用对称性简化直角坐标三重积分计算
重积分的计算方法
重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。
我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。
通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。
为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。
着重介绍累次积分的计算与变量代换。
一．二重积分的计算1．常用方法（1）化累次积分计算法对于常用方法我们先看两个例子对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。
需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。
积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。
所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。
选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。
（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。
从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。
利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。
于积分区域的多样性。
为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。
（3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）下面看一个例子：计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是微积分中的重要概念，它在物理、工程、经济学等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要对三维空间中的函数进行积分，而三重积分就是用来描述这种情况的工具。
本文将介绍三重积分的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来看三重积分的定义。
对于一个定义在三维空间内的函数 f(x, y, z)，其在某个区域 V 上的三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV。
其中，dV 表示体积元素。
在直角坐标系中，体积元素可以表示为 dV = dx dy dz，而在柱坐标系或球坐标系中，体积元素的表示形式会有所不同。
根据被积函数在不同坐标系下的表示形式，我们可以选择合适的坐标系进行计算，以简化积分的计算过程。
接下来，我们将介绍三重积分的计算步骤。
首先，我们需要确定被积函数的积分区域 V，并确定合适的坐标系。
然后，我们需要将积分区域 V 划分成小的体积元素，这可以通过直角坐标系、柱坐标系或球坐标系下的积分区域划分方法来实现。
在确定了积分区域的划分方式后，我们可以利用定积分的性质，将三重积分化为三次定积分的形式进行计算。
在进行具体的计算时，我们需要注意积分的次序。
根据被积函数在不同坐标系下的表示形式，我们可以选择合适的积分次序，以简化计算过程。
通常情况下，我们可以先对 z 进行积分，然后对 y 进行积分，最后对 x 进行积分，这样的积分次序在某些情况下可以大大简化计算过程。
除了利用积分次序简化计算外，我们还可以利用对称性简化计算过程。
在某些情况下，被积函数具有一定的对称性，这时我们可以利用对称性简化积分的计算过程，从而减少计算的复杂度。
总的来说，三重积分的计算方法并不复杂，但在具体的计算过程中需要注意选择合适的积分次序和利用对称性简化计算。
通过本文的介绍，相信读者对三重积分的计算方法有了更清晰的认识，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
综上所述，本文介绍了三重积分的计算方法，包括其定义、计算步骤以及一些简化计算的技巧。
高等数学§9.3.2三重积分的计算2
x c os z
显 然 ： y s 。 in
z z
M(x,y,z)
c o s 0 i s n
y J ( ( x , , y , , z z ) ) s i c n 0 o ， s O
00 1 x
P(,)
∴ f (x, y, z)dxdydz f ( cos, sin, z) dddz.
z cr cos .
x2 a2
by22
cz22
r2.
r1
I (a x 2 2 b y2 2c z2 2)dx d y r2 d Jd z rd d
Jabcr2sin
I a b c 0 2 d0 s in d0 1 r 4 d r 54abc.
例 1 1 . 求 I ( a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 ) d x d y d z , :a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 1 .
f (rs ic n o ,rss isn i,r n c o )r2 s id n r d d
例 1 1 . 求 I ( a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 ) d x d y d z , :a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 1 .
x ar sin cos , 解： y br sin sin ,
zzu,v,w
（ 2 ） 上 面 变 换 中 的 函 数 在 区 域 具 连 续 偏 导 有 数 ；
（ 3 ） J u x , , v y , , w z 0 , u , v , w ， 则
f (x, y,z)dxdydz
f(xu ,v,w ,yu ,v,w ,z(u ,v,w )Jdudv
z
d
d
dz
三重积分交换积分次序的方法
三重积分交换积分次序的方法三重积分是三维空间中的积分，常用于计算体积、质量等物理量。
当函数的积分域比较复杂时，交换积分次序可以使计算更加方便。
下面将介绍三重积分交换积分次序的方法。
三重积分的一般形式为：\[ \iiint_V f(x, y, z) dV \]其中，\( V \) 是积分域，积分元 \( dV \) 可以表示为 \( dxdydz \) 或者其他形式。
我们可以根据具体的问题选择合适的坐标系和积分次序。
一般来说，交换三重积分次序需要满足以下两个条件：1.积分域可以通过三个坐标轴上的变化范围来表示。
也就是说，积分域在不同的坐标系下应该具有相同的表达式。
2.被积函数\(f(x,y,z)\)是在交换积分次序后能够保证可积的函数。
接下来，我们将分别介绍三重积分交换积分次序的方法。
**方法一：直角坐标系与柱坐标系的转换**如果积分域在直角坐标系下的表达式较为复杂，我们可以考虑将其转换为柱坐标系，利用柱坐标系的对称性来简化计算。
柱坐标系的变换关系如下：\[ x = \rho \cos \phi \sin \theta \]\[ y = \rho \sin \phi \sin \theta \]\[ z = \rho \cos \theta \]其中，\( \rho \) 是径向距离，\( \phi \) 是轴向夹角，\( \theta \) 是平面夹角。
对于被积函数难以直接表示的情况，可以利用这种坐标系转换来简化积分。
**方法二：直角坐标系与球坐标系的转换**类似于柱坐标系的转换方式，如果在直角坐标系下的积分域较为复杂，可以考虑将其转换为球坐标系。
球坐标系的变换关系如下：\[ x = r \sin \theta \cos \phi \]\[ y = r \sin \theta \sin \phi \]\[ z = r \cos \theta \]其中，\( r \) 是距离原点的距离，\( \theta \) 是与 \( z \) 轴的夹角，\( \phi \) 是与 \( xy \) 平面的夹角。
对称性在积分计算中的应用
㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。
三重积分对称性详解
2
1
I d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
22
2020年7月24日4时5分
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrddz
（2） 球面坐标的体积元素
dxdydz r2 sindrdd
0
4 5 10
15
2020年7月24日4时5分
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
解 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 , 0 2,
解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
a
d rdr
a r 2dz
0
0
r
2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
7
2020年7月24日4时5分
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
三重积分的计算
f (x, y, z)dxdydz
b
dx
y2 ( x)dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a y1 ( x) z1 ( x, y)
上式是先对 z，次对 y，最后对 x 的三次积分.
注: 类似地，空间区域 还有 yz 型和 zx 型的.
当 是 xy 型或 yz 型或 zx 型空间区域时，都 可以把三重积分按先“定积分”后“二重积分” 的步骤来计算.
y, z）dV
lim
0
i
1
f（
i
,
i
,
i）
Vi
其中dV 称为体积元素.
若 f ( x, y,z) 在有界闭区域上连续，则 f ( x, y,z) 在上 的
三重积分必定存在.
注: 1． f ( x, y, z)dV f ( x, y, z) dxdydz ，
直角坐标系下的体积元素
2. dxdydz 的体积 ( f ( x, y, z) 1 ).
xdxdydz
0
dx 0
2
dy 0
xdz
1
xdx
0
1 x
2 (1
0
x 2 y)dy
1 4
1
(x
2x2
x3
)dx
0
1. 48
例 2. 计算三重积分 I ycos( x z)dxdydz ，
其中 是由抛物柱面 y
x z 所围成的区域.
2
x 及平面 y 0, z 0,
z
2
n
m
lim
0
i
( i
1
,i
,
i
)Vi
三重积分的定义
三重积分的变量代换
例10. 设Ω是由平面 x+y+z=1和三个坐标面所围成的 区域, 求 I = ∫∫∫ ( x + y + z )dv .
Ω
由轮换对称性, 解: 由轮换对称性
I = 3 ∫∫∫ xdv = 3
Ω
∫
1
0
xdx ∫
2
∴ dV = r 2 sinϕd r dϕ dθ
因此有
Ω′
∫∫∫ f ( x, y, z)dxd ydz
Ω
= ∫∫∫ f (r sinϕ cosθ , r sinϕ sinθ , r cosϕ )r 2 sinϕ d r dϕ dθ .
适用范围: 适用范围 1) 积分域 积分域表面是球面或顶点在原点的圆锥面; 2) 被积函数 x2+y2+z2 一类式子 . 被积函数含 .
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1 o
Dz
y
x
结束
例9.求曲面 (x2 + y2 + z2 )2 = a3z (a > 0)所围立体体积. 解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为
Ω: 0 ≤ r ≤ a 3 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2, 0 ≤θ ≤ 2π
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结束
例2. 计算三重积分
其中Ω为由
柱面 x2 + y2 = 2x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体.
0 ≤ r ≤ 2cosθ 解: 在柱面坐标系下 Ω: 0 ≤θ ≤ π 2 0≤ z ≤a
原式= ∫∫∫ z r d r dθ d z
对称法在积分计算中的应用
对称法在积分计算中的应用1 引言积分学的萌芽、发生和发展经历了一个漫长的时期.古希腊的数学家阿基米德所做的工作及《抛物线求积法》是积分学产生的标志.在16世纪中叶，开普勒发展了阿基米德求面积和体积的方法，法国的帕斯卡和费马，英国的沃利斯和巴罗为积分学的发展奠定了基础.在17世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨最终创立了积分学.我们知道，定积分是为了计算平面上封闭曲线围成的图形的面积而产生的，通过积分计算也可以求出曲顶柱体的体积，曲面的面积等.积分学不仅应用于数学，它也可以应用与经济学和物理学，比如说计算变力作功，引力和转动惯量等.积分的计算可以归结为计算具有特定结构的和式的极限.但是有时应用常规计算方法过程会很复杂.数学的对称美很多时候是解决数学难题的关键，往往可以使复杂的计算简化，使计算的准确率大幅度提高.在积分的计算中，可以通过被积函数或积分区间（区域）的对称性，找到计算积分的简洁方法.2 定积分利用对称法计算定积分，不仅可以简化对称区间上的奇、偶函数的定积分和对称区间上的非奇非偶函数的定积分的计算，还可以简化非对称区间上的定积分的计算.定理 2.1设函数)(x f 在积分区间[]a a ,-上是连续函数，当)(x f 是奇函数时，0)(=⎰-aadx x f ；当)(x f 是偶函数时，⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(.（证明略）例 2.1 计算积分dx xx x x I ⎰--++=112211cos 2.解 令)()()(21x f x f x f +=，221112)(xx x f -+=，2211cos )(xx x x f -+=，可知)(1x f 是偶函数)(2x f 是奇函数，由定理2.1得11211cos 11211cos 2112211211221122+-+=-++-+=-++=⎰⎰⎰⎰----dx xx dx xx x dx xx dx x x x x Iπ-=-+=--=-+=⎰⎰⎰⎰4)11(4)11(4112210210102221022dx x dx dx x x x dx xx . 定理2.2[]1 设函数)(x f 在积分区间[]a a ,-上是不具有奇偶性的连续函数，则有[][]⎰⎰⎰-+=-+=--a aaaadx x f x f dx x f x f dx x f 0)()()()(21)(. 注：对于计算对称区间[]a a ,-上的非奇非偶函数)(x f 的定积分，只要)()(x f x f -+比)(x f 简单即可应用定理2.2.例2.2 计算积分dx exI x⎰-+=ππ1cos 2. 解 显然积分区间对称，被积函数不具有奇偶性，应用定理2.2得dx e x e e x dx e x e x dx e x I xx x x x x ⎰⎰⎰+++=+++=+=--ππππ0220222)1cos 1cos ()1cos 1cos (1cos21222cos 1cos 02+=+==⎰⎰πππdx x xdx . 定理2.3[]1 若函数)(x f 在积分区间上是连续函数，则有[]⎰⎰-++=ba badx x b a f x f dx x f )()(21)( 注：此定理应用于积分区间不对称，且被积函数不具有奇偶性的情况.例2.3 计算积分⎰+-+=312341dx x x x I .解 令t b a x -+=，由定理2.3得⎰⎰⎰+-=+-++-=+-+=31231231234621341521341dx x x dx x x x x dx x x x I ⎰⎰⎰⎰---=---=-⋅-=3131313111233123)1131(2331113dx x dx x dx x x dx x x2ln 233)12ln 2ln 1(231ln 233ln 233131-=+--=---=x x . 3 重积分3.1 二重积分利用对称法简化二重积分的计算，在一般情况下都要求积分区域D 具有对称性，且被积函数也具有对称性（即奇偶性）.但在特殊情况下，即使积分区域D 不具有对称性或者是被积函数不具有奇偶性，也能够通过一些技巧性的转化使其能够利用对称法简化积分的计算.定理3.1.1 设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，D 关于X 轴对称，则 当),(),(y x f y x f -=-时，0),(=⎰⎰Ddxdy y x f ；当),(),(y x f y x f =-时，⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Ddxdy y x f dxdy y x f （其中1D 是D 落在X 轴一侧的那部分区域）.当D 关于Y 轴对称时也有类似结论.（证明略）注：对于二元函数),(y x f ，若),(),(y x f y x f -=-，则称),(y x f 是关于变量y 的奇函数；若),(),(y x f y x f =-，则称),(y x f 是关于变量y 的偶函数.多元函数的奇偶性定义与其类似.例3.1.1 计算积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中1:≤+y x D . 解 显然积分区域D 关于X 轴对称，且),(),(y x f y x f -=-，由定理3.1.1得02==⎰⎰Dydxdy x I .定理3.1.2[]2设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，D 关于X 轴和Y 轴都对称（即若点D y x ∈),(则点D y x ∈-),(和D y x ∈-),(），则 当),(),(y x f y x f -=-或者),(),(y x f y x f -=-时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(),(y x f y x f y x f =-=-时，⎰⎰⎰⎰=1),(4),(D Ddxdy y x f dxdy y x f ，其中1D 是积分区域D 在第一象限的部分.例3.1.2 计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=，其中1:≤+y x D .解 可知积分区域D 关于X 轴和Y 轴都对称，被积函数是关与x 与y 的偶函数，即有),(),(),(y x f y x f y x f =-=-.则由定理3.1.2得⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=11144)(4D D D Dydxdy xdxdy dxdy y x dxdy y x I343232141410101010=+=+=⎰⎰⎰⎰--dx dy y dy dx x yx ， 其中0,0,1:1≥≥≤+y x y x D .定理 3.1.3 设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，积分区域D 关于原点对称，即21D D D ⋃=，1D ，2D 关于原点对称.当),(),(y x f y x f -=--时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(y x f y x f =--时，dxdy y x f dxdy y x f D D⎰⎰⎰⎰=1),(2),(.（证明略）例3.1.3 计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=)1625(22，其中1:22≤+y x D .解 显然，积分区域是圆域，关于原点对称，被积函数),(y x f 为关于变量x 和变量y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =--，由定理3.1.1和定理3.1.3得dxdy y x dxdy y x I D D )1625(4)1625(12222⎰⎰⎰⎰+=+=，其中1D 为D 在第一象限的部分利用极坐标变换：x r y x r x sin ,cos ==，可得)161251(4)16sin 25cos ()16sin 25cos (42202102220+=+=+=⎰⎰⎰πθθθθθθππd rdr r r d I . 注：此例题可等同于应用定理3.1.2，其实应用对称法简化积分计算时能应用定理3.1.2的一定能够应用定理3.1.3，但能应用定理3.1.3的不一定能应用定理3.1.2，因为若积分区域关于X 轴和Y 轴都对称则一定关于原点对称，而如果积分区域关于原点对称但不一定关于X 轴和Y 轴都对称.定理 3.1.4[]2 如果函数),(y x f 在积分区域D 上是连续函数，D 关于直线x y =对称，即21D D D ⋃=，1D ，2D 关于x y =对称.则有⎰⎰⎰⎰=DDdxdy x y f dxdy y x f ),(),(；⎰⎰⎰⎰=21),(),(D D dxdy x y f dxdy y x f ；当),(),(y x f y x f ---=时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(y x f y x f --=时，⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Ddxdy y x f dxdy y x f .当D 关于直线x y -=对称时也有类似结论.例3.1.4计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=)1625(22，其中1:22≤+y x D .解 积分区域关于直线x y =对称，),(),(y x f y x f --=，由定理3.1.4得dxdy x y dxdy y x DD )1625()1625(2222+=+⎰⎰⎰⎰ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D dxdy x y dxdy y x dxdy y x I )1625()1625(21)1625(222222dxdy y x dxdy y x DD )()251161(21))(251161(212222⎰⎰⎰⎰++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)251161(4+=π. 对于积分区域对称而被积函数),(y x f 不具有奇偶性或者积分区域整体不具有对称性的情况，可经技巧性处理使之可利用对称法简化积分计算.例 3.1.5 计算积分⎰⎰+=Dd y x I σ)(，其中D 为抛物线2x y =、24x y =和直线1=y 所围成的区域.解 积分区域D 关于Y 轴对称，但),(y x f 是变量x 的非奇非偶函数，令y x y x f y x f y x f +=+=),(),(),(21，即x y x f =),(1，y y x f =),(2，可知 ),(1y x f 是关于x 的奇函数，),(2y x f 是关于x 的偶函数，则可由定理3.1.1得521222101===+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y D DDydx dy d y yd xd I σσσ，其中1D 为D 在Y 轴右侧的区域. 注：1. 一般积分区域D 具有对称性而被积函数为非奇非偶函数时，可以利用分项积分使之成为可用对称性简化计算.2. 一些积分区域整体不具有对称性的积分在一定条件下可将其划分为若干具有对称性的子域，则可利用对称性简化积分计算.3.2 三重积分利用对称法简化三重积分的计算大体可以分成以下几种情况：定理 3.2.1 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，Ω关于坐标平面yoz 对称，1Ω是坐标平面yoz 的前侧区域，则当),,(),,(z y x f z y x f -=-时，0),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =-时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f .当Ω关于坐标平面xoz 或者坐标平面xoy 对称时也有类似结论.（证明略）例3.2.1 计算积分dxdydz z y x z y x z I ⎰⎰⎰Ω++++++=2222221)1lg(，其中1:222≤++Ωz y x . 解 可知积分区域是以原点为球心的球体，关于坐标平面xoy 对称，又被积函数是关于z 的奇函数，由定理3.2.1得01)1lg(222222=++++++=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x z y x z I . 定理3.2.2[]3 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，区域Ω关于X 轴对称，当),,(),,(z y x f z y x f -=--时，⎰⎰⎰Ω=0),,(dxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =--时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f ，其中1Ω是Ω位于X 轴一侧的区域.当Ω关于Y 轴或者Z 轴对称时也有类似的结论.例3.2.3计算积分⎰⎰⎰Ω+=dxdydz z x I )(，其中Ω是由曲面22:y x Z Z +=与曲面221:y x Z Z --=所围成的区域.解 令z x z y x f +=),,(，x z y x f =),,(1，z z y x f =),,(2，可知对于),,(1z y x f ，有),,(),,(11z y x f z y x f -=-，由定理3.2.2得⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+=+=+=zdxdydz zdxdydz xdxdydz dxdydz z x I 0)(利用球面坐标变换，得8sin cos 401220πϕϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r r d d I .定理 3.2.3[]3 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，区域Ω关于原点对称，即21Ω⋃Ω=Ω，1Ω，2Ω关于原点对称，当),,(),,(z y x f z y x f -=---时，⎰⎰⎰Ω=0),,(dxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =---时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f .例3.2.3计算积分dxdydz z y x z y x z I ⎰⎰⎰Ω++++++=2222221)1lg(，其中1:222≤++Ωz y x . 解 可知积分区域是以原点为球心的球体，关于原点对称，又被积函数是关于z 的奇函数，由定理3.2.3得01)1lg(222222=++++++=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x z y x z I . 在进行三重积分计算时，要善于观察被积函数和积分区域的特点，注意兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，恰当的利用对称法去简化计算，可以使三重积分问题的解答大大的简化.4 曲线积分4.1第一型曲线积分 定理4.1.1[]()7524P 曲线L 可以划分为两部分1L 和2L ，若点1X 和点2X 互为对称点并且分别在对称的两个部分1L 和2L 上，则当)()(21X f X f -=时，0)(=⎰ds X f L当)()(21X f X f =时，⎰⎰=1)(2)(L Lds X f ds X f .例4.1.1 计算积分⎰=Lds y I 3，其中积分曲线1:=+y x L .解 积分曲线关于X 轴对称，且3),(y y x f =是奇函数，即),(),(y x f y x f --=，则03==⎰ds y I L.例4.1.2 计算ds y I L⎰=，其中)()(:222222y x a y x L -=+.解 可知y y x f =),(是偶函数，并且积分曲线L 关于X 轴 和Y 轴对称，由定理4.1.1可得此积分计算时可只考虑第一象限部分的曲线积分即可，由极坐标，即θρθρsin ,cos ==y x ，则L 可以化为θρ2cos 22a =， 令42202πθπθρ=⇒=⇒=，又θθθρρd a d ds 2cos )(22='+=，则)221(42cos sin 442401-=⋅==⎰⎰a d a ds y I L θθθρπ， 其中1L 是L 在第一象限部分.4.2 第二型曲线积分定理4.2.1[]()7524P 设分段光滑的有向平面曲线L 关于X 轴对称，L 的上半平面部分1L 与下半平面部分2L 的方向相反，则当),(y x f 是关于y 的偶函数时，0),(=⎰dx y x f L；当),(y x f 是关于y 的奇函数时，ds y x f dx y x f L L⎰⎰=1),(2),(.当曲线L 关于Y 轴对称时，对于ds y x f L⎰),(有类似结论.例4.2.1 计算积分ydy x I L⎰=，其中L 是抛物线2x y =上点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段弧.解 因为L 是关于Y 轴对称，并且对称的两部分方向相反，被积函数是x 的偶函数，由定理4.2.1得0==⎰ydy x I L.5 曲面积分5.1 第一型曲面积分 定理5.1.1[]()7854若积分曲面S 可以分成对称的两个部分1S 和2S ，1X 和2X 对称且分别在1S 和2S 上，则当)()(21X f X f -=时，0)(=⎰⎰ds X f S；当)()(21X f X f =时，ds Xf ds X f SS)(2)(1⎰⎰⎰⎰=.例5.1.1 计算积分ds xyz I S⎰⎰=，其中S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和平面1=z 之间的部分.解 显然积分曲面S 关于平面xoz 和yoz 对称，并且被积函数是偶函数，由定理5.1.1可以只考虑积分在第一卦限的部分1S ，即⎰⎰=14S xyzds I ，由22y x z +=，x z x 2='，y z y 2='，dxdy y x ds 4412++=，则rdrr r r d dxdy y x y x xy I S ⋅+⋅⋅=+++=⎰⎰⎰⎰221220222241cos sin 4441)(41θθθπ42015125-=.5.2 第二型曲面积分定理5.2.1[]()7954设分片光滑的曲面S 关于坐标平面xoy 对称，且S 在坐标平面xoy 上半空间的部分曲面1S 取定上侧，在坐标平面xoy 的下半部分曲面2S 取定下侧，则当),,(),,(z y x f z y x f =-时，0),,(=⎰⎰Sds z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f -=-时，⎰⎰⎰⎰=1),,(),,(S Sds z y x f ds z y x f .当分片光滑曲面S 关于坐标平面xoz 或者坐标平面yoz 对称时也有相似结论. 例5.2.1 计算积分dxdy zxdzdx ydydz I S⎰⎰+-=2，其中S 是锥面22y x z +=在平面1=z 和平面2=z 之间的外侧.解 显然，由定理5.2.1有0=⎰⎰Sydydz 和0=-⎰⎰Sxdzdx ，则πθπ215)(220212122222-=⋅-=+-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤rdr r d dxdy y x dxdy z I y x S. 其实第一型曲线积分和第一型曲面积分、第二型曲线积分和第二型曲面积分应用对称性简化计算的方法很类似，而第一型曲线、曲面积分和第二型曲线、曲面积分在被积函数是奇函数或者偶函数时，相互抵消或者变为其中一部分积分区域的两倍时刚好相反，原因就在于第二型曲线积分和第二型曲面积分计算时需要考虑符号规则！6 轮换对称性定义6.1[]5 设对任意点Ω∈-),,,,(1211n n x x x x P Λ，Ω∈),,,,(1322x x x x P n Λ，······ Ω∈--),,,,(121n n n n x x x x P Λ，其中（n R ∈Ω）均成立，则称区域Ω是关于变量n x x x ,,,21Λ具有轮换对称性.例如球域2222R z y x ≤++关于z y x ,,具有轮换对称性.定义6.2[]5 若积分区域或者被积函数的表达式中，将变量z y x ,,按下列次序：y x →，z y →，x z →变换后，其表达式均不变，则称积分区域或被积函数关于变量z y x ,,具有轮换对称性.例如222z y x r ++=关于z y x ,,具有轮换对称性.轮换对称性经常应用于计算重积分和曲线积分、曲面积分中。
三重积分的对称性总结
三重积分的对称性总结三重积分是多元函数积分的一种，它在数学和物理领域中有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们经常会遇到对称性的问题。
对称性在数学中起着非常重要的作用，它可以帮助我们简化计算过程，提高计算效率。
因此，对于三重积分的对称性，我们需要进行总结和归纳，以便在实际问题中更好地应用。
首先，我们来看三重积分的轮换对称性。
对于三元函数f(x, y, z)，如果它在变量x、y、z之间是对称的，即f(x, y, z) = f(y, z, x) = f(z, x, y)，那么在计算三重积分时，我们可以利用轮换对称性来简化计算。
例如，当我们计算∫∫∫f(x, y,z)dxdydz时，可以先对x进行积分，然后对y和z进行轮换积分的顺序，这样可以减少计算的复杂度。
其次，三重积分的球面对称性也是非常重要的。
当我们在三维空间中进行积分时，如果函数f(x, y, z)在球面上是对称的，即f(x, y, z) = f(-x, -y, -z)，那么我们可以利用球面对称性来简化计算。
在球面坐标系下，球面对称性可以帮助我们将积分区域进行简化，从而减少计算的复杂度。
另外，三重积分的柱面对称性也是我们需要考虑的问题。
当函数f(x, y, z)在柱面上是对称的，即f(x, y, z) = f(x, -y, -z)，我们可以利用柱面对称性来简化计算。
在柱面坐标系下，柱面对称性可以帮助我们将积分区域进行简化，从而减少计算的复杂度。
总的来说，三重积分的对称性是我们在实际计算中需要重点考虑的问题。
通过对对称性的总结和归纳，我们可以更好地应用对称性来简化计算，提高计算效率。
在实际问题中，我们需要根据具体的情况来判断何种对称性可以应用，从而更好地解决问题。
综上所述，三重积分的对称性是一个非常重要的问题，它在实际计算中起着至关重要的作用。
通过对对称性的总结和归纳，我们可以更好地应用对称性来简化计算，提高计算效率。
希望本文对读者能有所帮助，谢谢！。
谈谈三重积分的定限方法
谈谈三重积分的定限方法计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算，而这里的一个关键问题是如何根据积分区域Ω来定限，下面分别介绍一下利用直角坐标，柱面坐标，球面坐标计算三重积分时如何定限的方法。
一、利用直角坐标计算三重积分时如何定限？ 教材中将积分区域Ω表示为:}),()(:),(),,(),(),,{(2121b x a x y x y x y x z y x z y x yy D zz xy ≤≤≤≤∈≤≤=Ω(1)从而将三重积分化为三次积分为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=D z z dz z y x f dxdy dv z y x f xyy x y x ),(),(21),,(),,(=dz y y z z z y x f dy dx x x y x y x ba ⎰⎰⎰)()(),(),(2121),,(这个公式也称为“先一后二”积分公式。
（上述公式是将Ω向xoy 平面投影得到的，将Ω向其他坐标平面投影可得到类似的公式）当积分区域的几何形体较简单时，容易写出Ω的集合表达式（1），但积分的区域的立方图形通常难以画出,因此确定Ω的集合表达式（1）较困难。
为了解决这个困难。
下面介绍一个所谓“求围定顶”的定限法：称（1）式中),(1y x z ，),(2y x z 分别为区域Ω的下顶和上顶，以D xy 的边界曲线为准线，母线平行于Z 轴的柱面，位于下顶和上顶之间的部分称为Ω的“围墙”，Dxy的边界曲线称为“围线”，（它是投影柱面与xoy 平面的交线），下面分三种情况来介绍“求围定顶”的定限法。
1.设Ω由曲面),(y x h z =与),(y x g z =围成，不出现“围墙”，此时两曲面的交线在xoy 平面上的投影即为“围线”。
例 1.化三重积分⎰⎰⎰Ωυd z y x f ),,(为三次积分，其中Ω为由曲面2222,2x z y x z -=+=围成的闭区域例：“求围” 由方程组{22222xz y x z -=+=消去z 得两曲面交线在xoy 平面上的投影，即“围线”：122=+y x ，因此1:22≤+y x D xy ，即 .11,11:22≤≤--≤≤--x x y x D xy“定顶” 在Dxy内任取一点代入两曲面方程),(y x h z =，),(y x g z =得到两个z 的值，大者为上顶，小者为下顶。
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用【摘要】本文总结、归纳了积分区域的对称性（包括轮换对称性）和被积函数的奇偶性在积分计算中的一些重要结论，并通过例题演示了这些对称性的结论在计算积分时可以大大简化积分计算，提高解题效率.【关键词】积分;对称;应用一、引言在定积分的计算中，利用积分区间关于原点对称的特点和被积函数的奇偶性可以大大简化积分的计算量，起到事半功倍的效果.此性质经过推广，在二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分的计算中，利用积分区域关于坐标轴、坐标面对称的特点和被积函数的奇偶性，同样可以大大简化积分的计算.此外，在积分的计算过程中，利用积分区域和被积函数的轮换对称性也可有效地起到简化计算的作用，本文拟系统介绍这方面的结论，并举出相关应用实例给予说明.二、有关对称性的结论（一）在定积分的计算中若积分区间关于原点对称，则∫a-af（x）dx= 2∫a0f（x）dx，f（x）在[-a，a]上是偶函数，0，f（x）在[-a，a]上是奇函数.（二）在二重积分的计算中1.若积分区域D关于x轴对称，则D f（x，y）dσ=2 D 1 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量y是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量y是奇函数，其中D1是区域D在x轴上方（或下方）的部分.2.若积分区域D关于y轴对称，则D f（x，y）dσ=2 D 2 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量x是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量x是奇函数，其中D2是区域D在y轴右侧（或左侧）的部分.3.若积分区域D关于原点对称，则D f（x，y）dσ=4 D 3 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量x和y都是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量x或y是奇函数，其中D3是区域D在第一象限的部分.4.若积分区域D关于直线y=x对称（轮换对称性），则D f（x，y）dσ= D f（y，x）dσ= 1 2 D [f（x，y）+f（y，x）]d σ.（三）在三重积分的计算中1.若积分区域Ω关于坐标面x=0对称，则Ωf（x，y，z）dv=2 Ω1 f（x，y，z）dv，f（x，y，z）关于变量x是偶函数，0，f（x，y，z）关于变量x是奇函数，其中Ω1是Ω中x≥0的部分.若把x换成y或z也有相同的结论.2.若积分区域Ω关于x，y，z具有轮换对称性，则Ωf（x，y，z）dv= Ωf（y，z，x）dv= Ωf（z，x，y）dv = 1 3 Ω[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dv.（四）在第一型曲線积分的计算中1.设平面分段光滑曲线L关于x轴对称，则∫Lf（x，y）ds= 2∫L1f（x，y）ds，f（x，y）关于变量y是偶函数，0，f（x，y）关于变量y是奇函数，其中L1是L上y≥0的部分（前半段）.若把x换成y也有相同的结论.2.设空间分段光滑曲线L关于坐标面x=0对称，则∫Lf（x，y，z）ds=2∫L2f（x，y，z）ds，f（x，y，z）关于变量x是偶函数，0，f（x，y，z）关于变量x是奇函数，其中L2是L上x≥0的部分.若把x换成y或z也有相同的结论.3.若积分曲线L关于x，y具有轮换对称性（当x=y时曲线方程不变），则∫Lf（x，y）ds=∫Lf（y，x）ds= 1 2 ∫L[f（x，y）+f（y，x）]ds.4.若积分曲线L关于x，y，z具有轮换对称性（当x=y，y=z，z=x时曲线方程不变），则∫Lf（x，y，z）ds=∫Lf（y，z，x）ds=∫Lf（z，x，y）ds= 1 3 ∫L[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]ds.（五）在第一型曲面积分的计算中1.设分片光滑曲面Σ关于坐标面x=0对称，则Σf（x，y，z）dS=2Σ1f（x，y，z）dS，f（x，y，z）关于变量x为偶函数，0，f （x，y，z）关于变量x为奇函数，其中Σ1是Σ上x≥0的部分（前半部分）.若把x换成y或z也有相同的结论.2.（轮换对称性）若积分曲面Σ关于x，y，z具有轮换对称性，则Σf（x，y，z）dS=Σf（y，z，x）dS=Σf（z，x，y）dS= 1 3 Σ[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dS.三、应用举例例1 计算∫1 2 - 1 2 1-x 1-x2 dx.分析∫1 2 - 1 2 1-x 1-x2 dx=∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx-∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx，注意到积分区间关于原点对称，其中∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx的被积函数关于x是奇函数，所以此积分为0.而∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx的被积函数关于x是偶函数，由前面总结的性质可得：原式=∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx-∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx=2∫1 2 0 1 1-x2 dx=2arcsinx 1 2 0=2×π6 = π3 .例2 计算D （x2-2x+3y+2）dxdy，其中D：x2+y2≤a2.分析区域D既关于x轴对称又关于y轴对称，而x2关于x是偶函数，2x和3y分别关于x和y是奇函数，故：原式= D x2dxdy- D 2xdxdy+ D 3ydxdy+ D 2dxdy= D x2dxdy-0+0+2 D dxdy=∫2π0dθ∫a0（rcosθ）2rdr+2πa2= 9 4 πa2.例3 计算Ω（xy+1）zdv，其中Ω为曲面z= 1-x2-y2 和z= x2+y2 所围区域.分析Ω（xy+1）zdv= Ωxyzdv+ Ωzdv，Ω关于坐标面x=0对称，而xyz关于x是奇函数，故Ωxyzdv=0，所以Ω（xy+1）zdv= Ωzdv=∫2π0dθ∫π4 0dφ∫10rcosφ.r2sinφdr= π8 .例4 计算I=∮L[（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2]ds，其中L：x2+y2+z2=R2，z= R 2 .分析原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2xds-∮L2yds-∮L2zds，考虑到曲线L关于yOz面对称，2x是关于x的奇函数，所以∮L2xds=0，同理，曲線L关于zOx面对称，2y是关于y的奇函数，所以∮L2yds=0，所以原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2zds=∮L（R2+3）ds-∮LRds=（R2-R+3）∮Lds=（R2-R+3）·2π· 3 2 R= 3 πR（R2-R+3）.例5 计算曲面积分S（x+y+z）ds，其中S为上半球面z= a2-x2-y2 .分析曲面关于坐标面x=0，y=0对称，而x和y分别关于变量x和y为奇函数，故S（x+y）ds=0，又S在坐标面z=0上的投影为x2+y2≤a2.且ds= 1+z2x+z2y = 1+ x2 a2-x2-y2 + y2a2-x2-y2 = a2 a2-x2-y2 = a z ，原式=Szds=x2+y2≤a2z·a z dxdy=ax2+y2≤a2dxdy=πa3.例6 计算Ω（x2+z2）dv，其中Ω：x2+y2+z2≤1.分析积分区域是个单位球，关于x，y，z具有轮换对称性，所以Ω（x2+z2）dv= Ω（y2+x2）dv= Ω（z2+y2）dv，1 3 Ω（x2+z2+y2+x2+z2+y2）dv= 2 3 Ω（x2+y2+z2）dv= 2 3 ∫2π0dθ∫π0dφ∫10r4sinφdr= 8 15 π.例7 计算∮L（z+y2）ds，其中L：x2+y2+z2=R2，x+y+z=0.分析由空间曲线L的方程知道，当x=y，y=z，z=x时，曲线L的方程不变，具有轮换对称性，所以∮Lxds=∮Lyds=∮Lzds，∮Lx2ds=∮Ly2ds=∮Lz2ds，于是∮Lzds= 1 3 ∮L（x+y+z）ds= 1 3 ∮L0ds=0，∮Ly2ds= 1 3 ∮L[x2+y2+z2]ds= R2 3 ∮Lds= 2πR3 3 ，所以∮L（z+y2）ds= 2 3 πR3.例8 计算Σ（x+z+1）2dS，其中Σ：x2+y2+z2=R2.分析Σ（x+z+1）2dS= Σ（x2+z2+1+2xz+2x+2z）dS.由积分曲面Σ的对称性及被积函数为奇函数的特点，知ΣxdS=0，ΣzdS=0，ΣxzdS=0.又由积分曲面Σ的轮换对称性知，Σx2dS= Σy2dS= Σz2dS= 1 3 Σ（x2+y2+z2）dS，所以Σ（x+z+1）2dS= 2 3 Σ（x2+y2+z2）dS+ Σ1·dS = 2 3 R2 ΣdS+4πR2= 8 3 πR4+4πR2.通过上面这些例子的计算演示可以看出，在计算积分的过程中，如果能及时利用积分区域（区间）的对称性和被积函数的奇偶性以及积分区域的轮换对称性，在很多时候可以有效减少烦琐的计算量，提高解题效率.。
三重积分
故：
{( x, y, z ) | x 2 2 y 2 z 2 x 2 , ( x, y ) Dxy }
Dxy {( x , y ) | 1 x 2 y 1 x 2 , 1 x 1}
I 1 dx
1
1 x 2 1 x
x
o
P ( , )
y
z
3.柱面坐标系下的体积元素
d
d
dV d d dz ,
f ( x , y , z )dxdydz
dz
o
d
y
x
f ( cos , sin , z ) d d dz .
4.下列情形可考虑用柱面坐标： 1) 的投影区域 D 是圆域或圆域的一部分 ;
当 f ( x , y , z ) 关于
z 为奇函数时 , f ( x, y, z )dV 0 ; 当 f ( x , y , z ) 关于 z 为偶函数时 , f ( x, y, z )dV 2 f ( x , y, z )dV
1
其中 1 为 在 xoy 面上方的部分.
x 2 y 1, 1 x 1.
I
1
1
dx 2 dy
x
1
x2 y2
0
2xdz .
例4.设是由z x 2 y 2及z=h所围，将 I
.
f (x , y , z )dV 化为直角坐标下的三次积分。
例5.设是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围，将 I
二、利用直角坐标计算三重积分
6.3.1 直角坐标系下三重积分的计算
x
z2 − x2
2 2
− z −x
x = −z
D xz
x=z
1
1
z2 − x2
− z2 − x2
f ( x , y , z )dy
o
x
11
例 2．计算三重积分 ∫∫∫ xdxdydz ，其中 Ω 为三个坐标
Ω
平面及平面 x + 2 y + z = 1 所围成的闭区域。
解： Ω 在 xoy 面上的投影区域为
所围成的空间闭区域。
o
y
x
说明：被积函数中缺变量 x 和 y，用平行于 xoy 平面 。 去截 Ω ，其截面是椭圆。故用“先二后一法”
15
x2 y2 z2 解： Ω = {( x , y , z ) 2 + 2 ≤ 1 − 2 , − c ≤ z ≤ c } ， a b c
2 z dxdydz = z ∫∫∫ ∫ dz ∫∫ dxdy , 2 Ω −c D( z ) c
2．若平行于坐标轴的直线与 S 的交点多于两个，则可 把 Ω 分成几块处理。
8
例 1．把三重积分 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz 化为各种次序
Ω
的三次积分，其中 Ω 是由平面 z = 1 及锥面 z =
z
x 2 + y 2 所围成的立体。
z =1
解：①先对 z 积分。
D xy ： x 2 + y 2 ≤ 1 。
2
记作
即
∫∫∫ f ( x , y, z )dv ，
Ω
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f（ζ
Ω d →0 i =1
n
高等数学三重积分计算方法总结
高等数学三重积分计算方法总结1、利用直角坐标计算三重积分：（1）投影法（先一后二）：1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy 面上的投影区域Dxy2）内层(定积分)：从区域Ω的底面上的z 值，到区域Ω的顶面上的z 值。
（2）截面法（先二后一）：1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。
2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。
2、利用柱坐标计算三重积分3、利用球面坐标计算三重积分定限方法: (1)转面定θ(2)转线定φ (3)线段定r4、利用对称性化简三重积分计算设积分区域Ω关于xoy 平面对称，(1)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的奇函数，则三重积分为零。
(2)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy 平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍.使用对称性时应注意：1）积分区域关于坐标面的对称性；２）被积函数关于变量的奇偶性。
(cos ,sin ,)f z d d dzρθρθρρθΩ⎰⎰⎰(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰(,,)f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰(sin cos ,sin sin ,cos )f r r r φθφθφΩ=⎰⎰⎰2sin r drd d φφθ例 计算 ，其中Ω是由曲面z = x 2 + y 2和x 2 + y 2 +z 2 =2所围成的空间闭区域.解： 是关于x 的奇函数，且Ω关于 yoz 面对称故其积分为零。
2x 2 y 是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x x 2)(2)(z y x x ++ 22222222)(zx xyz y x z y x x +++++=xyzz y x x 2)(222+++ ,022⎰⎰⎰Ω=∴ydv x ⎰⎰⎰Ω++=∴dxdydz z y x x I 2)(,22⎰⎰⎰Ω=zdxdydz x ⎰⎰⎰Ωθρρ⋅⋅θρ=dz d d z 22cos 2⎰⎰⎰⋅θρρθ=zdz d d 23cos 2 ⎰⎰πρρ-ρ-θρθ=20104223)2(cos d d 245π=222ρ-ρπ20。
三重积分计算中的一些技巧
三重积分计算中的一些技巧在三重积分的计算中，有一些技巧可以帮助我们简化计算过程，提高效率。
接下来，我将介绍一些常用的三重积分计算技巧。
1.先进行变量代换：在求解三重积分时，通过适当的变量代换可以简化被积函数的形式。
常见的变量代换方法包括球坐标系、柱坐标系和抛物坐标系等。
2.交换积分次序：当被积函数在不同变量的积分中存在其中一种对称性时，可以考虑交换积分次序。
例如，当被积函数在一些变量的积分中只依赖于另外两个变量时，可以将该变量的积分放在最后进行计算，从而简化计算。
3.利用对称性：当被积函数具有其中一种对称性时，可以通过利用对称性简化计算。
例如，当被积函数关于一个坐标轴对称时，可以将整个积分区域对称折叠，从而减少积分区域的计算量。
4.利用奇偶性：当被积函数具有奇偶性时，可以利用奇偶性简化计算。
例如，当被积函数为奇函数时，可以将积分区域关于原点对称分成两个部分，只计算一个部分的积分再乘以2，从而简化计算。
5.使用对称性的特殊点：在一些情况下，利用对称性的特殊点可以简化计算。
例如，当被积函数在其中一点处取得极值时，可以将该点作为积分区域的对称中心，从而简化计算。
6.利用积分的性质：在进行具体计算时，可以利用积分的性质简化计算。
例如，利用积分线性性质，将被积函数拆分成多个部分进行计算，再将计算结果加和即可。
7.重心坐标法：在一些特殊情况下，可以通过引入重心坐标法简化计算。
重心坐标法是一种利用面积、体积比例关系的坐标变换方法，通过引入重心坐标，可以将多重积分转化为更简单的单重积分计算。
8.利用积分的几何意义：在进行三重积分的计算时，可以利用积分的几何意义进行估算。
通过将积分区域分成若干个小区域，在每个小区域上进行近似计算，最后将计算结果进行求和，可以得到对原积分的估计值。
总而言之，三重积分的计算过程需要我们熟练掌握数学知识，并结合具体问题运用相应的技巧。
以上介绍的仅仅是一些常用的技巧，实际计算过程中还需要根据具体情况进行灵活运用。
9-3三重积分的计算
y
2º定顶
下顶：zx22y2z1(x,y)
上顶： z2x2z2(x,y)
–1
( z 2 ( 0 , 0 ) 2 z 1 ( 0 , 0 ) 0 )
2x2
I d xd yx22y2f(x,y,z)d z D
D
O
1xLeabharlann x2y2 111x2
2x2
dx
1
1x2dy
x22y2f(x,y,z)dz.
y
Dxy (x, y)
z 轴的直线， 这直线通过曲面S1穿入 内，
通过曲面S2穿出 外，则 可以表示为
{ ( x , y , z ) z 1 ( x , y ) z z 2 ( x , y ) ( x , y , ) D x }y
“先一后二”法描述: 先将 x, y 看作定值，
z z2 S2
(3) 定限
过Dxy中任意一点(x, y)，作平行于z 轴的直线，
由下至上穿，穿入点所对应的 (出)
竖坐标为最内层积分的下限.
zz z2
SS22
(上)
z1 SS11
f(x,y,z)dv
OO
b xa
DDxxyy
yy
D abxd d yx xyd1y(2yx(d x)z)y 1z(2x(z1fxz,(2y,(x()yxx,)fy,,()yy)x ,,zy )d ,zz)dz.xx
其中 F ( ,, z ) f ( c o s ,s i n , z )
例6 计算三重积分1x12y2dv,其中由抛物面
x2y24z与平面 zh(h0)所围成 .
解 为求出 在xOy面上的投影区域， z
由方程组
zh
x2y24z
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运用对称性简化直角坐标三重积分计算
王云丽
（山东科技大学 工程学院， 山东 泰安 (?!)(!） 摘要： 运用对称性计算直角坐标系下的四个三重积分定理 （并给予证明） ， 简化直角坐标三重积分的计算 & 关键词： 对称性； 三重积分； 直角坐标 中图分类号： A!@> 文献标识码： B
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收稿日期： ())* = )> = )( 作者简介： 王云丽 （!+?(—） ， 女， 河北乐亭人， 山东科技大学工程学院讲师， 管理学硕士 &
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