2021届高三大一轮复习40分钟单元基础小练 10 导数与函数的综合运用

40分钟单元基础小练 10

导数在函数中的综合应用

一、选择题

1．已知函数f (x )＝x 2e x ，当x ＝[－1,1]时，不等式f (x )

A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞

B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫1e ，＋∞ C ．[e ，＋∞) D ．(e ，＋∞)

答案：D

解析：由f ′(x )＝e x (2x ＋x 2)＝x (x ＋2)e x ，得当－10，函数f (x )单调递增，且f (1)>f (－1)，故f (x )max ＝f (1)＝e ，则m >e.故选D.

2．函数f (x )＝ln x ＋a x (a ∈R )在区间[e －2，＋∞)上有两个零点，则

a 的取值范围是( )

A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1e

B.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2e 2，1e C.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e 2，1e D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1e 2，2e 答案：A

解析：令f (x )＝ln x ＋a x ＝0，x ∈[e －2，＋∞)，得－a ＝x ln x .记H (x )

＝x ln x ，x ∈[e －2，＋∞)，则H ′(x )＝1＋ln x ，由此可知H (x )在[e －2，e －1]上单调递减，在(e －1，＋∞)上单调递增，且H (e －2)＝－2e －2，H (e －

1)＝－e －1，当x →＋∞时，H (x )→＋∞，故当2e 2≤a <1e 时，f (x )在[e －2，

＋∞)上有两个零点，选A.

3．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能的是( )

答案：A

解析：根据f ′(x )的图象知，函数y ＝f (x )的极小值点是x ＝－2，极大值点为x ＝0，结合单调性知，选A.

4．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )

A ．20

B ．18

C ．3

D ．0

答案：A

解析：对于区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，等价于在区间(－3,2]上，f (x )max －f (x )min ≤t .

∵f (x )＝x 3－3x －1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)．

∵x ∈(－3,2]，∴函数f (x )在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝f (－1)＝1，f (x )min ＝f (－3)＝－19，∴f (x )max －f (x )min ＝20，∴t ≥20，即实数t 的最小值是20.

5．函数f (x )＝e x 2－2x 2的图象大致为( )

答案：A

解析：∵f (x )＝f (－x )，当x >0时，f ′(x )＝e x 2·2x －4x ，令f ′(x )＝0，则2x (e x 2－2)＝0⇒x ＝ln2∈(0,1)，且f (ln2)＝2－2ln2>0，∴当x >0时，f (x )>0，且只有一个极值点，∴排除B ，C ，D.故选A.

6．若f (x )＝x 3－ax 2＋1在(1,3)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，3] B.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫92，＋∞ C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫3，92 D ．(0,3) 答案：B

解析：因为函数f (x )＝x 3－ax 2＋1在(1,3)上单调递减，所以f ′(x )

＝3x 2－2ax ≤0在(1,3)上恒成立，即a ≥32x 在(1,3)上恒成立．因为32<92，

所以a ≥92.故选B.

7．已知函数f (x )＝3ln x －x 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫a －12x 在区间(1,3)上有最大值，则实数a 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5

B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，112 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，112 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，5 答案：B

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e

B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，1e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫1e ，＋∞ 答案：B

解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，

令f ′(x )＝ln x ＋1<0，得0

⎪⎫0，1e .故选B.

11．已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )

A ．(－∞，1)

B ．(－∞，0)∪(0,1)

C ．(－1,1)

D ．(－1,0)∪(0,1)

答案：D

解析：因为g (x )＝x 2f (x )，所以g ′(x )＝x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x [xf ′(x )＋2f (x )]，由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数，

所以g (x )＝g (|x |)，由g (x )

⎪⎨⎪⎧

|x |<1，x ≠0，则x ∈(－1,0)∪(0,1)．故选D.

12．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f ′(x )的图象可能为( )

答案：C

解析：根据题意，f (x )为偶函数，则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B ，D.又由于函数f (x )在(0,1)上存在极大值，则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意，故选C.

二、填空题