ．[]45,90︒︒
3．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，
111A B C △的面积为2
2，则AB 的长为（ ）
A ．2
B ．217
C ．2
D ．8
4．(0分)[ID ：12414]已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．
643
B ．32
C ．54
D ．64
5．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8π
B ．12π
C ．20π
D ．24π
6．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( ) A ．α⊥β，且m ⊂α B ．m ⊥n ，且n ∥β C ．α⊥β，且m ∥α
D ．m ∥n ，且n ⊥β
7．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．
32
D ．32
-
8．(0分)[ID ：12354]已知圆M:x 2+y 2−2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N:(x −1)2+(y −1)2=1的位置关系是（ ） A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
9．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6
π
，则球O 的表面积为（ ） A ．20π
B ．40π
C ．80π
D ．160π
10．(0分)[ID ：12346]已知圆M ：2
2
20x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ） A ．5
B ．6
C ．35
D ．41
11．(0分)[ID ：12331]矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ） A ．
125
12
π B ．
125
9
π C ．
125
6
π D ．
125
3
π 12．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为2
3
，则这个球的表面积为（ ） A ．
1256π
B ．8π
C ．
2516
π
D ．
254
π
13．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．
的是( )
A ．MN 与1CC 垂直
B ．MN 与A
C 垂直 C ．MN 与B
D 平行 D ．MN 与11A B 平行
14．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何
体的表面积是（ ）
A ．20＋3π
B ．24＋3π
C ．20＋4π
D ．24＋4π
15．(0分)[ID ：12368]α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ）
A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n β
B ．α内不共线的三点到β的距离相等
C ．α，β都垂直于平面γ
D ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α
二、填空题
16．(0分)[ID ：12492]已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则
sin θ=______.
17．(0分)[ID ：12474]如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面
ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，设AK t =，则t 的取值范围是__________．
18．(0分)[ID ：12457]点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.
19．(0分)[ID ：12519]已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.
20．(0分)[ID ：12470]已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 21．(0分)[ID ：12454]如图，在ABC 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角
E BD C --的大小为_______________.
22．(0分)[ID ：12445]正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若16
3
P
ABCD
V ，则球O 的体积是______． 23．(0分)[ID ：12505]小明在解题中发现函数()3
2x f x x -=
-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()
0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，类似地，他研究了函
数()3
2
x g x x -=
-，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____ 24．(0分)[ID ：12501]若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线
()2
:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.
25．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于23的正方体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.
三、解答题
26．(0分)[ID ：12571]如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，
2DC AC AB AE ===．
（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ； （Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．
27．(0分)[ID ：12612]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面
ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．
（1）求证：//AB 平面DEF ； （2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ； （3）求三棱锥1E ACB -的体积.
28．(0分)[ID ：12541]如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，
,M N 分别为AC ，11B C 的中点.
（1）求证：//MN 平面11ABB A ； （2）求证：1AN A B ⊥.
29．(0分)[ID ：12609]在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和
2:10l x y ++=，定点(1,2)A .
（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；
（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.
30．(0分)[ID ：12598]如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于
CD ，AE ⊥平面CDE ，且1AE =,2AB =. (Ⅰ)求证：AB ⊥平面ADE ； (Ⅱ)求凸多面体ABCDE 的体积.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
2．A
3．B
4．A
5．C
6．D
7．A
8．B
9．C
10．A
11．C
12．D
13．D
14．A
15．D
二、填空题
16．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案
17．【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平面则又则因为所以故综上的取值范围为点睛:立体几何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件
18．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两
19．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C（2a）当∠MFN最大时过点MNF的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时
r=∠MCN＜90
20．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m所以
l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α
21．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本
22．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥
23．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得
24．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆
25．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01
tan 2
k α==
，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率2
2tan 4tan 21tan 3k ααα==
=-，又经过点（1,0），所以直线方程为4
(1)3
y x =-，即4340x y --=，选D.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角. 【详解】
在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，
过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面， 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内， 且,l αβα
β⊥=，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，
做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒， 若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，
过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，
所以b PA '⊥，即1
,cos 2
OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=
<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，
所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒. 故选：A.
【点睛】
本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
依题意由111A B C △的面积为22114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】
依题意，因为111A B C △的面积为2 所以1111122sin 452AC B C ︒=
⨯⋅=111222B C ⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥， 由勾股定理得：22228268217AB AC BC =+=+==
故选B ． 【点睛】
本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '
轴平行且长度减半.
4．A
解析：A 【解析】
【分析】
设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】
正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，
设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O . 则22
a OA =
,1PO ⊥ 平面ABCD . 则22211OO O A OA +=,即()2
22
2332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭
，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()
2211
12233
V a h h h h =⨯=- 令()(
)2
122f h h h
h =-，则()2
246f h h h
'=-
当04h <<时，()0f h '>，f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，f h 单调递减.
所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：(
)2
1
641242443
3
⨯⨯-⨯⨯= . 故选：A
【点睛】
本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面
ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.
【详解】
三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是
直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==
++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.
故选：C
【点睛】
本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.
【详解】
解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；
m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；
αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；
//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；
故选：D
【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.
7．A
解析：A
【解析】
如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，
则,MN BD NP AC ，
∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．
又由题意得PQ MQ ⊥，11,22
PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =
又112,222
MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形，
∴60PNM =︒∠，
∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为
12
．选A ． 点睛：
用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 8．B
解析：B
【解析】
化简圆M:x 2+(y −a)2=a 2⇒M(0,a),r 1=a ⇒M 到直线x +y =0的距离d =√2⇒ (√2)2+2=a 2⇒a =2⇒M(0,2),r 1=2， 又N(1,1),r 2=1⇒|MN|=√2⇒|r 1−r 2|<|MN|< |r 1+r 2|⇒两圆相交. 选B
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A
==，2
222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，解得答案. 【详解】 SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6
SBA π
∠=，故4SA =.
ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A =
=，设球O 的半径为R ，
则2
222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C .
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.
【详解】
圆M ：2220x y y =++，即()2
211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .
【点睛】
本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.
【详解】
因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，
即1522r AC ===，所以334451253326
V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.
故选：C
【点睛】
本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.
12．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =，即12133
DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54
R =，则这个球的表面积为：2
525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭
；故选Ｄ． 考点：球内接多面体，球的表面积． 13．D
解析：D
【解析】
【分析】
先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.
【详解】
如图：连接1C D ，BD ，
在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．
1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；
AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；
∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.
14．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，
下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是
20＋3π，
故选A.
考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 15．D
解析：D
【解析】
【分析】
A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．
B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．
C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．
D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．
【详解】
由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．
对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β
或者α与β相交．所以B 错误．
对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．
对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．
二、填空题
16．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案 解析：33
【解析】
【分析】
棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ.
【详解】
因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，
所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，
设棱长为：1，126AO AO ==，易知2
32sin 36θ==. 故答案为：33
【点睛】
本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.
17．【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平面则又则因为所以故综上的取值范围为点睛:立体几何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件 解析：1
,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】
当F 位于DC 的中点，点D 与AB 中点重合，1t =．
随F 点到C 点，由CB AB ⊥，CB DK ⊥，
得CB ⊥平面ADB ，则CB BD ⊥．
又2CD =，1BC =，则BD =．
因为1AD =，2AB =，
所以AD BD ⊥，故12
t =． 综上，t 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.
18．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两
解析：【解析】
【分析】
先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线
()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果.
【详解】
化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=，
由2109504
x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩， 所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，
点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是
点(5,2)与点()9,4-==
故答案为
【点睛】
本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.
19．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-
3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90
解析：22(2)(1)2x y -+-=
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．
=，
∴a=1或9，
a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，
a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，
则所求圆的方程为22
(2)(1)2x y -+-=
考点：圆的标准方程 20．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl⊥m 所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl⊥α 解析：②④
【解析】
【分析】
对每一个选项分析判断得解.
【详解】
根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．
故答案为②④
【点睛】
本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
21．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小
【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本 解析：60°
【解析】
【分析】
首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小.
【详解】
由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面
角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则SB BC ==2SC =，所以在Rt SAC ∆中，12
SA SC =
，所以30SCA ∠=，所以60EDC ∠=. 故答案为：60
【点睛】 本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 22．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥 解析：323
π 【解析】
【分析】
正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积．
【详解】
∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正
方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则AB =，
22)2ABCD S R ==，211162333
P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =， ∴3344322333
V R πππ==⨯=球． 故答案为：323
π． 【点睛】
本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥
中的线段长之间的关系．
23．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得
解析：2] 【解析】
【分析】
根据斜率的几何意义，(
)g x =
表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解.
【详解】 (
)g x =
为点(x 与点(2,3)连线的斜率，
点([0,1]x x ∈
在函数[0,1]y x =
∈图像上， (1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221
AB k -==-， 最小值为过A
点与[0,1]y x =∈图象相切的切线斜率，
设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+
，代入[0,1]y x =
∈得，
320,0,14(32)0kx k k k k --=≠∆=--=，
即281210k k -+=
，解得34k +=
或34
k =
当34k +=
3[0,1]4
=
=-，
当k =
3[0,1]==+ 不合题意，舍去， ()g x
值域为2]. 故答案为
:3[2]4+.
【点睛】
本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
24．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值
【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆 解析：15
【解析】
【分析】
将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值.
【详解】
将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11
x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，
将曲线C 的方程变形为()()()22
2242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：
由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415
PA k -==+.
故答案为：
15
. 【点睛】 本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
25．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【 解析：3π.
【解析】
【分析】
当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值．
【详解】
解：棱长等于1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||OE =
当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，r 33S ππ=⨯=， 故答案为：3π．
【点睛】
本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．
三、解答题
26． （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
23. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接PF ，由题意可得//PE AF ，由面面垂直的性质和等腰三角形的性质可得DC ⊥平面ABC ，AF BC ⊥，进而可得AF ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BCD ，由面面垂直的判定即可得证；
（Ⅱ）由（1）知PE ⊥平面BDF ，计算出PE BF ==BDF S =三棱锥体积公式即可得解.
【详解】
（Ⅰ）证明：连接PF ，
F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，∴//PF CD 且1
2PF CD =，
//AE CD 且2DC AE =，∴//PF AE 且PF AE =，
∴四边形AEPF 为平行四边形，∴//PE AF ，
平面AEDC ⊥平面ABC ，平面AEDC 平面ABC AC =，90ACD ∠=︒， ∴DC ⊥平面ABC ，∴DC AF ⊥，
又AC AB =，∴AF BC ⊥，
BC DC C =，∴AF ⊥平面BCD ，∴PE ⊥平面BCD ，
又PE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得PE ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BDF ，
22DC AC AB AE ====，90ACD BAC ∠=∠=︒
∴221122222PE AF BF BC ===
=+= ∴122
BDF S BF DC =⋅=， ∴113
32223BDF E BDF S PE V -⋅===. 【点睛】
本题考查了面面垂直的判定和三棱锥体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题. 27．
（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
23
. 【解析】
【分析】
（1）由题意可知DE AB ，从而得证；
（2）要证平面1ACB ⊥平面DEF ，转证EF ⊥平面1ACB ，即证AC EF ⊥，1EF CB ⊥； （3）利用等积法即可得到结果.
【详解】
（1）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB ,
又因为,D E 分别为1111,AC B C 的中点，所以DE 11A B ,
于是DE AB , AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ,
所以AB 平面DEF .
(2) 在三棱柱111ABC A B C -中，
1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC
所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥,
又AC BC ⊥,
1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂平面11C BC B ,
所以AC ⊥平面11C BC B ,
EF ⊂平面11C BC B ,
所以AC EF ⊥ ,
又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥，
所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ ,
而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC ,
所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C ⋂=，1,AC CB ⊂平面1ACB ,
所以EF ⊥平面1ACB ,
又EF ⊂平面DEF ,
所以平面1ACB ⊥平面DEF .
（3） 1111233
E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==
⋅= . 【点睛】
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 28．
（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，通过中位线定理求证四边形1PMNB 是平行四边形，进而求证；
（2）连接1AB ，，设法证明11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，进而证明1A B ⊥平面1AB N ，求得1A B AN ⊥.
【详解】
解：（1）如图，取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，,M P 分别是,AC AB 的中点，
//PM BC ∴，且12
PM BC =，在直三棱柱11t ABC A B C -中， 11//BC B C ，11BC B C =， N 是11B C 的中点，∴1PM B N =，且1//PM B N ， ∴四边形1PMNB 是平行四边形，1//MN PB ∴，
而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，
//MN ∴平面11ABB A . （2）如图，连接1AB ，由111ABC A B C -是直三棱柱，90ABC ︒∠=，1AB AA =可知，111B C BB ⊥，1111B C A B ⊥，1111BB B A B =，
∴11B C ⊥平面11A B BA ，111B C A B ∴⊥，
又侧面11A B BA 为正方形，11A B AB ∴⊥，1111AB B C B ⋂=，1A B ∴⊥平面11AB C ， 又AN ⊂平面11AB C ，1A B AN ∴⊥
【点睛】
本题考查线面平行，线线垂直的证明，属于中档题.
29．
（1）:31AP y x =-；（2）7170x y ++=.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线AP 的方程；
（2）根据题意，设()33,B t t +，则342,2
2t t M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用点M 在直线2l 上，得2t =-，()3,2B --，再利用到角公式得17
BC k =-，即可得到BC 的直线方程. 【详解】。