湖北武汉市乐其教育九年级分配生数学讲义：第一讲 一元二次方程根及根的判别式

第一讲一元二次方程根及根的判别式【课前导读-—知识要点】
一、一元二次方程根的定义
若x
0 是一元二次方程ａx2+bx+ｃ= 0 ( a ≠ 0 )的根,则有:ａx
2+bx
+c = 0 、
记住:①若ａ+ｂ+ｃ=０⇔方程ax2 +ｂｘ+ｃ=０有一根为x =1;
②若ａ-b +c =0 ⇔方程ａx2 +bx +c =０有一根为x
＝-1;
③若4a + 2ｂ+c = 0 ⇔方程ax２+bｘ+ｃ= 0 有一根为x
=2;
④若4a - 2b +ｃ= 0 ⇔方程ax2 +ｂx + c = 0 有一根为x
=－２;
⑤若ｃ=０⇔方程ａx2 +bx +ｃ= 0 有一根为ｘ=0、
二、公共根及相关问题:实质就是构造二元二次方程组;
三、一元二次方程的解法:直接开方法、配方法、因式分解法、求根公式法;
四、关于x 的一元二次方程ax2 +bx +c =0 根的判别式:△＝b2 -４ａc :
(1)当△＞0 时,方程有两个不相等的实根;
(2)当△=0 时,方程有两个相等的实根;
(3)当△<0 时,方程无实根;
注意:在无法确定 a ≠ 0 的条件下, b2 - 4ａc 只是一个普通代数式而已,不能作为根的差别式去判断方程的根
五、根的判别式的应用
(1)利用判别式,判定方程实根的个数;
(２)运用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数或参数的取值范围;
(3)通过判别式,证明与方程相关的代数问题,解几何存在性、最值问题、注意:
利用根的判别式解含参数的二次方程题时,要注意检验陷阱“a ”、
【课前自主练】
１、关于x 的方程(ｎ+１) xｎ+1 +(n -１) x + 3n = 0 是一元二次方程,则它的一次项系数为( )。

(A)１ﻩ(B)—2ﻩ(C)0ﻩ(D)—２或0
2、若x =m 是方程ｘ2 +x -１= 0 的根,则式子m3 -m2 -３m +7 的值为(ﻩ)。

(A)５ﻩ(B)7ﻩ(C)—5 (D)—7
3、已知下面三个关于x 的一元二次方程ａx2 +bｘ+c = 0 , bx2 +cx + a =０, cx2 +ax +b = 0 恰好
有一个相同的实根,则a +ｂ+c 的值为( )。

(A)0 (Ｂ)1ﻩ(C)２(D)３
4。

若关于ｘ2 -mｘ+２=０与ｘ2 - (ｍ+1) x +m =0 有一个相同的实根,则ｍ的值为(ﻩ)。

(A)4ﻩ(B)3ﻩ(C)２ﻩ(D)－3
5 。

已知关于x 的一元二次方程x2 - 4 x+ｍ= 0 某个根的相反数是另一个关于x 的一元二次方程
x2 +3x + 2m = 0 的一个根,则m 的值为。

6。

当ｋ= 时,方程4x 2 - (k + 2) x+k -1=0 有两个相等的实数根。

7。

关于x 的方程(1 - 2ｋ)x2 - 2 x -1=０有两个不相等的实数根,则ｋ的取值范围是。

【新知讲授】
例一、利用根的定义求高次代数式的值(降次整体代入法)
1。

已知 a 是方程ｘ2 -x - 1 = 0 的根,求代数式的值;
２、已知,求代数式的值
3、已知a 是方程x2 -x - 990０= 0 的一个正根,求代数式的值、
4、(1)复合二次根式的化简
(1);(2);
(3);(4);
(5);(6);
(2)已知x =,求的值、
例二、公共根问题
1、若关于x 的一元二次方程ｘ2 +mｘ+ 1 = 0 与x2 +x +m = 0 有且只有一个公共根,求m 的值,
并求这个公共根、
2。

已知m ≠ｎ,且关于ｘ的方程x2 +mx +n =０的一根也是若关于x 的方程x２+ｎｘ+ｍ=
0 根,求(m +n)2０19
的值。

3 、若关于x 的一元二次方程ｘ2 + 4x +m =0 的一个根的相反数是另一个关于x 的
一元二次方程
x２-３ｘ+ 2 - 2m =０的一个根,求m 的值、
４、已知ｍ≠0,且关于x 的一元二次方程x2 -ｘ+3m =0 中的一个解是另一个关于x 的一元二次方程
x２+x +m = 0 中的某个解的3 倍,求实数m 的值、
例三、根的判别式
1、有两个一元二次方程:M: ax2 +bｘ+ c =0,N: cｘ2 +ｂx + a =0,其中a + c = 0 ,以下列四个
结论中:①两个方程一定都有两个不相等的实数根;②两个方程一定都没有实数根;③假如 5 是方程M 的
一个根,那么是方程N 的一个根;④如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么这个根必是x =±1, 其中正确结论的个数是( )。

(Ａ)１个(B)２个(Ｃ)3 个(D)4 个
2。

已知三个关于x 的方程①x2 -x +m = 0 ,②(m -1) x2 +２x +１= 0 ,③(m - 2) x2 + 2x -1 = 0 ,若其中至少有两个方程有实数根,则ｍ的取值范围为( )、
(A) ｍ≤2(B) m≤或1≤m≤2(C) m ≥1(Ｄ)≤m≤１３、若实数a 、b 满足a -aｂ+b2 + 2 =0,则实数ａ的取值范围为( )、
(A) a ≤—２(Ｂ) a ≥4(C)ａ≤-2 或a ≥4(D)-2≤ｍ≤4
4、设方程ｘ2 +ax =4只有3 个根,则 a ＝ﻩ,三个根的和为、
5、若关于x 的方程x2 -a x +a2 - 3 =０只有一个实数解,则实数ａ的值为ﻩ、
6、若关于x 的方程x2 - (ｍ+５) x +４=m 恰好有三个实数解,则实数m 的值为ﻩ、
7、若关于x 的方程x2 -5x =ｍ有且只有两个不相等的实数解,则ａ的取值范围为。

８。

已知a、b、c 是△ABC 的三边,且关于x 的一元二次方程(b +c) x2 +(a -c) x -(a -c) = 0 有两个相等的实数根
(1)判断△ＡBC 的形状
(2)若ａ-５b +2c =0 ,求 a :b :ｃ的值、
9、已知ａ、b、c 是△ＡBＣ的三边,且关于x 的一元二次方程ｂ( x 2 -1) - 2ax +c( x2 +1) = 0 有
两个相等的实数根、
(1)判断△AＢC 的形状;
(2)若4a =3b ,求此一元二次方程的根、
１０、当a 、ｂ为何值时,关于x 的一元二次方程x2 +2(1 +a) ｘ+３a2 +4ab +
4b2 + 2 =０有实根、
11、实数ｘ,y 满足(2ｘ+1)２+y2 +(y -２ｘ)2 =,求x +y 的值、
１2。

(1)求分式的最小值;
(２)实数x,ｙ满足( x -２)2 +ｙ 2 = 3 ,求的最大值、
１3、如图,已知在矩形ABCD 中,AB= a ,BＣ= b ,点M 为AD 边上的一点,且∠BMC=90°、
(1)当a 、b 满足什么条件时,满足条件的点M 有且只有一个?
(２)当ａ、ｂ满足什么条件时,满足条件的点M 有两个？
(3)当ａ、ｂ满足什么条件时,满足条件的点M 不存在？ﻮA M
D
ＢﻩC
14、如图,正方形ABＣD 中,Ｅ、F 分别在边BＣ、CD 上,且∠ＥAF=45°、
(1)请直接写出线段BＥ、DF 与EＦ的数量关系: ﻩ;
(2)求的最小值、
ﻩA D
F
BﻩＥC
第一课时作业
1、若关于x 的二次方程(m -2)2 ｘ2 + (2m +１) x +1 = 0 有两个不相等的实根,则ｍ的取值范围是(ﻩ)、
(Ａ) ｍ< (B) m ≤(C) m ＞且m ≠２(Ｄ) m ＜且m ≠±２
２、若两个方程ｘ２+aｘ+ｂ=０和ｘ2 +bx +a = 0 只有一个公共根,则( )、(Ａ) a =b(B) a +ｂ= 0(C) a +ｂ=１(D) a +ｂ=-1
3、如果关于ｘ的一元二次方程ax2 +bx +c = 0 有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2 倍,则称
这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,正确的是ﻩ。

(写出所有正确说法的序号)
①方程x2 -x -２= 0 是倍根方程;
②若( ｘ- 2)(ｍx +n) = 0 是倍根方程,则4m2 +５ｍn +ｎ2 =０;
③若点( p,q) 在反比例函数ｙ=的图像上,则关于x 的方程ｐx2 + 3ｘ+q = 0 是倍根方程;
④若方程ax２+bx +c = 0是倍根方程, 且相异两点M (1 +ｔ,s) , N(4 -ｔ,ｓ) 都在抛物线
y =ax2 +bx +ｃ上,则方程ax２+ｂx +c = 0 的一个根为
４、若关于ｘ的方程x2 +2ｘ-1=０有两个不相等的实根,则k 的取值范围是ﻩ、
５。

若关于x 的方程ax2 + 2(ａ+ 2) x+a =０有实数解,那么实数a 的取值范围是、
６、已知x2 -3ｘ- 2 = 0 ,那么代数式的值是、
7、若x2 - 5x +1= 0 ,则2 x２- 9x +３、
8 、已知a 是关于ｘ的一元二次方程x２- (２ｋ+1) x+ 4 =０和3ｘ2 -(6k -１) ｘ+ 8 =０的公共解, 则
a = , k ＝ﻩ、
９、若关于x 的一元二次方程ａ( x+m)2 +b =０(ａ、b、m 均为常数)的解是x1=-2,x2=1,则关于ｘ的一元
二次方程a( ｘ+ｍ+ 2)2 +b =０的解是、
１0、(1)已知a 是方程x2 - 3x +1= 0 的根,求代数式的值;
(２)已知,求代数式的值、
１1、若关于x 的一元二次方程x2 +mx +１= 0 与x2 -ｘ-ｍ=０有一个公共根,求m 的值,并求这个公共根、
12。

是否存在某个实数m ,使得方程ｘ2 +mｘ+ 2 =0 和x2 +２x +ｍ= 0 有且只有一个公共的实根?如果存在, 求出这个实数m 及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由、
１3。

(1)已知ｘ２+ｙ2 +xy - 3 y + 3 = 0 ,求ｘy 的值;
(２)已知ｘ2 +xy +ｙ２-3x -３y+３= 0 ,求的值。

(3)已知实数x 、y 满足５x2 - 3xｙ+y 2 - 2 x +y += 0 ,求2x -3y的值、。