三角恒等变换问题(典型题型)

三角恒等变换问题

三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。

例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 2

3

αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221

cos 2cos sin sin 4ααββ++=

两式相加得，1322(cos sin sin cos )36

αβαβ+-= 化简得，59sin()72

βα-=- 即59sin()72

αβ-=

方法评析：式的变换包括：

1、tan(α±β)公式的变用

2、齐次式

3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方）

4、两式相加减，平方相加减

5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）

例2 （角的变换---已知角与未知角的转化）

已知7sin()24

25π

αα-=

=，求sin α及tan()3

π

α+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5

7

cos sin =-αα ①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5

1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5

3sin =α，5

4cos -=α， 于是3

tan 4

α=-

故3

tan()34πα-+===

方法评析：

1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到．

2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．

例3（合一变换---辅助角公式）

设关于x 的方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解βσ和.求a 的取值范围.

解: ∵1sin 2(sin )2sin()2

3

x x x x x π

+==+， ∴方程化为sin()32

a

x π

+=-.

∵方程

sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解,

∴sin()sin

3

3

2

x π

π

+≠=

.

又sin()13

x π

+≠± (1±时仅有一解),

∴

122a a <≠

且-, 即2a a <≠且

∴ a 的取值范围是(2,(3,2)--.

方法评析：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记

(0,2)π这一条件.

例4（ ，一题多解型）

若cos 2sin αα+=求tan α的值.

解： 方法一：(“1”的运用)

将已知式两端平方得

方法二：(合一变换)

(

)

αϕ

+=

1

tan

2

ϕ=，

再由()

sin1

αϕ

+=-知,()

2

2

k k

π

αϕπ

+=-∈Z，所以2

2

k

π

απϕ

=--，所以

sin

cos

2

tan tan2tan2

22sin

cos

2

k

π

ϕ

ππϕ

απϕϕ

πϕ

ϕ

⎛⎫

--

⎪

⎛⎫⎛⎫⎝⎭

=--=--===

⎪ ⎪⎛⎫

⎝⎭⎝⎭--

⎪

⎝⎭

方法三：(式的变换)

令sin2cos t

αα

-=，和已知式平方相加得2

55t

=+，故0

t=，即sin2cos0

αα

-=，故tan2

α=．

方法四：(与单位圆结合)

我们可以认为点()

cos,sin

Mαα

在直线2

x y

+=

而点M又在单位圆221

x y

+=

上，解方程组可得

5

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=-

⎪⎩

，从而tan2

y

x

α==

．这个解法和用方程组

22

cos2sin

sin cos1

αα

αα

⎧+=

⎪

⎨

+=

⎪⎩

求解实质上是一致的．

方法评析：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源

是考生所常见的“已知()1

sin cos ,0,5

βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要学生具有相当的知识迁移能力．

有关三角恒等变换的一般解题思路为“五遇六想”，即：遇正切，想化弦；遇多元，

想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角.