空间中线线、线面、面面的位置关系(上)

合集下载

空间几何线面平行面面平行线面垂直面面垂直的证明方法

空间几何线面平行面面平行线面垂直面面垂直的证明方法空间几何中，线、面、平行面、面平行线、面垂直面等概念是非常重要的。

在证明这些概念时，我们需要掌握一些基本的证明方法。

下面，我将介绍一些证明方法，帮助大家更好地理解这些概念。

一、线与面的关系1. 线与平面的关系线与平面的关系有两种情况：线在平面内或线与平面相交。

对于线在平面内的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设线与平面不在同一平面内，那么这条线必然与平面相交，与已知矛盾。

（2）假设线与平面在同一平面内，但不在同一直线上，那么这条线必然与平面相交，与已知矛盾。

（3）假设线与平面在同一直线上，但不在同一点上，那么这条线必然与平面相交，与已知矛盾。

因此，我们可以得出结论：线与平面必然在同一平面内且相交于一点或在平面内。

2. 线与直线的关系线与直线的关系有三种情况：相交、平行、重合。

对于线与直线相交的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设两条线不相交，那么这两条线必然平行，与已知矛盾。

（2）假设两条线重合，那么这两条线必然相交，与已知矛盾。

因此，我们可以得出结论：两条不同的线必然相交于一点或平行。

二、面与面的关系1. 平行面的关系平行面的关系有两种情况：平行或重合。

对于平行面的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设两个平面不平行，那么这两个平面必然相交，与已知矛盾。

（2）假设两个平面重合，那么这两个平面必然平行，与已知矛盾。

因此，我们可以得出结论：两个不同的平面必然平行或相交于一条直线。

2. 面垂直面的关系面垂直面的关系有两种情况：相交于一条直线或垂直。

对于面垂直的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设两个面不垂直，那么这两个面必然相交于一条直线，与已知矛盾。

（2）假设两个面相交于一条直线，那么这两个面必然不垂直，与已知矛盾。

因此，我们可以得出结论：两个不同的面必然相交于一条直线或垂直。

三、面平行线的关系面平行线的关系有两种情况：平行或相交。

空间线、面位置关系梳理

，
须证
F D
垂直于平
，
是每年必考的知识点
．
平移法
是求异面
内的两条相交直线
，
F C
与
E 0
的等地位的
，
直线所成的角的主要方法
。
”
不易证明 E 0 上 F C
故考虑证明
C D 上 () M
，
上 CD
E O
J_F M
．
ji么
。
∥
为证
一
E o 上 CD
，
须证
．
，D F
所
c
以 A E
1
∥平面
B
D F
同理
2
B
。
E
，
∥平面
E
= = =
D F
．
本例是用平行四边形的性质
A B
．
，
在图形
又 A E n B
E
，
所以平面 A
：
，
E
∥平面
， B
c
。
D F

．
中向几何体外平移
解法
(
横向转化 )
因为
A E 上 E F
。E
l _E F
，
．
要特
— 平面 A L
．
所以么
3 0
。
D A B
一
么 D A C
一
别注意判定定理与性质定理成立的条件
一
么
D A M
一
9 0
又么 A B D

高中数学空间中的线面关系

空间中的线面关系知识框架空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（一）知识内容线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直． 2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．αl直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．例题精讲板块三：线线垂直与线面垂直n mA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略．3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明，如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．（三）典例分析：【例1】直线和平面所成的角为α，则（）A ．090α︒<<︒B ．090α︒︒≤≤C ．090α︒<︒≤D ．090α︒<︒≤【例2】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥　其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．【例3】室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【例4】（2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面AB CDE F A 1B 1C 1D 1【例5】（2008辽宁卷11）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（） A ．不存在 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条【例6】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【例7】在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例8】如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【解析】OH DCBAD'C'B'A'【例9】已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【解析】 FEBDCAP【例10】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ．【解析】 P OA 1D 1C 1B 1D CB A【例11】（2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠． ⑴ 证明1C C BD ⊥； ⑵ 当1CDCD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例12】已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠=．求证：1CC ⊥BDOABCD A 1B 1C 1D 1【例13】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．（1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）若45PDA ∠=，求证：MN ⊥面PCD ．QPD BCAMN【例14】如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．【例15】下列说法正确的有__________．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面． ⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例16】（2009安徽，理15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_____ （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；②由顶点A 做四面体的高，其垂足是BCD ∆三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高线所在的直线异面；④分别做三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例17】在正方体1111ABCD A B C D -中，P Q ，分别是棱1AA ，1CC 的中点，则过点B P Q ，，的截面（） A ．邻边不等的平行四边形 B ．菱形但不是正方形C ．邻边不等的矩形D ．正方形【例18】如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面ABCD 满足条件时，有11AC B D ⊥（写出你认为正确的一种条件即可．）ABCD 是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形D 1C 1B 1A 1A DCB【例19】如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例20】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥?【例21】如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心；⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【例22】在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有_________个．【例23】如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论．ABC DO【例24】如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【例25】如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，D 为AC 中点，连结SD ，BD ．⑴求证：SD ⊥面ABC ；⑵若直角边BA BC =，求证：BD ⊥面SAC ．SABD【例26】如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC的中点，11AB ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1【例27】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平面11A C D ；⑵1//EF BD ．FE ABCDA 1B 1C 1D 1【例28】已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+ ②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例29】设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例30】已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CDABCDE【例31】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．A 1D 1CA【例32】（07全国2文7）已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（） ABC．2D【例33】（2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（） ABCD ABCDE【例34】（2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是．【例35】（2008福建卷6）如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D所成角的正弦值为（） A．3B ．5C ．5D ．5DCBAA 1D 1B 1C 1【例36】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点．求证：平面EBD ⊥平面SACE DCBAS【例37】正方体1111ABCD A B C D -中，作截面1BDC ，求二面角1B DC C --的正切值的大小．O A 1D 1C 1B 1D CBA【例38】如图，正方体1111ABCD A B C D -中．求平面1A BD 和平面1C BD 相交所组成的二面角11A BD C --的余弦值．OA 1D 1C 1B 1DCBA【例39】在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例40】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP【例41】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是AB 的中点．⑴求二面角1A BC A --的大小； ⑵求二面角1B AC P --的大小． PF E A 1D 1C 1B 1DCBA【例42】已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：//AC 平面EFG ，//BD 平面EFG ．【解析】 GFEBA【例43】（2006年湖南高考题·理3）过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（）． A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条【例44】下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例45】已知正方体1111-ABCD A B C D ，求证：平面11//AB D 平面1C BD ．ABCDA 1B 1C 1D 1【例46】判断下面命题的正误：⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行． ⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑷过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．【例47】如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP 于F ，求证：四边形BCEF 是梯形．PFE DCBA【例48】设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、1111A B C D 的中心，如图，⑴证明：//PQ 平面11AA B B ；⑵求线段PQ 的长．AB CDA 1B 1C 1D 1PQ【例49】如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【例50】已知：四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90A ∠=，且AB CD ∥，12AB CD =，点F 为线段PC 的中点．EFDCBAP⑴求证：BF ∥平面PAD ； ⑵求证：BF CD ⊥．（一）知识内容线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线． 3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ．其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵；⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒．图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相板块二：空间中的平行关系交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB 与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向．求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''．所以DD E E ''是平行四边形．因此DE D E ''=．于是ADE A D E '''∆≅∆．所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行．要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． 3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画．如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面． 3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．（二）主要方法：由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．（三）典例分析：【例1】（2005湖北，理10）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ∆的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（） A ．K B ．H C ．G D ．B 'A'B【例2】如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．求证：1A C //平面1AB D ．EABCA 1B 1C 1D【例3】如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点．求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【例4】如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ．CBADEFP【例5】已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面， ,E F 分别是PB 和AC 的中点，求证：①EF ∥平面PAD ；②EF AB ⊥I H G FE DCBA P【例6】如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例7】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ．求证：FO ∥平面CDEFEDCBAO【例8】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是11111111,,,A B A D B C C D 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【例9】如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例10】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ．求证：FO ∥平面CDE【解析】FEDCBAO【例11】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．N MF EAB 1C 1D 1DCBA 1⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．【例12】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．N MFEAB 1C 1D 1DC B A 1【例13】已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，⑴若,,,E F G H 都分别是所在边的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形； ⑵若//EH FG ，求证：//EH BD ．H GFE D CBA【例14】已知,,,E F G M 分别是四面体的棱,,,AD CD BD BC 的中点，G FEDCB AMN求证：//AM 面EFG ．【例15】平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，,,,A B a C D b ∈∈，若AC 与α平面交于点M ，BD 与α平面交于点N ．求证：AM BNMC ND=． ABCDαabMN【例16】如图，正方体1AC 中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：//MN 平面11AA B B ．D 1C 1B 1M B NFECDA 1A【例17】已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：//PQ 平面ACD ．【例18】下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例19】如图，B 为ACD ∆所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD ∆的重心，⑴求证：平面MNG ∥平面ACD ； ⑵求:MNG ADC S S ∆∆GFDC BAMNPH【例20】已知平面//αβ，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：//EF α，//EF β．【解析】βBGDFEαCA【例21】如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．βD QB EαPC AF【例22】已知长方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是','AA CC 的中点．求证：平面//BDF 平面''B D E ．AA'BB'CC'DD'E F【例23】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【例24】正方体1111ABCD A B C D -中，E 、G 分别是BC 、11C D 的中点，如下图．求证：//EG 平面11BB D D ．D 1C 1B 1A 1GEDCBA【例25】（2008新课标海南宁夏）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．⑴在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； ⑵按照给出的尺寸，求该多面体的体积；⑶在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．侧视图正视图D'C'B'GFE DCBA【解析】⑴如图俯视图正视图侧视图。

高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)

1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。

2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ；（2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误；直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误；一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。

线线-线面-面面垂直关系

已知平面α和β相互垂直，直线l在平面α内，且与β相交于点A。过点A作直线m与α平行。求证：m与β垂直。
由于l在α内且与β相交于点A，根据面面垂直的性质定理我们可以得出l与β垂直。又因为 m过点A且与α平行，根据平行线的性质我们可以得出m与 l平行。因此m也与β垂直。
05 综合应用与拓展延伸
空间中垂直关系综合应用
01
利用线面垂直判定定理证明线面垂直
通过证明一条直线与平面内两条相交直线都垂直，可以判定该直线与平
面垂直。
02
利用面面垂直性质定理证明线面垂直
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个
平面垂直。
03
利用线面垂直性质定理证明面面垂直
如果一条直线同时垂直于两个平行平面，那么这两个平面互相垂直。
感谢您的观看
典型例题解析
例题1
解析
已知直线l1的方程为Ax+By+C1=0，直线l2 的方程为Ax+By+C2=0，且C1≠C2，求证： l1⊥l2。
由于l1和l2的A、B系数相同，因此它们的法向量相同，根据直线间垂直的条件，可知 l1⊥l2。
例题2
解析
在三角形ABC中，已知AB⊥AC，AD是BC边上的高，求证：AD^2=BD×CD。
如果两个平面相互垂直，那么它们的法线也相互解析
已知平面α和β相互垂直，直线a在平面α内，直线b在平面 β内，且a与β不垂直，b与α 不垂直。求证：a与b不平行。
假设a与b平行，由于a在α内， b在β内，且α与β相互垂直，根据面面垂直的性质定理，我们可以得出a与β也相互垂直。这与题目中给出的a与β 不垂直相矛盾，因此假设不成立，所以a与b不平行。

空间中线面的位置关系

②范围： 0，π2. . 3.等角定理
空间中如果两个角的互补.
两边分别对应平行
，那么这两个角相等或
【概念方法微思考】 1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？
提示不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交. 2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.
栏目导引
9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为___2_.
解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线 AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD. 因为圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形，所以 C1D＝ 2AD，所以直线 AC1 与 AD 所成角的正切值为 2，所以异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 2.
（三）.两个平面的位置关系(完成下表)
α∥β 无公共点
注：平行平面具有传递性,即α∥β,β∥γ α∥γ.
栏目导引
第二章点、直线、平面之间的位置关系
[例 2] (1)平面 α 内有无数条直线与平面 β 平行，问：α∥β 是否正确？为什么？
(2)平面 α 内的所有直线与平面 β 都平行，问：α∥β 是否正确？为什么？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2．下列命题中正确的个数是( )第二章点、直线、平面之间的位置关系

空间点线面之间的位置关系

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。

高三数学空间点线面之间的位置关系

课堂互动讲练
【名师点评】题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定的平面内，也可证明D1E∥BF，从而说明四点共面．
课堂互动讲练
考点四异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确定3进一步反映了平面的延展性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面的两个公共点时，这两点的连线就是交线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是某两个平面的公共点，则这几个点都在这两个平面的交线上)．
随堂即时巩固
点击进入
课时活页训练
PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
课堂互动讲练
【思路点拨】要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交线上即可．
课堂互动讲练
【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF；②该平面与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角即为异面直线FC与ED所成的角. 10分

空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习

2．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类位置关系共面直线相平交行直直线线：：在在同同一一平平面面内内，，有没且有只公有共一点个公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)基本事实 4 和定理 ①基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线 □01 平行． ②定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 □02 相等或互补．
(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线．
证明 (2)在正方体 AC1 中，设平面 A1ACC1 为 α，平面 BDEF 为 β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又 Q∈EF，∴Q∈β， ∴Q 是 α 与 β 的公共点，同理，P 是 α 与 β 的公共点，∴α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且 R∈β，∴R∈PQ， ∴P，Q，R 三点共线．
2．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足 MN⊥OP 的是( )
答案 BC
解析设正方体的棱长为 2，对于 A，如图 1 所示，连接 AC，则 MN∥AC，故∠POC 或其补角为异面直线 OP，MN 所成的角，在直角三角形 OPC 中， ∠PCO＝90°，则∠POC≠90°，故 MN⊥OP 不成立，故 A 错误；对于 B，如图 2 所示，取 MT 的中点为 Q，连接 PQ，OQ，则 PQ⊥MN，OQ∥TD，由正方体 SBCN－MADT 可得 TD⊥平面 SNTM，故 OQ⊥平面 SNTM，又 MN ⊂ 平面 SNTM，所以 OQ⊥MN，而 OQ∩PQ＝Q，所以 MN⊥平面 OPQ，而 OP⊂ 平面 OPQ，故 MN⊥OP，故 B 正确；对于 C，如图 3，连接 BD，则 BD∥MN，由 B 的判断可得 OP⊥BD，故 OP⊥MN，故 C 正确；对于 D，如

22.第二十二讲：空间线线、线面、面面之间的位置关系

第二十二讲空间线线、线面、面面之间的位置关系一、引言（一）本节的地位：空间线线、线面、面面之间的位置关系，特别是平行与垂直的位置关系，是立体几何中的重要内容，也是我们继续研究空间角和空间距离的基础，是高考的重点考查方向（二）考纲要求：了解平面公理及推论；掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理，两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（三）考情分析：本讲内容在高考中，主要考查线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定及其性质，题型以选择题为主，解答题极有可能在第一个小问题中出现，主要考查空间想象能力、逻辑推理与计算能力以及文字语言、图形语言和符号语言相互转化的能力．二、考点梳理1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：（1）相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．2．直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．该定理可用符号表示为：,,a b αα⊄⊂且////a b a α⇒．定理揭示出直线与平面的平行关系的证明可以转化为直线与直线的平行关系的证明．正确理解和应用定理，应注意是“平面外”的一条直线和“平面内”一条直线平行．3．平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．该定理可用符号表示为：,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒ ．定理揭示出平面与平面平行关系的证明可以转化为直线与平面平行关系的证明．利用此判定定理证明两个平面平行，必须同时具备以下两个条件：（1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面；（2）这两条直线必须相交．4．直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．该定理可用符号表示为：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒ ．此性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法．利用此定理证明两条直线平行时，必须同时满足以下三个条件：（1）直线a 和平面α平行；（2）平面α和平面β相交于直线b ；（3）直线a 在平面β内．5．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．该定理可用符号表示为：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒ ．此定理揭示出由平面与平面平行可以得到直线与直线平行．我们可以看到，通过直线与直线平行可以判定直线与平面平行；通过直线与平面平行可以判定平面与平面平行；而由直线与平面平行的性质定理，可以得出直线与直线平行；由平面与平面平行的定义与性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行．这揭示出直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．6．直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．该定理可用符号表示为：,,,,a b a b P l a l b l ααα⊂⊂=⊥⊥⇒⊥ ．定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明．利用此判定定理证明直线与平面垂直，必须同时具备以下两个条件：（1）平面内有两条直线垂直于已知直线；（2）这两条直线必须相交．7．两个平面的垂直及判定两个平面相交，如果它们所成的二面角为直二面角，就说这两个平面互相垂直．两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直．8．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．这个定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行，同时也揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系．9．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明．利用此定理证明直线与平面垂直，必须同时具备以下三个条件：（1）两个平面互相垂直；（2）直线在其中一个平面内；（3）直线与交线垂直．三、典型例题选讲例1 （2007辽宁）若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ= ，n βγ= ，//m n ，则//αβC ．若m β⊥，//m α，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥解析：选项A ，直线m 与平面α的位置关系各种可能都有；选项B ，平面α与平面β也可能相交；选项C ，∵//m α，过m 作平面γ交平面α于m '，则//m m '．又因为m β⊥，所以m β'⊥．由面面垂直的判定定理可知，a β⊥；选项D ，平面β与γ也可能相交或平行．故正确选项为C ．归纳小结：本题重点考查了直线与平面以及平面与平面的位置关系．提高空间想象能力和逻辑推理能力是问题解决的关键，同时，要注意培养思维的完备性和严谨性，既要考虑特殊情况，也要考虑一般结论，切不可以偏概全．例2 （2007湖南）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是( )A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面解析：连结1B C ，则1B C 与1BC 相交于点F ．∵E 、F 分别是1AB 、1CB 的中点，∴EF ∥AC ．又1BB AC ⊥，∴1BB EF ⊥．∴A 成立．又BD AC ⊥，EF ∥AC ，∴BD EF ⊥．∴B 成立．观察图形易知C 成立．∵//EF AC ，11//A C AC ，∴11//EF A C ．故D 不成立．正确选项为D ．归纳小结：为了分析和解决问题，常常要添加辅助线．在立体几何中，出现中点时，我们经常要利用特殊四边形的性质，构造对角线交点，进而得到三角形中位线，来证明直线与直线的平行关系．在本题中，对于正四棱柱概念的理解是基础，矩形对角线互相平分的性质是关键，合理构造，适当转化，问题便很容易得到解决．例3 在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（）A ． //BC 平面PDFB ． DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC答案：C ．分析：因为D 、F 分别是AB 、CA 的中点，所以//BC DF ，又因为BC ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，由直线与平面平行的判定定理知选项A 正确．因为P ABC -是正四面体，E 是BC 的中点，所以,PE BC AE BC ⊥⊥，又因为PE AE E = ，由直线与平面垂直的判定定理得BC ⊥平面PAE ．因为//BC DF ，所以DF ⊥平面PAE ．选项B 正确．因为BC ⊥平面PAE ，BC ⊂平面ABC ，由平面与平面垂直的判定定理得平面PAE ⊥平面ABC ，故选项D 正确．根据已知条件，不能得到平面PDF ⊥平面ABC ，故符合要求的选项为C ．归纳小结：本题主要考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，以及平面与平面垂直的判定．准确理解相关概念和判定定理是问题解决的关键，另外要注意培养和不断提高空间想象能力，认真体会由线线平行证明线面平行，由线线垂直证明线面垂直，由线面垂直证明面面垂直的过程，体会普遍联系和相互转化的观点．例4 （2008北京）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥．分析：线线垂直的证明，我们往往可以转化为线面垂直的证明．证法一：取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP = ，PD AB ∴⊥．AC BC = ，CD AB ∴⊥．PD CD D = ，AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂ 平面PCD ，PC AB ∴⊥．证法二：AC BC = ,AP BP =,∴APCBPC △≌△．又∵PC AC ⊥，∴PC BC ⊥．AC BC C = ，∴PC ⊥平面ABC ．∵AB ⊂平面ABC ，∴PC AB ⊥．归纳小结：本题主要考查线线垂直、线面垂直，以及相互转化．充分利用已知条件和平面几何知识，适当构造辅助线，是问题得以解决的关键．在等腰三角形中，构造底边中点证明垂直是常用的方法．值得指出的是，在平时的学习中，一题多解，既能灵活应用所学知识解决问题，又能增强对知识的理解，也有助于能力提高和创新思维意识的培养,我们要有意识的加强这方面的练习．例5 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点．求证：//PB 平面AEC ．分析：要证//PB 平面AEC ，需要证明PB 和平面AEC 内的一条直线平行．证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 是平行四边形，所以OB OD =．又因为点E 是PD 的中点，所以EO 是△PBD 的中位线，则//EO PB ．因为PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，由直线与平面平行的判定定理得//PB 平面AEC ．归纳小结：本题考查直线与平面平行的证明．解决这类问题的关键是充分利用已知条件，在平面内确定（或构造）一条与已知直线平行的直线，把空间中直线与平面平行关系的证明转化为平面中直线与直线平行关系的证明．其中，构造三角形中位线（特别是出现中点或特殊四边形，如平行四边形，菱形，长方形，正方形等时）是证明直线与直线平行的常用方法．例6 如图，,a b 是异面直线，,//,,//a a b b αββα⊂⊂，求证：//αβ．分析：要证明//αβ，需要证明平面β（或α）内有两条相交的直线与平面α（或β）平行．其中一条平行线是已知条件，另一条平行线的构造则需要直线与平面平行的性质．证明：如图，设P 为b 上任意一点，则a 与P 确定一个平面，记为γ，设β与γ相交于c ．因为//,,a a c βγβγ⊂= ，所以//a c ．又因为,c c βα⊂⊄，所以//c α．因为//b α，又因为c 与b 有公共点P ，且c 与b 不重合（否则//a b ，与已知矛盾），即c 与b 相交，由平面与平面平行的判定定理得//αβ．归纳小结：本题考查平面与平面平行的证明，需要证明其中一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，问题的关键是由已知直线与平面平行，利用直线与平面平行的性质定理构造一条平行线．直线与平面平行的判定定理是由直线与直线平行得到直线与平面平行，直线与平面平行的性质定理是由直线与平面平行得到直线与直线平行．直线与平面的位置关系与直线与直线的位置关系的相互转化是立体几何的一种重要的数学思想方法．例7（2009江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，1A D ⊥1B C ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．分析：线面平行的证明可以转化为线线平行的证明，面面垂直的证明可以转化为线面垂直的证明．证明：（1）因为E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，所以EF ∥BC ．因为 EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．（2）由三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱知1CC ⊥平面111A B C ．因为1A D ⊂平面111A B C ，故1CC ⊥1A D ．又因为1A D ⊥1B C ，11CC B C C = ，1CC 、1B C 平面11BB C C ，所以1A D ⊥平⊂面11BB C C ，又1A D ⊂平面1A FD ，所以平面1A FD ⊥平面11BB C C ．归纳小结：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．在证明的过程中，要注意规范书写，注意细节，养成严谨思维和表达的习惯．例如，证明线面平行，一定要注意是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行；而面面垂直需要满足一个平面经过另一个平面的一条垂线，垂线在面内．四、本专题总结本专题研究的主要问题是直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质．本部分内容的学习，要注意以下的数学思想与方法：转化的思想方法（位置关系的转化；空间问题向平面问题的转化等）；分类讨论的思想方法；运动变化的思想方法；函数与方程的思想方法．本专题学习中需要注意的问题：1．本专题内容，概念、判定定理与性质定理较多，要深刻理解，才能灵活应用．2．应充分认识面面关系、线面关系、线线关系之间的相互转化过程，熟练掌握转化条件．3．作辅助线或辅助面时，要注意以下两点：第一，辅助线，辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线，辅助面有什么性质，一定要以某一性质定理为依据，绝不能凭主观臆断，否则谬误难免．4．在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用这些定理时，一定要注意逻辑推理能力的规范性．5．立体几何的学习，对计算和推理能力，特别是空间想象能力有较高的要求，我们要在平时的学习中加强这方面的练习．。

空间中线线、线面、面面关系1.2

//

• l
l
切割长方体
• 一个长方体切一刀可以分成多少块？ 2 • 一个长方体切两刀可以分成多少块？ 3 或4 • 一个长方体切三刀可以分成多少块？
D′ A′ D A B
C’
4或6或7或8
B′ C
不妨再思考一题？
1、一个平面把空间分为几部分？ 2 2、二个平面把空间分为几部分? 3或4 3、三个平面把空间分为几部分? 4或6或7或8
空间中两直线的位置关系
思考:在平面内，两条不重合的直线之间有
几种位置关系? 空间的两直线呢? 判断下列直线的位置关系: 1、竖直的两条电线杆所在的直线
2、十字路口的两条路所在的直线
3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线
一、空间中两直线的位置关系
m
P l l 图1 图2
m
l
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。
（0， 90]
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1。
2）A1 B1与AC；
A1
B1
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D A B
C
2）A1 B1与AC所成的角 = 4 5°
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
2
H
1 同理，FG ∥BD且FG = 2 BD
E
D G
∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
B
F
C
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题

《空间中线面-面面的位置关系》参考课件

（2）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面两两之间的位置关系有几种？
D1
C1
A1
B1
D A
C B
两个平面的位置关系只有两种：
两个平面平行 ——两个平面没有公共点记作：α∥β
两个平面相交 ——两个平面有一条公共直线记作：α∩β= a
例1、下列命题中正确的个数是（ B ）
①若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l // α ②若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意
a∩b=l，则l（ C ）
（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交
2.1 空间中线面，面面之间的位置关系
教学目标： 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。 2.掌握平面与平面的两种位置关系，会判断平民与平面的位置关系。 3. 学会用图形语言、符号语言表示它们之间的位置关系.
1.空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
例2：已知平面α,β，直线a，b，且α∥β， aα，bβ，则直线a与直线b 有什么样的位置关系？
a
a
b
b
这两条直线不可能相交，你知道为什么吗？
例3 已知直线a在平面α外，则（ D ）
（A）a∥α （B）直线a与平面α至少有一个公共点（C）aα=A （D）直线a与平面α至多有一个公共点。
（2）如图，线段A1B所在直线与长方体ABCD-
A1B1C1D1的六个面所在平面有几种位置关系？
D1
C1
A1
B1
D A
C B
直线与平面的位置关系有且只有三种： a
a

线线、线面、面面的位置关系

1.命题方向预测：1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主.2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题．难度中、低档题兼有.2.课本结论总结：1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角). ②范围：02π⎛⎤ ⎥⎝⎦，.3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.7.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b8.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α9.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.10.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.11.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.12.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.3.名师二级结论：（1）异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．(2)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(3)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(4)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．(5)平行问题的转化关系：(6)垂直问题的转化关系线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.4.考点交汇展示：(1)立体几何与函数交汇【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪性质开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】415【解析】（2）立体几何与基本不等式交汇如图，在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分所以2222224AC AB BC x x =-=-=-…………9分PA B因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△ 2146x x =-………………………………………………………………………10分()22146x x =- ()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分当且仅当224x x =-，即2x =时等号成立．………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分（3）立体几何与三角函数交汇如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤【答案】B.【解析】设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '∆中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='⨯⨯⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ，过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '∆中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=，同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==，显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，【考点分类】考向一线线、线面、面面平行与垂直关系的判定1.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（） A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立，D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.2.【2018届安徽省六安市第一中学适应性考试】已知直线、，平面、，给出下列命题： ①若，，且，则②若，，且，则③若，，且，则④若，，且，则其中正确的命题是（）A．②③B．①③C．①④D．③④【答案】C【解析】分析：①可由面面垂直的判定定理进行判断；②可由面面平行的条件进行判断；③可由面面垂直的条件进行判断；④可由面面垂直的判定定理进行判断.故选：C.【方法规律】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.【解题技巧】1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.3.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.4.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.5.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.6.垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；【易错点睛】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.例.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是αβ，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βA．⊥αβ，且m∥αD．m⊥n，且n∥βC．⊥【答案】B【解析】∵m∥n, m⊥β∴n⊥β故选B.【易错点】没有掌握线面垂直的条件考向二空间线线、线面及面面关系中的角度问题1.【2018年理数全国卷II】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C2.【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】【方法规律】求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.【解题技巧】求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.【易错点睛】1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].例.过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】 D【易错点】忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.考向三线线、线面、面面的位置关系的综合问题1.【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．2. 【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面的一个法向量，然后利用与平面法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.详解：方法一：（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.【解题技巧】1．利用线线、线面和面面的平行、垂直关系相互转化． 2．求线面所成角时注意垂直关系的应用． 3. 结合向量法进行证明和求解【易错点睛】(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．（1）证明过程要规范（2）注意角度的取值范围（线线、线面和面面）例1.【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.【答案】①证明见解析.②证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取11B D 中点F ,证明1//A O CF ,（Ⅱ）证明11B D ⊥面1A EM .(II)因为 AC BD ⊥,E ，M 分别为AD 和OD 的中点, 所以EM BD ⊥,因为ABCD 为正方形,所以AO BD ⊥, 又 1A E ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD 所以1,A E BD ⊥ 因为11//,B D BD所以11111,,EM B D A E B D ⊥⊥又1,A E EM ⊂平面1A EM ，1A EEM E =.所以11B D ⊥平面1,A EM 又11B D ⊂平面11B CD ,所以平面1A EM ⊥平面11B CD .【易错点】不会灵活应用线线、线面和面面平行的判定定理和性质定理进行转换，答题过程不规范。

复习课(一) 空间几何体及点、线、面的位置关系

(3)该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为 1 的四分之一圆柱体构成，
∴V＝2×1×1＋2×41×π×12×1＝2＋π2. [答案] (1)A (2)① (3)2＋π2
首页
上一页
下一页
末页
结束
[类题通法] (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．
(3)侧、俯视图都反映了物体的宽度——“宽相等”．
2．表面积
(1)多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各
面面积之和．
(2)旋转体的表面积：
①S圆柱＝2πrl＋2πr2；
②S圆锥＝πrl＋πr2；
③S圆台＝π(R＋r)l＋πr2＋πR2.
首页
上一页
下一页
末页
结束
3．体积
(1)柱体：V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．
首页
上一页
下一页
末页
[类题通法] 1．平行、垂直关系的相互转化
结束
2．证明空间线面平行或垂直需注意三点 (1)由已知想性质，由求证想判定． (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一． (3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．
3 2 π.
(2)由正视图知，三棱柱的底面边长为2，高为1，外接球的球心
在上下两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的
线段长为球的半径，则R2＝12

线面、面面平行、线面、面面垂直(学生)

立体几何空间点、线、面的位置关系
1
平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行。

常用性质：垂直于同一直线的两个平面互相平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

常用性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

垂直于同一个平面的两条直线平行。

（垂直于同一条直线的两个平面平行。

）
常用性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线。

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

①中位线定理②平行四边形③平行线的传递性
⑥线面垂直性质定理：
④线面平行的质定理⑤面面平行性质定理
①菱形的对角线互相垂直②等腰三角形底边的中线垂直底边
③圆的直径所对的圆周角为直角④利用勾股定理⑤线面垂直性质定理
1。

线线平行、线面平行、面面平行的判定方法

在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。

如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。

②三角形、梯形中位线定理。

③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。

④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。

（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。

（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。

（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（7）用向量证明。

二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。

（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。

（4）向量法。

三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。

（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。

（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、两条直线垂直的判定（1）在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。