《复数》知识点总结

《复数》知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

《复数》知识点总结

1、复数的概念

形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.

(1)纯虚数：对于复数z a bi =+，当00a b =≠且时，叫做纯虚数.

(2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且.

(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.

(4)复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模

叫做复数z a bi =+的模，表示为：||||z a bi =+

（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.

2、复数的四则运算

（1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++；

（2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++；

（3）除法运算：2222

()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++； （4）i 的幂运算：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.()n Z ∈

（5）22||||z z z z ==

3、 规律方法总结

（1）对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数，方可得出实部为a ，虚部为b

（2）复数(,)z a bi a b R =+∈是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数

(,)z a bi a b R =+∈，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识

（3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分.

（4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等

1、基本概念计算类

例1．若,43,221i z i a z -=+=且2

1z z 为纯虚数，则实数a 的值为_________ 解：因为，21z z ＝25)46(83258463)43)(43()43)(2(432i a a ia i a i i i i a i i a ++-=-++=+-++=-+， 又21z z 为纯虚数，所以，3a －8＝0，且6＋4a ≠0。3

8=∴a 2、复数方程问题

例2．证明：在复数范围内，方程i

i z i z +-=-+255)1(||2（i 为虚数单位）无解 证明：原方程化简为,31)1()1(||i z i z i z -=+--+设z ＝x ＋yi(x 、y R ∈)，代入

上述方程得⎩⎨⎧=+=+-=--+3221.3122222

2y x y x i yi xi y x 整理得051282=+-x x ∴<-=∆.016 方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。

3、综合类

例3．设z 是虚数，z

z 1+=ω是实数，且－1<ω<2 （1） 求|z|的值及z 的实部的取值范围；

（2） 设z

z M +-=11，求证：M 为纯虚数； （3） 求2M -ω的最小值。

解：（1）设z ＝a ＋bi （a ，b 0,≠∈b R ）

,)()(12222i b

a b b b a a a bi a bi a +-+++=++

+=ω 因为，ω是实数，0≠b 所以，122=+b a ，即|z|＝1， 因为ω＝2a ，－1<ω<2，12

1<<-a 所以，z 的实部的取值范围（－1,21） （2）z z M +-=11＝1)1(21)1)(1()1)(1(112

222+-=++---=-+++-+--=++--a bi b a bi b a bi a bi a bi a bi a bi a bi a （这里利用了（1）中122=+b a ）。 因为a ∈（－1,2

1），0≠b ，所以M 为纯虚数

（3）2

M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a 3]1

1)1[(21212-+++=++

-=a a a a 因为，a ∈（－1,2

1），所以，a ＋1>0， 所以2M -ω≥2×2－3＝1， 当a ＋1＝11+a ，即a ＝0时上式取等号， 所以，2M -ω的最小值是1。 4、创新类

例4．对于任意两个复数R y y x x i y x z i y x z ∈+=+=2121222111,,,(,)定义运算“⊙”为

1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为_________.

解法一：（解析法）设)0,(,21222111≠+=+=a a i b a i b a ωω，故得点),(111b a P ，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12

211-=⋅a b a b 从而有2121OP OP k k ⋅＝12

211-=⋅a b a b 故21OP OP ⊥,也即02190=∠OP P 解法二：（用复数的模）同法一的假设，知 21212121||||b a OP +==ω

22222222||||b a OP +==ω

22121221221|)()(|||||i b b a a P P -+-=-=ωω

＝2121b a +＋2222b a +－2（2121b b a a +）＝2121b a +＋2222b a +－2×0 ＝2121b a +＋2222b a +＝21||OP ＋22||OP

由勾股定理的逆定理知02190=∠OP P 解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知),(),,(222111b a OP b a ==，则有

0cos 222221212

12121=+⋅++=⋅∠b a b a b b a a OP 故02190=∠OP P