定义与命题复习
2022-2023学年苏科版数学七年级下学期期末复习微专练 定义与命题(含答案)
苏科版数学七年级下学期常考题微专练：定义与命题一、单选题（每空3分，共30分）1．下列说法正确的是( )A．每个定理都有逆定理B．真命题的逆命题都是真命题C．每个命题都有逆命题D．假命题的逆命题都是假命题2．（2022七下·常州期末）下列命题中，真命题是（ ）A．如果a＋b＝0，那么|a|=|b|B．两个锐角的和是钝角C．如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点D．任何数的平方都大于03．（2022七下·泗洪期末）下列命题中，是假命题的是（ ）A．等角的余角相等B．平行于同一条直线的两条直线平行C．两直线平行，同位角相等D．若a>b，且m≠0，则am>bm4．（2022七下·仪征期末）下列命题中，真命题是（ ）A．相等的角是对顶角B．不相交的两条直线是平行线C．等角的余角相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等5．（2022·徐州期末）下列命题中的假命题是（ ）A．平行于同一条直线的两条直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．直角三角形的两个锐角互余6．（2022七下·江都期末）下列命题中，属于真命题的是（ ）A．如果|a|=|b|，那么a=b B．如果ac>bc，那么a>bC．如果a2=b2，那么a=b D．如果ab=0，那么a=0或b=0 7．（2022七下·苏州期末）下列命题中的真命题是（ ）A．相等的角是对顶角B．内错角相等C．如果a3＝b3，那么a2＝b2D．两个角的两边分别平行，则这两个角相等8．（2022七下·亭湖期末）下列四个命题中，是假命题的是（ ）A．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．三角形任意两边之和大于第三边D．如果a=b，a=c，那么b=c9．（2022七下·镇江期末）下列命题：①两直线平行，内错角相等；②三角形的外角和是180°；③互为相反数的两个数的和为零；④若n>1，则n2―1>0.其中，假命题有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2020七下·鼓楼期末）下列命题与它的逆命题均为真命题的是（ ）A．内错角相等B．对顶角相等C．如果ab=0，那么a=0D．互为相反数的两个数和为0二、填空题（每空4分，共36分）11．（2022七下·海州期末）命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．12．（2022七下·相城期末）命题“如果x2≥1，那么x≥1”是 命题．（选填“真”或“假”）13．（2022七下·仪征期末）命题：“若m=n，则m2=n2”的逆命题为 . 14．（2022七下·常州期末）命题“正整数是自然数”的逆命题是 ．15．（2022七下·泗洪期末）命题“如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”的逆命题是： ．16．（2022七下·镇江期末）命题“能被5整除的数，它的末位数字是5”的逆命题是 .17．（2021七下·江都期末）命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是 命题.（填“真”或“假”）.18．（2022七下·东海期末）“如果a2>b2，那么a>b”是假命题，请举出一个反例．在你举出的反例中，a= ，b= ．三、解答题（共4题，共44分）19．（2017七下·泗阳期末）已知：三条不同的直线a、b、c在同一平面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b. 请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，其中一个事项作为结论(用如果…那么…的形式，写出命题，例如：如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b).⑴写出一个真命题，并证明它的正确性；⑵写出一个假命题，并举出反例.20．（2022七下·吴江期末）如图，现有以下三个条件：①AB//CD，②∠B=∠C，③∠E=∠F.请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题.（1）你构造的是哪几个命题？（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例（证明其中的一个命题即可）.21．（2022七下·泗洪期末）如图，有三个条件：①∠1=∠2，②∠C=∠D，③∠A=∠F，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：以③作为结论的命题是：如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F（1）请按要求写出命题：以①作为结论的命题是： ；以②作为结论的命题是： ；（2）请证明以②作为结论的命题．22．（2019七下·兴化期末）（1）把下面的证明补充完整：如图，已知直线EF分别交直线AB、CD于点M、N，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH 平分∠END.求证：MG∥NH证明：∵AB∥CD（已知）∴∠EMB＝∠END（ ）∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知），∴∠EMG＝12∠EMB，∠ENH＝12∠END（ ），∴（等量代换）∴MG∥NH（ ）.（2）你在第（1）小题的证明过程中，应用了哪两个互逆的真命题？请直接写出这一对互逆的真命题.答案解析部分1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】假12．【答案】假13．【答案】若m2=n2，则m=n14．【答案】自然数是正整数15．【答案】直角三角形的两个锐角互余16．【答案】如果一个数字的末位数字是5，那么这个数能被5整除17．【答案】假18．【答案】﹣1（答案不唯一）；0（答案不唯一）19．【答案】解：本题答案不唯一，（1）已知：b∥c，a⊥b，结论a⊥c；证明：如图：∵b∥c，∴∠1＝∠2，又∵a⊥b，∴∠1=90°，∴∠2=90°，∴a⊥c.（2）如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b；反例，如上图，a⊥c，b⊥c，那么a∥b.20．【答案】（1）解：有：如果AB//CD，∠B=∠C，那么∠E=∠F；如果AB//CD，∠E=∠F，那么∠B=∠C；如果∠B=∠C，∠E=∠F，那么AB//CD；（2）解：如图：∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，∴CE∥BF，∴∠E=∠F，∴如果AB//CD，∠B=∠C，那么∠E=∠F为真命题；∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∴∠B=∠C，∴如果AB//CD，∠E=∠F，那么∠B=∠C为真命题；∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∵∠B=∠C，∴∠B=∠CDF，∴AB∥CD，∴如果∠B=∠C，∠E=∠F，那么AB//CD为真命题.21．【答案】（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．（2）解：∵∠1＝∠2∴DB//EC∴∠DBA=∠C∵∠A＝∠F∴DF//AC∴∠D=∠DBA∴∠C=∠D．22．【答案】（1）证明：∵AB∥CD（已知）∴∠EMB＝∠END（两直线平行，同位角相等）∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知）∴∠EMG＝12∠EMB，∠ENH＝12∠END（角平分线定义），∴∠EMG＝∠ENH（等量代换）∴MG∥NH（同位角相等，两直线平行）（2）解：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行。
【例题与讲解】定义与命题
2定义与命题1．定义对某些名称或术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是对名称和术语下定义．谈重点下定义的注意事项①在定义中，必须揭示出事物与其他事物的本质属性的区别．②定义的双重性：定义本身既可以当性质用，又可以当判定用．③语句必须通顺、严格、准确，一般不能用“大约”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的词语．要有利于人们对被定义的事物或名词与其他事物或名词区别．②【例1】下列语句，属于定义的是()．A．两点之间线段最短B．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线C．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半D．三人行则必有我师焉解析：判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定．很明显，A，C，D没有对名称或术语作出描述，故应选B.答案：B点技巧分清定义与命题注意定义与命题的区分，作出判断的是命题，对名称或术语作出描述的是定义．2．命题(1)定义：判断一件事情的句子，叫做命题．(2)命题的组成结构：①每个命题都是由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．②有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，条件和结论不明显．对于这样的命题，要经过分析才能找到条件和结论，也可以将它们改写成“如果……那么……”的形式．命题的条件部分，有时也可用“已知……”或“若……”等形式表述．命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．谈重点改写命题命题的改写不能是简单地加上“如果”“那么”，而应当使改写的命题和原来的命题内容不变，且语句通顺完整，命题的条件、结论要清楚可见．有些命题条件和结论不一定只有一个，要注意区分．【例2】指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④矩形的四个角都是直角．分析：命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．解：①条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行．②条件：ab＝1，结论：a与b互为倒数．③条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．④条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角．点技巧分清条件和结论“若……则……”形式的命题中“若”后面是条件，“则”后面是结论．3．公理、定理、证明(1)公理公认的真命题称为公理．①公理是不需推理论证的真命题．②公理可以作为推理论证定理及其他命题真假的依据．常用的几个公理：①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．⑤三边对应相等的两个三角形全等．⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等．其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理．(2)定理有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理．①定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理．②定理可以作为推理论证其他命题的依据．(3)证明推理的过程叫证明．推理必须做到步步有据，条条有理．【例3】下列说法正确的是()．A．真命题都可以作为定理B．公理不需要证明C．定理不一定都要证明D．证明只能根据定义、公理进行解析：真命题并不都是定理，故选项A不正确；定理必须经过证明，故选项C不正确；证明可以根据定义、公理、定理进行，故选项D不正确；公理是公认的真命题，不需要证明，故选B.答案：B点评：掌握公理、定理、命题之间的区别，明确其含义，是解决本题的关键．4．命题及真假命题的判断(1)命题的判断判断一个句子是否为命题，要根据命题的定义．①命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断，即具有明确的判断性．如果一个句子对某一件事情没有作出任何判断，那么它就不是命题．②命题并不是数学所独有，凡是判断某一件事情的正确或错误的语句都是命题．③命题是陈述语句，其他形式的句子，如：疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题．如：“你爱好什么运动？”没有作出判断，这不是命题．注意：错误的判断也是命题，不能以正确与否来判断是否为命题．(2)真假命题的判断命题是一个判断，这个判断可能正确，也可能错误．因此可以将命题分为真命题和假命题．①正确的命题称为真命题．②不正确的命题称为假命题．③真命题、假命题的判断与比较：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据公理和定理证明．谈重点判断真假命题的方法①如果题设成立，结论也一定成立，那么这样的命题为真命题；②如果题设成立，但结论不成立，这样的命题为假命题．【例4－1】下列句子中是命题的有__________(填序号)．①直角三角形中的两个锐角互余．②正数都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互补．④太阳不是行星．⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角．解析：判断是否为命题，要根据命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断．所以①②③是命题，它们都对事情作出了肯定回答；④是命题，它对事情作出了否定回答；⑤不是陈述语句；⑥只是描述了一个作图的过程，并未作出判断，不是命题．答案：①②③④【例4－2】下列命题中，真命题是()．A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0 解析：分析是否为真命题，需要分析各题设能否推出结论，从而利用排除法得出答案．由a·b＞0可得a，b同号，可能同为正，也可能同为负，所以A是假命题；a·b＜0可得a，b异号，所以B是假命题；a·b＝0可得a，b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，所以C是假命题；若a·b＝0，则a＝0，或b＝0，或二者同时为0，所以D是真命题．故选D.答案： D【例4－3】已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有__________(填序号)．解析：答案析规律巧判真假命题命题是判断事情的语句．若命题判断的事情是正确的，则命题是真命题；反之，命题为假命题．5．命题的组合命题是由条件和结论组成的，当条件成立，结论也成立时，该命题即为真命题．命题的组成就是通过选择一定的条件，使结论成立，即组成真命题．组合新的命题是考察命题的概念及有关知识的重要题型．该题型常见于对几何的考查，一般是给出几个单独的论断，根据有关知识内容结合图形重新组合写出正确的命题．命题的条件和结论往往不是固定的，要使所组合的命题是正确的，要求必须理解掌握有关的知识内容．点评：①命题组合时，条件可能不止一个，注意两个条件的情况．②组合命题一般是几何中的某一图形的性质或者判定．【例5－1】如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________．(用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式写出)解析：答案不唯一，如：由AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，得到△ABD≌△ACE，则AD＝AE.所以①③④⇒②.答案：①③④⇒②【例5－2】对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：__________(用序号表示)．解析：答案不唯一．根据“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行”，可得出：若①②，则④.答案：若①②，则④。
定义与命题(4种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
定义与命题（4种题型）【知识梳理】一、定义能界定某个对象含义的句子叫做定义．二、命题判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题．命题通常由条件、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．三、定理用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据．要点诠释：也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.【考点剖析】一、判断是否是命题例1．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）下列语句不是．．命题的是（）A．三角形的内角和等于180度B．把16开平方C．直角都相等D．对顶角相等【答案】B【分析】根据命题的定义即可进行解答．【详解】解：A、C、D都是命题，B不是命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了命题的定义，解题的关键是掌握：“判断一件事情的语句是命题”．【变式1】（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）下列定理中，下面语句是命题的是（ ）A ．π是有理数B ．已知3a =，求2aC ．作ABC ∠的角平分线D ．正数大于一切负数吗？ 【答案】A【分析】根据命题的定义逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、对事情作出了判断，是命题，符合题意；B 、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；C 、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；D 、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意．故选：A ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题是判断一件事情的句子，难度不大．【变式2】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．二、判断命题真假例2. 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？(1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等； (4)，两条直线平行吗?(5)鸟是动物； (6)若，求的值；(7)若，则=．【答案与解析】句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的． a b ＜＜-b a −2230x x −−=a b 24a =a 22a b =a b句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句. 【变式】（2022秋·浙江·八年级专题练习）下列命题中是假命题的是（ ）A ．两条直线相交有2对对顶角B ．互为邻补角的两个角的平分线互相垂直C ．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行D ．互补的两个角一定是邻补角【答案】D【分析】利用对顶角的定义、垂直的定义、平行线的判定及邻补角的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A 、两条直线相交有2对对顶角，正确，是真命题，不符合题意；B 、互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，不符合题意；C 、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；D 、互补的两个角不一定是邻补角，故错误，是假命题，符合题意．故选：D ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、垂直的定义、平行线的判定及邻补角的定义，难度不大．三、举例说明命题真假【答案】C【分析】根据当1n =时，214n =<即可得到答案． 【详解】解：当1n =时，214n =<，∴若2n >−，则24n >”是假命题的反例是1n =，故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握假命题的概念是解题的关键． 【变式】．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）要说明命题“若22a b >，则a b >”是假命题，能举的一个反例是（ ）A ．1a =，2b =−B ．2a =，1b =C ．4a =，1b =-D ．3a =−，2b =−【答案】D【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【详解】解：A 、当1a =，2b =−时，()2212<−不符合22a b >， ∴1a =，2b =−不是假命题的反例，不符合题意；B 、当2a =，1b =时，2221>，而21>，∴2a =，1b =，不是假命题的反例，不符合题意；C 、当4a =，1b =-时，224(1)>−，而41>−，4a ∴=，1b =-不是假命题的反例，不符合题意；D 、当3a =−，2b =−时，()()2232−>−，而32−<−，3a ∴=−，2b =−是假命题的反例，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查的是命题与定理，解题的关键是掌握要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．四、写出命题的条件与结论例4.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；【答案与解析】（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。
第2课定义与命题(学生版)八年级数学上册讲义(浙教版)
第2课定义与命题目标导航学习目标1.了解定义、命题、定理的含义；2.了解命题的结构，会把一个命题写成“如果…那么…”的形式；3.了解真命题和假命题的概念，会判定命题的真假；知识精讲知识点01 定义、命题、定理的含义1.定义：一般地，能清楚地规定某一名词或者术语的意义的语句叫做该名词或术语的定义.2.命题：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题.3.定理：用推理方法判断为正确的命题叫做定理注：定理是真命题，但不是全部真命题都可以称为定理，通常只把一些常用的真命题列为定理.知识点02 命题的结构1.命题的结构：命题一般由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.2.命题的一般形式：“如果…，那么…”，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．知识点03 真命题与假命题1.真命题：正确的命题叫真命题，2.假命题：不正确的命题叫做假命题．注：要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确的.要判定一个命题是假命题，通常只需给出一个反例能力拓展考点01 定义、命题、定理的含义【典例1】下列选项中不是命题的是（）A．过直线外一点作这条直线的垂线B．带根号的数都是无理数C．三角形任意两边之和大于第三边D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行【即学即练1】下列语句中：（1）你去哪里？（2）2022年北京冬奥会；（3）对顶角相等；（4）3不是奇数．命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点02 命题的结构【典例2】命题“如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”的题设是，结论是，它是命题．【即学即练2】把下列命题改成“如果…那么…”的形式．（1）不相交的两条直线是平行线（2）相等的两个角是对顶角（3）经过一点有且只有一条垂线（4）直角都相等．考点03 判断命题的真假【典例3】下列命题中是真命题的是（）A．同位角相等B．平行于同一条直线的两直线平行C．垂直于同一条直线的两直线平行D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条【即学即练2】下列语句是假命题的有（）A．同角的余角相等B．平行于同一条直线的两条直线平行C．同位角相等D．同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行分层提分题组A 基础过关练1．下列句子中是命题的是（）A．画∠A＝30°B．您好！C．对顶角不相等D．谁？2．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．其中真命题有（）个A．1 B．2 C．3 D．43．下列命题是假命题的是（）A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3B．对顶角相等C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除D．内错角相等4．下列命题中，为真命题的是（）A．内错角相等B．对顶角相等C．同位角相等D．互补的两个角是邻补角5．命题一般都由条件和结论两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是．6．一个命题由“题设”和“结论”两部分组成．则命题“如果同旁内角互补，那么两直线平行”的题设是．7．命题：直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a∥c；则此命题为命题．（填真或假）8．把下面的命题改写成“如果…那么…”形式：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等9．下面语句是那个定义的特征？（1）连接三角形的顶点和对边中点的线段；（2）三角形一边的延长线和另一边组成的角；（3）不等式组中各个不等式的解集的公共部分；（4）点到直线的垂线段的长度．10．指出下列命题的题设和结论：（1）“平行于同一直线的两条直线互相平行”命题的题设、结论．题设是：，结论是：．（2）“两个负数的和是负数”命题的题设、结论．题设是：，结论是：．（3）“相交的两条直线一定不平行”命题的题设、结论．题设是：，结论是：．（4）“任意两个偶数之差是偶数”命题的题设、结论．题设是：，结论是：．题组B 能力提升练11．下列命题中，属于真命题的是（）A．同旁内角互补B．若a＜1，则a2﹣1＜0 C．直角都相等D．相等的角是对顶角12．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（）A．x＝B．x＝3 C．x＝﹣D．x＝π13．下列命题中①相等的角是对顶角；②无理数就是开方开不尽的数；③同旁内角互补；④数轴上的点与实数一一对应．是真命题的有（）A．1 个B．2个C．3个D．4个14．将命题“两个锐角的和是钝角”改写成“如果……那么……”的形式是15．判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论．（1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）画一个60°的角．16．写出下列命题的条件和结论．（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）绝对值等于3的数是3；（3）如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线．题组C 培优拔尖练17．下列语句中，不是命题的是（）A．如果b＜a，那么a＞b B．同旁内角互补C．反向延长射线MN D．垂线段最短18．下列命题中是真命题的是（）A．同位角相等B．若a2＝b2，则a＝b C．等角的补角相等D．两条直线不相交就平行19．对顶角相等是（真或假）命题，此命题的题设是结论是．20．请举出一个关于角相等的定理：．21．已知下列语句：①平角都相等；②画两个相等的角；③两直线平行，同位角相等；④等于同一个角的两个角相等吗；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥等腰三角形的两个底角相等，其中是命题的有（填序号）22．指出下列命题的条件和结论．（1）一个锐角的补角大于这个角的余角；（2）不相等的两个角不是对顶角；（3）异号两数相加得零．23．举反例说明下列命题是假命题．（1）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；（2）无限小数是无理数；（3）两直线被第三条直线所截，同位角相等．。
新人教版初中数学——定义、命题、定理-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——定义、命题、定理知识点归纳及中考题型解析一、定义与命题1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．2．判断一件事情的语句叫做命题．3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．二、真命题、假命题1．正确的命题叫做真命题．2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．三、逆命题1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．四、公理与定理1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．五、互逆命题1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．六、反证法1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．考向一命题的改写每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的．但有些命题的题设和结论不明显，它不是以“如果……那么……”的形式给出的．区分这类命题的题设和结论的具体方法：添上省去的词语后再进行分析．典例1把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果……，那么……”的形式为_________．【答案】如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直【解析】如果的后面是条件，那么的后面是结论，注意语句的通顺，表达的准确.故答案为如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直.1．【浙江省绍兴市浣江教育集团2018–2019学年八年级上学期期中数学试题】把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式_________．考向二真命题、假命题1．判断语句是否为命题要抓住两条：①命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断．2．辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决．命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．典例2下列命题是真命题的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形【答案】C【解析】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形；故本选项错误；B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．故本选项错误；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形．故本选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；故选C．2．下列命题中，假命题的是A．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C．一组邻边相等的矩形是正方形D．菱形对角线互相垂直平分考向三互逆命题与互逆定理1．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．3．“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设．典例3下列命题中，逆命题为真命题的是A．对顶角相等B．若a=b，则|a|=|b|C．同位角相等，两直线平行D．若ac2<bc2，则a<b【答案】C【解析】A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，假命题；B、若a=b，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=b，假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，两直线平行，真命题；D、若ac2<bc2，则a<b的逆命题是若a<b，则ac2<bc2，假命题；故选C．3．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是__________．4．有下列命题：①若x2=x，则x=1；②若a2=b2，则a=b；③线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；④相等的弧所对的圆周角相等；其中原命题与逆命题都是真命题的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个考向四反证法①当命题的结论涉及“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法．②矛盾的类型：a．与已知定义、定理、公理相矛盾；b．与已知条件相矛盾；c．推出自相矛盾的结果．③用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏；利用反证法证明时，每一步都要有依据，直到推出矛盾．典例4【福建省福州市仓山区福州时代中学2019–2020学年九年级上学期10月月考数学试题】用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角”时，下列假设正确的是A．三角形中最少有一个角是直角B．三角形中没有一个角是直角C．三角形中三个角全是直角D．三角形中有两个或三个角是直角【答案】D【解析】根据反证法的步骤，则可假设为三角形中有两个或三个角是直角．故选D．【名师点睛】本题考查反证法，判断命题的反面是解题的关键．∥”，第一步应假设：5．用反证法证明“若a c，b c∥，则a b∥B．a与b垂直A．a bC．a与b不一定平行D．a与b相交6．用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设_________．1．下列命题为真命题的是A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角B．两直线被第三条直线所截，同位角相等C．垂直于同一直线的两直线互相垂直D．三角形的外角和为1802．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是A．120°，60°B．95°，105°C．30°，60°D．90°，90°3．下列命题的逆命题是真命题的是A．若a>0，b>0，则a+b>0 B．直角都相等C．同位角相等，两直线平行D．若a＝b，则|a|＝|b|4．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有A．0个B．1个C．2个D．3个5．对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是A．a=3，b=2 B．a=3，b=–2C．a=–3，b=–2 D．a=–2，b=–36．写出一个能说明命题：“若22a b>，则a b>”是假命题的反例：__________.7．请写出“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：__________．8．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____．9．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+14=0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是__________．10．若命题“12xy=⎧⎨=-⎩不是方程ax–2y=1的解”为假命题，则实数a满足：__________．11．如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．12．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）写出这个定理的逆命题；（2）判断逆命题的真假并说明你的理由．13．写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．（1）如果0a =，0b =，那么0ab =． （2）对顶角相等．13．如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE ．①AB =AC ；②AD =AE ；③BD =CE ．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题： A ：①②⇒③；B ：①③⇒②；C ：②③⇒①．（1）以上三个命题是真命题的为__________（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．14．阅读以下证明过程：已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．请用类似的方法证明以下问题：已知：关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-3=0有两个实根x1和x2．求证：x1≠x2．1．判断命题“如果n<1，那么n2﹣1<0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为A ．﹣2B ．﹣12C ．0D ．122．下列命题是真命题的是 A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是矩形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形 D ．四边相等的平行四边形是正方形3．下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．44．下列命题是假命题的是A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形(3)n ≥的内角和是180360n ︒︒-D ．旋转不改变图形的形状和大小 5．下列命题正确的是 A ．矩形对角线互相垂直 B ．方程214x x =的解为14x = C ．六边形内角和为540°D ．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 6．下列命题中假命题是 A ．对顶角相等B ．直线5y x =-不经过第二象限C ．五边形的内角和为540︒D ．因式分解()322x x x x x x ++=+7．下列命题是真命题的是A ．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 8．下列说法正确的是①函数y =x 的取值范围是13x ．②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7． ③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍． ④同旁内角互补是真命题．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根．A ．①②③B ．①④⑤C ．②④D ．③⑤9．下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直，其中逆命题是真命题的是 A ．①②③④B ．①③④C ．①③D ．①10．下列说法正确的是A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度 11．下列命题是真命题的是A ．同旁内角相等，两直线平行B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．相等的两个角是对顶角D ．圆内接四边形对角相等 12．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等； ③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 其中真命题的个数有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．下列命题是假命题的是A ．n 边形（3n ≥）的外角和是360︒B ．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C ．相等的角是对顶角D ．矩形的对角线互相平分且相等14．下列命题是假命题的是A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分15．用三个不等式a b >，0ab >，11a b<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．316．能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为A ．1m =-B ．0m =C ．4m =D ．5m =17．下列命题是假命题的是A ．函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x=﹣的图象向上平移6个单位长度而得到 B ．抛物线234y x x =﹣﹣与x 轴有两个交点C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D ．垂直于弦的直径平分这条弦18．命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是_____（填“真命题”或“假命题”）．19．【安徽省2019年中考数学试题】命题“如果a +b =0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为____________________________.1．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【解析】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．2．【答案】A【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，A是假命题；圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，B是真命题；一组邻边相等的矩形是正方形，C是真命题；菱形对角线互相垂直平分，D是真命题；故选A．3．【答案】两直线平行，内错角相等【解析】“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．将条件和结论互换得逆命题为：两直线平行，内错角相等．故答案为：两直线平行，内错角相等．4．【答案】A【解析】若x2=x，则x=1或x=0，所以原命题错误；若x=1，则x2=x，所以原命题的逆命题正确；若a2=b2，则a=±b，所以原命题错误；若a=b，则a2=b2，所以原命题的逆命题正确；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以原命题正确；到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以原命题的逆命题正确；相等的弧所对的圆周角相等，所以原命题正确；相等的圆周角所对弧不一定相等，所以原命题的逆命题错误．故选A．5．【答案】D【解析】∵反证法证明“若a∥c，b∥c，则a∥b”，∴一步应假设a与b不平行，即：a，b相交．故选D．【名师点睛】此题主要考查了用反证法证明的基本步骤，在中考中经常以这种题型出现．【名师点睛】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．6．等腰三角形的底角是钝角或直角【解析】根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底都是直角或钝角”．故答案是：等腰三角形的两底都是直角或钝角．1．【答案】A【解析】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，A是真命题；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，B是假命题；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，C是假命题；三角形的外角和为360°，D是假命题；故选A．【名师点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．【答案】D【解析】∵互补的两个角可以都是直角，∴能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是90°，90°，故选D.考点：本题考查的是两角互补的定义【名师点睛】解答本题的关键是熟练掌握两角互补的定义，即若两个角的和是180°，则这两个角互补．3．【答案】C【解析】A、若a>0，b>0，则a+b>0的逆命题为若a+b>0，则a>0，b>0，错误，为假命题；B、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，为真命题；D、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题为若|a|＝|b|，则a＝b，错误，为假命题，故选C．【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、直角的定义、平行线的性质及绝对值的意义，难度不大．4．【答案】B【解析】①等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误．②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本选项错误．③在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误．④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确．所以只有④一项正确．故选B．5．【答案】C【解析】当a=3，b=2时，a2>b2，而a>b成立，故A选项不符合题意；当a=3，b=–2时，a2>b2，而a>b成立，故B选项不符合题意；当a =–3，b =–2时，a 2>b 2，但a >b 不成立，故C 选项符合题意；当a =–2，b =–3时，a 2>b 2不成立，故D 选项不符合题意；故选C ．6．【答案】2,1a b =-=（注：答案不唯一）【解析】当2,1a b =-=时，222(2)4,1a b =-==根据有理数的大小比较法则可知：41,21>-<则此时满足22a b >，但不满足a b >因此，“若22a b >，则a b >”是假命题故答案为：2,1a b =-=．（注：答案不唯一）【名师点睛】本题考查了假命题的证明方法，掌握反例中题设与结论的特点是解题关键． 7．【答案】菱形的四条边相等【解析】“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题为“菱形的四条边相等”．故答案为：菱形的四条边相等．8．【答案】两直线平行，同位角相等【解析】命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”故答案为“两直线平行，同位角相等”．9．【答案】当b =–12，方程没有实数解 【解析】∵b =–12时，Δ=（–12）2–4×14<0，∴方程没有实数解．∴当b =–12，方程没有实数解可作为说明这个命题是假命题的一个反例．故答案为：当b =–12，方程没有实数解． 10．【答案】a =–3【解析】当x =1、y =–2时，a +4=1，解得a =–3，故当a =–3时，12x y =⎧⎨=-⎩是方程ax –2y =1的解，则a =–3时，可以说明命题“12x y =⎧⎨=-⎩不是方程ax –2y =1的解”为假命题，故答案为：a =–3． 11．【解析】已知：∠1=∠2，∠B =∠C ；求证：∠A =∠D ．证明：如图，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴EC ∥BF ，∴∠AEC =∠B ．又∵∠B =∠C ，∴∠AEC =∠C ，∴AB ∥CD ，∴∠A =∠D ．12．【解析】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（2）真命题.证明如下：已知：如图，在△ABC 中，点D 是AB 的中点，连接CD ，且CD ＝12A B ．求证：△ABC 是直角三角形．证明：∵点D 是AB 的中点∴AD ＝BD∵CD ＝12AB ， ∴AD ＝BD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∠DCB ＝∠DBC∵∠DAC +∠ACD +∠DCB +∠DBC ＝180°∴∠ACD +∠DCB ＝90°，即∠ACB ＝90°∴△ABC 是直角三角形．【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．13．【解析】（1）逆命题：如果0ab =，那么0a =，0b =；假命题．（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假命题．【名师点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判定定理.14．【解析】假设x 1=x 2，则[-（m +1）]2-4（2m -3）=0，整理得：m2-6m+13=0，而m2-6m+13=（m-3）2+4>0，与m2-6m+13=0矛盾，故假设不成立，所以x1≠x2．1．【答案】A【解析】当n=﹣2时，满足n<1，但n2﹣1=3>0，所以判断命题“如果n<1，那么n2﹣1<0”是假命题，举出n=﹣2．故选A．【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．2．【答案】C【解析】A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以C选项正确；D、四边相等的菱形是正方形，所以D选项错误．故选C．【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．【答案】A【解析】①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；②两点之间线段最短；真命题；③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；④平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选A．【名师点睛】考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．4．【答案】B【解析】A 、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C 、n 边形(3)n ≥的内角和是180360n ︒︒-，正确，是真命题；D 、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选B ．【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5．【答案】D【解析】A ．矩形对角线互相垂直，不正确；B ．方程x 2=14x 的解为x =14，不正确；C ．六边形内角和为540°，不正确；D ．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选D ．【名师点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．6．【答案】D【解析】A ．对顶角相等；真命题；B ．直线5y x =-不经过第二象限；真命题；C ．五边形的内角和为540︒；真命题；D ．因式分解()322+1++=+x x x x x x ；假命题；故选D ．【名师点睛】本题考查了命题与定理、真命题和假命题的定义：正确的命题是真命题，错误的命题是假命题；属于基础题.7．【答案】C【解析】A 、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A 错误，是假命题； B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B 错误，是假命题；C 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C 正确，是真命题；D 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D 错误，是假命题；故选C ．【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8．【答案】D【解析】①函数y =x 的取值范围是13x >-，故错误． ②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根，正确， 故选D ．【名师点睛】此类题的知识综合性非常强．要求对每一个知识点都要非常熟悉．注意：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，弄清等腰三角形的三线合一指的是哪三条线段，熟悉多边形的内角和公式和外角和公式，熟练配方法的步骤；理解正多边形内角和外角关系；熟记根判别式．9．【答案】C【解析】①两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题； ②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题； ④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题；故选C ．【名师点睛】本题考查了写一个命题的逆命题的方法，真假命题的判断，弄清命题的题设与结论，掌握相关的定理是解题的关键.10．【答案】D【解析】A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；。
定义与命题知识点总结
定义与命题知识点总结一、定义定义是指为了明确定义某个概念或事物而进行的陈述。
在数理逻辑中，定义是指明确了某种概念，或使某种概念的内涵与外延得以确定的陈述，其中内涵给出了概念的本质属性，而外延则描述了这些属性的外在表现。
定义的形式可以分为以下几种：1. 指明方式：即通过列举此概念所属的具体事物来说明此概念。
2. 转换方式：即通过把此概念与其他概念或更一般的概念相比来界定。
3. 操作方式：即通过规则方式来确定此概念，如定义加法、乘法等。
4. 过程方式：即通过列出生成此概念的生成规则来定义此概念，如定义自然数的方式。
二、命题命题是陈述或陈述句的全体。
在逻辑术语中，命题是陈述语言中真假可判断的完整句子。
命题是一个陈述或陈述句的全体。
其实就是一个明确的陈述，可以是真的或者是假的。
例如："圆周率是一个无理数"这是一个命题。
因为它是一个明确的陈述，值要么是真，要么是假。
命题通常用P、Q、R等字母来表示。
在命题中，真实情况下，命题是真的，通常用P；假如命题是假的，通常用Q。
命题的分类：1.原命题2.复合命题3.合取命题或联结命题4.析取命题或联结命题5.条件命题或联结命题6.双条件命题到联结命题7.否定命题细分：1.原命题它是可以判断真假的命题。
例如：等角三角形的对边也相等。
2.复合命题从原命题通过逻辑联结或者通过否定联结、连词联结而构成的、仍能形成真假的命题。
例如 A:8 能被2 整除B:4 能被2 整除那么由A&B构成的命题是8能被2整除，并且4能被2整除。
3.合取命题或联结命题即同时包含两个或者多个声明的命题例如：今天下雨且我不想出门== (1)4.析取命题或联结命题即包含多个命题中的最少一个的命题。
例如 : 此数是3的倍数或者是5的倍数== (2)5.条件命题或联结命题即条件联结的意思。
例如: 如地面湿润，则一定下雨 == (3)6.否定使命题通常用来否定一个关于实体的东西的存在性。
1-2定义与命题 复习讲义 2021-2022学年浙教版数学八年级上册
1.2 定义与命题知识点梳理1、命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．2、角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE3、三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．题型梳理题型一真假命题的辨析1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3 2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．33．下列命题中，真命题的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A．3B．2C．1D．04．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．下列命题中是假命题的是（）A．两直线平行，同位角互补B．对顶角相等C．直角三角形两锐角互余D．平行于同一直线的两条直线平行7．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形8．下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝29．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．邻补角一定互补C．相等的角是对顶角D．有且只有一条直线与已知直线垂直10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．−12C．0D．1212．下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补C．直角的补角仍然是直角D．垂线段最短13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：√7，则△ABC是直角三角形14．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的矩形是正方形B．对角线垂直平分的四边形是菱形C．矩形的对角线平分且相等D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形题型二寻找“条件”与“结论”1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是．3．命题“对顶角相等”的逆命题是．4．命题“对顶角相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：．6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为．题型三角平分线性质的应用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．42．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．23．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：54．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．√3B．2C．3D．√3+25．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．427．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是．9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是．10．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是度．11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为cm．题型四“燕尾模型”与三角形的外角性质1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为．7．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝度，若∠AIB＝155°，则∠C＝度．8．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．9．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC 的度数为．10．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．11．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+12∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∠1+∠2=12(180°−∠A)=90°−12∠A∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°−12∠A）=90°+12∠A探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．12．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．13．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．题型五“拐点模型”与三角形的外角性质1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°2．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D 的度数是（）A．24°B．59°C．60°D．69°3．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（）A．20°B．30°C．50°D．70°4．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为度．答案和解析题型一真假命题的辨析1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．【解答】解：在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在B中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2＝1，b2＝9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选：B．2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．【解答】解：如图所示：当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB∥EC，当②∠C ＝∠D ，故∠4＝∠C ，则DF ∥AC ，可得：∠A ＝∠F ，即①②}⇒③；当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB ∥EC ，则∠D ＝∠4，当③∠A ＝∠F ，故DF ∥AC ，则∠4＝∠C ，故可得：∠C ＝∠D ，即①③}⇒②；当③∠A ＝∠F ，故DF ∥AC ，则∠4＝∠C ，则∠4＝∠D ，故DB ∥EC ，则∠2＝∠3，可得：∠1＝∠2，即②③}⇒①， 故正确的有3个．故选：D ．3．下列命题中，真命题的个数是（ ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A ．3B ．2C ．1D ．0【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可．【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题；图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；两直线平行，内错角相等，④是假命题；相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题；垂线段最短，⑥是真命题，故选：C．4．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进行判断．【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题；②两直线平行，同位角相等；②假命题；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题；真命题的个数为0，故选：A．5．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．6．下列命题中是假命题的是（）A．两直线平行，同位角互补B．对顶角相等C．直角三角形两锐角互余D．平行于同一直线的两条直线平行【分析】根据平行线的判定和性质、对顶角的性质、直角三角形的性质判断即可．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；B、对顶角相等，本选项说法是真命题；C、直角三角形两锐角互余，本选项说法是真命题；D、平行于同一直线的两条直线平行，本选项说法是真命题；故选：A．7．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法判断即可．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；故选：A．8．下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、五边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；B、切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；C、（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）是假命题，故C符合题意；D、抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2是真命题，故D不符合题意；故选：C．9．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．邻补角一定互补C．相等的角是对顶角D．有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故此选项错误；B、根据邻补角的定义，故此选项正确；C、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项错误．故选：B．10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；B、不满足条件，故B选项错误；C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．故选：C．11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．−12C．0D．12【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．12．下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补C．直角的补角仍然是直角D．垂线段最短【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及直角的概念判断即可．【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；C、直角的补角仍然是直角，是真命题；D、垂线段最短，是真命题；故选：B．13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：√7，则△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．【解答】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；D、如果a：b；c＝3：4：√7，32+(√7)2=42，则△ABC是直角三角形，正确；故选：D．14．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的矩形是正方形B．对角线垂直平分的四边形是菱形C．矩形的对角线平分且相等D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形【分析】根据矩形的性质和正方形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B 进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据三角形中位线的性质和矩形的判定方法对D进行判断．【解答】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，所以A选项为假命题；B、对角线垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为真命题；C、矩形的对角线平分且相等，所以C选项为真命题；D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以D选项为真命题．故选：A．题型二寻找“条件”与“结论”1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：它们相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．3．命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角．【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．故答案为：相等的角为对顶角．4．命题“对顶角相等”的逆命题是假命题（填“真”或“假”）．【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行”．题型三角平分线性质的应用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE=12BC•EF=12×5×2＝5，故选：C．2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．2【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得P A＝PE，PD＝PE，那么PE＝P A＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，P A⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴P A＝PE，PD＝PE，∴PE＝P A＝PD，∵P A+PD＝AD＝8，∴P A＝PD＝4，∴PE＝4．故选：C．3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵点O是内心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12•AB•OE：12•BC•OF：12•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．√3B．2C．3D．√3+2【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，又∵直角△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．故选：C．5．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，①∵PB平分∠ABC，P A平分∠EAC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，很明显∠MPN≠∠APC，∴∠ABC +∠APC ＝180°错误，故本小题错误；③在Rt △APM 与Rt △APD 中，{AP =AP PM =PD， ∴Rt △APM ≌Rt △APD （HL ），∴AD ＝AM ，同理可得Rt △CPD ≌Rt △CPN ，∴CD ＝CN ，∴AM +CN ＝AD +CD ＝AC ，故本小题正确；④∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACF ，∴∠ACF ＝∠ABC +∠BAC ，∠PCN =12∠ACF ＝∠BPC +12∠ABC ，∴∠BAC ＝2∠BPC ，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选：B ．6．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24B．30C．36D．42【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD=12AB•DH+12BC•CD=12×6×4+12×9×4＝30，故选：B．7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB．【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF＝DE，又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，∴CD平分∠BCF，又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∴DF＝DG，∴DE＝DG，∴BD平分∠CBE，∴∠DBE=12∠CBE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB=12×92°＝46°，故选：D．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是3．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴S△ABC=12×4×2+12AC•2＝7，解得AC＝3．故答案为：3．9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是15．【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE＝3，根据三角形的面积求出即可．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，∴DA⊥AB，∵BD 平分∠ABC ，∴AD ＝DE ＝3，∴△BDC 的面积是12×DE ×BC =12×10×3＝15， 故答案为：15．10．已知如图，∠B ＝∠C ＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED ＝35°，则∠EAB 是 35 度．【分析】过点E 作EF ⊥AD ，证明△ABE ≌△AFE ，再求得∠CDE ＝90°﹣35°＝55°，进而得到∠CDA 和∠DAB 的度数，即可求得∠EAB 的度数．【解答】解：过点E 作EF ⊥AD ，∵DE 平分∠ADC ，且E 是BC 的中点，∴CE ＝EB ＝EF ，又∵∠B ＝90°，且AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE ，∴∠EAB ＝∠EAF ．又∵∠CED ＝35°，∠C ＝90°，∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，∴∠CDA＝110°，∵∠B＝∠C＝90°，∴DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝70°，∴∠EAB＝35°．故答案为：35．11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为 2.4cm．【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∴DE＝DF，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DF+12BC•DE，=12×12•DE+12×18•DE，＝15DE，∵△ABC＝36cm2，∴15DE＝36，解得DE＝2.4cm．故答案为：2.4．题型四“燕尾模型”与三角形的外角性质1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据角平分线的定义得到∠EBM=12∠ABC、∠ECM=12∠ACM，根据三角形的外角性质计算即可．【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=12∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=12∠ACM，则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM=12×（∠ACM﹣∠ABC）=12∠A＝30°，故选：B．3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+12∠1，∠BOC＝90°+∠2．【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠1）＝90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE=12（∠ACB+∠ACD）=12×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝30°．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠1＝90°﹣60°＝30°，∴∠α＝30°+45°＝75°．故答案为：75°．6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为150°．【分析】延长DC交AB于E，先根据三角形的外角性质求出∠CEB＝∠A+∠D，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：延长DC交AB于E，。
浙教八上数学1.2 定义与命题(第2课时)
1.2 定义与命题（第2课时）课堂笔记1．真命题与假命题：正确的命题称为 ；不正确的命题称为 ．2．基本事实：数学中挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的 ，这些命题称为 ．3．定理：用 的方法判断为正确的命题叫做 ．4．说明假命题方法：要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的 ，但不具备命题的 的实例．分层训练A 组 基础训练1．下列说法正确的是（ ）A ．命题一定是正确的B ．不正确的判断就不是命题C ．真命题都是基本事实D ．定理都是真命题2．下列命题中，假命题的是（ ）A ．凡是直角都相等B ．对顶角相等C ．不相等的角不是对顶角D ．同位角相等3．可以用来证明命题“若x ＋2y ＝0，则x ＝y ＝0”是假命题的反例是（ ）A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝2，y ＝－1C ．x ＝－1，y ＝2D ．x ＝0，y ＝04．以下四个命题：①如果一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；②一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；④如果一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．“a 、b 是实数，若a>b ，则a 2>b 2”显然是错误的，若结论保持不变，怎样改变条件，才能使之成立？以下四种改法：（1）若a>b>0，则a 2>b 2；（2）若a>b 且a ＋b>0，则a 2>b 2；（3）若a<b<0，则a 2>b 2；（4）若a<b 且a ＋b<0，则a2>b2，其中正确的改法个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个６．以下可以用来证明命题“任何奇数都是3的倍数”是假命题的反例是（ ）A ．9B ．15C ．5D ．67．基本事实是 命题，定理是 命题（填“真”或“假”）．8．“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”是 命题，可举出反例 ．9． 命题“x ＝3是方程93422-+-x x x ＝0的解”是真命题还是假命题？请说明理由．10．举反例说明下列命题是假命题．（1）若x ≠3，则分式912-+x x 有意义； （2）如果ab ＝dc ，那么a ＝c ；（3）若a ＋b<0，则a<0，b<0.11．如图，已知BC 交DE 于点O ，给出下面三个论断：①∠B ＝∠E ；②AB ∥DE ；③BC ∥EF.请以其中的两个论断为条件，填入“题设”栏中，以一个论断为结论，填入“结论”栏中，使之成为一个正确的命题，并说明理由．题设：如图，已知BC 交DE 于点O ， （填序号）．结论：那么 （填序号）．B 组 自主提高１２．如图，若∠1＝∠2，则AB ∥CD ，这是 命题（填“真”或“假”）．１３.（庆阳中考）已知三条不同的直线a 、b 、c 在同一平面内，下列四条命题： ①如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c ；②如果b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥c ；③如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ⊥c ；④如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ∥c ．其中真命题的是．（填写所有真命题的序号）１４．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．（2）两个负数的差一定是负数．15．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°.（1）∠1＝，∠2＝；（2）∠1，∠2与∠ABC有怎样的大小关系？归纳出一个真命题．C组综合运用１６. （１）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是（）A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对（２）定义运算符号“*”的意义为：a*b＝ab ba（其中a，b均不为0）．下面有两个结论：①运算“*”满足交换律；②运算“*”满足结合律．其中（）A.只有①正确B.只有②正确C.①和②都正确D.①和②都不正确答案1.2 定义与命题（第2课时）【课堂笔记】1. 真命题 假命题2. 依据 基本事实3. 推理 定理4. 举反例 条件 结论【分层训练】1—5. DDBBD 6. C7. 真 真8. 假 两个直角9. 假命题．当x ＝3时，方程左边的分母x2－9＝0，分式无意义．10. 答案不唯一，（1）举反例如x ＝－3时；（2）举反例如a ＝1，c ＝3，b ＝d ＝0时；（3）举反例如a ＝－5，b ＝2时．11. 答案不唯一，如题设①②，结论③.理由：∵AB ∥DE （已知），∴∠B ＝∠DOC （两直线平行，同位角相等）．∵∠B ＝∠E （已知），∴∠DOC ＝∠E ，∴BC ∥EF （同位角相等，两直线平行）．12. 假13. ①②④14. （1）假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．（2）假命题．反例：（－5）－（－8）＝＋3.15. （1）25° 155°（2）∠1＝∠ABC ，∠2＋∠ABC ＝180°，若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．16. （1）B 【点拨】A 项，若甲对，即只参加一项的人数大于14人，则两项都参加的人数小于6人，故乙可能对也可能错． B 项，若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，此时只参加一项的人数至少为16人，故甲对． C 项，若乙错，即两项都参加的人数大于或等于5人，则只参加一项的人数小于或等于15人，故甲可能对也可能错． D 项，若甲错，即只参加一项的人数至多为14人，则两项都参加的人数至少为6人，故乙错． 综上所述，真命题只有“若乙对，则甲对”．（2）A 【点拨】∵a*b ＝ab b a +，b*a ＝ba a b +，∴a*b ＝b*a ，即①正确．∵（a*b ）*c ＝abb a +*c ＝ab c ab b a ++＝bc ac abc b a +++，a*（b*c ）＝a*bc c b +＝bc a bc c b a ∙++＝2b abc +，∴（a*b ）*c ≠a*（b*c ），即②不正确．。
定义与命题教案
定义与命题教案
学科: 语文
年级: 初中
教学目标:
1. 能够理解命题的概念；
2. 能够区分命题和非命题；
3. 能够判断命题的真假。
教学步骤:
1. 导入
引导学生回顾上节课所学内容，即逻辑思维中的命题概念。
2. 提出命题概念
通过例子向学生解释命题的定义。
命题是陈述句，在具体语境中明确表达了思想的陈述。
它只有两种可能，要么真，要么假。
3. 例题分析
给出一些例题，让学生判断是否为命题。
通过讨论和解释例题的结构和意义，帮助学生理解命题的特点。
4. 区分命题和非命题
给出一些陈述句，让学生判断是命题还是非命题。
引导学生注意区分命题和非命题的特点，例如非命题可能是疑问句、祈使句等。
5. 判断命题的真假
给出一些命题，要求学生判断其真假。
学生可以通过查看事实、逻辑推理等方式来判断命题的真假。
6. 练习
分发练习题，让学生在教师的指导下独立完成，检验学生的掌握程度。
7. 小结
总结今天所学的内容，强调命题的定义、区分命题和非命题的特点，以及判断命题真假的方法。
8. 拓展
可以给学生提供更多的例题，让学生继续巩固和拓展知识。
9. 作业布置
布置相应的作业，让学生巩固和复习所学的知识。
教学反思:
命题作为逻辑学中的基本概念，在语文教学中也有着重要的应用。
通过引导学生理解命题的定义、区分命题和非命题以及判断命题真假的方法，可以帮助学生培养逻辑思维能力和分析问题的能力。
在教学过程中，要结合具体的例题和实际生活中的语境来讲解，增加学生的兴趣和理解度。
八年级数学上册 7.2 定义与命题 重点解读 命题考查知多少素材 (新版)北师大版
命题考查知多少一、考查命题的形式例1 把“等角的补角相等〞改成“如果……那么……〞的形式是________.解析：如果有两个角是等角的补角，那么这两个角相等.评注：每个命题都由条件和结论两局部组成，条件是的事项，结论是由事项推出的事项，命题通常写成“如果……那么……〞的形式，“如果〞后面的局部是条件，“那么〞后面的局部是结论.条件和结论不明显的命题通常通过改写成命题的一般形式来确定，但应注意不能篡改原意，且语句要通顺，语意要完整，防止将“如果〞，“那么〞机械地插入命题中，如上述命题中不能写为“如果等角，那么补角相等〞.跟踪训练1 请你用“如果……那么……〞的形式写出一个命题.二、判断命题的真假例2 在以下命题中，正确的选项是【】A.一组对边平行的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形解析：对于A，一组对边平行的四边形可能是梯形；对于B，有一个角是直角的四边形可能是直角梯形；对于D，对角线互相垂直平分的四边形可能是菱形，所以应选C.评注：在判断一个命题的真假时，说它真，必须有理有据；而说它假，只要举一个反例，千万不能想当然.跟踪训练2 以下命题是真命题的是【】A.两互补的角一定是邻补角B.同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行C.如果a2=b2，那么a=bD.如果两个角是同位角，那么这两个角一定相等三、考查命题的构造例3 如图，点C是∠AOB平分线上的一点，点P、P′分别在边OA、OB上，如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，所有可能结果的序号为_______.①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC.解析：逐个判断每种说法的正误，易知PC=P′C时用的是“边边角〞，不能得出OP=OP′，故所有可能结果的序号是①②④.故应填①②④.评注：将多项选择题以填空题的形式出现，这是近年来的热点题型，从而排除了“唯一性〞中“猜〞的成分，从而加大了问题的难度，我们只有对所给项逐一加以判断，才能得出正确答案，多项选择或少选一个，那么全题皆错.跟踪训练3 如图，∠1＝∠2，AC＝AD，增加以下条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有【】A.4个B.3个C.2个D.1个答案1.解：此题答案不唯一，如：如果两直线平行，那么同位角相等.2. B3．B。
第1课时 定义与命题
6
知识点 2 命题
4．__判__断___一件事情的句子，叫做命题.命题常写成“如
果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分
是________，“那么”引出的部分是_________.
条件
结论
返回
7
5．下列语句中，是命题的是（ D ） A.连接A，B两点 B.画一个角的平分线 C.过点C作直线AB的平行线 D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
15
（4）在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已 知直线.
解：(1)不是命题． (2)是命题，条件是“两负数相乘”，结论是“积 为正数”，是真命题． (3)是命题，条件是“两个角相等”，结论是“这 两个角是对顶角”，是假命题．
16
(4)是命题，条件是“在同一平面内，过一点作已知直 线的垂线”，结论是“能够作一条而且只能作一 条”，是真命题．
为（ ）
A.0 D
B.1
C.2
D.3
返回
12
10.（中考•桂林）下列命题是真命题的是（ D ） A.相等的角是对顶角 B.若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b C.若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0 D.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
返回
13
11.（中考•无锡）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面
第七章 平行线的证明
7.2 定义与命题 第1课时 定义与命题
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
知识点 1 定义
1．对_名__称__和__术__语___的含义加以描述，作出明确的规定， 也就是给出它们的定义.而每个名称或术语的定义反 过来也成立.
命题与证明复习资料
命题与证明复习资料知识讲解一:定义与命题概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
命题结构：命题可看做由题设（条件)和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
命题的分类：正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题判定一个命题是真命题的方法:（1)通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实;用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.(2)人们经过长期实践后而公认为正确的:数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理.定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据。
命题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧假命题（举反例）理）其它的真命题（需要推定理（需要推理）公理（公认为正确）真命题 ◆针对练习1．下列语句中,为定义的是（ ）A ．两点确定一条直线吗；B ．三角形的角平分线是一条线段C ．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；D ．同角的余角相等2．已知下列句子：①延长线段AB 到C;②垂线段最短;③过点A 画直线EF ；④将4•开平方．其中是命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式,正确的是( ）A ．如果同角，那么相等;B ．如果同角,那么补角相等；C ．如果同角的补角，那么相等;D ．如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等.4．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式．（1)两直线平行，内错角相等;（2)全等三角形的面积相等．5．正确的命题称为______命题,不正确的命题称为_______命题．命题“如果ab=0，那么a=0”是________命题；命题“如果a=0，那么ab=0”是________命题．6．下列说法正确的是（ )A ．定理不一定是真命题;B ．真命题不一定正确C ．假命题不一定错误;D ．公理一定是真命题7．(1)命题“若a 〉3，则2(3)a =a —3”是真命题还是假命题?请说明理由．(2）命题“如果ab 〉0,则a>0且b 〉0”是真命题还是假命题？请说明理由．8．•命题“在一个三角形中，•等边对等角”的条件是：____________,结论是：_______________,它是______命题．9．如图，△ABC 中,∠B=∠C ，AD ∥BC,则AD 平分△ABC 的外角∠EAC.用推理的方法说明它是一个真命题．◆综合提高10．指出下列命题的题设和结论,并把它改写成“如果……那么……”的形式．（1）三角形两边之和大于第三边;（2）三角形的内角和等于180°．11．观察下列给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．x 3+x 2-3x+4=0，x 3+x-1=0，x 3—2x 2+3=x ，y 3+2y 2-5y-1=0．12．已知下列命题：①有一个内角是60°的三角形是等边三角形;•②有一个内有是60°的等腰三角形是等边三角形;③有两个内角是60°的三角形是等边三角形；④三个内角相等的三角形是等边三角形．其中真命题有（ )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？请说明理由．（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角．（2）关于x的方程ax2-x=0（a≠0）必有两个不相同的实数解．14．下列关于代数式x2-4x+8的三个命题:①该代数式的值必定大于8；②该代数式的值必定大于4；③该代数式的值必定大于2．其中是真命题的有_______．（填序号）知识点二：证明概念:要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、公理、定理,一步一步推得结论成立，这样的推理过程就叫做证明注:证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由可以写在每一步后的括号内证明命题的一般步骤:（1）根据题意，画出图形;（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证"中写出结论；（3)在“证明"中写出推理过程.依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善.证明几何命题时，表述要按照一定的格式,一般为:(1)按题意画出图形；(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论(3)在“证明"中写出推理过程。
2024年中考数学一轮复习考点突破课件---定义、命题、定理
∴∠E＝∠ADC＝90°.
∵∠BCE＝90°－∠ACD，∠CAD＝90°－∠ACD，∴∠BCE＝∠CAD.
在△CEB和△ADC中，∠E＝∠ADC，∠BCE＝∠CAD，BC＝CA，
∴△CEB≌△ADC.
(2)∵△CEB≌△ADC，AD＝9，
∴BE＝CD，CE＝AD＝9.
又∵DE＝6，∴CD＝CE－DE＝9－6＝3.
外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故D错误.
规律方法
本题考查了重心、立方根、单项式的次数以及点到直线的距
离的相关定义，分别根据它们的定义判断即可.
变式练习
1. 下列命题是假命题的是( D ).
A.不在同一直线上的三点确定一个圆
B.角平分线上的点到角两边的距离相等
C.正五边形的内角和是540°
A.4
B.3
C.2
D.1
2. (2020·深圳)以下说法正确的是( A ).
A.平行四边形的对边相等
B.圆周角等于圆心角的一半
－
C.分式方程
＝
－2的解为 x＝2
－
－
D.三角形的一个外角等于两个内角的和
3. (2019·深圳)下面命题正确的是( D ).
A.矩形的对角线互相垂直
B.方程x2＝14x的解为x＝14
3. 下列命题正确的是( D ).
A.方差越小则数据波动越大
B.正多边形的外角和为540°
C.长度相等的弧是等弧
D.在一组数据11，9，7，8，6，8，12，8中，众数和中位数都是8
4. 下列各数，可以用来证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的
反例是( D ).
A.32
B.16
第1章第02讲定义与命题(4类题型)(含解析)2023-2024学年八年级数学上册浙教版
(1)在图 1 中， P 与 Q 的数量关系为_____ (2)在图 2 中， P 与 Q 的数量关系为_____，试说明理由．
试卷第 6 页，共 9 页
(3)结合以上两个结论，用一个真命题表示：如果两个角的两边分别平行，那么_____
（2023 春·七年级课时练习）
34．判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题
A．对顶角相等
B．对顶角
C．两个角是对顶角相等 D．这两个角
相等
（2023 春·福建莆田·七年级校联考期中）
16．下列语句中不属于命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．如果 a b 0 ，那么 a、b 互为相反数
C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．过点 A 作射线 AC
（2023 春·陕西汉中·七年级校考期中）
．
（2023 春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）
31．将“互为相反数的两个数之和等于 0”写成“如果……那么……”的形式为
（2023 春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）
32．已知命题：①如果 x x ，那么 x 0 ；②如果 a2 9 ，那么 a 3；③两个相等的
角是对顶角．其中是假命题的序号有 ． （2023 春·江西上饶·七年级统考阶段练习） 33．如图， P ， Q 的两边分别平行，即 PA∥QC ， PB ∥QD ．
垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中( )
A．①②是真命题 B．②③是真命题 C．①③是真命题 D．以上结论皆是
假命题
题型 01 判断是否为命题
（2022 秋·八年级单元测试）
3．下列语句中，属于命题的是（ ）．
7.2 定义与命题 知识考点梳理(课件)北师大版数学八年级上册
析 需要经过证明就可以使用，故 D 错误．
［答案］ C
［易错］ B
［错因］ 误认为公理和定理没有区别.
7.2 定义与命题
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易错警示 解决这类题时容易混淆公理与定理，也容易
易
错
易 混淆公理、定理与真命题的关系.
混
分
领悟提能 在解决有关概念的问题时要熟记各自的定义
析
，根据命题、定理、公理的定义判断题目中的各种说法是
（4）同旁内角相等，两直线平行；
（5）不相交的两条直线平行；
（6）两个直角相等.
7.2 定义与命题
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［答案］ 解：（1）是叙述一个操作，没有对某件事情
考
点
清 作出判断，不是命题；
单
（2）是疑问句，没有对某件事情作出判断，不是命题；
解
读
（3）是命题，如果一个数是整数，那么这个数一定是有
理数；条件：一个数是整数，结论：这个数是有理数，是真
考
点
清
单
解
读
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续表
温馨提示 假命题也属于命题
7.2 定义与命题
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归纳总结
考
点
命题必须是对某件事情作出“是什么”或“不是什么”
清
单 的判断，需要注意的是假命题也是命题，判断一个命题是假
解
读 命题，只需列举一个反例即可.另外在改写命题的过程中，
不能简单地把条件部分、结论部分分别写在“如果”“那么”
∴∠DBF=∠CBE，∴BE 平分∠ABC．
7.2 定义与命题
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解题通法
这是一类寻找条件、结论来编写命题的开
重
难
题 放性问题，解题的关键是能够由选定的条件推出结论而判
新余市数学八年级上学期期末复习专题2 定义与命题
新余市数学八年级上学期期末复习专题2 定义与命题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共30分)1. （3分） (2016八上·嵊州期末) 对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A . ∠1=50°，∠2=40°B . ∠1=50°，∠2=50°C . ∠1=∠2=45°D . ∠1=40°，∠2=40°2. （3分） (2017七下·兴化期末) 下列命题中，为真命题的是（）A . 如果-2x＞-2,那么x＞1B . 如果a2=b2,那么a3=b3C . 面积相等的三角形全等D . 如果a∥b，b∥c，那么a∥c3. （3分） (2017八下·潮阳期末) 如图1，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=（）A . 40°B . 50°C . 60°D . 80°4. （3分） (2019八上·蓟州期中) 如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′的度数是（）A . 40°B . 35°C . 55°D . 20°5. （3分） (2016八上·桑植期中) 有下列命题：①两点之间，线段最短；②相等的角是对顶角；③内错角互补，两直线平行．其中真命题的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 0个6. （3分）下列四个命题中，假命题的是（）A . 有三个角是直角的四边形是矩形B . 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C . 四条边都相等的四边形是菱形D . 顺次连接一个四边形各边中点,得到一个菱形,那么这个四边形是等腰梯形.7. （3分）(2016·包头) 已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个8. （3分） (2018七下·合肥期中) 下列命题是假命题的是（）A . 对顶角相等B . 两直线平行，同旁内角相等C . 平行于同一条直线的两直线平行D . 同位角相等，两直线平行9. （3分）(2017·云南) 下列说法正确的是（）A . 要了解某公司生产的100万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法B . 4位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为100C . 甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为0.51和0.62D . 某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖50次就有一次中奖10. （3分）下列命题中，是真命题的是（）A . 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等B . 平分弦的直径垂直于弦C . 依次连接四边形四边中点所组成的图形是矩形D . 一组邻边相等的平行四边形是菱形二、填空题 (共6题；共24分)11. （4分） (2016八上·绍兴期中) 若a＞b＞0，则a2＞b2 ，它的逆命题是________（真或假）命题．12. （4分） (2019七下·蔡甸期中) 命题“垂直于同一条直线的两直线平行”写成“如果……那么……”的形式为________.13. （4分）命题“对角线相等”的逆命题是________.14. （4分） (2016八上·宁海月考) 定理“直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”的其中一个逆定理是：三角形中，如果________，那么这个三角形是直角三角形．15. （4分） (2018八下·灵石期中) 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④B E2+DC2＝DE2；正确有________（填序号）16. （4分） (2019八上·遵义期末) 如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点，若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是________；三、解答题 (共8题；共66分)17. （6分）下列语句哪些是命题？对于命题，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论，并指出是真命题还是假命题，并说明为什么是假命题．（1）小亮今年上八年级，明年一定上九年级；（2）作一条线段的垂直平分线；（3）互为倒数的两个数的积为1；（4）内错角相等；（5）不等式的两边同时乘以一个数，不等号的方向改变．18. （6分） (2016八上·宁海月考) 求证：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行．19. （6分）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，求证：四边形ABCD是四边形．（1）在方框中填空，以补全已知和求证；（2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形两组对边分别相等20. （8分）用“如果……那么……”的形式改写下列命题。
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4、把命题“等角的补角相等”改写成“如果.....那么.....”的 形式.
如果两个角相等，那么他们的补角相等
5、判断下列命题，哪些是真命题？哪些是假命 题？若是假命题，请举出一个反例.
（1）若|a|=|b|,则a=b （2）若a=0，则ab=0 （3）两边及一边所对角分别对应相等的两个三角形全 等
每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是 已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项
正确明假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论
如果两个角的两边分别互相垂直，则这 两个角相等或互补
1、下列语句为命题的是（）
A.你吃过午饭了吗 B.过点A做直线MN C.同角的余角相等 D.红扑扑的脸蛋
定义与命题复习
定义：用来说明一个名词或者一个术语的意义的语句叫 做定义.(定义具有双重性质，既是性质又是判定)
命题：判断某件事情的陈述句叫做命题
判断一个语句是否是命题的关键： 是否做出判断，与判断正确与否没有关系.
一般情况系下，下列几种情况不是命题： 作图，祈使句，疑问句，感叹句，不完整的句子...
2、指出下列命题的条件和结论.
1.若ab=1，则a与b互为倒数 条件：ab=1，结论：a与b互为倒数 2.同角的余角相等 条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等
3.矩形的四个角都是直角 条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角 都是直角
3、下列命题中，是假命题的是（）
A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.已知直线a,b,c，若a⊥b，a∥c,则b⊥c C.互补的角是邻角 D.邻补角是互补的角