树的遍历和哈夫曼树
数据结构中的树与图算法教程
数据结构中的树与图算法教程第一章树的基本概念与遍历算法树是一种非线性数据结构，它由若干个节点组成，这些节点以层级的方式连接，形成分支的结构。
树中的一个节点被称为根节点，它没有父节点；其他节点可以有一个或多个父节点，这些节点被称为子节点。
树具有分支，但没有循环。
1.1 具体树的概念在树的结构中，每个节点可以有零个或者多个子节点，但是只能有一个父节点。
树具有层级关系，通过连接节点的边表示。
1.2 树的分类常见的树包括二叉树、二叉搜索树、红黑树等。
其中，二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多可以有两个子节点。
1.3 树的遍历算法树的遍历算法主要有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历是以根节点、左子树、右子树的顺序进行遍历；中序遍历是以左子树、根节点、右子树的顺序进行遍历；后序遍历是以左子树、右子树、根节点的顺序进行遍历。
第二章树的存储结构与常见应用2.1 树的存储结构树的存储结构有两种常见的实现方式，分别是链表实现和数组实现。
链表实现利用指针进行节点的连接，数组实现则使用数组的索引来表示节点之间的关系。
2.2 平衡二叉树平衡二叉树是一种自平衡的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的插入和删除操作都可以通过旋转操作进行平衡。
2.3 哈夫曼树哈夫曼树是一种特殊的二叉树，用于编码和解码数据。
哈夫曼树中出现频率高的字符距离根节点较近，而出现频率低的字符距离根节点较远，以实现编码的高效率。
第三章图的基本概念与遍历算法3.1 图的基本概念图是由节点和边组成的非线性数据结构。
节点表示实体，边表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型，有向图的边是有方向的，无向图的边没有方向。
3.2 图的存储结构图的存储结构有邻接矩阵和邻接表两种常见的方式。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的连接关系；邻接表是由链表或者数组实现的，用于表示每个节点相邻节点的信息。
3.3 图的遍历算法图的遍历算法主要有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
哈夫曼树 带权路径长度 计算
哈夫曼树带权路径长度计算哈夫曼树是一种用于编码和解码的数据结构，常用于数据压缩算法中。
带权路径长度是指树中所有叶子节点的权值乘以其到根节点的路径长度的总和。
本文将介绍哈夫曼树的概念、构建方法以及带权路径长度的计算方法。
1. 哈夫曼树的概念哈夫曼树，又称最优二叉树，是一种满足以下条件的二叉树：树中的叶子节点代表待编码的字符，其权值为字符在文本中出现的频率或概率；树中的非叶子节点没有权值，只有左右子节点。
哈夫曼树的构建目标是使得带权路径长度最小。
2. 构建哈夫曼树的方法构建哈夫曼树的方法主要有两种：迭代法和递归法。
迭代法：首先将待编码的字符按照权值从小到大排序，然后选择权值最小的两个字符构造一个新的节点，其权值为这两个字符权值之和。
将这个新节点插入原来的字符集合中，重新按照权值排序。
重复以上步骤，直到只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。
递归法：首先将待编码的字符按照权值从小到大排序，选择权值最小的两个字符构造一个新的节点，其权值为这两个字符权值之和。
然后将这个新节点作为一个字符，与剩下的字符继续进行以上步骤，直到只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。
3. 带权路径长度的计算方法带权路径长度是指树中所有叶子节点的权值乘以其到根节点的路径长度的总和。
路径长度是指从根节点到目标节点的路径上所经过的边的数量。
计算带权路径长度的步骤如下：- 遍历哈夫曼树的每个叶子节点，计算该节点的权值乘以其到根节点的路径长度。
- 将所有叶子节点的带权路径长度相加，即可得到整个哈夫曼树的带权路径长度。
4. 哈夫曼树的应用哈夫曼树广泛应用于数据压缩算法中，如Huffman编码。
Huffman 编码是一种变长编码方式，通过根据字符在文本中的出现频率来构建不同长度的编码，从而减少编码后的数据长度，实现数据的压缩。
除了数据压缩，哈夫曼树还可以应用于其他领域，如图像压缩、音频压缩等。
在这些应用中，根据不同领域的特点，可以选择不同的权值计算方法，以达到更好的压缩效果。
数据结构哈夫曼树和哈夫曼编码权值
数据结构哈夫曼树和哈夫曼编码权值一、引言在计算机领域，数据结构是非常重要的一部分，而哈夫曼树和哈夫曼编码是数据结构中非常经典的部分之一。
本文将对哈夫曼树和哈夫曼编码的权值进行全面评估，并探讨其深度和广度。
通过逐步分析和讨论，以期让读者更深入地理解哈夫曼树和哈夫曼编码的权值。
二、哈夫曼树和哈夫曼编码的基本概念1. 哈夫曼树哈夫曼树，又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。
它的概念来源于一种数据压缩算法，可以有效地减少数据的存储空间和传输时间。
哈夫曼树的构建过程是基于给定的权值序列，通过反复选择两个最小权值的节点构建出来。
在构建过程中，需要不断地重排权值序列，直到构建出一个满足条件的哈夫曼树。
2. 哈夫曼编码哈夫曼编码是一种变长编码方式，它利用了哈夫曼树的特点，对不同的字符赋予不同长度的编码。
通过构建哈夫曼树，可以得到一套满足最优存储空间的编码规则。
在实际应用中，哈夫曼编码经常用于数据压缩和加密传输，能够有效地提高数据的传输效率和安全性。
三、哈夫曼树和哈夫曼编码的权值评估1. 深度评估哈夫曼树和哈夫曼编码的权值深度值得我们深入探究。
从构建哈夫曼树的角度来看，权值决定了节点在树中的位置和层次。
权值越大的节点往往位于树的底层，而权值较小的节点则位于树的高层。
这种特性使得哈夫曼树在数据搜索和遍历过程中能够更快地找到目标节点，提高了数据的处理效率。
而从哈夫曼编码的角度来看，权值的大小直接决定了编码的长度。
权值越大的字符被赋予的编码越短，可以有效地减少数据传输的长度，提高了数据的压缩率。
2. 广度评估另哈夫曼树和哈夫曼编码的权值也需要进行广度评估。
在构建哈夫曼树的过程中，权值的大小直接影响了树的结构和形状。
当权值序列较为分散时，哈夫曼树的结构会更加平衡，节点的深度差异较小。
然而，当权值序列的差异较大时，哈夫曼树的结构也会更不平衡，而且可能出现退化现象。
这会导致数据的处理效率降低，需要进行额外的平衡调整。
层序遍历概念
层序遍历概念层序遍历概念层序遍历是一种二叉树的遍历方式，也叫广度优先遍历。
它按照树的层次顺序，从上到下逐层地访问每个节点。
在同一层中，按照从左到右的顺序访问每个节点。
层序遍历可以用于解决很多问题，例如查找最短路径、建立哈夫曼树等。
一、二叉树概念二叉树是一种特殊的树形结构，它的每个节点最多只有两个子节点。
一个节点没有子节点称为叶子节点，具有子节点的节点称为内部节点。
二叉树有很多种不同形态，例如满二叉树、完全二叉树等。
二、广度优先搜索广度优先搜索是一种图形搜索算法，它从起点开始向外扩展，在扩展过程中逐渐覆盖更多的区域。
广度优先搜索可以用来寻找两点之间最短路径或者解决迷宫问题等。
三、层序遍历算法层序遍历算法使用队列来实现。
首先将根节点入队列，然后依次取出队列中的元素，并将其左右子节点入队列。
按照这种方式遍历完一层之后，再遍历下一层，直到所有节点都被访问。
四、层序遍历应用1.查找最短路径在一个图中，如果每个边的权重都相等，那么可以使用广度优先搜索来查找两点之间的最短路径。
通过层序遍历，可以依次扩展到离起点越来越远的节点，直到找到目标节点为止。
2.建立哈夫曼树哈夫曼树是一种用于数据压缩的树形结构。
在哈夫曼编码中，出现频率高的字符使用较短的编码表示，而出现频率低的字符则使用较长的编码表示。
建立哈夫曼树时，可以先将所有叶子节点入队列，并不断取出队列中权值最小的两个节点合并为一个新节点，并将新节点入队列。
最终得到的根节点就是哈夫曼树。
五、总结层序遍历是一种非常实用的算法，在二叉树和图形搜索等领域有着广泛应用。
通过了解其基本原理和应用场景，我们可以更好地理解和运用这种算法来解决实际问题。
8哈夫曼树
b d e c
2 3 4 5 6 7 b c d e
d
e f g f g h
f
g
h
8
h
25
3、用孩子兄弟表示法来存储
思路：用二叉链表来表示树，但链表中的两个 指针域含义不同。 左指针指向该结点的第一个孩子； 右指针指向该结点的下一个兄弟结点。
firstchild data nextsibling
100
40
21 32 g e 17 7 a
60
28 11 10 h 6 d 2 c 5 3 f
10
对应的哈夫曼编码（左0右1）：
符 编码 频率 符 编码 频率
100
a
b
1100
00
0.07
0.19
a
b
000
001
0.07
0.19 0.06
0 b
0 40
1
1
0 60 1 28 1 0 6 d 0 2 c 11 1d Path Length
树的带权路径长度如何计算？ WPL = 哈夫曼树则是：WPL 最小的树。
w kl k
k=1
n
经典之例：
4 d
2 c 7 a (b) 5 b
Huffman树
7 a
7 a
5
2 b c
4 d
5 b
2 c (c)
4 d
(a)
WPL=36
WPL=46
WPL= 35
3
构造霍夫曼树的基本思想： 权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
(1) 由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充 二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。 (2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： ① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、 右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为 其左、右子树上根结点的权值之和。 ② 在 F 中删去这两棵二叉树。 ③ 把新的二叉树加入 F。
哈夫曼树的建立及操作
哈夫曼树的建立及操作哈夫曼树是一种用于数据压缩的树形数据结构，可以有效地压缩数据并减小存储空间。
本文将介绍哈夫曼树的建立方法和相关操作。
一、哈夫曼树的建立方法：1.首先，我们需要统计给定数据中每个字符出现的频率。
频率越高的字符将被赋予较短的编码，从而实现数据的压缩。
可以使用一个字典或哈希表来记录字符及其频率。
2.创建一个包含所有字符频率的节点列表。
每个节点包含一个字符及其对应的频率。
3.排序节点列表，按照频率从小到大的顺序进行排序。
4.创建一个空的二叉树，并将频率最低的两个节点作为子节点，合并为一个新的节点。
新节点的频率为两个子节点的频率之和。
将这个新节点插入到节点列表中。
5.从节点列表中移除原先的两个子节点，插入新节点。
保持列表的有序性。
6.重复步骤4和5，直到节点列表中只剩下一个节点。
7.最后剩下的节点即为哈夫曼树的根节点。
二、哈夫曼树的操作：1.获取哈夫曼编码：根据哈夫曼树的结构，可以通过遍历树的路径来获取每个字符的编码。
左子树表示0，右子树表示1、从根节点出发，依次遍历所有叶子节点，记录下每个字符对应的路径即可得到编码。
2.数据压缩：将原始数据中的每个字符替换为对应的哈夫曼编码，从而实现数据压缩。
根据频率，越常见的字符编码越短，可以大幅减小数据存储的空间。
3.数据解压：使用相同的哈夫曼树，将压缩后的二进制编码解码为原始字符，从而还原数据。
4. 哈夫曼树的存储和传输：为了实现数据的压缩和解压缩，哈夫曼树需要存储和传输。
可以使用二进制格式存储树的结构和频率信息，并在解压缩时重新构建树。
还可以考虑使用霍夫曼编码的变种，如Adaptive Huffman Coding（自适应哈夫曼编码），使得树结构可以随着数据的变化进行更高效的编码和解码。
总结：哈夫曼树是一种用于数据压缩的树形数据结构，可以通过统计字符频率来生成树，并生成对应的编码。
通过编码，可以实现原始数据的高效压缩和解压缩。
在实际应用中，哈夫曼树被广泛应用于数据压缩，如文件压缩、图像压缩等。
树的遍历和哈夫曼树
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 33
求二叉树高度的递归算法
int Height ( BinTreeNode * T ) { if ( T == NULL ) return -1; else { int m = Height ( T->leftChild ); int n = Height ( T->rightChild ) ); return (m > n) ? m+1 : n+1;
中序遍历 (Inorder Traversal)
中序遍历二叉树算法的框架是：
若二叉树为空，则空操作；
-
否则 中序遍历左子树 (L)；
+
/
访问根结点 (V)；
a *e f
中序遍历右子树 (R)。
遍历结果
b-
a+b*c-d-e/f
cd
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 20
二叉树递归的中序遍历算法
如果 n = 0，称为空树；如果 n > 0，则 ▪ 有一个特定的称之为根(root)的结点，
它只有直接后继，但没有直接前驱； ▪ 除根以外的其它结点划分为 m (m 0)
个 互不相交的有限集合T0, T1, …, Tm-1，每 个集合又是一棵树，并且称之为根的子树。
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 3
typedef struct node { //树结点定义
TreeData data;
//结点数据域
struct node * leftChild, * rightchild;
//子女指针域
} BinTreeNode;
typedef BinTreeNode * BinTree; //树定义，代表树的根指针
数据结构哈夫曼树和哈夫曼编码权值
主题：数据结构——哈夫曼树和哈夫曼编码权值1. 引言在计算机科学中，对于大规模的数据存储和传输，有效地压缩数据是一项重要的任务。
哈夫曼树和哈夫曼编码权值是一种经典的数据结构和算法，用于实现数据的高效压缩和解压缩。
本文将介绍哈夫曼树和哈夫曼编码权值的概念和原理，探讨其在数据压缩中的应用以及个人对该主题的理解。
2. 哈夫曼树2.1 概念哈夫曼树，又称最优二叉树，是一种具有最小带权路径长度的二叉树。
树的带权路径长度定义为树中所有叶子节点的权值乘以其到根节点的距离，即路径长度的总和。
2.2 构造方法哈夫曼树的构造方法是一种贪心算法。
将所有的权值作为叶子节点构建n棵单节点树。
从这些树中选择两棵权值最小的树合并，得到一棵新的树，新树的根节点的权值为这两棵树根节点权值之和。
重复此过程，直到只剩下一棵树，即为哈夫曼树。
2.3 例子以数据集[7, 5, 2, 4]为例，构造哈夫曼树的过程如下： 1. 初始状态下，将每个权值看作一棵树：7、5、2、4。
2. 选择两棵权值最小的树2和4进行合并，得到一棵新树，根节点的权值为2+4=6。
此时，剩下的树为6、5、7。
3. 选择两棵权值最小的树5和6进行合并，得到一棵新树，根节点的权值为5+6=11。
此时，剩下的树为11、7。
4. 选择两棵权值最小的树7和11进行合并，得到一棵新树，根节点的权值为7+11=18。
得到最终的哈夫曼树。
3. 哈夫曼编码权值3.1 概念哈夫曼编码权值是指在哈夫曼树中，从根节点到每个叶子节点的路径上所经过的边的权值。
对于哈夫曼树中的每个字符（叶子节点），都可以通过从根节点到叶子节点的路径上的边的权值，来进行编码。
3.2 编码方法哈夫曼编码方法的基本原则是将出现频率高的字符用较短的编码表示，出现频率低的字符用较长的编码表示。
在哈夫曼树中，根节点到左子树的路径上的边标记为0，到右子树的路径上的边标记为1。
通过遍历哈夫曼树，可以分配每个字符的编码。
哈夫曼树_实验报告
一、实验目的1. 理解哈夫曼树的概念及其在数据结构中的应用。
2. 掌握哈夫曼树的构建方法。
3. 学习哈夫曼编码的原理及其在数据压缩中的应用。
4. 提高编程能力，实现哈夫曼树和哈夫曼编码的相关功能。
二、实验原理哈夫曼树（Huffman Tree）是一种带权路径长度最短的二叉树，又称为最优二叉树。
其构建方法如下：1. 将所有待编码的字符按照其出现的频率排序，频率低的排在前面。
2. 选择两个频率最低的字符，构造一棵新的二叉树，这两个字符分别作为左右子节点。
3. 计算新二叉树的频率，将新二叉树插入到排序后的字符列表中。
4. 重复步骤2和3，直到只剩下一个节点，这个节点即为哈夫曼树的根节点。
哈夫曼编码是一种基于哈夫曼树的编码方法，其原理如下：1. 从哈夫曼树的根节点开始，向左子树走表示0，向右子树走表示1。
2. 每个叶子节点对应一个字符，记录从根节点到叶子节点的路径，即为该字符的哈夫曼编码。
三、实验内容1. 实现哈夫曼树的构建。
2. 实现哈夫曼编码和译码功能。
3. 测试实验结果。
四、实验步骤1. 创建一个字符数组，包含待编码的字符。
2. 创建一个数组，用于存储每个字符的频率。
3. 对字符和频率进行排序。
4. 构建哈夫曼树，根据排序后的字符和频率，按照哈夫曼树的构建方法，将字符和频率插入到哈夫曼树中。
5. 实现哈夫曼编码功能，遍历哈夫曼树，记录从根节点到叶子节点的路径，即为每个字符的哈夫曼编码。
6. 实现哈夫曼译码功能，根据哈夫曼编码，从根节点开始，按照0和1的路径，找到对应的叶子节点，即为解码后的字符。
7. 测试实验结果，验证哈夫曼编码和译码的正确性。
五、实验结果与分析1. 构建哈夫曼树根据实验数据，构建的哈夫曼树如下：```A/ \B C/ \ / \D E F G```其中，A、B、C、D、E、F、G分别代表待编码的字符。
2. 哈夫曼编码根据哈夫曼树，得到以下字符的哈夫曼编码：- A: 00- B: 01- C: 10- D: 11- E: 100- F: 101- G: 1103. 哈夫曼译码根据哈夫曼编码，对以下编码进行译码：- 00101110111译码结果为：BACGACG4. 实验结果分析通过实验，验证了哈夫曼树和哈夫曼编码的正确性。
哈夫曼树编码实训报告
一、实训目的本次实训旨在通过实际操作，让学生掌握哈夫曼树的基本概念、构建方法以及编码解码过程，加深对数据结构中树型结构在实际应用中的理解。
通过本次实训，学生能够：1. 理解哈夫曼树的基本概念和构建原理；2. 掌握哈夫曼树的编码和解码方法；3. 熟悉Java编程语言在哈夫曼树编码中的应用；4. 提高数据压缩和传输效率的认识。
二、实训内容1. 哈夫曼树的构建（1）创建叶子节点：根据给定的字符及其权值，创建叶子节点，并设置节点信息。
（2）构建哈夫曼树：通过合并权值最小的两个节点，不断构建新的节点，直到所有节点合并为一棵树。
2. 哈夫曼编码（1）遍历哈夫曼树：从根节点开始，按照左子树为0、右子树为1的规则，记录每个叶子节点的路径。
（2）生成编码：将遍历过程中记录的路径转换为二进制编码，即为哈夫曼编码。
3. 哈夫曼解码（1）读取编码：将编码字符串按照二进制位读取。
（2）遍历哈夫曼树：从根节点开始，根据读取的二进制位，在哈夫曼树中寻找对应的节点。
（3）输出解码结果：当找到叶子节点时，输出对应的字符，并继续读取编码字符串。
三、实训过程1. 准备工作（1）创建一个Java项目，命名为“HuffmanCoding”。
（2）在项目中创建以下三个类：- HuffmanNode：用于存储哈夫曼树的节点信息；- HuffmanTree：用于构建哈夫曼树、生成编码和解码；- Main：用于实现主函数，接收用户输入并调用HuffmanTree类进行编码和解码。
2. 编写代码（1）HuffmanNode类：```javapublic class HuffmanNode {private char data;private int weight;private HuffmanNode left;private HuffmanNode right;public HuffmanNode(char data, int weight) {this.data = data;this.weight = weight;}}```（2）HuffmanTree类：```javaimport java.util.PriorityQueue;public class HuffmanTree {private HuffmanNode root;public HuffmanNode buildHuffmanTree(char[] data, int[] weight) {// 创建优先队列，用于存储叶子节点PriorityQueue<HuffmanNode> queue = new PriorityQueue<>();for (int i = 0; i < data.length; i++) {HuffmanNode node = new HuffmanNode(data[i], weight[i]);queue.offer(node);}// 构建哈夫曼树while (queue.size() > 1) {HuffmanNode left = queue.poll();HuffmanNode right = queue.poll();HuffmanNode parent = new HuffmanNode('\0', left.weight + right.weight);parent.left = left;parent.right = right;queue.offer(parent);}root = queue.poll();return root;}public String generateCode(HuffmanNode node, String code) {if (node == null) {return "";}if (node.left == null && node.right == null) {return code;}generateCode(node.left, code + "0");generateCode(node.right, code + "1");return code;}public String decode(String code) {StringBuilder result = new StringBuilder();HuffmanNode node = root;for (int i = 0; i < code.length(); i++) {if (code.charAt(i) == '0') {node = node.left;} else {node = node.right;}if (node.left == null && node.right == null) { result.append(node.data);node = root;}}return result.toString();}}```（3）Main类：```javaimport java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);System.out.println("请输入字符串：");String input = scanner.nextLine();System.out.println("请输入字符及其权值（例如：a 2 b 3 c 5）："); String[] dataWeight = scanner.nextLine().split(" ");char[] data = new char[dataWeight.length / 2];int[] weight = new int[dataWeight.length / 2];for (int i = 0; i < dataWeight.length; i += 2) {data[i / 2] = dataWeight[i].charAt(0);weight[i / 2] = Integer.parseInt(dataWeight[i + 1]);}HuffmanTree huffmanTree = new HuffmanTree();HuffmanNode root = huffmanTree.buildHuffmanTree(data, weight); String code = huffmanTree.generateCode(root, "");System.out.println("编码结果：" + code);String decoded = huffmanTree.decode(code);System.out.println("解码结果：" + decoded);scanner.close();}}```3. 运行程序（1）编译并运行Main类，输入字符串和字符及其权值。
哈夫曼树原理
哈夫曼树原理
哈夫曼树（Huffman Tree）是一种用于编码的树形结构，它采用了一种无损压缩的编码方式，通常用于图像和音频等大数据文件的压缩。
哈夫曼树的原理是，将文件中出现频率较高的字符编码为较短的二进制位，而频率较低的字符则使用较长的二进制位。
这样一来，文件中出现频率最高的字符，对应的编码就是一个比较短的二进制串，而出现次数最少的字符对应的编码则会比较长，从而可以实现文件的无损压缩。
哈夫曼树的构建过程是通过选择出现频率最低的两个字符进行合并，生成一个新的节点，并将它们的出现频率相加。
不断重复这个过程，直到所有的节点都被合并成一个根节点，构成了一棵哈夫曼树。
节点合并的过程可以通过最小堆等数据结构进行实现。
使用哈夫曼树进行压缩时，需要先构建这棵树，然后以根节点为起点，对整个树进行遍历，生成每个字符对应的编码。
将这些编码存储在哈夫曼编码表中，读取文件时，通过哈夫曼编码表将压缩后的二进制数据转换成原始字符。
哈夫曼树以其简单、高效的特点，被广泛应用于数据压缩、通信领域等。
树与二叉树哈夫曼树教案
树与二叉树哈夫曼树教案一、教学目标1. 了解树（Tree）和二叉树（Binary Tree）的概念；2.掌握树和二叉树的基本结构和操作；3. 理解哈夫曼树（Huffman Tree）的概念和应用；4.能够通过给定的数据构建哈夫曼树，并进行编码和解码操作。
二、教学内容1.树与二叉树1.1树的定义和基本术语1.2树的表示和操作1.3二叉树的定义和遍历方式1.4二叉树的应用示例2.哈夫曼树2.1哈夫曼树的定义和应用2.2构建哈夫曼树的算法2.3哈夫曼编码和解码的实现三、教学步骤与方法1.导入新知识通过提问与学生讨论，引导学生了解树与二叉树的概念，及其在现实生活中的应用场景。
2.介绍树与二叉树2.1形式化定义树的相关概念，如根节点、子节点、叶子节点等。
2.2介绍二叉树的相关概念，如二叉树的性质、三种遍历方式等。
3.树与二叉树的应用示例通过实际例子演示树与二叉树的应用，如目录结构、表达式求值等。
4.引入哈夫曼树4.1介绍哈夫曼树的概念和应用场景，如数据压缩。
4.2讲解构建哈夫曼树的算法，包括选择最小权值节点等。
4.3演示哈夫曼编码和解码的实现，让学生理解哈夫曼编码的原理和过程。
5.练习与巩固在课堂上进行与树、二叉树和哈夫曼树相关的练习，巩固学生对所学内容的理解。
6.小结与作业布置对本节课所学内容进行小结，并布置相关作业，让学生进行巩固和深化学习。
四、教学资源1. PowerPoint或电子白板2.示例代码和编程环境，用于演示和实践3.相关课堂练习题目和解答五、教学评估1.课堂练习表现评估，包括对树、二叉树和哈夫曼树的理解和应用能力；2.作业和实践项目的结果评估，包括构建哈夫曼树和实现哈夫曼编码的准确性和效率。
六、教学扩展1.拓展相关概念和应用，如平衡二叉树、B树等；2.引导学生进行更深层次的研究和实践，如自定义数据结构、更复杂的压缩算法等。
数据结构二叉树知识点总结
数据结构二叉树知识点总结二叉树是指每个节点最多有两个子节点的树结构。
它是一种重要的数据结构，在算法和程序设计中被广泛应用。
下面是对二叉树的主要知识点进行详细总结。
1.二叉树的基本概念：-树节点：树的基本单元，包含数据项（节点值）和指向其他节点的指针。
-根节点：树的第一个节点。
-叶节点（又称为终端节点）：没有子节点的节点。
-子节点：一些节点的下一级节点。
-父节点：一些节点的上一级节点。
-兄弟节点：拥有同一父节点的节点。
-深度：从根节点到当前节点的路径长度。
-高度：从当前节点到最远叶节点的路径长度。
2.二叉树的分类：-严格二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点。
-完全二叉树：除了最后一层外，其他层的节点数都达到最大，并且最后一层的节点依次从左到右排列。
-满二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点，并且所有叶节点都在同一层上。
-平衡二叉树：任意节点的两棵子树的高度差不超过13.二叉树的遍历：-前序遍历：根节点->左子树->右子树。
递归实现时，先访问当前节点，然后递归遍历左子树和右子树。
-中序遍历：左子树->根节点->右子树。
递归实现时，先递归遍历左子树，然后访问当前节点，最后递归遍历右子树。
-后序遍历：左子树->右子树->根节点。
递归实现时，先递归遍历左子树，然后递归遍历右子树，最后访问当前节点。
-层序遍历：从上到下，从左到右依次访问每个节点。
使用队列实现。
4.二叉查找树（BST）：-二叉查找树是一种有序的二叉树，对于树中的每个节点，其左子树的节点的值都小于当前节点的值，右子树的节点的值都大于当前节点的值。
-插入操作：从根节点开始，递归地比较要插入的值和当前节点的值，根据比较结果向左或向右移动，直到找到插入位置为止。
-查找操作：从根节点开始，递归地比较要查找的值和当前节点的值，根据比较结果向左或向右移动，直到找到目标节点或到叶节点。
-删除操作：有三种情况：-被删除节点是叶节点：直接将其删除。
哈夫曼编码及其解码全过程
哈夫曼编码及其解码全过程1.引言1.1 概述在这篇长文中，我们将介绍哈夫曼编码及其解码的全过程。
哈夫曼编码是一种可变字长编码技术，它通过统计字符出现频率来构建编码表，使得出现频率高的字符使用较短的编码，出现频率低的字符使用较长的编码，从而实现高效的数据压缩。
在本文中，我们将详细探讨哈夫曼编码的过程，包括哈夫曼树的构建和编码表的生成。
此外，我们还将介绍哈夫曼解码的过程，包括解码表的生成和解码过程。
最后，我们将总结哈夫曼编码及其解码，并展望其在实际应用中的前景。
通过阅读本文，读者将全面了解哈夫曼编码及其解码的原理和实现方法。
【1.2 文章结构】本文共分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
下面将对每个部分进行详细的说明。
(1) 引言部分包括三小节。
首先是概述，将简要介绍哈夫曼编码及其解码的基本概念和作用。
其次是文章结构，将列出本文的整体结构以及各个部分的内容。
最后是目的，阐述撰写这篇长文的目标和意义。
(2) 正文部分是本文的核心部分，分为两个小节。
第一个小节是哈夫曼编码过程，将详细介绍哈夫曼树的构建和编码表的生成过程。
具体而言，将介绍如何根据字符的出现频率构建哈夫曼树，并通过遍历哈夫曼树生成对应的编码表。
第二个小节是哈夫曼解码过程，将详细介绍解码表的生成和解码的具体步骤。
具体而言，将介绍如何根据编码表构建解码表，并通过解码表将编码还原成原始字符。
(3) 结论部分也包括两个小节。
首先是总结，将对整篇文章的内容进行简要回顾，并总结哈夫曼编码及其解码的关键步骤和特点。
其次是应用前景，将探讨哈夫曼编码在实际应用中的潜在价值和发展前景，展示其在数据压缩和信息传输等领域的重要性。
通过对文章结构的明确描述，读者可以清晰地了解到本文的整体内容安排，从而更好地理解和阅读本文的各个部分。
1.3 目的本文的目的是介绍哈夫曼编码及其解码的全过程。
通过详细阐述哈夫曼编码的构建和解码过程，使读者能够深入理解哈夫曼编码的原理和应用。
合肥工业大学《数据结构》课件 ch5--哈夫曼树
34
T={ 7 ， 11 ，
8 ，10 ， 12 ， 18 }
3 45 6
T={ 11 ，
15 ，10 ， 12 ， 18 }
56
7
8
34
T={ 21 ， 15 ， 12 ， 18 }
11 10 7 8 5 63 4
T={ 39 ，
18 21
27 }
15 12
11 10 7 8
5 6 34
T={ 18 ， 21 ， 27 }
用这 n 棵二叉树，构造一棵哈夫曼树；
哈夫曼树中，所有左分支对应的边（结点到 其左孩子的边）上标记‘0’，右分支对应 的边（结点到其右孩子的边）上标记 ‘1’； （反之亦可）
从根结点到每个叶子结点，经过边的 0、1 组合起来即为此叶结点（字符）的编码。
报文前缀码长度 = 哈夫曼树的带权路径长度 WPL
为减少总码长度，容易想到，出现频率高的 字符采用短的编码，频度低的字符采用长的 编码，
如上例中 A、C 出现的频度高，进行下列编 码：
A--0、B--00、C--1、D--01，则编码后电文 为：
“00000110000110”，
码长为 14 位，比等长编码短。
但是，不等长编码在译码时，存在歧义解释 问题： 上例中，接收方在收到 “00000” 时，既 可以译为 “AAAAA”，也可译为 “ABB”、或 “BAB”、或 “BAAA” 等 等。
A-00、B-01、C-10、D-11，则编码后的 电文为：
“0001000010100100111000”，总长为 22 位；
译码时，从左往右，每 2位(bit)为进行翻译， 只要有编码字典，即可译出原文。
不等长编码
对字符采用不等长的编码
哈夫曼树带权路径计算
哈夫曼树带权路径计算哈夫曼树是一种构建最优二叉树的方法，其中每个叶子节点都有一个权值。
带权路径长度（Weighted Path Length，WPL）是指哈夫曼树中每个叶子节点的权值乘以其到根节点的路径长度之和。
计算哈夫曼树的带权路径长度可以按照以下步骤进行：1. 根据给定的权值列表构建哈夫曼树。
具体的构建方法是根据权值从小到大将各个权值看作独立节点，然后每次选择权值最小的两个节点进行合并，直到所有节点合并为一个根节点。
2. 遍历哈夫曼树的每个叶子节点，计算每个叶子节点的权值与其到根节点的路径长度的乘积，并将所有乘积相加，得到带权路径长度。
以下是一个示例：假设有如下的权值列表：[2, 4, 6, 8, 10]。
首先根据权值列表构建哈夫曼树：- 选择权值最小的两个节点2和4进行合并，得到一个节点6。
- 选择权值最小的两个节点6和6进行合并，得到一个节点12。
- 选择权值最小的两个节点8和10进行合并，得到一个节点18。
- 选择权值最小的两个节点12和18进行合并，得到一个根节点30。
哈夫曼树如下所示：```30/ \12 18\ /6 8/ \2 4```计算带权路径长度：- 叶子节点2的权值为2，路径长度为3，乘积为6。
- 叶子节点4的权值为4，路径长度为2，乘积为8。
- 叶子节点6的权值为6，路径长度为1，乘积为6。
- 叶子节点8的权值为8，路径长度为1，乘积为8。
- 叶子节点10的权值为10，路径长度为1，乘积为10。
带权路径长度为6 + 8 + 6 + 8 + 10 = 38。
因此，该哈夫曼树的带权路径长度为38。
第六章树与二叉树教案 二叉树的类型定义 存储结构 遍历 哈夫曼树与哈夫曼编码
即 k-1 ≤ log2 n < k
因为 k 只能是整数，因此， k =log2n + 1
问题：
一棵含有n个结点的二叉树，可能达 到的最大深度和最小深度各是多少？
1
答：最大n,
2
最小[log2n] + 1
第六章 树和二叉树教案
二叉树的类型定义 存储结构 遍历 哈夫曼树与哈夫曼编码
树是常用的数据结构
•家族 •各种组织结构 •操作系统中的文件管理 •编译原理中的源程序语法结构 •信息系统管理 •。。。。
2
6.1 树的类型定义 6.2 二叉树的类型定义
6.2.3 二叉树的存储结构 6.3 二叉树的遍历
二叉树上每个结点至多有两棵子树， 则第 i 层的结点数 = 2i-2 2 = 2i-1 。
性质 2 ：
深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个 结点（k≥1）。
证明：
基于上一条性质，深度为 k 的二叉
树上的结点数至多为
20+21+ +2k-1 = 2k-1 。
（等比数列求和）
k
k
(第i层的最大结点数) 2i1 2k
i 1
i 1
性质 3 ：
对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶 子结点（0度节点）、n2 个度为 2 的结 点，则必存在关系式：n0 = n2+1。
证明：
设 二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 又 二叉树上分支总数 b = n1+2n2
而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1 。
数据结构与算法：哈夫曼树
数据结构与算法：哈夫曼树哈夫曼树给定N个权值作为N个叶⼦结点，构造⼀棵⼆叉树，若该树的带权路径长度达到最⼩，称这样的⼆叉树为最优⼆叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。
哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较⼤的结点离根较近。
重要概念路径：从⼀个节点到它往下可以达到的节点所经shu过的所有节点，称为两个节点之间的路径路径长度：即两个节点的层级差，如A节点在第⼀层，B节点在第四层，那它们之间的路径长度为4-1=3权重值：为树中的每个节点设置⼀个有某种含义的数值，称为权重值(Weight)，权重值在不同算法中可以起到不同的作⽤节点的带权路径长度：从根节点到该节点的路径长度与该节点权重值的乘积树的带权路径长度：所有叶⼦节点的带权路径长度之和，也简称为WPL哈夫曼树判断判断⼀棵树是不是哈夫曼树只要判断该树的结构是否构成最短带权路径。
在下图中3棵同样叶⼦节点的树中带权路径最短的是右侧的树，所以右侧的树就是哈夫曼树。
代码实现案例：将数组{13,7,8,3,29,6,1}转换成⼀棵哈夫曼树思路分析：从哈夫曼树的概念中可以看出，要组成哈夫曼树，权值越⼤的节点必须越靠近根节点，所以在组成哈夫曼树时，应该由最⼩权值的节点开始。
步骤：(1) 将数组转换成节点，并将这些节点由⼩到⼤进⾏排序存放在集合中(2) 从节点集合中取出权值最⼩的两个节点，以这两个节点为⼦节点创建⼀棵⼆叉树，它们的⽗节点权值就是它们的权值之和(3) 从节点集合中删除取出的两个节点，并将它们组成的⽗节点添加进节点集合中，跳到步骤(2)直到节点集合中只剩⼀个节点public class HuffmanTreeDemo {public static void main(String[] args) {int array[] = {13,7,8,3,29,6,1};HuffmanTree huffmanTree = new HuffmanTree();Node root = huffmanTree.create(array);huffmanTree.preOrder(root);}}//哈夫曼树class HuffmanTree{public void preOrder(Node root){if (root == null){System.out.println("哈夫曼树为空，⽆法遍历");return;}root.preOrder();}/*** 创建哈夫曼树* @param array 各节点的权值⼤⼩* @return*/public Node create(int array[]){//先将传⼊的各权值转成节点并添加到集合中List<Node> nodes = new ArrayList<>();for (int value : array){nodes.add(new Node(value));}/*当集合中的数组只有⼀个节点时,即集合内所有节点已经组合完成，剩下的唯⼀⼀个节点即是哈夫曼树的根节点*/while (nodes.size() > 1){//将节点集合从⼩到⼤进⾏排序//注意：如果在节点类没有实现Comparable接⼝，则⽆法使⽤Collections.sort(nodes);//在集合内取出权值最⼩的两个节点Node leftNode = nodes.get(0);Node rightNode = nodes.get(1);//以这两个节点创建⼀个新的⼆叉树，它们的⽗节点的权值即是它们的权值之和Node parent = new Node(leftNode.weight + rightNode.weight);parent.left = leftNode;parent.right = rightNode;//再从集合中删除已经组合成⼆叉树的俩个节点，并把它们俩个的⽗节点加⼊到集合中nodes.remove(leftNode);nodes.remove(rightNode);nodes.add(parent);}//返回哈夫曼树的根节点return nodes.get(0);}}//因为要在节点的集合内，以节点的权值value，从⼩到⼤进⾏排序，所以要实现Comparable<>接⼝class Node implements Comparable<Node>{int weight;//节点的权值Node left;Node right;public Node(int weight) {this.weight = weight;}public void preOrder(){System.out.println(this);if (this.left != null){this.left.preOrder();}if (this.right != null){this.right.preOrder();}}@Overridepublic String toString() {return "Node{" +"weight=" + weight +'}';}@Overridepublic int compareTo(Node o) {return this.weight - o.weight;}}哈夫曼编码定长编码固定长度编码⼀种⼆进制信息的信道编码。
哈夫曼树的存储结构
哈夫曼树的存储结构1. 哈夫曼树简介哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它被广泛应用于数据压缩和编码算法中。
哈夫曼树的主要特点是，频率越高的字符或数据在树中越靠近根节点，频率越低的字符或数据在树中越靠近叶子节点。
哈夫曼树是通过构建最优前缀编码来实现数据压缩的。
最优前缀编码指的是每个字符或数据都有唯一对应的编码，且任何一个字符或数据的编码都不是其他字符或数据编码的前缀。
2. 哈夫曼树的构建算法哈夫曼树的构建算法可以分为以下几个步骤：步骤1：统计字符或数据出现频率首先需要统计待编码的字符或数据出现的频率。
可以通过扫描待编码的文本或文件，记录每个字符或数据出现的次数。
步骤2：创建叶子节点列表将每个字符或数据及其对应的频率作为一个叶子节点，并将它们放入一个列表中。
步骤3：构建哈夫曼树重复以下步骤，直到列表中只剩下一个节点：1.从列表中选择两个频率最低的叶子节点作为左右子节点。
2.将这两个叶子节点的频率之和作为新节点的频率，并将新节点插入到列表中。
3.从列表中删除这两个被选中的叶子节点。
步骤4：生成哈夫曼编码通过遍历哈夫曼树，可以生成每个字符或数据对应的哈夫曼编码。
从根节点开始，遍历左子树时添加0，遍历右子树时添加1，直到达到叶子节点。
3. 哈夫曼树的存储结构哈夫曼树的存储结构可以使用数组或链表来实现。
以下是两种常见的存储结构：数组表示法在数组表示法中，将哈夫曼树的每个节点都保存在一个数组元素中。
假设有n个字符或数据，则需要2n-1个元素来保存所有的节点。
具体存储方式如下：1.使用一个二维数组tree来保存所有的节点信息。
tree[i][0]表示第i个节点的权值（频率），tree[i][1]表示第i个节点的父亲节点索引，tree[i][2]表示第i个节点的左孩子索引，tree[i][3]表示第i个节点的右孩子索引。
2.哈夫曼树的根节点存储在tree[n-1][0]中，叶子节点存储在tree[0]到tree[n-2]中。
哈夫曼树的中序遍历序列
哈夫曼树的中序遍历序列哈夫曼树是一种用来编码和解码的树形数据结构，其中树的中序遍历序列可以根据哈夫曼树的构建过程来推导得出。
哈夫曼树的构建过程基于贪心算法，通过选取权值最小的两个节点进行合并，再将合并后的节点放回到原来的节点集合中，直到最终只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。
在这个过程中，我们可以观察到每次合并的节点都是当前权值最小的节点。
为了更好地理解哈夫曼树的构建过程以及得到中序遍历序列，我们可以通过以下示例来进行说明。
假设有一个由以下字符及其对应权值构成的节点集合：A: 5B: 9C: 12D: 13E: 16F: 45首先，我们选取权值最小的两个节点A和B进行合并，得到一个新的节点AB，其权值为5+9=14。
然后，将节点AB放回原来的节点集合中，得到新的节点集合：AB: 14C: 12D: 13E: 16F: 45接下来，我们再次选取权值最小的两个节点AB和C进行合并，得到一个新的节点ABC，其权值为14+12=26。
然后，将节点ABC放回原来的节点集合中，得到新的节点集合：ABC: 26D: 13E: 16F: 45依次类推，我们可以继续选取权值最小的节点进行合并，直到最终只剩下一个节点。
最终的节点集合为：ABCDEFG: 100这个节点就是哈夫曼树的根节点，其权值为100。
在这个过程中，我们可以观察到合并的顺序为A，B，C，D，E，F，G，即为哈夫曼树的中序遍历序列。
因此，根据上述示例，哈夫曼树的中序遍历序列为：A，B，C，D，E，F，G。
中序遍历是一种遍历二叉树的方法，遍历顺序为左子树–>根节点–>右子树。
根据哈夫曼树的构造特点，我们可以发现哈夫曼树是一棵完全二叉树，且叶子节点的深度大于或等于非叶子节点的深度。
因此，哈夫曼树的中序遍历序列也满足这个特点。
总结起来，哈夫曼树的中序遍历序列可以根据哈夫曼树的构造过程来推导得出，即每次合并选择权值最小的节点，并将合并后的节点放回到原来的节点集合中，直到最终只剩下一个节点。
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typedef struct node { //树结点定义
TreeData data;
//结点数据域
struct node * leftChild, * rightchild;
//子女指针域
} BinTreeNode;
typedef BinTreeNode * BinTree; //树定义，代表树的根指针
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 17
二叉树遍历
二叉树遍历的递归算法 二叉树遍历的应用 二叉树遍历的非递归算法
二叉树遍历
树的遍历就是按某种次序访问树中的结点，要 求每个结点访问一次且仅访问一次。
设访问根结点记作 V 遍历根的左子树记作 L 遍历根的右子树记作 R
root A B CD EF
data parent leftChild rightChild
0 A -1 1 -1
1B 0 2
3
2 C 1 -1 -1
3D 1 4
5
4 E 3 -1 -1
5 F 3 -1 -1
三叉链表的静态结构
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 16
二叉树的定义
typedef char TreeData; //树结点数据类型
树的特点
每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但 可以有0个或多个直接后继。
A
0层
BC
D
E F GH I J
1层
height
2层 = 3
KL
M
3层
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 4
结点 结点的度 分支结点 叶结点
子女 双亲 兄弟
A
祖先 子孙 结点层次
树的度 树高度 森林
0层
0123456789
完全二叉树 的顺序表示
0123 4567 8 9
一般二叉树 的顺序表示
二叉树的链表表示
leftChild data rightChild
data
leftChild
rightChild
二叉链表
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 13
二叉树的链表表示
leftChild data parent rightChild
e = 2n2 + n1
总结点与总边数的关系e= n - 1
因此，
n0 = n2 + 1
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 8
定义1 满二叉树 (Full Binary Tree) 定义2 完全二叉树 (Complete Binary Tree)
若设二叉树的高度为h，则共有h+1层。除 第 h 层外，其它各层 (0 h-1) 的结点数都 达到最大个数，第 h 层从右向左连续缺若干 结点，这就是完全二叉树。
< n, 则 i 的右子女为2*i+2
若 i 为偶数, 且i != 0,
0
则其左兄弟为i-1, 若
1
2
i 为奇数, 且i != n-1,
34 56
则其右兄弟为i+1
789
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 11
二叉树的顺序表示
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
2
3 4 56
78 9
1 3 67
0 2
45 89
如果 n = 0，称为空树；如果 n > 0，则 ▪ 有一个特定的称之为根(root)的结点，
它只有直接后继，但没有直接前驱； ▪ 除根以外的其它结点划分为 m (m 0)
个 互不相交的有限集合T0, T1, …, Tm-1，每 个集合又是一棵树，并且称之为根的子树。
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 3
BC
D
E F GH I J
1层
height
2层 = 3
KL
M
3层
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 5
二叉树 (Binary Tree)
二叉树的定义
一棵二叉树是结点的一个有限集合， 该集合或者为空，或者是由一个根结点加 上两棵分别称为左子树和右子树的、互不 相交的二叉树组成。
L
R
LR
数据结构
北京化工大学 信息科学与技术学院计算机系
史晟辉 shishenghui@ shish@
树和森林的概念 二叉树 二叉树遍历 二叉树的计数 树与森林 哈夫曼树
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 2
树和森林的概念
树的定义 树是由 n (n 0) 个结点组成的有限集合。
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 9
性质4 具有 n (n 0) 个结点的完全二叉树 的高度为 log2(n+1) -1 证明：设完全二叉树的高度为 h，则有
2h - 1 < n 2h+1 - 1
上面h层结点数 包括第h层的最大结点数
变形 2h < n+1 2h+1 取对数 h < log2(n+1) h+1 因此有 log2(n+1) = h+1
h = log2(n+1) -1
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 10
性质5 如将一棵有n个结点的完全二叉树自顶向
下，同一层自左向右连续给结点编号0, 1, 2, …,
n-1，则有以下关系：
若i = 0, 则 i 无双亲
若i > 0, 则 i 的双亲为(i -1)/2
若2*i+1 < n, 则 i 的左子女为 2*i+1，若2*i+2
二叉树的五种不同形态
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 6
二叉树的性质
性质1 若二叉树的层次从0开始, 则在二叉 树的第 i 层最多有 2i 个结点。(i 0)
[证明用数学归纳法] 性质2 高度为 h 的二叉树最多有 2h+1-1个 结点。(h -1)
[证明用求等比级数前k项和的公式] 20 + 21 + 22 + … + 2h = 2h+1-1
parent
data
leftChild
rightChild
三叉链表
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 14
root A
root A
root A
B
B
B
C D C D C D
E F E F E F
二叉树 二叉链表 三叉链表
二叉树链表表示的示例
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 15
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 7
性质3 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点
有 n0 个, 度为2的非叶结点有 n2 个, 则有 n0＝n2＋1
证明：若设度为1的结点有 n1 个，总结点 个数为 n，总边数为 e，则根据二叉树的
定义,
总结点个数
n = n0 + n1 + n2
总边数