空间中线线、线面、面面的位置关系(上)
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2
A H E D G
1 同理，FG ∥BD且FG = 2 BD
∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
B F C 解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
问题：在空间中，如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行，那么这 两个角相等吗？
4. 如何用图形、符号语言表示直线和 平面的位置关系？
l
相交
α P
l P
l
平行
l //
5. 过平面外一点可作多少条直线和这 个平面平行？相交？
6. 过直线外一点可作多少个平面和这 条直线平行？相交？
7. 若 l // ,则直线 l与平面α内的直 线的位置关系如何？
l
a
b
2、反过来,如果一个平面内的所有直 线都和另一个平面平行,那么这两个 平面平行.
所成的角，把空间问题转化为
平面问题。 (2)利用平面几何知识，
求出异面直线所成角的大小。
例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a， E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求： 平 ①异面直线 AD与 EF所成角的大小；45 移 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小； 法 60 ③异面直线 B’D与 EF 所成角的大小. 90
A
相对顶点A与C，B与D的 连线AC、BD叫做这个空 间四边形的对角线.
B
C
D
例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内 的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE， 求证EFGH是一个平行四边形。
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD
平面间的位置关系
二层楼房示意图
两个平面的位置关系
1. 两个平面相交
————
有一条公共直线
两个平面平行 ——没有公共点； 2. 画法:
//
O
l （2）不正确画法
3. 由两个平面平行的定义可得:
1、如果两个平面平行,那么在其中一 个平面内的所有直线一定都和另一 个平面平行;
推论3:两条平行直线唯一确定一个平面.
空间中两条直线的位置关系
观察A’B 与C C’的关系 D’ A’ D A B C’
B’ C
空间中两条直线的位置关系
平行
平行直线 相交直线
相交
共面直线 异面直线
异面
空间两条直线
异面直线: 不同在任何一个平面内的
两条直线
1、注意： 既不平行且不相交 2、画法： 平面衬托法
要作平行移动(平行线)，把两条异面
直线所成的角，转化为两条相交直
线所成的角.
例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。
D1
C1
A1
B1
45
C
o
D
A
B
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
四、异面直线所成角的求法： 一作(找)、二证、三求 (1)通过直线平移，作出异面直线
α
β
等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如果两条相交直线和另两条 相交直线分别平行，那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.
三、异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
wenku.baidu.com 练习
下列命题正确的选项是（ 4 ）
（）若直线l上有无数个点不在平面内，则l / / . 1 一条直线都平行. 那么另一条也与这个平面平行. 一条直线都没有公共点.
（2）若直线l与平面 平行，则l与平面内的任意
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，
（4）若直线l与平面 平行，则l与平面内的任意
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
G
O
讨论
如果一条直线和一个平面分别有两个公共 点,仅有一个公共点,没有公共点,那么这条 直线和平面的图形位置关系如何?
3. 怎样定义直线和平面相交、平行？
一条直线和一个平面有且只有一个公 共点，叫做直线与平面相交，这个公共点 叫做直线与平面的交点. 一条直线与一个平面没有公共点， 叫做直线与平面平行.
空间中线线、线面、面面的位置关系
复习
公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么 这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线 在平面内). 公理2:过不在同一直线上的三点，有且只有一个 平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线. 推论1:一条直线和直线外一点唯一确定一个平面. 推论2:两条相交直线唯一确定一个平面.
b
b
O
a'
O＇
a
平 移 法
b
ab
a
a'
O
如果两条异面直线所成的角为直角， 那么就称这两条异面直线垂直。
0 异面直线a和b所成的角的范围： 90
o
强调:1)范围 (0, 900 ] 2)与O的位置无关 ； 3)为了方便点O选取应有利于解
决问题，可取特殊点(如a 或 b上)； 4)找两条异面直线所成的角，
A
B
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，
与直线A1B异面的有哪些？ D1 A1 D B1 C B C1
答案： D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
A
公理4:平行于同一条直线的两条直线 互相平行.(空间平行直线的传递性) 若a∥b，b∥c, 则a∥c
ab
c
a
α
c
空间四边形： 如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A H E D G
1 同理，FG ∥BD且FG = 2 BD
∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
B F C 解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
问题：在空间中，如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行，那么这 两个角相等吗？
4. 如何用图形、符号语言表示直线和 平面的位置关系？
l
相交
α P
l P
l
平行
l //
5. 过平面外一点可作多少条直线和这 个平面平行？相交？
6. 过直线外一点可作多少个平面和这 条直线平行？相交？
7. 若 l // ,则直线 l与平面α内的直 线的位置关系如何？
l
a
b
2、反过来,如果一个平面内的所有直 线都和另一个平面平行,那么这两个 平面平行.
所成的角，把空间问题转化为
平面问题。 (2)利用平面几何知识，
求出异面直线所成角的大小。
例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a， E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求： 平 ①异面直线 AD与 EF所成角的大小；45 移 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小； 法 60 ③异面直线 B’D与 EF 所成角的大小. 90
A
相对顶点A与C，B与D的 连线AC、BD叫做这个空 间四边形的对角线.
B
C
D
例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内 的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE， 求证EFGH是一个平行四边形。
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD
平面间的位置关系
二层楼房示意图
两个平面的位置关系
1. 两个平面相交
————
有一条公共直线
两个平面平行 ——没有公共点； 2. 画法:
//
O
l （2）不正确画法
3. 由两个平面平行的定义可得:
1、如果两个平面平行,那么在其中一 个平面内的所有直线一定都和另一 个平面平行;
推论3:两条平行直线唯一确定一个平面.
空间中两条直线的位置关系
观察A’B 与C C’的关系 D’ A’ D A B C’
B’ C
空间中两条直线的位置关系
平行
平行直线 相交直线
相交
共面直线 异面直线
异面
空间两条直线
异面直线: 不同在任何一个平面内的
两条直线
1、注意： 既不平行且不相交 2、画法： 平面衬托法
要作平行移动(平行线)，把两条异面
直线所成的角，转化为两条相交直
线所成的角.
例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。
D1
C1
A1
B1
45
C
o
D
A
B
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
四、异面直线所成角的求法： 一作(找)、二证、三求 (1)通过直线平移，作出异面直线
α
β
等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如果两条相交直线和另两条 相交直线分别平行，那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.
三、异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
wenku.baidu.com 练习
下列命题正确的选项是（ 4 ）
（）若直线l上有无数个点不在平面内，则l / / . 1 一条直线都平行. 那么另一条也与这个平面平行. 一条直线都没有公共点.
（2）若直线l与平面 平行，则l与平面内的任意
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，
（4）若直线l与平面 平行，则l与平面内的任意
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
G
O
讨论
如果一条直线和一个平面分别有两个公共 点,仅有一个公共点,没有公共点,那么这条 直线和平面的图形位置关系如何?
3. 怎样定义直线和平面相交、平行？
一条直线和一个平面有且只有一个公 共点，叫做直线与平面相交，这个公共点 叫做直线与平面的交点. 一条直线与一个平面没有公共点， 叫做直线与平面平行.
空间中线线、线面、面面的位置关系
复习
公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么 这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线 在平面内). 公理2:过不在同一直线上的三点，有且只有一个 平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线. 推论1:一条直线和直线外一点唯一确定一个平面. 推论2:两条相交直线唯一确定一个平面.
b
b
O
a'
O＇
a
平 移 法
b
ab
a
a'
O
如果两条异面直线所成的角为直角， 那么就称这两条异面直线垂直。
0 异面直线a和b所成的角的范围： 90
o
强调:1)范围 (0, 900 ] 2)与O的位置无关 ； 3)为了方便点O选取应有利于解
决问题，可取特殊点(如a 或 b上)； 4)找两条异面直线所成的角，
A
B
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，
与直线A1B异面的有哪些？ D1 A1 D B1 C B C1
答案： D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
A
公理4:平行于同一条直线的两条直线 互相平行.(空间平行直线的传递性) 若a∥b，b∥c, 则a∥c
ab
c
a
α
c
空间四边形： 如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.