人教版九年级数学下册解直角三角形同步练习1
2020年九年级数学下册 解直角三角形实际问题 同步练习(含答案)
（
）
A.7sinα
B.7cosα
C.7tanα
D.
3.在湖边高出水面 50 m 的山顶 A 处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志 P 处的仰角为 45°，又观其在湖中之像的俯角为 60°．则飞艇离开湖面的高度（ ）
A.
B.
C.
D.
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4.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为 30°,再往大树的方
cos∠OBC 的值为(
)
A.
B.
C.
D.
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12.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面 上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米．已知斜坡的坡角为 30°，同一时刻，一根长为 1 米、 垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为（ ）
2020 年九年级数学下册 解直角三角形实际问题
同步练习
பைடு நூலகம்
一、选择题
1.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端O点 30 米的B处，测得树顶 4 的
仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(
)
A. 米
B.30sinα米
C.30tanα米
D.30cosα米
2.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7m，则树高BC为(用含α的代数式表示)
A.20 米
B.10 米
C.15 米
D.5 米
6.周末，身高都为 1.6 m的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度. 如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角ɑ为 45°,小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为 30°．她 们又测出A,B两点的距离为 30 m．假设她们的眼睛离头顶 都为 10cm，则可计算出塔高约为（结 果精确到 0.01）（ ）
人教版数学九年级下28.2.1解直角三角形同步练习.pdf
图Ａ
图Ｂ
图 ２８． ２． １ ⁃２２
图Ｃ
图Ｄ
②如图 ２８． ２． １⁃２３，在△ＡＢＣ 中，已知∠Ｂ ＝ ４０°，ＢＣ ＝ １２，ＡＢ ＝ １０，能否求出 ＡＣ？ 如果能，请求出 ＡＣ 的长度
ａ
ａ
Ａ ａｓｉｎＢ
Ｂ ｂｃｏｎｓＢ
Ｃ
Ｄ
ｓｉｎＢ
ｃｏｓＢ
４
（４） 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ ＝ ９０°，ｔａｎＡ ＝ ，ＢＣ ＝ ８，则△ＡＢＣ 的面积为 ．
３
（５） 根据条件解直角三角形．
①在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ ＝ ９０°，ａ ＝ ８，∠Ｂ ＝ ６０°．
②在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ ＝ ９０°，∠Ａ ＝ ４５°，ｂ ＝ ６ ．
（２） Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ ＝ ９０°，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ 的对边 ａ、ｂ、ｃ，那么下面正确的是（ ） ．
Ａ ｂ ＝ ａ·ｔａｎＡ
Ｂ ｂ ＝ ｃ·ｓｉｎＡ
Ｃ ａ ＝ ｃ·ｃｏｓＢ
Ｄ ｃ ＝ ａ·ｓｉｎＡ
（３） 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ ＝ ９０°，如果已知∠Ａ 的对边 ａ 和∠Ｂ，则 ｃ 等于（ ） ．
积等于（ ）
Ａ ａｂ·ｓｉｎα
Ｂ ａｂ·ｃｏｓα
Ｃ ａｂ·ｔａｎα
图 ２８． ２． １ ⁃１７
图 ２８． ２． １ ⁃１８
Ｄ
１
ａｂ·ｓｉｎα
２
图 ２８． ２． １ ⁃１９
１
（３） 如图 ２８． ２． １ ⁃１８，ＣＤ 是 Ｒｔ△ＡＢＣ 斜边 ＡＢ 上的高，∠ＡＣＢ ＝ ９０°，ＡＣ ＝ ３，ＡＤ ＝ ２，则 ｓｉｎＢ 的值是（ ）
人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形 同步练习附答案
28.2 解直角三角形第3课时坡角、方向角与解直角三角形1. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤坝高BC=50 m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100 m B．1003 mC．150 m D．503 m2. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．(6+3)米 B. 12米 C. (4－23)米 D. 10米3. 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路l的距离为米．4. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1:5，则AC的长度是cm．5. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003 m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地C点．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的什么方向？参考答案1．A2．A3．4．2105．解：（1）过B 点作BE ∥AD ，如图，∴∠DAB =∠ABE =60°.∵30°+∠CBA +∠ABE =180°，∴∠CBA =90°， 即△ABC 为直角三角形.由已知可得：BC =500 m ，AB ，由勾股定理可得：AC 2=BC 2+AB 2，∴1000(m)=AC .（2）在Rt △ABC 中，∵BC =500 m ，AC =1000 m ， ∴∠CAB =30°.∵∠DAB =60°，∴∠DAC =30°. 即点C 在点A 的北偏东30°的方向.。
人教版九年级数学下册《解直角三角形》同步作业(含答案)
图28-3练习9 解直角三角形一、自主学习1.如图28-3所示，Rt △ABC 中 (1)它三边之间的关系是_________. (2)它两锐角之间的关系是________. (3)它的边角之间的关系是：___________________,____________________； ___________________，__________________； ___________________，____________________； 二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________.3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________.5.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.6.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.7.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________8.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________.9.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=____.10.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.11.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________.三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21C.1D.)32(21+13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.23514.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的图28-4影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5 图28-6 图28-7A.3m B.3 m C.2 m D.1.5 m15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( ) A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-) D.(23,21-)16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32m C.3 m ，1 mD.1 m,3m17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33m C.3+32 m D.32 m18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552C.553D.3219.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m图28-8 图28-920.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66cm B.68 cm C.38 cm D.154cm21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53B.55C.51 D.52四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-1023.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-1124.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12图28-13参考答案一、自主学习1.如图28-3所示，Rt△ABC中(1)它三边之间的关系是_________.(2)它两锐角之间的关系是________.(3)它的边角之间的关系是：__________________________,_______________________ ______；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；图28-3答案：(1)a 2+b 2=c 2 (2)∠A+∠B=90° (3)sinA=ca ，cosA=cb ，tanA=bacotA=ab ，sinB=cb ，cosB=ca ，tanB=ab ，cotB=ba二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________. 答案：30°3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________. 答案：3310m4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________. 答案：255.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.答案：10106.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.答案：627.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________ 答案：8548.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________. 答案：2329.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=__________.图28-4答案：3310.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.答案：611.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________. 答案：530° 60°三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21 C.1D.)32(21+答案：B13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.235答案：C14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5A.3m B.3 m C.2 mD.1.5 m 答案：C15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( )A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-)D.(23,21-)答案：A16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32 m C.3 m ，1 mD.1 m,3m图28-6答案：A17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33 m C.3+32mD.32m图28-7答案：C18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552 C.553D.32 答案：D19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )图28-8A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m 答案：A20.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66 cm B.68 cm C.38cmD.154cm答案：D21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53 B.55C.51 D.52图28-9答案：B 四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-10答案：112 m23.小华所在的学校A 位于某工地O 的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O 出发，以5m/s 的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m ，问小华所在的学校A 是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-11答案：受影响的时间为20 s24.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12 图28-13答案：(1)略(2)约为21.3海里(提示：用题目中的结论)。
九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用同步练习1 (新版)新人教版
解直角三角形及其应用一、双基整合:1．在下面条件中不能解直角三角形的是（）A．已知两条边 B．已知两锐角 C．已知一边一锐角 D．已知三边2．在△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，用科学计算器求∠A约等于（）A．24°38′ B．65°22′ C．67°23′ D．22°37′3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，有下列关系式：•①b=ccosB，②b=atanB，③a=csinA，④a=bcotB，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．为测一河两岸相对两电线杆A、B间距离，在距A点15m的C处，（AC⊥AB），测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为( )mA．15sin50° B．15cos50° C．15tan50° D．15cot50°5．在△ABC中，∠C=90°，52，则斜边c=_____，∠A的度数是____．6．在直角三角形中，三个内角度数的比为1：2：3，若斜边为a，•则两条直角边的和为________．7．四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12，BC=4，CD=3，AD=13，•则四边形ABCD•的面积为________．8．如图，小明想测量电线杆AB•的高度，•发展电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_______米．（结果1.411.73）9．如图所示，在Rt△ABC中，a，b分别是∠A，∠B的对边，c为斜边，如果已知两个元素a，∠B，就可以求出其余三个未知元素b，c，∠A．（1）求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程．第一步：已知：a,∠B,用关系式:_______________,求出:_________________;第二步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________;第三步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________.（2）请你分别给出a，∠B的一个具体数据，然后按照（1）中的思路，求出b，c，∠A的值．bcaA10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=3cm，AB=7cm，高为，求底角B的度数．11．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BCD=α，•求cos α的值．BCD二、探究创新12．国家电力总公司为了改善农村用电量过高的现状，目前正在全面改造各地农村的运行电网，莲花村六组有四个村庄A ，B ，C ，D 正好位于一个正方形的四个顶点，•现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图所示的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（以下数据可供参考）．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt △ABC 中较小锐角的余弦值．三、智能升级14．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD，CD的长．15．（2006·宜昌）如图，•某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，•与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m，窗户的高度AF为2.5m，求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上椽的距离AD．（结果精确到0.1m）答案:1．B 2．D 3．C 4．C 5°6．36 8．8．7 9．略10．60° • •11．cosα12．设正方形边长为a，则（1）3a，（2）3a，（3）（a，（4））a ∴第（4）种方案最省电线13．45 14．，15．过点E 作EG ∥AC 交BP 于点G ，∵EF ∥DP ，∴四边形BEFG 是平行四边形． 在Rt △PEG 中，PE=3.5，∠P=30°，tan ∠EPG=EGEP ，∴EG=EP ·tan ∠ADB=3.5×tan30°≈2.02（或）．又∵四边形BFEG 是平行四边形，∴BF=EG=2.02，∴AB=AF-BF=2.5-2.02=0.48（或．又∵AD ∥PE ，∠BDA=∠P=30°，在Rt•△BAD 中，tan30°= ,ABADtan 30ABAD ∴=︒=0.48）≈0.8（m ），∴所求的距离AD 约为0.8m ．。
人教版九年级数学下册28.2： 解直角三角形及其应 用同步练习(附答案)
人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．27．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为米．（结果保留根号）14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为米．（≈1.73，结果精确到0.1米）15．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）参考答案一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故选：A．3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．在Rt△ECB中，tan53°＝，即＝，在Rt△AEC中，tan37°＝，即＝，解得x＝180，y＝135，∴AC＝＝＝300（m），故选：C．4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴＝，∵BC＝AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB＝BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；故选：C．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．2【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．7．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选：D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米【解答】解：作AD⊥BC于点D，则BD＝0.3＝，∵cosα＝，∴cosα＝，解得，AB＝米，故选：B．11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选：D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．故选：B．二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为4﹣4米．（结果保留根号）【解答】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，∴CM＝MB•tan30°＝12×＝4，在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，∴∠MAD＝∠MDA＝45°，∴MD＝AM＝4米，∴CD＝CM﹣DM＝（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为54.6米．（≈1.73，结果精确到0.1米）【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥P A于点D，∵∠PBC＝75°，∠P AB＝30°，∴∠DPB＝45°，∵AB＝80，∴BD＝40，AD＝40，∴PD＝DB＝40，∴AP＝AD+PD＝40+40，∵a∥b，∴∠EP A＝∠P AB＝30°，∴AE＝AP＝20+20≈54.6，故答案为：54.615．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车没有超速（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）【解答】解：作AD⊥直线l于D，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝100，在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，则CD＝＝100≈173.2，∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），小汽车的速度为：0.0732÷＝52.704（千米/小时），∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，∴小汽车没有超速，故答案为：没有超速．16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为3m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，则BC＝CD•tan∠BDC＝10，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为262m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【解答】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC＝AD＝62，在Rt△AEC中，tan∠EAC＝，则AE＝≈＝200，在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，∴BE＝AE＝200，∴BC＝200+62＝262（m），则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为566米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈566（米）故答案是：566．三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，∴CP＝4x，由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝5，则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，设MF＝ym，则ME＝（y+15）m，在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝＝y，在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝20，解得，y＝7.5+10，∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，答：古塔的高度ME约为39.8m．21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m。
【新】人教版九年级数学下册： 解直角三角形及其应用 同步练习 (含答案)
解直角三角形及其应用同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，cosC=，则△BCD与△ABD的面积比是（）A．1：3B．2：7C．2：9D．2：112．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为（）A．1B．C．0.5D．3．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（）A．1B．2C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，延长CA到点D，使AD=AB，连接BD．根据此图形可求得tan15°的值是（）A．B．C．D．5．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31°，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A到达山顶B缆车需要15分钟，则山的高度BC为（）A．600•tan31°B．C．600•sin31°D．6．小明同学在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知他的目高AB为1.5米，他先站在A处看路灯顶端O的仰角为30°，向前走3米后站在C处，此时看灯顶端O的仰角为60°，则灯顶端O 到地面的距离约为（）A．3.2米B．4.1米C．4.7米D．5.4米7．如图所示，小明所住高楼AB高为100米，楼旁有一座坡比为3：1的山坡CE，小明想知道山坡的高度，于是小明来到楼顶B俯视坡底C，测得俯角为45°，仰视坡项E，测得仰角为27°，请根据小明提供的信息，帮小明求出斜坡CE的高度ED的值．（结果均精确到0.1米．参考数据：sin27°≈0.45，cos37°≈0.89，tan27°≈0.51）（）A．151.1米B．168.7米C．171.6米D．181.9米8．如图，要测量小河两岸相对的两点P、A之间的距离，可以在小河边PA的垂线PB上取一点C．测得PC=80米，∠PCA=32°，则PA的长为（）A．80sin32°米B．80tan32°米C．D．9．如图，某“拓展训练营”的一个自行车爬坡项目有两条不同路线，路线一：从C到B，路线二：从D到A，AB为垂直升降梯．其中BC的坡度为i=1：2，BC=12米，CD=8米，∠D=36°（其中A，B，C，D均在同一平面内），则垂直升降梯AB的高度约为（精确到0.1米）（）（参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）A．8.6B．11.4C．13.9D．23.410．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个测点，AB=4km，从A处测得船C在北偏东45°的方向，从B 处得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离CD的长为（）A．4kmB．(4+2)kmC．(4+)kmD．(4-)km11．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福土最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头项正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i=1：2的斜坡CD走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米12．诗人卞之琳的代表作《断章》：“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你，明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦”．2019年国庆，重庆来福士广场开业，吸引了全国各地游客前来，重庆又有了一张新的名片．10月2日，游客小王从南滨路的A处，沿坡度i=1：0.75的斜坡上行20米到达B处，再往正前方水平走8米到达C处，对来福士广场拍照．同时，小王身后的一栋居民楼里面的重庆市民小张在D处测得C处的俯角为42°，若居民楼底端E处与A处的距离是45米，A、B、C、D、E在同一平面内，DE⊥AE于点E．则DE的长约为（）米．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）A．74.5B．74.1C．61.2D．58.5二．填空题（共6小题）13．已知一段公路的坡度为1：20，沿着这条公路前进，若上升的高度为2m，则前进了．14．如图，l是一条笔直的公路，道路管理部门在点A设置了一个速度监测点，已知BC为公路的一段，B 在点A的北偏西30°方向，C在点A的东北方向，若AB=50米．则BC的长为米．（结果保留根号）15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，tanB=0.75，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，垂足为点E，则DE=．16．如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是．17．在△ABC中，∠A=30°，AB=2，AC=6，则BC的长为18．如图，为了测量塔CD的高度，小明在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，那么塔的高度是m．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）．三．解答题（共5小题）19．如图，正在海岛C西南方向20海里作业的海监船A，收到位于其正东方向渔船B发出的遇险求救信号，已知渔船B位于海岛C的南偏东30°方向，海岛C周围13海里内都有暗礁．（参考数据）（1）如果海监船A沿正东方向前去救援是否有触礁的危险？（2）求海监船A与渔船B的距离．（结果精确到0.1海里）20．某中学为数学实验“先行示范校”，一数学活动小组带上高度为1.5m的测角仪BC，对建筑物AO进行测量高度的综合实践活动，如图，在BC处测得直立于地面的AO顶点A的仰角为30°，然后前进40m至DE处，测得顶点A的仰角为75°．（1）求∠CAE的度数；（2）求AE的长（结果保留根号）；（3）求建筑物AO的高度（精确到个位，参考数据：．21．如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC，A、C、D在同一直线上．量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．求台灯的高（即台灯最高点E到底盘AB 的距离）．（结果取整，参考数据sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，22．某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，AD=BD=DE=30cm，CE=40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC=53°，图1中B、E、C三点共线，图2中的座板DE与地面保持平行．问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin53°）23．如图①是某小区入口实景图，图②是该入口抽象成的平面示意图，已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．上的O点处装有一盏灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长1.2米，（1）求点M到地面的距离，（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车能否从该入口安全通过？如果能安全通过，请直接写出货车离门卫室外墙AB的最小距离（精确到0.01米）；如果不能安全通过，请说明理由．（参考数据：参考答案1-5：BDBAC 6-10:BDBBB 11-12:BA13、214、）15、16、17、18、19、20、21、22、在Rt△CEN中，∵CE=40cm，∴由勾股定理可得CN=32cm，则BC=18+30+32=80（cm），答：BC的长度发生了改变，增加了4cm23、（1）过点M作MN⊥OA于点N，∵OM长1.2米，∠AOM=60°．∴ON=0.6米，∴BN=OB+ON=3.3+0.6=3.9米．答：点M到地面的距离为3.9米．（2）一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车能从该入口安全通过，理由如下：过点A作AE⊥BA，垂足为A，∵设货车高AB=3.5米，则OA=3.5-3.3=0.2∴AE=OAtan60°=≈0.35答：货车离门卫室外墙AB的最小距离为0.35米。
九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题
九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题28.2解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计27分，）1.在Rt△ACB中，∠C=90∘，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.52.兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是（）A.北纬34∘03＇B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03＇，东经103∘49＇3.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450a元B.300a元C.225a元D.150a元4.如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（）A.3mB.35mC.12mD.6m5.如图，梯形ABCD中，AD // BC，∠B＝45∘，∠D＝120∘，AB ＝8cm，则DC的长为（）A.863cmB.463cmC.46cmD.8cm6.一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为30∘，若窗高AB=1.8米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则挡板AC （垂直于AB）的长最少应为（）A.1.83米B.0.63米C.3.6米D.1.8米7.在河岸边一点A测得与对岸河边一棵树C的视线与河岸的夹角为30∘，沿河岸前行100米到点B，测得与C的视线与河岸的夹角为45∘，则河的宽度为（）A.200米B.1003米C.1003-1米D.1003+1米8.如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4:3，坡长AB=10.5米，则此时小船C 到岸边的距离CA的长为（）米．（3≈1.7，结果保留两位有效数字）A.11B.8.5C.7.2D.109.某班的同学想测量一教楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为16米，它的坡度i＝1:3，在离C点45米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37∘，则一教楼AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73）A.44.1B.39.8C.36.1D.25.9二、填空题（本题共计7小题，每题分，共计21分，）10.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=23，∠B为锐角，则tanB=________．11.如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至A处时，测得小岛C在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在轮船的南偏东60度的方向处．若CB=40海里，则轮船航行的时间为________．12.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a=2，b=3，则cosA=________．如果港口A的南偏东52∘方向有一座小岛B,那么从小岛B观察港口A的方向是________.14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为________cm，底角的余弦值为________．如图，长为4m的梯子搭在墙上与地面成60∘角，则梯子的顶端离地面的高度为________m（结果保留根号）．如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32＇．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．三、解答题（本题共计小题，共计70分，）17.如图是大型超市扶梯的平面示意图．为了提高扶梯的安全性，超市欲减小扶梯与地面的夹角，使其由45∘改为30∘．已知原扶梯AB 长为42米．（1）求新扶梯AC的长度；（2）求BC的长．18.某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树DE的高度（如图所示），当这棵树顶点D的影子刚好落在旗台的台阶下点C处时，他们测得此时树顶点D的仰角为60∘；当点D的影子刚好落在台阶上点A时，树顶点D的仰角为30∘，台阶坡度为3:3，台阶高度AB=2米，点B、C、E在同一水平线上，求树高DE（测角仪高度忽略不计）．19.某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角为21.8∘，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角为30∘，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100米，点A，E，D在一条直线上．试求小明与楼BE间的水平距离AE．(结果保留整数)(3≈1.73,sin21.8∘≈0.37,cos21.8∘≈0.93,tan21.8∘≈0.40)20.如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌(CD)，放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB的坡度为i＝1:3，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1:3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）21.如图，要环绕A、B、C、D四地修筑一条高等级公路ABCDA．已知A、B、C三地在同一直线上，D地在A地的北偏东45∘方向，在B地的正北方向，在C地北偏西60∘方向，C地在A地的北偏东75∘方向，B、D两地相距10km．如果该公路每公里造价为2000万元，求该公路全长的造价是多少万元？（用根号表示）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF // MN，小聪在河岸MN上点A处测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30∘方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．（结果保留根号）23.有一款如图(1)所示的健身器材，可通过调节AB的长度来调节椅子的高度，其平面示意图如图(2)所示，经测量，AD与DE的夹角为75∘，AC与AD的夹角为45∘，且DE // AB．现调整AB的长度，当∠BCA为75∘时测得点C到地面的距离为25cm．请求出此时AB的长度（结果保留根号）．。
人教版九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用 同步测试题(有答案)
28.2 解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，），AC=6，则AB的长度为（）1. 在△ABC中，∠C=90∘，cos A=35A.8B.10C.12D.142. 在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（）A.100tanαB.100cotαC.100sinαD.100cosα，BC=8.4 3. 如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.2米，若tan A=34米，则楼高CD是（）A.6.3米B.7.5米C.8米D.6.5米4. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30∘方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A.40√2海里B.40√3海里C.80海里D.40√6海里5. 在直角△ABC中，∠C＝90∘，BC＝1，tan A=1，下列判断正确的是（）2A.∠A＝30∘B.AC=1C.AB＝2D.AC＝226. 如图，AC=BC=10cm，∠B=15∘，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm7. 如图，为了测量小河AE的宽度，小明从河边的点A处出发沿着斜坡AB行走260米至坡顶B处，斜坡AB的坡度为i＝1:2.4，在点B处测得小河对岸建筑物DE顶端点D的俯角∠CBD ＝11∘，已知建筑物DE的高度为37.5米，则小河AE的宽度约为（精确到1米，参考数据：sin11∘＝0.19，cos11∘＝0.98，tan11∘＝0.20）（）A.89米B.73米C.53米D.43米8. 如图，等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，则腰AB、AC的值为（）A.20B.15C.10D.7.59. 在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=α，那么AD等于（）A.a sin2αB.a cos2αC.a sinαcosαD.a sinαtanα10. 如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60∘方向上，在A 处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30∘方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=()米．A.250B.500C.250√3D.500√3二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．12. 在△ABC中，∠A=120∘，AB=2，AC=4，则sin B的值是________．13. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若tan B=2，a=1，则b=________．14. 一次综合实践活动中，小明同学拿到一只含45∘角的三角板和一只含30∘角的三角板，如图放置恰好有一边重合，则S△ODC:S△OAB的值为________．15. 如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan B=3．AC上有一点E，满足AE:CE=42:3．那么tan∠ADE的值是________．16. 某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要________元．17. 如图，水平面上有一个坡度i=1:2的斜坡AB，矩形货柜DEFG放置在斜坡上，己知DE=2.5m．EF=2m，BF=3.5m，则点D离地面的高DH为________m．（结果保留根号）18. 如图，测量河宽AB（河的两岸平行），在C点测得∠ACB=32∘，BC=60m，则河宽AB约为________m．（用科学计算器计算，结果精确到0.1）19. 如图，设∠AOC=α，∠BOC=β，P为射线OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD等于________（用α、β的三角函数表示）PE20. 如图，某飞机于空中A处探测得地面目标C，此时飞行高度AC=ℎ米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，那么飞机A到控制点B的距离是________米．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是高，∠A=30∘，求证：AD=3BD．22. 一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位角是北偏东75∘，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位角是北偏东60∘，若小岛周围3.8海里内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁的危险？23. 某航班在某日凌晨0:40从甲地（记为A）起飞，沿北偏东35∘方向出发，以870km/ℎ的速度直线飞往乙地，但飞机在当日凌晨1:20左右在B处突然改变航向，沿北偏西71∘方向飞到C处消失，如果此航班在C处发出求救信号，又测得C在A的北偏西25∘方向，求A与求救点C的距离（结果保留整数，参考数据：sin74∘≈2425，sin46∘≈1825）．24. 如图，某中心广场灯柱AB被钢缆CD固定，已知CB=5米，且sin∠DCB=4．5（1）求钢缆CD的长度；（2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120∘，则灯的顶端E距离地面多少米？，BC=1+√3，CD=2 25. 已知：在四边形ABCD中，∠ABC=90∘，∠C=60，AB=√32（1）求tan∠ABD的值；（2）求AD的长．26. 某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1:√3，在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为38∘，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin38∘≈0.62，cos38∘≈0.79，tan38∘≈0.78，√3≈1.73．）参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C=90∘，、∵ cos A=ACAB =35，∵ AB=53×6=10．故选B．2.【答案】B【解答】∵ ∠BAC＝α，BC＝100m，∵ AB＝BC⋅cotα＝100cotαm．3.【答案】B【解答】解：如图，∵ 在△AEB中，∠ABE=90∘，BE=1.2米，tan A=34，∵ AB=EBtan A =1.234=1.6（米）．又∵ BC=8.4米，∵ AC=AB+BC=10米．又∵ 在直角△ACD中，∠C=90∘，tan A=34，∵ CD=AC⋅tan A=10×34=7.5（米）故选：B．4.【答案】A【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30∘，∠B=45∘，AP=80(海里)，故CP=12AP=40（海里），则PB=40sin45=40√2（海里）．故选A.5.【答案】D【解答】∵ 在直角△ABC中，∠C＝90∘，BC＝1，tan A=12，tan A=BCAC，∵ AC=BCtan A =112=2，∵ AB=√AC2+BC2=√22+12=√5，∵ tan A=12，tan30∘=√33，∵ ∠A≠30∘，6.【答案】C【解答】解：∵ AC=BC，∵ ∠B=∠BAC=15∘，∵ ∠ACD=∠B+∠BAC=15∘+15∘=30∘，∵ AD⊥BC，∵ AD=12AC=12×10=5cm．故选C．7.【答案】B【解答】作BH⊥EA交EA的延长线于H，作DG⊥BH于G，则四边形DEHG为矩形，∵ DG＝EH，GH＝DE＝37.5，设BH＝x米，∵ 斜坡AB的坡度为i＝1:2.4，∵ AH＝2.4x米，由勾股定理得，(2.4x)2+x2＝2602，解得，x＝100，∵ BH＝100米，AH＝240米，∵ BG＝BH−GH＝100−37.5＝62.5，在Rt△BDG中，tan∠BDG=BGDG，则DG=BGtan∠BDG ≈62.50.2=312.5，∵ AE＝312.5−240＝72.5≈73（米），8.【答案】C【解答】解：∵ 等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，∵ AB=AC=2AD=2×5=10．故选C．9.【答案】C【解答】解：AD=AB⋅sinα=BC⋅cosα⋅sinα=a sinαcosα．故选C．10.【答案】C【解答】解：∵ ∠PAB=90∘−60∘=30∘，∠PBC=90∘−30∘=60∘．又∵ ∠PBC=∠PAB+∠APB，∵ ∠PAB=∠APB=30∘．∵ PB=AB．=250√3．在直角△PBC中，PC=PB⋅sin60∘=500×√32故选C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∵ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.12.【答案】√217【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，∵ ∠A=120∘，∵ ∠CAD=60∘，在Rt△CAD中，AC=4，∵ sin∠CAD=sin60∘=CD，AC=2√3，∵ CD=4×√32∵ cos∠CAD=cos60∘=AD，AC×4=2，∵ AD=12∵ BD=AB+AD=2+2=4，在Rt△BDC中，BC=√CD2+BD2=√(2√3)2+42=2√7，∵ sin B =CD BC =√32√7=√217． 故答案为√217．13. 【答案】2【解答】解：在Rt △ABC 中，∵ ∠C =90∘，∵ AB 为斜边．∵ b =AC ⋅tan B=a ⋅tan B=2．14.【答案】3+√33【解答】解：作OH ⊥BC 于H ，如图，设OH =x ，在Rt △OBH 中，∵ ∠OBH =30∘，∵ BH =√3OH =√3x ，在Rt △OCH 中，∵ ∠OCH =45∘，∵ CH =OH =x ，∵ BC =(√3+1)x ，在Rt △BCD 中，CD =√33BC =√33(√3+1)x ， 在Rt △ABC 中，AB =√22BC =√22(√3+1)x ， ∵ S △OCD =S △BCD −S △OBC =12•(√3+1)x ⋅√33(√3+1)x −12•(√3+1)x ⋅x =3+√36x 2， S △OAB =S △ABC −S △OBC =12⋅√22(√3+1)x ⋅√22(√3+1)x −12•(√3+1)x ⋅x =12x 2，∵ S△ODC:S△OAB=3+√36x2:12x2=3+√33．故答案为3+√33．15.【答案】89【解答】解：作EF⊥AD于F，如图，∵ △ABC为等腰三角形，AD为高，∵ ∠B=∠C，∵ tan C=34=ADDC设AD=3t，DC=4t，∵ AC=√AD2+CD2=5t，而AE:CE=2:3，∵ AE=2t，∵ EF // CD，∵ △AEF∽△ACD，∵ EFCD =AFAD=AEAC，即EF4t=AF3t=2t5t，∵ AF=65t，EF=85t，∵ FD=AD−AF=95t，在Rt△DEF中，tan∠FDE=EFFD =85t95t=89∵ tan∠ADE=89．故答案为89．16.【答案】150a【解答】解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵ ∠BAC=150∘，∵ ∠DAC=30∘，∵ CD⊥BD，AC=30m，∵ CD=15m，∵ AB=20m，∵ S△ABC=12AB×CD=12×20×15=150m2，∵ 每平方米售价a元，∵ 购买这种草皮的价格为150a元．故答案为：150a．17.【答案】2√5【解答】解：作DH⊥BC，垂足为H，且与AB相交于S．∵ ∠DGS=∠BHS，∠DSG=∠BSH，∵ ∠GDS=∠SBH，∵ GSGD =12，∵ DG=EF=2m，∵ GS=1m，∵ DS=√12+22=√5m，BS=BF+FS=3.5+(2.5−1)=5m，设HS=xm，则BH=2xm，∵ x2+(2x)2=52，∵ x=√5m，∵ DH=√5+√5=2√5m．故答案是：2√5．18.【答案】37.5【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠B=90∘BC=60m，∠C=32∘，∵ AB=BC⋅tan32∘≈60×0.625≈37.5m故答案为37.5．19.【答案】sinαsinβ【解答】解：∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∵ ∠PDO=∠PEO=90∘，∵ sinα=PDPO ，sinβ=PEPO，∵ PDPE =sinαsinβ．故答案为：sinαsinβ．20.【答案】ℎsinα【解答】解：在直角△ABC中，∠B=α，sin B=ACAB，∵ AB=ACsinα=ℎsinα．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】证明：∵ CD⊥AB，∠A=30∘，∵ ∠DCB=30∘，∵ BC=2BD，∵ ∠A=30∘，∠ACB=90∘，∵ AB=2BC，∵ AB=4BD，∵ AB=AD+BD，∵ AD=3BD．【解答】证明：∵ CD⊥AB，∠A=30∘，∵ ∠DCB=30∘，∵ BC=2BD，∵ ∠A=30∘，∠ACB=90∘，∵ AB=2BC，∵ AB=4BD，∵ AB=AD+BD，∵ AD=3BD．22.【答案】解：如图所示：由题意可得：∠1=75∘，∠2=60∘，则∠PAB=15∘，∠PBC=30∘，故∠APB=15∘，则AB=PB=7（海里），可得：PC=12PB=3.5海里<3.8海里．则该船一直向东航行有触礁的危险．【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1=75∘，∠2=60∘，则∠PAB=15∘，∠PBC=30∘，故∠APB=15∘，则AB=PB=7（海里），可得：PC=12PB=3.5海里<3.8海里．则该船一直向东航行有触礁的危险．23.【答案】解：过点B作BD⊥AC于点D，由题意可得：AB=870×4060=580(km)，∠BAC=35∘+25∘=60∘，则BD=AB⋅sin60∘=580×√32=290√3(km)，AD=12AB=290km，∵ ∠CBA=180∘−71∘−35∘=74∘，∵ ∠C=180∘−60∘−74∘=46∘，∵ sin46∘≈1825，∵ BDBC =290√3BC=1825∵ BC=3625√39km，则CD=√BC2−BD2=15√157267≈484．CA=CD+AD=774km．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，由题意可得：AB=870×4060=580(km)，∠BAC=35∘+25∘=60∘，则BD=AB⋅sin60∘=580×√32=290√3(km)，AD=12AB=290km，∵ ∠CBA=180∘−71∘−35∘=74∘，∵ ∠C=180∘−60∘−74∘=46∘，∵ sin46∘≈1825，∵ BDBC =290√3BC=1825∵ BC=3625√39km，则CD=√BC2−BD2=15√157267≈484．CA=CD+AD=774km．24.【答案】解：（1）在Rt△DCB中，sin∠DCB=DBDC =45，∵ 设DB=4x，DC=5x，∵ (4x)2+25=(5x)2，解得x=±53，∵ CD=253米，DB=203米．（2）如图，过点E作EF⊥AB于点F．∵ ∠EAB=120∘，∵ ∠EAF=60∘，∵ AF=AE⋅cos∠EAF=1.6×12=0.8（米），∵ FB=AF+AD+DB=0.8+2+203=14215（米）．∵ 灯的顶端E距离地面14215米．【解答】解：（1）在Rt△DCB中，sin∠DCB=DBDC =45，∵ 设DB=4x，DC=5x，∵ (4x)2+25=(5x)2，解得x=±53，∵ CD=253米，DB=203米．（2）如图，过点E作EF⊥AB于点F．∵ ∠EAB=120∘，∵ ∠EAF=60∘，∵ AF=AE⋅cos∠EAF=1.6×12=0.8（米），∵ FB=AF+AD+DB=0.8+2+203=14215（米）．∵ 灯的顶端E距离地面14215米．25.【答案】解：（1）如图，作DE⊥BC于点E．∵ 在Rt△CDE中，∠C=60∘，CD=2，∵ CE=1，DE=√3，∵ BC=1+√3，∵ BE=√3．∵ BE=DE∵ ∠DEB=90∘，∵ ∠EDB=∠EBD=45∘．∵ AB⊥BC，∠ABC=90∘，∵ ∠ABD=∠ABC−∠EBD=45∘．∵ tan∠ABD=1．（2）如图，作AF⊥BD于点F．，在Rt△ABF中，∠ABF=45∘，AB=√32．∵ BF=AF=√64∵ 在Rt△BDE中，BE=DE=√3，∵ BD=√6．∵ DF=3√6．4．∵ 在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD=√152【解答】解：（1）如图，作DE⊥BC于点E．∵ 在Rt△CDE中，∠C=60∘，CD=2，∵ CE=1，DE=√3，∵ BC=1+√3，∵ BE=√3．∵ BE=DE∵ ∠DEB=90∘，∵ ∠EDB=∠EBD=45∘．∵ AB⊥BC，∠ABC=90∘，∵ ∠ABD=∠ABC−∠EBD=45∘．∵ tan∠ABD=1．（2）如图，作AF⊥BD于点F．，在Rt△ABF中，∠ABF=45∘，AB=√32∵ BF=AF=√6．4∵ 在Rt△BDE中，BE=DE=√3，∵ BD=√6．∵ DF=3√6．4．∵ 在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD=√15226.【答案】大楼AB的高度约为34.80米．【解答】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．=i＝1:√3，∵ 在Rt△BCF中，BFCF∵ 设BF＝k，则CF=√3，BC＝2k．又∵ BC＝12，∵ k＝6，∵ BF＝6，CF＝6√3．∵ DF＝DC+CF，∵ DF＝40+6√3．，∵ 在Rt△AEH中，tan∠AEH=AHEH∵ AH＝tan38∘×(40+6√3)≈39.30（米），∵ BH＝BF−FH，∵ BH＝6−1.5＝4.5．∵ AB＝AH−HB，∵ AB＝39.30−4.5＝34.80．21。
九年级数学解直角三角形同步练习题(含答案)
九年级数学解直角三角形同步练习题（含答案）一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.若角α的余角是30∘，则cosα的值是()A. 12B. √32C. √22D. √332.在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sinA=35，则cosB的值是()A. 45B. 35C. 34D. 433.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 44.已知a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且a：b：c=1：√2：√3，则cos B的值为()A. √63B. √33C. √22D. √245.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定6.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是()A. tan55°=B. tan55°=C. sin55°=D. cos55°=7.如图，已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置，从A点观测标志物C的俯角是65°，从B点观测标志物C的俯角是35°，则∠ACB的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 65°8.在Rt△ABC中，已知∠C=90∘.若AC=2BC，则sin∠A的值是()A. 12B. 2 C. √55D. √529.△ABC中，∠C=90°，若∠A=2∠B，则cosB等于()A. √3B. √33C. √32D. 1210.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=2√3，∠B=30°，S△ABC=10√3，则tanC的值为()A. 13B. 12C. √33D. √3211.在Rt△ABC中，∠C=90，AC=12，cosA=1213，则tanA等于()A. 513B. 1312C. 125D. 51212.如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为()A. 12B. √22C. 1D. √213.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是()A. 42√3米B. 14√3米C. 21米D. 42米14.如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为()A. 13B. √1010C. 12D. √2215.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值()A. 不变B. 缩小为原来的13C. 扩大为原来的3倍D. 扩大为原来的9倍二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）16.计算：√27+(13)−2−3tan60°+(π−√2)0=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，在A的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A沿着北偏东55°方向巡逻，到达C时接到命令，立刻从C沿南偏东60°方向以20海里/小时的速度航行，从C到B航行了3小时．求A，B间的距离(结果保留整数).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73)四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数)．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．19.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10,0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．(1)求点B的坐标；(2)求tan∠BAO的值．)−1+√18−6sin45°．20.计算：(1221.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(√3取1.7)．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA=3．5(1)求CD的长；(2)求tan∠DBC的值．1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】解：因为角α的余角是30∘，所以α=90°−30°=60°，则．故选A．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=，故选：B．3.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC=∠A．∴cos∠DBC=cosA=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．4.【答案】B【解析】解：∵，∴△ABC为直角三角形．cosB==．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，∴ACAB =AC5=45，∴AC=4，∴BC=√AB2−AC2=3，∵r=3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．6.【答案】B【解析】【解析】解：∵在Rt△ADE中，DE=6，AE=AB−BE=AB−CD=x−1，∠ADE=55°，∴sin55°=，cos55°=，tan55°=，故选：B．7.【答案】B【解析】【解析】解：根据题意可知：∠ACD=65°，∠BCD=35°，∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=30°．故选：B．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数的求法，属于基础题．可先求出斜边AB，然后根据正弦的定义求出角A的正弦即可．【答案】解：∵AC=2BC，由勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=√(2BC)2+BC2=√5BC，∴sin∠A=BCAB =√5=√55，故选C．9.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A=2∠B，∴∠B=30°，∴cosB=cos30°=√32，故选：C．根据直角三角形的性质求出∠B，根据30°的余弦值是√32解答．本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵在△ABD中，∠ADB=90°，AD=2√3，∠B=30°，∴BD=ADtanB =√3√33=6．∵S△ABC=12BC⋅AD=10√3，∴12BC⋅2√3=10√3，∴BC=10，∴CD=BC−BD=10−6=4，∴tanC=ADCD =2√34=√32．故选：D．首先解直角△ABD，求得BD，再根据S△ABC=10√3，求出BC，那么CD=BC−BD，然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tanC的值．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出CD的长．【解析】解：∵cosA=ACAB =1213，AC=12，∴AB=13，BC=√AB2−AC2=5，∴tanA=BCAC =512．故选：D．根据cosA=1213求出第三边长的表达式，求出tanA即可．本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．12.【答案】B【解析】解：连接BC，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB=√5，BC=√5，AC=√10，∵(√5)2+(√5)2=(√10)2，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠BAC=ABAC =√5√10=√22，故选：B．根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求得cos∠BAC的值．本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理，解答本题的关键是明确题意，判断出△ABC 的形状，利用锐角三角函数解答．13.【答案】A【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42√3(米)故选：A．在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【解析】【分析】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，则tan∠ACB=AHHC =26=13．故选A．15.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质解答．【解答】解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．16.【答案】10【解析】解：原式=3√3+9−3√3+1=10．故答案为：10．直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知：∠ACD=55°，∠BCD=60°，BC=20×3=60(海里)，BC=30(海里)，BD=30√3(海里)，在Rt△BCD中，CD=12在Rt△ADC中，AD=CD⋅tan55°=30×1.43≈42.90(海里)，∴AB=AD+BD=42.90+30√3≈95(海里)．答：A，B间的距离为95海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据三角函数分别求出CD、BD、AD的长，进而可求出A、B间的距离．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义．18.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ACB=45°，∴AD=CD，设AB=x，在Rt△ADB中，AD=AB⋅sin58°≈0.85x，BD=AB⋅cos58°≈0.53x，又∵BC=221，即CD+BD=221，∴0.85x+0.53x=221，解得，x≈160，答：AB的长约为160m．【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．19.【答案】解：(1)如图，过点B作BH⊥OA于点H，∵OB=5，sin∠BOA=，∴BH=3，OH=4，∴点B的坐标为(4,3)，(2)∵OA=10，∴AH=OA−OH=10−4=6，∴在Rt△AHB中，tan∠BAO===．【解析】解答案20.【答案】解：(12)−1+√18−6sin45°=2+3√2−6×√2 2=2+3√2−3√2=2．【解析】首先计算负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21.【答案】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形．∴CE=AB=12m．在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE，CE∴BE=CE⋅cot30°=12×√3=12√3．在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=12√3．∴CD=CE+DE=12(√3+1)≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=6，cosA=3，5∴AD=AE=10，cosA∴DE=√AD2−AE2=√102−62=8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD=DE=8；(2)由(1)AD=10，DC=8，∴AC=AD+DC=18，在△ADE与△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，即8BC=618,BC=24，∴tan∠DBC=CDBC =824=13．【解析】(1)在Rt△ADE中，根据余弦函数的定义求出AD，利用勾股定理求出DE，再由角平分线的性质可得DC=DE=8；(2)由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18.由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=13．本题考查了解直角三角形，角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，求出DE是解第(1)小题的关键；求出BC是解第(2)小题的关键．。
2020年春人教版九年级数学下册解直角三角形同步练习及答案
28.2 解直角三角形第2课时仰角、俯角与解直角三角形1. （2013山西）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A．1003 m B．502 m C．503 m D．3 1003m2. （2013衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进 4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为 1.6 m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1 m，3≈1.73）A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m3. （2013德阳）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼BC的高度为（）A．403 m B．803 mC．1203 m D．1603 m4. （2013十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为＿＿＿＿米．5. 小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为60°，楼底点D处的俯角为30°．若两座楼AB与CD相距60米，求楼CD的高度为多少米？参考答案1．A2．D3．D4．75025．解：过点A作AE⊥CD于E．在Rt△ACE中，CE=60×tan60°＝603(米)，在Rt△ADE中，DE=60×tan30°=60×3=203(米)，3∴CD=CE+DE=603+203=803(米)．。
人教版九年级数学下册28.2.1：解直角三角形 同步练习
28.2.1解直角三角形一、基础训练1．在R t△ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，那么（1）三边之间的关系为；（2）锐角之间的关系为；（3）边角之间的关系为．2．填空：在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）已知a=4，b=8，则c= ，（2）已知b=10，∠B=60°，则a= ，c= ．（3）已知c=20，∠A=60°，则a= ，b= ．3．已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，则sin B= ,cos B= ,tan C= ．4．在△ABC中，∠C＝90°，a=3 2 ,b=3 6 ，则∠A= °，边c= ．二、典型例题例1．由下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°：（1）已知c=20，∠A=45°；（2）已知a+c=12，∠B=60°分析利用三角函数进行计算．例2．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察点与第一次观察点的距离是多少米？分析利用30°、45°的正切进行计算，再相减即可．三、拓展提升某省计划将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修一条笔直的公路，经测量在A地北偏东600方向，B地北偏西450方向的C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？分析过C作AB的垂线，垂足为D，计算出CD的长，如果CCD>0.7km，则不会穿过公园，如果CD<0.7km，则穿过公园．A B四、课后作业 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，则∠A 、a 、c 关系式是c= ．2．在Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，b=310，则a= ，c= ．3．已知在直角梯形ABCD 中，上底CD =4，下底AB =10，非直角腰BC =34，则底角∠B = ．4．若∠A 是锐角，且cos A =53，则cos （900—A ）= ． 5．在△ABC 中，∠C=90°，（1）已知∠A =30°，BC =8cm ，求AB 与AC 的长；（2）已知∠A =60°，AC =3cm ，求AB 与BC 的长．6．设直线y=3x -3与x 轴所成的锐角为α，试求锐角α．7.Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积．8．如图，在△ABC 中，∠C =90︒，∠BAC =30︒，延长CA 至D ，使AD =AB ，试由图求tan15︒的值．D C B A 第8题答案一、基础训练1. (1)a 2 + b 2 =c 2 (2)∠A + ∠B=90°(3) sinA=cosB= a c cosA=sinB=b c tanA=a b tanB=b a2.(1) 4 5 (2)103 3 203 3 (3) 10 3 103. sinB=1213 cosB=513 tanC= 1254. 30°6 2二、典型例题例1 (1)∠B=45° a=b=10 2 (2) ∠C=30°a=4 b=4 3 c=8 例2 5 3 - 5三、拓展提升点C 到AB 的距离约为0．8082km >0．7km ，所以不会穿过公园.四、课后作业1. a sinA2. a=10 c=203.30°4. 455. (1)AB=8 3 AC=16 (2) AB=2 3 AC=36. 60°7.面积为98 3 -1478. 2 - 3。
人教版九年级数学下册解直角三角形同步测试题
解直角三角形1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a ta n A ＝bD ．c tan B ＝b2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，c ＝2，则b 的值等于( D )A.55 B.255 C.355 D.455【解析】 ∵tan A ＝a b ＝12，∴a ＝b 2，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋b 2＝4，∴5b 24＝4，∴b ＝45 5.3．如图28－2－1，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于( B ) A ．m ·sin α米 B ．m ·tan α米 C ．m ·cos α米 D.mtan α米图28－2－1图28－2－24．如图28－2－2，△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 5．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高．则下列结论中，正确的是( B ) A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12AB C ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23，则∠B ＝__30°__．【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由tan B ＝b a ＝23＝33，得∠B ＝30°.7．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，则a ＝__12__，b ＝__43__．【解析】 本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sin A ＝a c ，得a ＝sin A ·c ＝32×83＝12.由∠A ＝60°，得∠B ＝30°，所以b ＝12c ＝4 3.8．等腰三角形底边长为26，底边上的高为32，则底角为__60°__． 【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求底角． 9．在△ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形． (1)已知∠A ＝60°，b ＝4，求a ； (2)已知a ＝13，c ＝23，求b ；(3)已知c ＝282，∠B ＝30°，求a ；(4)已知a ＝2，cos B ＝13，求b .解：(1)∵tan A ＝a b，∴a ＝b ·tan A ＝4·tan60°＝4×3＝43；(2)∵a 2＋b 2＝c 2， ∴b ＝c 2－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝13； (3)∵cos B ＝a c， ∴a ＝c ·cos B ＝282×32＝146； (4)∵cos B ＝a c ，∴c ＝a cos B ＝213＝6.又∵b 2＝c 2－a 2，∴b ＝c 2－a 2＝62－22＝4 2. 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. (1)已知a ＝4，b ＝8，求c .(2)已知b ＝10，∠B ＝60°，求a ，c . (3)已知c ＝20，∠A ＝60°，求a ，b .解：(1)c ＝a 2＋b 2＝42＋82＝45；(2)a ＝b tan B ＝10tan60°＝103＝1033，c ＝b sin B ＝10sin60°＝1032＝2033；(3)a ＝c ×sin A ＝20×32＝103，b ＝c ×cos A ＝20×12＝10. 11．根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°； (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，b ＝ 6.解：(1)∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝acos B＝16，b ＝a ·tan B ＝83；(2)∠B ＝90°－∠A ＝45°，a ＝b ·tan A ＝6，c ＝bcos A＝2 3.图28－2－312．如图28－2－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝ 22，解这个直角三角形．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝22，∴sin B ＝AC AB ＝12，∴∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°.BC ＝AB 2－AC 2＝8－2＝ 6.13．如图28－2－4，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD ＝( A )图28－2－4A.35B.105C.310D.4914．如图28－2－5，已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长(结果保留根号)． 解：∵△ABD 是等边三角形，∴∠B ＝ 60°. 在Rt △ABC 中，∵cos B ＝AB BC ，sin B ＝AC BC，∴BC ＝ AB cos B ＝2cos60°＝4，∴AC ＝BC ·sin B ＝4×sin60°＝23， ∴△ABC 的周长＝AB ＋AC ＋BC ＝6＋2 3.图28－2－5图28－2－615．如图28－2－6，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC ＝45°，BD ＝102，AB ＝20.求∠A 的度数．解：在Rt △BDC 中，因为sin ∠BDC ＝BC BD， 所以BC ＝BD ×sin ∠BDC ＝102×sin45°＝102×22＝10. 在Rt △ABC 中，因为sin A ＝BC AB ＝1020＝12，所以∠A ＝30°. 16．如图28－2－7，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求AB 的长．图28－2－7第16题答图解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD . ∵∠A ＝30°，AC ＝23，∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理得：AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.17．某学校的校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.087 2，cos5°≈0.996 2，sin10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)．图28－2－8 解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABC D.根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0．3米．∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6(米)；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0．3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3＝0．02616(米)，∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是() A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为()A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C．110元D．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是() A．130°B．40°C．90°D．140°9．如图，C，D是线段AB上的两点，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF＝m，CD＝n，则AB的长是()A．m－n B．m＋nC．2m－n D．2m＋n10．下列结论：①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12；②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解； ③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0； ④若|a |>|b |，则a －ba ＋b>0. 其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________．12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________．14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个．16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a △b ＝a ·b －2a －b ＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1. 22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOE＝2∠EOF＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE＝2∠COF.(2)∠BOE＝2∠COF仍成立．理由：设∠AOC＝β，则∠AOE＝90°－β，又因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOF＝90°－β2.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF＝∠AOF＋∠AOC＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE＝2∠COF.25．解：(1)0.5x；(0.65x－15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a度．根据题意，得0.65a－15＝0.55a，解得a＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C在原点右边，则点C表示的数为100÷(3＋1)＝25；若点C在原点左边，则点C表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50.故点C表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D经过的时间为t s，则6t－4t＝130，解得t＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D表示的数为－290.(4)ON－AQ的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。
人教版九年级下册数学 28.2.1解直角三角形 同步习题
人教版九年级下册数学28.2.1解直角三角形同步习题一．选择题1．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，BC＝7，则AB边的长是（）A．7sin40°B．C．7cos40°D．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tan A＝（）A．B．C．D．3．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，则BC＝（）A．15 B．6 C．9 D．85．在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD＝5，tan A＝，sin B＝，则a，b，c三边的长分别是（）A．B．C．D．6．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，S△ABC＝10，则tan C的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C，F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm9．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A．+1 B．﹣1 C．D．二．填空题11．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，tan B＝，则BC的长为．12．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝2，则BC的长为．13．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BC＝12，S△BCE＝24，则tan C ＝．14．如图，sin∠O＝，长度为2的线段DE在射线OB上滑动，点C在射线OA上，且OC＝5，△CDE的两个内角的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥DE，垂足为G，则FG的最大值为．15．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD 沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．三．解答题（共3小题）16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．（1）求sin B的值；（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．18．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝，tan B＝2，点D为边BC延长线上一点，CD＝BC，联结AD．求∠D的正切值．。
人教版九年级数学下册解直角三角形同步练习
人教版九年级数学下册解直角三角形同步练习基础训练知识点1 已知两边解三角形1‘在Rt△ABC中,∠C=90°‘(1)若c=6,a=6,则b=_________,∠B=_______,∠A=_______;(2)若a=4,b=4,则∠A=_______,∠B=_______,c=_______‘2‘如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cos A=( )A‘B‘ C‘D‘3‘如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tan B=( )A‘2B‘2C‘D‘知识点2 已知一边及一锐角解三角形4‘在Rt△ABC中,∠C=90°‘(1)若∠B=60°,BC=,则∠A=__________,AC=_________,AB=_________;(2)若∠A=45°,AB=2,则∠B=_________,AC=_________,BC=_________‘5‘在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC 等于( )A‘3sin 40°B‘3sin 50°C‘3tan 40°D‘3tan 50°6‘如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是BC边上的动点,则AP长不可能是( )A‘3‘5 B‘4‘2 C‘5‘8 D‘77‘如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, D为BC上一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=2,则AC的长是( )A‘ B‘2 C‘3 D‘知识点3 已知一边及一锐角的三角函数值解三角形8‘如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为‘9‘如图,△ABC中,AC=5,cos B=,sin C=,则△ABC的面积是( )A‘B‘12 C‘14 D‘2110‘如图,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于点E‘若sin B=,AD=6,则菱形ABCD的面积为( )A‘12 B‘12C‘24 D‘5411‘如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cos ∠DCA=,BC=10,则AB的值是( )A‘3 B‘6 C‘8 D‘912‘在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°‘求∠BAC的度数‘提升训练考查角度1 利用三角函数解直角三角形13‘如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3,解这个直角三角形‘14‘在Rt△ABC中,∠C=90°,已知b=10,∠B=60°,解这个直角三角形‘15‘如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1‘(1)求BC的长;(2)求tan ∠DAE的值‘考查角度2 利用三角函数解斜三角形问题(化斜为直法)16‘如图,在△ABC中,sin B=,∠A=105°,AB=2,求△ABC的面积‘考查角度3 利用三角函数解与相似有关的综合问题17‘如图,在△A BC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H‘(1)求BD·cos∠HBD的值;(2)若∠CBD=∠A,求AB的长‘18‘如图,两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起,固定△ABC,将△DEF进行如下变换:(1)如图①,△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF,AD,BD,请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系‘(2)如图②,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么△ABC应满足什么条件?请给出证明‘(3)在(2)的条件下,将△DEF沿DF折叠,点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你画出图形,并求出sin∠CGF的值‘①②19‘如图,PB为☉O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交☉O于点A,连接PA,AO‘并延长AO交☉O于点E,与PB 的延长线交于点D‘(1)求证:PA是☉O的切线‘(2)若=,且OC=4,求PA的长和tan D的值‘参考答案1‘【答案】(1)6;45°;45°(2)60°;30°;82‘【答案】D 3‘【答案】B4‘【答案】(1)30°;;2(2)45°;;5‘【答案】D 6‘【答案】D 7‘【答案】A8‘【答案】249‘【答案】A解：如图,过点A作AD⊥BC‘因为cos B=,所以∠B=45°,所以AD=BD‘因为sin C==,所以=,所以AD=BD=3,所以DC===4,所以BC=BD+DC=7,所以S△BC·AD=×7×3=‘ABC=10‘【答案】C解：∵四边形ABCD是菱形,AD=6,∴AB=BC=6‘在Rt△ABE中,sin B=,∵sin B=,∴=,解得AE=4‘∴菱形ABCD的面积是6×4=24‘故选C‘11‘【答案】B解：∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB‘∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA‘∴∠ACB=∠DCA‘∴cos∠ACB=cos∠DCA=,即==,∴AC=8,∴AB==6‘12‘解:(1)如图①,当∠BAC是钝角时,过点A作AD⊥BC,垂足为点D‘在Rt△ABD中,∵∠B=30°,∴∠BAD=60°,AD=AB·sin 30°=1‘在Rt△ACD中,CD===1,∴△ACD是等腰直角三角形,则∠CAD=45°,∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°‘(2)如图②,当∠BAC是锐角时,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D‘∵∠B=30°,∴AD=AB·sin 30°=1,∠BAD=60°‘∴CD===1,∴∠DAC=45°,∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=60°-45°=15°‘综上可知,∠BAC的度数为105°或15°‘常见错解:解题时只考虑了一种情况(∠BAC为钝角或∠BAC为锐角),而忽略了另一种情况(∠BAC为锐角或∠BAC为钝角),从而造成漏解‘13‘解:在Rt△ABC中,AB===6‘∵tan A===1,∴∠A=45°‘∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°‘14‘解:∵∠B=60°,∴∠A=90°-∠B=30°‘∵tan B=,∴a====‘∵sin B=,∴c====‘方法解：已知一个锐角时,可以先根据直角三角形的两锐角互余来计算另一个锐角的度数‘已知一个锐角及对边,常通过正切和正弦来解直角三角形‘15‘解:(1)在△ABC中,∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°‘在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1‘在△ADB中,∵∠ADB=90°,sin B=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,∴BC=BD+DC=2+1‘(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=+,∴DE=CE-CD=-,∴tan ∠DAE==-‘16‘解:过A作AD⊥BC于D‘在Rt△ABD中,易得∠B=45°,又AB=2,∴∠DAB=∠B=45°,AD=BD=2×=,∴∠CAD=105°-45°=60°‘在Rt△CAD中,tan∠CAD=,∴CD=AD·tan∠CAD=×tan 60°=‘∴BC=CD+BD=+‘∴S△ABC=·BC·AD=(+)×=+1‘17‘解:(1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°, ∴△ABC∽△DHC,∴=‘∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1‘∴BH=BC+CH=4‘在Rt△BHD中,cos ∠HBD=‘∴BD·cos∠HBD=BH=4‘(2)方法一:∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,∴△ABC∽△BHD,∴=‘∵△ABC∽△DHC,∴==,∴AB=3DH,∴=,DH=2,∴AB=6‘方法二:∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,∴△CDB∽△BDA,∴=,BD2=CD·AD‘∴BD2=CD·4CD=4CD2‘∴BD=2CD‘∵△CDB∽△BDA,∴=‘∴=‘∴AB=6‘18‘解:(1)S△ABC=S四边形AFBD‘(2)△ABC为等腰直角三角形,即:AB=AC,∠BAC=90°‘理由如下:∵F为BC的中点,∴CF=BF‘∵CF=AD,∴AD=BF‘又∵AD∥BF,∴四边形AFBD为平行四边形‘∵AB=AC,F为BC的中点,∴AF⊥BC‘∴平行四边形AFBD为矩形‘∵∠BAC=90°,F为BC的中点,∴AF=BC=BF‘∴四边形AFBD为正方形‘(3)正确画出图形如图‘由(2)知,△ABC为等腰直角三角形,AF⊥BC,设CF=k,则GF=EF=CB=2k‘由勾股定理,得:CG=k‘sin ∠CGF===‘19‘(1)证明:如图,连接BO,∵PB为☉O的切线,B为切点,∴OB⊥PD,∠PBO=90°‘又∵OA=OB,OC⊥AB,∴∠AOC=∠BOC‘又∵OP=OP,∴△PAO≌△PBO,∴∠PAO=∠PBO=90°,PA=PB,∴PA是☉O的切线‘(2)解:∵∠ACO=∠PAO=90°,∠AOC=∠POA,∴△AOC∽△POA,∴==‘又∵OC=4,∴AC=6‘在Rt△AOC中,OA===2,∴PA=OA=3,∴PB=3‘在Rt△PAO中,PO===13‘如图,连接BE‘∵AE为直径,∴∠ABE=90°‘又∵OC⊥AB, ∴BE∥OP,∴△DBE∽△DPO,BE=2OC=8‘∴=‘即=‘解得BD=‘∴在Rt△DBO中,tan D===‘。
最新人教版九年级下册数学同步练习28.2.1 解直角三角形
28．2．1 解直角三角形 1.如图,在△ABC 中,∠C=900，AB=5,BC=3,则sinA 的值是（ ）A.34B.43C.35D.45第1题图 第3题图 第4题图 2.在Rt △ACB 中,∠C=900，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC 的长为（ ）A.6B.7.5C.8D.12.53.如图,在△ABC 中,∠C=900，AD 是BC 边上的中线,BD=4,52 AD ,则tan ∠CAD 的值是（ ）A.2B.2C.3D.5 4.如图,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD,使点B 落在AD 边上的点F 处,若AB=4，BC=5,则tan ∠AFE 的值为（ ）A.43B.35C.34D.455.在△ABC 中,AB=AC=5,sin ∠ABC=0.8，则BC=6.△ABC 中,∠C=900，AB=8,cosA=43,则BC 的长7.如图,在△ABC 中,∠A=300,∠B=450,AC=32,则AB 的长为 ．第7题图 第8题图8.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900，D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E,BC=6,sinA=35，则DE= ． 9.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,∠C=450，sinB=13,AD=1． （1）求BC 的长；（2）求tan ∠DAE 的值．10.如图,在Rt△ABC中,∠C=900，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．。
人教版九年级数学下册01解直角三角形基础练习题
初中数学试卷 灿若寒星整理制作28.2.1.解直角三角形基础练习题1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sinb a B a b Bc a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 解答下列问题：1、要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子2、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，解这个三角形．3、在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．4、根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．5、在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．6、 在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。
7、Rt △ABC 中，若sinA=45，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．8、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．9、在△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则cosA的值是（）A．35B．45C．916.2525D。