邵阳市二中直升班数学考试题
2015年二中直升班考题
2015年邵阳市二中 直升班考试题1、关于 —（—a ）²的相反数，有下列说法： ①等于a ²; ②等于（－a ）²; ③值可能为0;④值一定是正数. 其中正确的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为81，则则第2015次输出的结果为（ ）A.3B.27C.9D.13、今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种4、某班有50名学生，在一次考试中，统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分却记成了50分，乙实得70分却记成了100分，则更正后平均分和方差分别是（ ）A. 70,25B. 70,51C. 65,51D.65,755、如图，A 、B 、C 是反比例函数()0<=k xky 图像上的三点，作直线l ， 使A 、B 、C 到直线l 的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l 共有（ ） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条6、如图，已知△ABC ，以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于D 点， 以C 为圆心，AC 长为半径画弧，交BC 于E 点.若∠B ＝40°，∠C ＝36°， 则关于AD 、AE 、BE 、CD 的大小关系，下列何者正确？( )A.AD ＝AE B ．AE ＜AE C ．BE ＝CD D ．BE ＜CD7、如图，在⊙O ，AB=2CD ，那么（ A ） A ． B ．B ．C ．D ．与的大小无法确定8、如图，在直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（5,0）， 对角线OB=45，若反比例函数xky =(k≠0，x ＞0)经过点C ， 则k 的值等于（ ）A. 12B. 8C. 15 D .99、如图,抛物线y ＝ax ²+bx+c 与x 轴交于A （-1,0）,顶点坐标为（1,n ）,与y 轴的交点在 （0,2）（0,3）之间（包含端点）,则下列结论: ①当x ＞3时,y ＜0； ②3a+b ＞0； ③-1≤a ≤32-； ④3≦n ≦4 其中正确的是（ ）A. ①②B. ③④C.①④D.①③10、如图，在坐标系中放置一菱形OABC ，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC 沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2015的坐标为（ ）A. (1340 , 0)B.(1340 , 0)C. (1342.5 , 0)D.(1344 , 0)二、填空题11、已知大小，形状都相同的四个小球上分别标有1,2,3,4四个号码，从中任取两个小球，则这两个小球中的最大号码是3的概率是 .12、已知322322=+，833833=+，15441544=+......,类比这些等式，若ba b a 66=+（a ，b 均为正整数），则a+b= .13、如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心）， 其中CD=600米，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，OF=3003米， 则这段弯路的长度为 .A O x =1yx14、我们知道的2-x 与1-x 几何意义分别是点x 到点2,1的距离，则关于x 的不等式2-x +1-x ≥2中x 的取值范围是 .15、如图，△ABC 中，AD=4，BC=6，角B=60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C 重合，则平移的距离为 ，旋转角的度数分别为 .16、如图，点A 、B 、C 分别是半圆M 与坐标轴的交点，AB 为半圆直径，半圆圆心M （1,0），半径为2，直线3233:+=x y l ，则将直线l 向下平移 个长度单位后将与半圆M 相切与点C .17、如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2（x ≥0）与422x y =（x ≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则 ABDE =18、给出下列四个命题：①若a>b , c>d 则db c a >; ②若a 、b 是满足ab< 0的实数，则b a b a -<+； ③若a>b ，则bb a a +>+11 ④若a>0 ，b>0 ，a ≠b ，a+b=2 则ab b a >>+1222 其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）三、解答题19、计算：()︒-+⎪⎭⎫⎝⎛⨯--60cos 432113201520、先化简分式11132-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x x x，再从不等式组⎩⎨⎧+<-≥--15242)2(3x x x x 的解集中取一个合适的值代入并求解.21、如图在△ABC 中，AB=AC ，D 为△ABC 外接圆的弧AC 上的点（不与点A 、C 重合），延长BD 至点E ，延长AD 交AD 的延长线于点F. 求证：（1）∠CDF=∠EDF（2）AB ·AC = AD ·AF四、应用题22、某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：（1）求出样本容量，并补全直方图；（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；（3）已知A、E组发言的学生中都恰有1位女生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．发言次数nA 0≤n＜3B 3≤n＜6C 6≤n＜9D 9≤n＜12E 12≤n＜15F 15≤n＜1823、某房产公司于2012年投资建成了一个拥有180个车位的地下停车场，所有车位都用于出租，租期一年，没租出的每个车位每年公司需支出费用（维护费、管理费等）400元。
精品解析湖南省邵阳市第二中学2025届2024-2025学年高三暑假入学考试暨上学期8月月考数学试卷
邵阳市第二中学2022级高三第一次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若非空集合A ,B 满足A B ⊂，U 为全集，则下列集合中表示空集的是（）A.A B ⋂；B.A B ；C.A B ⋂；D.A B ．【答案】D 【解析】【分析】根据venn 图，对各个选项逐一分析，即可求得正确答案.【详解】根据venn 可以看出对A ，A B A ⋂=≠∅；对B ，A B B ⋂=≠∅；对C ，A B ⋂≠∅；对D ，A B ⋂=∅.故选：D2.sin40°(tan10°－3)＝ A.－12B.－1C.32D.－33【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的切化弦及化一公式、诱导公式化简即可求解．【详解】解：sin 40(tan10︒︒-sin10sin 40(cos10︒=︒︒sin10sin 40·cos10︒-︒=︒︒132sin 40(sin10cos10)22cos10︒︒-︒=︒2sin 40sin(1060)cos10︒︒-︒=︒2sin 40sin 50cos10-︒︒=︒sin 40cos 402cos10-︒︒=⨯︒sin801cos10︒=-=-︒故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的切化弦及化一公式、诱导公式的综合应用．3.已知函数112y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是[]2,4，则函数()()()ln 2f x g x x =-的定义域为（）A.()2,3 B.(]2,3C.()(]2,33,6 D.()(]2,33,4 【答案】A 【解析】【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.【详解】因为函数112y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是[]2,4，所以24x ≤≤，所以12132x ≤+≤，所以函数()f x 的定义域为[]2,3，所以要使函数()()()ln 2f x g x x =-有意义，则有232021x x x ≤≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得23x <<，所以函数()()()ln 2f x g x x =-的定义域为()2,3.故选：A.4.下列求导数计算错误．．的是（）A.211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭B.222e e x x x x x'⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.()ln 1ln x x x'=+ D.()21tan cos x x'=【答案】B 【解析】【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可．【详解】解：A ．1211()()x x x -''==-，正确，不符合题意；B ．22222e e 2()e (e )e x x x x xx x x x x --'==，错误，符合题意；C ．(ln )ln (ln )ln 1x x x x x x x '''=⋅+⋅=+，正确，不符合题意；D ．22222sin (sin )cos sin (cos )cos sin 1(tan )()cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x''-⋅+''====，正确，不符合题意．故选：B ．5.苏格兰数学家纳皮尔（J .Napier ，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成10(110,Z)n N a a n =⨯≤<∈，则(lg lg 0l 1)g N n a a =+≤<，这样我们可以知道N 的位数.已知正整数31M 是35位数，则M 的值为（）A.3B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】根据所给条件列出不等式，结合对数的运算即可求解.【详解】由题意可知3431351010M ≤<,两边同时取对数可得3431lg 35M ≤<，所以3435lg 3131M ≤<，故3435lg 3131M ≤<，则1.09lg 1.13M ≤<，由表中数据可知13M =,故选：C6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有1122m L m L =，其中1m 、2m 分别为左、右盘中物体质量，1L 、2L 分别为左右横梁臂长．A.等于10g B.小于10gC.大于10gD.不确定【答案】C 【解析】【分析】设天平左臂长1x ，右臂长2x ，且12x x ≠，根据已知条件求出1a 、2a 的表达式，利用基本不等式比较12a a +与10的大小关系，即可得出结论.【详解】设天平左臂长1x ，右臂长2x ，且12x x ≠，设天平右盘有1a 克黄金，天平左盘有2a 克黄金，所以11221255x a x a x x =⎧⎨=⎩，所以1125x a x =，2215x a x =，则1212215510x x a a x x +=+>=．故选：C ．7.如图，在ABC V 中，已知2,5,60,,AB AC BAC BC AC ==∠=︒边上的两条中线,AM BM 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值．（）A.69191B.91C.91D.79191【答案】B 【解析】【分析】先求三角形中线AM ，BN 的长度，根据三角形重心的性质求得PA ，PB ，在PAB 中，利用余弦定理求APB ∠的余弦，即为所求结果.【详解】因为25cos 605AB AC ⋅=⨯⨯︒=，24AB = ，225AC= .因为()12AM AB AC =+ ⇒AM =392==12BN AC AB =-⇒BN =212==.由P 为ABC V 的重心，所以23933PA AM ==，22133PB AN ==.在PAB 中，由余弦定理，得：222cos cos 2PA PB ABMPN APB PA PB+-∠=∠=⋅3921499392133+-=49191=.故选：B【点睛】关键点点睛：熟悉三角形重心得性质是解决问题得关键.8.已知直线y kx b =+是曲线2(1)y x a =-+的切线，也是曲线ln 1y a x =-的切线，则k 的最大值是（）A.2eB.4eC.2eD.4e【答案】B 【解析】【分析】设切点分别为211(,(1))x x a -+和22(,ln 1)x a x -，则()()12f x g x k ''==，根据题意转化为211n02l a x x a +=有解，设()2112ln h a a a x x +=，求得()11ln ln(2)h a a x '=+-，得出函数的单调性和极小值12()e x h ，结合12(0exh ≤，即可求解.【详解】因为y kx b =+是()2(1)f x x a =-+和()ln 1g x a x =-的公切线，设切点分别为211(,(1))x x a -+和22(,ln 1)x a x -，则()()12f x g x k ''==，由()2(1)f x x a =-+，可得()2f x x '=，则()112k f x x '==又由()ln 1g x a x =-，可得()a g x x '=，且0x >，则()22a k g x x '==，所以2211221ln 2a x x aa x k x x x -+===-，可得211111ln222aa x a x x k ax x -+==-，即211n02l ax x a +=，显然1,a x 同号，不妨设10,0a x >>，设()2112lnh a a ax x +=，（其中10,0a x >>），可得()11ln ln(2)h a a x '=+-，令()0h a '=，可得12ex a =，当12(0,e x x ∈时，()0h a '<，()h a 单调递减；当12(,)exx ∈+∞时，()0h a '>，()h a 单调递增，要使得()0h a =有解，则需要12()0e x h ≤，即211111222e ()ln 0e e 2x x x x x h =+≤即21120e x x -+≤，解得12e x ≤，所以142e k x =≤，即k 的最大值为4e.故选：B.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．二､多选题（本题共三小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数()3113f x x x -=-，则（）A.()f x 有一个零点B.()f x 的极小值为53-C.()f x 的对称中心为()0,1D.直线=1y x --是曲线()y f x =的切线【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，再结合零点存在性定理分析判断，对于B ，由选项A 的得到函数的单调区间分析判断，对于C ，令()313h x x x =-，可判断()h x 的图象关于原点对称，从而可判断出()f x 的对称中心，对于D ，利用导数的几何意义分析判断即可.【详解】对于A ，由()3113f x x x -=-，得()()()2111f x x x x =-=+-'，令()0f x '<，得11x -<<；令()0f x '>，得1x <-或1x >，则函数()f x 在()1,1-上单调递减，在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，且()()()1510,10,35033f f f -=-<=-<=>，所以当1x ≤时，()()10f x f ≤-<，当1x >时，()f x 存在唯一零点，故函数()f x 在R 上只有一个零点，故A 正确；对于B ，由选项A 可知，函数()f x 的极小值为()513f =-，故B 正确；对于C ，令()313h x x x =-，定义域为R ，则()()313h x x x h x -=-+=-，所以函数()h x 为奇函数，对称中心为()0,0，将函数()h x 图象向下平移1个长度单位，得函数()f x 的图象，所以()f x 的对称中心为()0,1-，故C 错误；对于D ，由选项A 知，()21f x x '=-，令()10f x x =-⇒='，又()01f =-，所以切线方程为()10y x +=--，即=1y x --，所以直线=1y x --是曲线()y f x =在点()0,1-处的切线，故D 正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查导数解决函数极问题，考查导数的几何意义，解题的关键是对函数求导，然后由导数的正负求出函数的单调区间，再分析判断，考查计算能力，属于较难题.10.设点D 是ABC V 所在平面内一点，O 是平面上一个定点，则下列说法正确的有（）A.若2133AD AB AC =+，则D 是BC 边上靠近B 的三等分点B.若cos cos AB AC AD AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，（R λ∈且0λ≠），则直线AD 经过ABC V 的垂心C.若AD xAB y AC =+ ，且x ，R y ∈，12x y +=，则BCD △是ABC V 面积的一半D.若平面内一动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭ ，（R λ∈且0λ≠），则动点P 的轨迹一定通过ABC V 的外心【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，化简等式成13BD BC = ，即可判断；对于B ，将等式两边与BC作点乘，化简得出结果为0即可判断；对于C ，利用平面向量基本定理推出三点共线，结合图形和共线向量即得结论；对于D ，化简向量等式，利用单位向量作出00AB DC 即得菱形，推得AP AD λ=，即得结论.【详解】对于A ，由2133AD AB AC =+ 可得，)13311(3AD AB AB AC AC AB =--=-+，即得13BD BC =，故点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，故A 正确；对于B ，因()cos cos AB AC AD AB B AC C λ=+，则()()cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC AD BC BC AB B AC C AB B AC C λλ⋅⋅⋅=+⋅=+cos (()0cos AB BC B BC BC AB B λλ-⋅=+=-+=，即AD BC ⊥，故直线AD 经过ABCV 的垂心，即B正确；对于C ，因AD xAB y AC =+ ，12x y +=，则222AD x AB y AC =+ ，设2AM AD =，则22AM x AB y AC =+ ，因221x y +=，故,,M B C 三点共线，如图1所示，12DM AM =，故DBC △的BC 边上的高是ABC V 的BC 边上的高的一半，故BCD △是ABC V 面积的一半，即C 正确；对于D ，由()AB AC OP OA AB AC λ=++ 可得，()AB AC AP AB ACλ=+，如图2，取00,||||AB ACAB AC AB AC ==，则有00||||1AB AC == ，以00,AB AC 为两邻边作00AB DC ，易知00AB DC 是菱形，故AD 平分BAC ∠，且00AD AB AC =+ 故得，AP AD λ=，故动点P 的轨迹为BAC ∠的平分线，即动点P 的轨迹一定通过ABC V 的内心，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算和数量积的应用，属于难题.对于向量等式，要结合图形，和选项的启发，有时从构造平面向量基本定理的条件入手；有时通过与其他向量的点乘为0判断线线垂直；有时通过两单位向量的和作平行四边形，推得菱形.11.设函数()()sin 0g x x ωω=>向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象关于直线2x π=对称B.在()0,2π上，方程()1f x =的根有3个，方程()1f x =-的根有2个C.()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】CD 【解析】【分析】根据函数的零点的个数，求出参数ω的范围，再判断函数的单调性、对称性和方程根的个数.【详解】由题意，()sin ()sin()55f x x x ππωωω=+=+，由题意，2x π=不一定是函数的对称轴，所以A 错误；当[0,2]x πÎ时，得[,2555x πππωωπ+∈+，故5265ππωππ≤+<；1229510ω≤<，所以D 正确.因为5265ππωππ≤+<，则()1f x =的根分别可由52x ππω+=或552x ππω+=或952x ππω+=求出，共有3个根；当115252πππωπ≤+≤时，()1f x =-的根分别可由352x ππω+=或752x ππω+=求出，共2个根；当112625ππωππ<+<时，()1f x =-的根分别可由352x ππω+=或752x ππω+=或1152x ππω+=求出，共3个根；所以B 错误；当(0,)10x π∈时，得(,55105x ππωππω+∈+，由1229510ω≤<，得1149[,10525100ωππππ+∈，所以1052ωπππ+<，此时()f x 在(0,)10π上单调递增，所以C 正确.故选：CD.【点睛】本题重点考查三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，难度较大，做题时注意利用整体法判断：即通过将x ωϕ+作为整体，借助sin y x =的图象和性质来进行判断.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC b =，()BC a b a =≥，AB c =，图中两个阴影三角形的周长分别为1l ，2l ，则12l l a b++的最小值为________.【答案】212+【分析】根据图形中的相似关系先表示出12l l +，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDE V ∽ACB △，且BD CD BC b a =-=-，所以1l BD b a AC b a b c -==++，所以()1b al a b c b-=⨯++；如图2，易知GFH ∽ACB △，且FG a =，所以2l FG a AC b a b c ==++，所以()2al a b c b=⨯++，所以1211l l a b c a b a b a b +++==+=++++1=+,又因为222a b ab +≥，所以2221ab a b +≤，当且仅当a b =时取等号，所以122112l l a b +≥+=++，所以最小值为212+，故答案为：212+.13.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离()cm d 表示成()s t 的函数，则d =______其中[]0,60t ∈.【答案】πt10sin60,[]0,60t ∈【分析】可以求出π30t AOB ∠=，从而由余弦定理可以得到d =可化简得πt 10sin60.【详解】如图，πt2π=6030t AOB ∠=⋅；在AOB V 中，由余弦定理得，由[0t ∈，60]知，πsin 060tππt 52sin 10sin 6060t AB d ==⨯=故答案为：πt10sin60．14.如图，在边长为1的正方形中，E 为AB 的中点，P 点在正方形内（含边界），且AP AB →→=．①若BP AB →→=，则AP BP →→⋅的值是_______；②若向量AC DE AP λμ→→→=+，则λμ+的最小值为________．【答案】①.12##0.5②.12##0.5【解析】【分析】①由题知ABP 是边长为1的等边三角形，进而根据向量数量积求解即可；②考虑到该题为高一题目，不能使用导数，故提供了另一种解法，法二仅供参考.法一：结合图像，作AF DE →→=，连接PF ，设1PF AC C ⋂=，利用1A C C 、、三点共线可得1AC AF t AP t →→→=+μλ，又1P C F 、、三点共线，故可得1t+=λμ，因此只需要考虑t 值最大的情况即可得到λμ+的最小值.法二：由题知点P 的轨迹为以A 为圆心，AB 为半径的圆在正方体ABCD 内的圆弧部分，进而建立直角坐标系，设点()cos ,sin ,0,2P πααα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,再利用向量坐标运算得2sin 2cos 3,2cos sin 2cos sin ααλμαααα-==++，进而构造函数，利用导数研究函数最值即可得答案.【详解】解：①因为AP AB →→=，BP AB →→=，所以ABP 是边长为1的等边三角形，所以1cos ,11cos 32AP BP AP BP AP BP π⋅=⋅=⨯⨯=.②法一：如图，作AF DE →→=，连接PF ，设1PF AC C ⋂=，由于1A C C 、、共线，不妨设1AC t AC=，又AC DE AP λμ→→→=+故1t A D t t t t C AC E AP DE AP AF AP t →→→→→→→→⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭μλλμλμ，又由于1P C F 、、共线，所以1t t =+λμ，故1t+=λμ，结合图像可知，当P B 、两点重合时，PF AC 、交于2C 处，此时t 值最大，易知//BC AG ，故1max 2AC AGt AC BC===，故()min max 112t =+=μλ..法二：因为AP AB →→=，所以点P 的轨迹为以A 为圆心，AB 为半径的圆在正方体ABCD 内的圆弧部分，所以以点A 为坐标原点，如图建立坐标系，因为正方体ABCD 的边长为1，所以设点()cos ,sin ,0,2P πααα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()10,0,1,1,0,1,,02A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以由AC DE AP λμ→→→=+得()()11,1,1cos ,sin 2λμαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以11cos 21sin λμαλμα⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得2sin 2cos 3,2cos sin 2cos sin ααλμαααα-==++，所以2sin 2cos 32sin 2cos 32cos sin 2cos sin 2cos sin ααααλμαααααα--++=+=+++，令()2sin 2cos 33sin 31,0,2cos sin 2cos sin 2f αααπαααααα-++⎡⎤==-+∈⎢⎥++⎣⎦，所以()()266sin 3cos ',0,22cos sin f ααπαααα+-⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦+因为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以66sin 3cos 0αα+->，所以()()266sin 3cos '02cos sin f ααααα+-=>+在区间0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，所以函数()f α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()min 23122f α-+==，所以λμ+的最小值为12.故答案为：12；12..【点睛】本题考查向量坐标运算，数量积运算，导数求解函数最值，考查运算求解能力，是难题；本题第二空解题的关键在于灵活利用向量共线的性质与结论，将λμ+转化为1t 1AC t AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而考虑特殊位置点即可；而法二，将利用了导数的知识，根据题意设点()cos ,sin ,0,2P πααα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而利用坐标运算得2sin 2cos 3,2cos sin 2cos sin ααλμαααα-==++，再结合函数性质求解最值即可.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为s s ，且(12sin sin cos )sin cos B A C b a C B -=．（1）求ba的值；（2）若6a =，点D 是线段BC 上的一点，CAD BAD ∠=∠，DA DC =，求cos C 的值．【答案】（1）36b a =（2）cos 3C =【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换即可求解；（2）由,ADB ADC 的面积比值得AB BD AC CD=（角平分线定理），设(0)AB BDm m AC CD ==>，则AB =，61m BD m =+，61CD m=+，再通过余弦定理列式即可求解.【小问1详解】因为(12sin sin cos )sin cos B A C b a C B -=，由正弦定理得(12sin sin cos )sin sin sin cos B A C B A C B -=，所以212sin sin sin cos sin cos sin sin (sin cos cos sin )B AC B A C B A C B C B =+=+2sin sin()sin sin(π)sin A B C A A A =+=-=.即2212sin sin B A =,由正弦定理得2212b a =，又0a >、0b >，则36b a =或36b a =-（舍去）．所以6b a =.【小问2详解】因为CAD BAD ∠=∠，设ABC V 中BC 边上的高为h ，所以11sin 2211sin 22ADB ADC AD AB BAD BD hS S AD AC CAD CD h ⋅∠⋅==⋅∠⋅ ，所以AB BD AC CD=，设(0)AB BDm m AC CD==>，由6a =，36b a =，6BD CD BC +==,所以b =，则AB =，61m BD m =+，61CD m=+,在ABC V中，由余弦定理得222222cos 2CA CB AB C CA CB +-==⋅，设AC 的中点为E ，连接DE ，如图所示，由DA DC =,则DE AC ⊥，在Rt CED 中，3(1)cos 12CE m C CD +==，所以222)12m +=解得3m =或4m =-（舍去），所以3cos 3C =.16.如图所示，正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22AB AD ==，点E 为AB 的中点.（1）求证：1//BD 平面1A DE ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角1D MC D --的平面角的大小为π4？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，2AM =-【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得1DD ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面1A DE 的法向量、1BD，利用11BD n ⊥可得答案；（2）假设在线段AB 上存在点M ，设()()001,,002M y y ≤≤，求出平面1D MC 、平面MCD 的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.【小问1详解】平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，11,⊥⊂DD AD DD 平面111,AA D D DD ∴⊥平面ABCD ，则以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()()()()()()110,0,0,0,2,0,1,0,1,0,0,1,1,2,0,1,1,0D C A D B E .()()11,0,1,1,1,0DA DE ∴==，设平面1A DE 的法向量为1 =1,1,1，则11111110n DA x z n DE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，解得：()1111,1,1,1,1y z n =-=-∴=--，又()1111,2,1,0BD BD n =--∴⋅= ，即11BD n ⊥ ，又1⊄BD 平面11//,∴A DE BD 平面1A DE ；【小问2详解】假设在线段AB 上存在点M ，使二面角1D MC D --的大小为π4.设()()001,,002M y y ≤≤，则()()011,2,0,0,2,1y D C =--=-.设平面1D MC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则()222021222020n MC x y y n D C y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，解得：()202202,2,2,1,2x y z n y =-=∴=-，又平面MCD 的一个法向量为()10,0,1D D =-，212121π2cos cos ,42n D D n D D n D D⋅∴=⋅==，即200410y y-+=，解得：02y =02y =（舍去），此时2AM =-，∴在线段AB 上存在点M ，使二面角1D MC D --的平面角的大小为π4，此时2AM =-.17.已知函数()()e 1ln xf x a x x x=--+，其导函数为()f x '.（1）若()f x 在()1,+∞不是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若()0f x ≥在()1,+∞恒成立，求实数a 的最小整数值.()2e 7.39≈【答案】（1）(),e -∞-（2）7-【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可知′在1,+∞有变号零点，由此结合函数的单调性，解不等式即可求得答案；（2）法一：采用分离参数法，将原不等式变为即为2e ln x a x x x x ≥-+在1,+∞恒成立，构造函数()2e ln xm x x x x x=-+，求函数的导数，利用导数求其最小值，即可求得答案；法二：求函数()()e 1ln xf x a x x x=--+的导数，利用导数判断其单调性，求得函数最小值，结合解不等式即可求得答案.【小问1详解】()()()()()22e 11e 1e 111x x xx a x x ax x x f x a x x x x ⎛⎫-+ ⎪--+-⎛⎫⎝⎭=--+== ⎪⎝⎭'；因为()f x 在1,+∞不是单调函数，所以′在1,+∞有变号零点；因为10x x ->恒成立，令()e xg x a x=+，则()g x 在1,+∞有变号零点；因为()()21e 0x x g x x-'=>，所以()g x 在1,+∞单调递增，因为()1e g a =+，当x 的值趋近正无限大时，exx趋近于正无限大，a 为待定的参数，故()g x 趋近于正无限大，故只需e 0a +<，即e a <-，所以实数a 的取值范围是(),e ∞--.【小问2详解】（法一）令()1ln (1)x x x x ϕ=-+>，因为()110x xϕ'=-<在1,+∞恒成立，所以在1,+∞单调递减，所以()()10x ϕϕ<=，所以()0f x ≥在1,+∞恒成立，即为2e ln xa x x x x ≥-+在1,+∞恒成立，令()2e ln xm x x x x x=-+，则()()()222e ln 12ln 1ln xm x x xx x x x x xx x=-+-+--'-+()()()22e 1ln 2ln xx x x x xx x=⋅--+-+，令()ln 2h x x x =-+，则()110h x x-'=<在1,+∞恒成立，所以ℎ在1,+∞单调递减；因为()()110,4ln420h h =>=-<；所以ℎ有唯一零点0x ，且()0200001,4,ln 2,e ex x x x x ∈=-∴=当()01,x x ∈时，ℎ>0，即()0m x '>，所以()m x 在()01,x 单调递增；当∈0,+∞时，ℎ<0，即()0m x '<，所以()m x 在()0,x ∞+单调递减；所以()()0220max02200000000e e ()e 7.39ln 2x x m x m x x x x x x x x x ====-≈--+-+-；所以实数a 的最小整数值为7-.（法二）()()e 1x x a x f x x⎛⎫-+ ⎝'⎪⎭=由（1）得，当e a -≥时，()f x 在1,+∞上单调递增，所以()()1e 0f x f >=>成立.当e a <-时，存在()01,x ∞∈+，使得()0e 0,xf x a x ==-'当()01,x x ∈时，′<0，当∈0,+∞时，′>0，所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增；所以()()()000min0000e ()1ln 1ln 2ln e x x x f x f x a x x a a a a x ⎛⎫⎡⎤==--+=--+=--- ⎪⎣⎦⎝⎭，令()2ln 0a a ⎡⎤---≥⎣⎦得()ln 2a -≤；解之得2e e a -≤<-.综上，2e 7.39a ≥-≈-，所以实数a 的最小整数值为7-.【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，常用方法有：（1）将原不等式变形整理，分离参数，继而构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；（2）直接构造函数，求导数，求解函数的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.18.已知函数() 2.f x x x a =-+（1）当2a =时，求()f x 的单调增区间；（2）若12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞（2）(,1))-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出()f x 的单调增区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a 的取值范围．【小问1详解】当2a =时，()2222,22222,2x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨-++<⎩，2x ≥时，()f x 单调递增，2x <时，()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,2上单调递减，所以()f x 的单调递增区间为(),1∞-和()2,∞+，【小问2详解】12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->所以()()12max 2f x f x ->，即()()max min 2f x f x ->，①当2a ≥时，()22f x x ax =-++，对称轴2a x =，(i)当122a ≤≤即24a ≤≤时，()2max224a a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()min 02f x f ==，所以()20224a a f f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以a >a <-，因为24a ≤≤，所以4a <≤，(ii)当22a>即4a >时，()()max 222f x f a ==-，()()min 02f x f ==，所以()()20242f f a -=->，3a >，因为4a >，所以4a >，②当0a ≤时，()22f x x ax =-+，对称轴02ax =<，所以()()max 262f x f a ==-，()()min 02f x f ==，所以()()20422f f a -=->，1a <，所以0a ≤，③当02a <<时，()222,02,2x ax x af x x ax a x ⎧-++<<=⎨-+<<⎩，因为()()()min 02f x f f a ===，因为()220124a a f f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，所以2a f ⎛⎫⎪⎝⎭不可能是函数的最大值，所以()()max 262f x f a ==-，所以()()20422f f a -=->，所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(,1))-∞⋃+∞.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，转化为()()max min 2f x f x ->，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力19.如果数列{}n a 满足：1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+且()12313N ,n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，则称{}n a 为n 阶“归化”数列.（1）若某3阶“归化”数列{}n a 是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；（2）若某11阶“归化”数列{}n a 是等差数列，求该数列的通项公式；（3）若{}n a 为n 阶“归化”数列，求证12311111.2322n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤-【答案】（1）11,0,22-（2）6,(N ,11)30n n a n n +-=-∈≤（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设123,,a a a 成公差为r 的等差数列，显然0r >，由1230a +a +a =得到11330,0a r a +=<，2310,0,a a a ==->由123++=1a a a 得到112a =-，得到答案；（2）设公差为d ，根据等差数列求和公式得到60a =，当0d =，0d >和0d <，求出首项和公差，得到通项公式；（3）设12,,p i i i a a a ，为i a 中所有大于0的数，12m j j j a a a ，，，为j a 中所有小于0的数，故1212p i i i a a a = ++，1212mj j j a a a =- ++，所以12111111111222k kk k p p m m i j n i j k k k k k k a a a a a a a n i j n n ====+=+≤+=-∑∑∑ ++.【小问1详解】设123,,a a a 成公差为r 的等差数列，显然0r >，则由1230a +a +a =得111330,0,0a r a r a +=∴-=>∴<，213110,20,a a r a a r a ∴=+==+=->由123++=1a a a 得121a -=，解得112a =-，∴数列11,0,22-为所求3阶“归化”数列.【小问2详解】设等差数列12311,a a a a ⋯，，，的公差为d ，因为123110a a a a ⋅⋅⋅+=+++，所以11110112da ⨯+=0，，所以150a d +=，即60a =.当0d =时，此时()12303N n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，，与归化数列的条件()12313N n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，相矛盾.当0d >时，由12561,02a a a a ++⋅⋅⋅+=-=，故1541522a d ⨯=-+，又150a d =+，联立解得111,306d a ==-，所以()116N ,11.63030n n n a n n +--=-+=∈≤当0d <时，由12512a a a ++⋅⋅⋅+=，60a =，同理解得111,306d a =-=，所以()116N ,1163030n n n a n n +--=-=-∈≤.综上，当0d >时，()6N ,1130n n a n n +-=∈≤，；0d <当时，()6,N ,11.30n n a n n +-=-∈≤【小问3详解】由已知可得：必有0i a >，也必有0j a <（{},1,2,3,,i j n ∈ ，i j ≠），设12,,p i i i a a a ，为i a 中所有大于0的数，12m j j j a a a ⋯，，，为j a 中所有小于0的数，由已知得1212p i i i X a a a =++=，12j 12m j j Y a a a =++=- ，所以11111211111222k k k k k k k k i j n i j p m p m k ka a a a a a a n i j n n ∑∑∑∑====+++=+≤+= .【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强.。
2019年湖南省邵阳市邵阳县第二中学高二第一学期12月月考数学试题及解析答案
2019-2020学年度湖南省邵阳市邵阳县第二中学高二第一学期12月月考数学试题一、单选题1.已知集合{}20A x x =-≥,{}1,2,3B =,则A B =( )A.{}1,2B.{}2C.{}1,2,3D.{}2,3【参考答案】D【试题解析】先求解出集合A 中表示元素的范围,然后根据交集的概念求解出A B 的结果.因为20x -≥,所以2x ≥,所以{}2A x x =≥, 又因为{}1,2,3B =,所以{}2,3A B ⋂=, 故选:D.本题考查集合的交集运算,主要考查学生对交集概念的理解,难度较易. 2.若(1i)2i z +=,则z =( ) A.1i -- B.1+i -C.1i -D.1+i【参考答案】D【试题解析】根据复数运算法则求解即可.()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-.故选D .本题考查复数的商的运算,渗透了数学运算素养.采取运算法则法,利用方程思想解题. 3.已知向量()21,1,(,3)a m b m =--=,则“32m =”是“a b ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【参考答案】A【试题解析】利用向量数量积的坐标表示,求出a b ⊥对应的m 的取值范围,再根据充分必要条件的定义判断即可. 当32m =时,()32,1,(,3)2a b =-=,()321302a b ⋅=⨯+-⨯=,故得a b ⊥, 由a b ⊥,得()21(1)30a b m m ⋅=-+-⨯=,即()23(1)0m m -+=,解得:1m =-或32m =,故“32m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件, 故选:A本题结合向量数量积的坐标表示,考查充分必要条件,属于容易题.4.在直三棱柱111ABC A B C -中,,12,5BC AC AC BC ⊥==,若一个球和它各个面相切,则该三棱柱的表面积为( ) A.60B.180C.240D.360【参考答案】B【试题解析】直三棱柱的内切球的半径等于底面三角形的内切圆的半径,由题意求出三角形的内切圆的半径即可求解结论.解:由题意知内切球的半径为R 与底面三角形的内切圆的半径相等, 而三角形ABC 为直角三角形,,12,5BC AC AC BC ⊥==,所以13AB =, 设三角形内切圆的半径为R ,由面积相等可得:11(12135)12522R ++=⨯⨯, 所以2R =,所以直三棱柱的高为:24h R ==, 所以直三棱柱表面积()121251312541802S =⨯⨯⨯+++⨯=, 故选:B .本题考查三棱柱内切球问题,确定内切球的半径为R 与底面三角形的内切圆的半径相等是解题关键.5.已知0.5241,log 3,log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系为( ) A.a b c << B.b a c <<C.a c b <<D.c a b <<【参考答案】C【试题解析】根据指数函数的性质,判断出01a <<,将,b c 化为同底对数比较大小即可.0.5110221⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<=,所以01a <<,24log 3g 9lo b ==,又44log l 1og 97>>,所以a c b <<.故选:C本题主要考查指数函数,对数函数的性质及运算,考查学生转化能力,属于基础题.6.已知向量()()cos ,1,sin ,2a b αα=-=,且//a b ,则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A.3B.3-C.13D.13-【参考答案】A【试题解析】根据向量的共线关系求解出tan α的值,然后利用两角差的正切公式计算出tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.因为//a b ,所以2cos sin αα=-,所以tan 2α,又因为()tan 121tan 341tan 12πααα---⎛⎫-=== ⎪++-⎝⎭, 故选:A.本题考查向量共线与两角差的正切公式的综合应用,主要考查学生对坐标形式下向量共线的理解以及对两角差的正切公式的运用,难度一般.已知()()1122,,,a x y b x y ==,若//a b ,则有12210x y x y -=.7.函数24()x f x x+=的最小值为( )A.3B.4C.6D.8【参考答案】B 【试题解析】()2444x f x x x x+==+≥=,当且仅当2x =±时,等号成立. 故选:B8.已知m 是两个数2,8的等比中项,则圆锥曲线221yx m+=的离心率为( )A.2B.2C.2【参考答案】B【试题解析】由题意得216m =,解得4m =或4m =-.当4m =时,曲线方程为2214y x +=,故离心率为c e a ====;当4m =-时,曲线方程为2214y x -=,故离心率为c e a ====.选B.9.已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离【参考答案】B【试题解析】化简圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的距离d =⇒ ()221220,2,2a a M r +=⇒=⇒=,又()2121,1,1N r MN r r MN =⇒=⇒-<< 12r r +⇒两圆相交. 选B10.函数y ＝2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【参考答案】D【试题解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在π(,π)2上的符号,即可判断选择.详解:令||()2sin 2x f x x =, 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-,所以||()2sin 2x f x x =为奇函数,排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时,()0f x <,所以排除选项C ,选D.点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.11.同时具备以下性质:①最小正周期是π;②图像关于直线3x π=对称;③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增;④一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭的一个函数是( ) A.sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【参考答案】C【试题解析】本题可对题目给出的四个条件依次进行分析,由①可排除A ,由②利用对称性可排除D ,由③利用三角函数单调性可排除B ,即可得出答案。
2023-2024学年邵阳市二中高三数学下学期入学考试卷附答案解析
2023-2024学年邵阳市二中高三数学下学期入学考试卷考试时间：120分钟；满分：150分；一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知x ∈R ，则“38x >”是“2x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论中正确的是（）A ．若m α⊂，n β∥，m 、n 是异面直线，则α、β相交B ．若m ⊥α，m ⊥β，n α∥，则n β∥C ．m α⊂，n α∥，m 、n 共面于β，则m n∥D ．若m ⊥α，n ⊥β，α、β不平行，则m 、n 为异面直线3．已知3sin cos 22cos sin αααα+=-，则tan α=（）A ．35-B ．13-C ．35D ．34．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数可以表示为()πln xx x≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计510以内的素数的个数为（）（素数即质数，lg e 0.4343≈，计算结果取整数）A ．2172B ．4343C ．869D ．86865．已知函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 均不相等，且()f a =()f b =()f c ，则abc 的取值范围是（）A ．（1，10）B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)6．在ABC 中，已知60A =︒，2BC =，D 为BC 的中点，则线段AD 长度的最大值为（）A ．1BCD ．27．下列结论正确的有（）A ．若随机变量2~5,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3111D X +=B ．若随机变量()2~3,N ξσ，()10.23P ξ≤=，则()50.77P ξ≤=C ．96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为96D ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12x x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+8．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB λμ⋅=⋅=⋅，则下列说法一定正确的是（）A ．若0λμ>，则ABC 是锐角三角形B ．若0λμ>，则ABC 是钝角三角形C ．若0λμ<，则ABC 是锐角三角形D ．若0λμ<，则ABC 是钝角三角形二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，过A 、B 360y -+=，关于“阿基米德三角形”PAB ，下列结论正确的是（）A ．323AB =B ．PA PB ⊥C ．点P 的坐标为)2-D ．PF AB⊥10．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 为棱BC 的中点，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，当1AE EF FA ++取得最小值时，则下列说法正确的是（）A ．AE EF=B ．EF 与平面ABC 所成角的正切值为13C ．直线AD 与EF 所成角为90︒D ．11D AA F A ADEV V --=11．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，它们的导函数分别为()f x '，()g x '，且()()25f x g x +-=，()()43g x f x --=，若()2g x +是偶函数，则下列正确的是（）．A ．()20g '=B ．()f x 的最小正周期为4C ．()1f x +是奇函数D ．()25g =，则()202412024k f k ==∑三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为16、13、12，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为14、15、16，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为．13．已知常数b ，R c ∈，若函数()()22()2f x x x x bx c =+-++为偶函数，则b c +=.14．如图，已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 分别在第一､二象限交于,A B 两点，2ABF △内切圆半径为r ，若1BF r a ==，则C 的离心率为.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15．一动圆经过点()0,2F 且与直线=2y -相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点坐标为()2,2，求直线l 的方程．16．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为a 的正三角形，侧面11ABB A 为菱形，且160A AB ︒∠=.(1)求证：1AB A C ⊥；(2)若11cos 4A AC ∠=，三棱柱111ABC A B C -的体积为24，求直线1A C 与平面11CBB C 所成角的正弦值.17．当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近5年区块链企业总数量相关数据，如下表年份20172018201920202021编号x12345企业总数量y （单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根据表中数据判断，y a bx =+与e dx y c =（其中 2.71828e =…为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求y 关于x 的回归方程；(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为12，甲胜丙的概率为13，乙胜丙的概率为35，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．参考数据：5174.691i i y ==∑，51312.761i i i x y ==∑，5110.980i i z ==∑，5140.457i i i x z ==∑（其中ln z y =）．附：样本(),(1,2,,)i i x y i n = 的最小二乘法估计公式为121ˆniii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆa y bx=-．18．已知函数()()2e 1xf x x ax =--．(1)若12a =，求()f x 的单调区间；(2)若(]0,1x ∈时()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．(3)定义函数()y f x =，对于数列{}{}n n a b 、，若()(),n n a f n f b n ==，则称{}n a 为函数()y f x =的“生成数列”，{}n b 为函数()y f x =的一个“源数列”．①已知(){}e ,xn f x b =为函数()y f x =的“源数列”，求证：对任意正整数n ，均有()21n b n ≤-；②已知(){}2,xn f x x a =+为函数()y f x =的“生成数列”，{}n b 为函数()y f x =的“源数列”，{}n a 与{}n b 的公共项按从小到大的顺序构成数列{}n c ，试问在数列{}n c 中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．19．设()f z 是一个关于复数z 的表达式，若()11i i f x y x y +=+（其中x ，y ，1x ，1R y ∈，i 为虚数单位），就称f 将点(),P x y “f 对应”到点()11,Q x y ．例如()1f z z=将点()0,1“f 对应”到点()0,1-．(1)若()()1C f z z z =+∈点()11,1P “f 对应”到点1Q ，点2P “f 对应”到点()21,1Q ，求点1Q 、2P的坐标；(2)设常数k ，R t ∈，若直线l ：y kx t =+，()()2C f z z z =∈，是否存在一个有序实数对(),k t ，使得直线l 上的任意一点(),P x y “对应”到点()11,Q x y 后，点Q 仍在直线l 上？若存在，试求出所有的有序实数对(),k t ；若不存在，请说明理由；(3)设常数a ，R b ∈，集合{C D z z =∈且}Re 0z >和{C A ωω=∈且}1ω<，若()1az bf z z +=+满足：①对于集合D 中的任意一个元素z ，都有()f z A ∈；②对于集合A 中的任意一个元素ω，都存在集合D 中的元素z 使得()f z ω=．请写出满足条件的一个有序实数对(),a b ，并论证此时的()f z 满足条件．\1．A【分析】分别求得38x >与2x >的等价条件，从而利用充分必要条件的定义即可得解.【详解】382x x >⇔>，22x x >⇔>或<2x -，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，则“38x >”是“2x >”的充分不必要条件.故选：A.2．C【分析】由线面平行的性质和面面的位置关系可判断A ；由线面垂直的性质和面面平行的判断和性质，可判断B ；由线面平行的性质定理可判断C ；由线面垂直的性质和面面的位置关系可判断D ．【详解】若m α⊂，n β∥，m 、n 是异面直线，则α、β相交或平行，故A 错误；若m ⊥α，m ⊥β，则αβ∥，由n α∥，则n β∥或n β⊂，故B 错误；利用线面平行的性质定理，可知m α⊂，n α∥，m 、n 共面于β，则m n ∥成立，故C 正确；若m ⊥α，n ⊥β，α、β不平行，则m 、n 为异面直线或相交，故D 错误．故选:C.3．C【分析】依题意弦化切即可.【详解】依题意有3sin cos 3tan 122cos sin 2tan αααααα++==--，解得3tan 5α＝.故选：C 4．D【分析】根据黎曼猜想计算()5π10，从而得出正确答案.【详解】()554551010210π10ln105ln10ln10⨯≈==44210lg e 2100.4343243438686=⨯⨯≈⨯⨯=⨯=.故选：D 5．C【分析】画出函数图象，根据()()()f a f b f c ==，不妨设a b c <<，结合图象可求出范围【详解】函数的图象如图所示，不妨设a b c <<，则1lg lg 6(0,1)2a b c -==-+∈，所以1ab =，10612c <-+<，所以1ab =，1012c <<，所以1012abc <<，故选：C6．C【分析】由余弦定理得到224b c bc +=+，再利用基本不等式得到4bc ≤，然后由1()2AD AB AC =+求解.【详解】解：由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，即224b c bc =+-，即224b c bc +=+，所以224b c bc bc =+-≥，∴4bc ≤，当且仅当b =c 时等号成立.因为1()2AD AB AC =+ ，所以()()22222221111224424AD AB AC AB AC c b cb b c bc ⎛⎫=++⋅=++⋅=++ ⎪⎝⎭ ，11(4)(48)344bc bc =++≤+=，∴||AD ≤，故选：C ．7．B【分析】利用二项分布的方差定义、性质可判断A ；利用正态分布的对称性计算判断B ；由百分位数定义求出对应分位数可判断C ；设两层数据分别为12,,m a a a ，12,,n b b b ，计算出总方差可判断D.【详解】对于A ，若随机变量2~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()21105339D X =⨯⨯=，则()()2103139109+==⨯=D X D X ，故A 错误；对于B ，若随机变量()2~3,N ξσ，则3μ=，所以()()150.23ξξ≤=≥=P P ，所以()()51510.230.77ξξ≤=-≥=-=P P ，故B 正确；对于C ，96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为9599972+=，故C 错误；对于D ，不妨设两层数据分别为12,,m a a a ，12,,n b b b ，,m n *∈N ，因为12x x =，所以总体平均数1212mx nx x x x m n +===+，则()()222111111mm i i i i s a x a x m m ===-=-∑∑，()()222211111n n i i i i s b x b x n n ===-=-∑∑，所以总体方差为()()()12222122111==⎥=++++⎡⎤--=⎢⎣⎦∑∑mni i i i s x x a b ms ns m n m n ，2212m n s s m n m n=+++，则()222211222121212⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪+⎭⎝⎭=+-⎝s m n s s s s m n m n ()()()()22221212222=----=-+++m n m n m n s s s s m n m n m n ，只有m n =，或2212s s =时才有()2221212s s s =+，否则()2221212s s s ≠+，故D 错误.故选：B.8．D【分析】根据题中条件利用向量的数量积运算可求得22cos cos cos AC AB A BC B Cλμ=，分情况考查λμ的正负情况，转化为cos cos B C 的正负情况，进一步分析即可.【详解】因为AB AC BA BC CA CB λμ⋅=⋅=⋅，即cos cos cos AB AC A BA BC B CA CB C λμ⋅=⋅=⋅,又0λμ≠时，三角形一定不是直角三角形，则有cos cos ,cos cos AC A AB A BC B CB C λμ== ，22cos cos cos AC AB A BC B Cλμ=，若0λμ>，则cos cos 0B C >，,B C 为锐角，但是不能判断A 的大小，故A,B 错误；当0λμ<时，则cos cos 0B C <，,B C 中必有一个钝角，故此时ABC 是钝角三角形，C 错误，D 正确，故选：D.9．ABD【分析】由直线方程与抛物线方程联立，解得,A B 两点的坐标，计算线段AB 的长判断A ，利用导数的几何意义求得切线方程，由切线斜率关系判断B ，两切线方程联立求得交点P 的坐标判断C ，由直线,PF AB 的斜率关系判断D.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立28360x y y ⎧=⎪-+=，可得23480x --=，解得x =x =不妨设1x =，2433x =-，则16y =，223y =，故()A，233B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，323AB =，A 项正确；又因为28x y =，所以4x y '=，故直线PA的斜率为434=直线PA的方程为6y x -=-，即6y =-，同理可得直线PB 的方程为3233y =-，313PA PB k k ⋅==-，所以PA PB ⊥，B 项正确；联立623y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，可得32x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故点P的坐标为23⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C 项错误；易知点F 的坐标为()0,2，PF k ==13PF AB k k ⋅==-，所以PF AB ⊥，D 项正确．故选：ABD.10．ACD【分析】通过展开图得到最小值时,E F 的位置，再比较线段长和求异面直线角，通过平行线得到线面角的平面角，最后应用等体积法判断面积是否相等即可.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，其侧面展开图如图：当1AE EF FA ++取得最小值时，在侧面展开图中连接1AA ，分别为交1BB ，1CC 于点E ，F ，由相似可知，点E ，F 分别为1BB ，1CC 的三等分点，对于A：如图所示，，过点E 作1EH CC ⊥交1CC 于点H ，由勾股定理得AE =EF =因为AB BC EH ==，=BE HF ，所以AE EF =，A 正确；对于B ：113EB FH BB ==且EB //FH ，所以四边形FHBE 为平行四边形，所以EF BH ∥，所以EF 与平面ABC 所成的角即为BH 与平面ABC 所成的角，因为1CC ABC ⊥平面，所以HBC ∠为BH 与平面ABC 所成的角.又因为12AA AB =且H 为三等分点，所以112233tan 3CC BCHC HBC BC BC BC ∠====，B 错误；对于C ：在正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，因为AD ⊂平面ABC ，所以1CC AD ⊥，又因为AB AC BC ==且点D 为中点，所以AD BC ⊥，因为1BC CC C ⋂=，BC ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，而EF ⊂平面11BCC B ，所以AD EF ⊥，所以直线AD 与EF 所成角为90︒，C 正确；对于D ：11D AA F F DAA V V --=，11A ADE E DAA V V --=，取11B C 的中点1D ，连接1DD ，则11//CC DD ，11//BB DD ，所以点F 到平面1DAA 的距离为CD ，点E 到平面1DAA 的距离为BD ，因为CD BD =，所以11F AA D E AA D V V --=，即11D AA F A ADE V V --=，D 正确，故选：ACD.11．ABD【分析】A 选项，()()22g x g x -+=+两边求导得到()()22g x g x -''-+=+，赋值得到()20g '=；B 选项，由题意条件推出()()4f x f x =-，得到函数的最小正周期；C 选项，假设()1f x +为奇函数，推出矛盾；D 选项，利用题目条件得到()()()()12344f f f f +++=，结合函数的最小正周期得到答案.【详解】A 选项，()2g x +为偶函数，故()()22g x g x -+=+，两边求导得，()()22g x g x -''-+=+，令0x =得()()22g g ''-=，解得()20g '=，A 正确；B 选项，因为()()25f x g x +-=，()()22g x g x -+=+，所以()()25f x g x ++=①，因为()()43g x f x --=，所以()()223g x f x +--=②，则①②相减得，()()22f x f x +-=③，又()()242f x f x -+-=④，则③④相减得()()40f x f x --=，即()()4f x f x =-，又()()2f x f x ≠-，故()f x 的最小正周期为4，B 正确；C 选项，假如()1f x +为奇函数，则()()110f x f x -+++=，当1x =时，可得()()020f f +=，但()()22f x f x +-=，当2x =可得()()202f f +=，显然不满足要求，故()1f x +不是奇函数，C 错误；D 选项，因为()()25f x g x +-=，所以()()025f g +=，又()25g =，故()00f =，由B 选项得()()22f x f x +-=，故()()202f f +=，解得()22f =，且()()312f f +=，由B 选项知()f x 的一个周期为4，故()()400f f ==，所以()()()()12344f f f f +++=，则()()()()()20241506123450642024k f k f f f f ==+++=⨯=⎡⎤⎣⎦∑，D 正确.故选：ABD【点睛】设函数()y f x =，x ∈R ，0a >，a b ¹．（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（3）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（4）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ；（5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期为a b -；（6）若函数()f x 的图象关于直线x a =与x b =对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（7）若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（8）若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4b a -；（9）若函数()f x 是偶函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a ；（10）若函数()f x 是奇函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为4a ．12．523【分析】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，求出()P A ，()P AB ，利用条件概率公式计算即可求出结果.【详解】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，则()11111123435612062P A =⨯+⨯+⨯=，()1116424P AB =⨯=，所以在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为()()()3125|2231204P AB P B A P A ===.故答案为：523.13．3-【分析】利用偶函数的性质()()f x f x =-，结合多项式相等可得1020b c b +=⎧⎨-=⎩，即可求b c +.【详解】由题设，432()(1)(2)(2)2f x x b x b c x c b x c =++++-+--，∵()()f x f x =-，∴432(1)(2)(2)2x b x b c x c b x c ++++-+--=432()(1)()(2)()(2)()2x b x b c x c b x c -++⋅-++-⋅-+-⋅--，∴1020b c b +=⎧⎨-=⎩，解得12b c =-⎧⎨=-⎩，故3b c +=-.故答案为：3-14．855【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解.【详解】设AB x =，内切圆圆心为I ，内切圆在22,,BF AF AB 上的切点分别为,,U V W ，则22,,BU BW AV AW F U F V ===，由1BF a =及双曲线的定义可知，()22222213,,2BF a AF x a F U F V BF AF AB a r ==-==+-==，故四边形2IUF V 是正方形，得22AF BF ⊥，于是22222||BF AF AB +=，故2229()x a x a =+-，所以5x a =，于()1223cos cos π5F BF ABF ∠=-∠=-，在12F BF 中，由余弦定理可得222212121212682cos 5F F BF BF BF BF F BF a =+-⋅⋅∠=，从而226845c a =，所以855c e a ==.故答案为：85515．(1)28x y=(2)220x y -+=．【分析】（1）根据抛物线的定义和标准方程可以确定曲线C 的方程.（2）利用点差法结合中点坐标公式和斜率公式求解.【详解】（1）依题意得该动圆的圆心到点()0,2F 的距离到直线=2y -的距离相等．又点()0,2F 不在直线=2y -上，所以根据抛物线的定义可知该动圆圆心的轨迹是以()0,2F 为焦点，=2y -为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为28x y =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122288x yx y ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212128x x y y -=-，即1212128y y x xx x -+=-．因为线段AB 的中点坐标为()2,2，所以124x x +=，则121212y y x x -=-，即直线l 的斜率为12，所以直线l 的方程为()1222y x -=-，即220x y -+=，经检验，直线:l 220x y -+=与曲线:C 28x y =相交，满足题意，所以直线l 的方程为220x y -+=.16．(1)证明见解析【分析】（1）根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用棱柱的体积公式、空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）取AB 中点O ，连接1,A O CO ，由题知1A AB △为正三角形，而ABC 也是正三角形，1,A O AB CO AB ∴⊥⊥，又1,A O CO ⊂ 平面1A CO ，1,A O CO O AB =∴⊥ 平面1A CO ，1A C ⊂ 平面11,A CO AB A C ∴⊥；（2）111,cos 4A A AB AC a A AC ∠==== ，由余弦定理得2222111132cos 2A C AA AC AA AC A AC a ∠=+-⋅⋅=1A C a ∴，又1AO CO ==，222111,AO CO AC AO CO ∴+=∴⊥，又,AB CO ⊂ 平面ABC ，1,,A O AB AB CO O ⊥= 1A O ∴⊥平面1,ABC A O CO AB ∴､､两两垂直.以O 为原点，以,,CO OB OA 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图.因为三棱柱111ABC A B C -的体积为21244ABC V S AO a =⋅=⨯=⇒= ，则()()()((110,2,0,0,2,0,,0,0,,A B C A A C --=--(()110,2,,2,0CC AA CB === .设平面11CBB C 的法向最为(),,n x y z =r，由1200020y n CC n CB y ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪'⎪⎩⎩，可取()1,n =，设向量n 与1AC的夹角为θ，()(11,cos 5n AC θθ∴⋅=⋅--=-=⇒= ，∴直线1A C 与平面11CBB C17．(1)e dx y c =适宜；0.75170.0591e x y -=(2)310【分析】（1）根据题目中给的数据及公式进行计算可得回归方程;（2）由概率的加法公式与乘法公式进行计算即可得到答案.【详解】（1）根据表中数据e dx y c =适宜预测未来几年我国区块链企业总数量．∵e dx y c =，∴ln ln y dx c =+，令ln z y =，则ln z dx c =+，5110.9802.19655ii z z ====∑,5112345355ii x x =++++===∑，由公式计算可知122140.457310.980.75175545n i i i n i i x z nxzx nx==--⨯==--∑∑ˆln 2.1960.751730.0591c z dx =-=-⨯=-∴ln 0.75170.0591y x =-，即0.75170.0591e x y -=.（2）设事件M =“甲公司获得“优胜公司””，事件A =“在一场比赛中，甲胜乙”，事件B =“在一场比赛中，甲胜丙”，事件C =“在一场比赛中，乙胜丙”，则113(),(),(),235P A P B P C M AB ABCA ACBA ==== ，因为,,,,A B C A B C 两两独立，,,AB ABCA ACBA 两两互斥，由概率的加法公式与乘法公式得()()()()()P M P AB ABCA ACBA P AB P ABCA P ACBA =⋃⋃=++()()()(()()()(()()P A P B P A P B P C P A P A P C P B P A =++11123112113232352253210=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以甲公司获得“优胜公司”的概率为310．18．(1)单调递增区间为(),1-∞-和()0,∞+，单调递减区间为()1,0-．(2)[)e 1,∞-+(3)①证明见解析；②假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列，理由见解析．【分析】（1）求导得()f x '，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为当(]0,1x ∈时，()e 10x g x ax =--≤恒成立，求导得()g x '，然后分1a ≤，1e a <<以及e a ≥讨论，即可得到结果；（3）①根据题意，构造函数()()21ln h x x x =--，求导可得()0h x '>在[)2,+∞恒成立，即可证明；②根据题意，结合“源数列”以及“生成数列”的概念，然后假设存在，代入计算，即可得到方程无解，故不存在.【详解】（1）当12a =时，()()2e 1x f x x ax =--，()()()e 1e e 11x x x f x x x x '=-+-=-+，令()0f x '=，则()()e 110x x -+=，解得0x =或=1x -，当()(),10,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x ¢>；当()1,0x ∈-时，()0f x '<；所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()0,∞+，单调递减区间为()1,0-．（2）()()()2e 1e 1x x f x x ax x ax =--=--，令()e 1x g x ax =--，依题意，当(]0,1x ∈时，()0g x ≤恒成立，由()e 1x g x ax =--，得，()e x g x a '=-，又因为(]0,1x ∈，所以(]e 1,e x ∈，当1a ≤时，()e 0x g x a '=->，所以()g x 在(]0,1单调递增，()()00e 100g x g a >=--⨯=，不合题意；当1e a <<时，令()e 0x a g x '=-=，解得ln x a =，当()ln ,1x a ∈时，()0f x ¢>；当()0,ln x a ∈时，()0f x '<；所以()g x 在()ln ,1a 单调递增，在()0,ln a 单调递减．若要使()0g x ≤恒成立，则需()1e 10g a =--≤，解得e 1a ≥-，故此时e 1e a -≤<；当e a ≥时，()e 0x g x a '=-≤，所以()g x 在(]0,1单调递减，所以()()00e 100g x g a <=--⨯=，符合题意；综上，实数a 的取值范围为[)e 1,∞-+．（3）①()e x f x =，()e n b n f b n ==，故ln n b n =，构造函数()()21ln h x x x =--，2x ≥，则()()121h x x x'=--函数()h x '在[)2,+∞上单调递增，()3202h '=>，故()0h x '>在[)2,+∞恒成立，()h x 单调递增，故()()()21ln 21ln 20h n n n h =--≥=->，即()21ln n n ->，2n ≥，当1n =时，()21ln 0n n -==，综上所述：()21ln n n ->恒成立，即()21n b n ≤-．②()2x f x x =+，则()2n n a f n n ==+，()2n b n n f b b n =+=，设p q a b =，即2p q p b +=，则222p p p p q +++=，设函数()2x k x x =+，函数单调递增，对于任意*p ∈N ，有唯一的*q ∈N 与之对应，即数列n a 中每一项，都有n b 中的项与之相等，2n n a n =+单调递增，故2n n c n =+，假设数列{}n c 中存在连续三项构成等比数列，211m m m c c c +-=⋅，2m ≥，*N m ∈，故()()()21122121m m m m m m +-+=++⋅+-，整理得到32122m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，无正整数解．故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列．【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立问题以及导数与数列的结合，难度较大，解答本题的关键在于理解题中“源数列”以及“生成数列”的概念，再由导数与数列的知识进行解答.19．(1)12(2,1),(0,1)Q P (2)(0,0)(3)(1,1)-，证明见解析【分析】（1）根据题中的新定义求解即可；（2）由题意可得22112,x y x xy y -==，进而由条件得出关于,k t 的方程组，求解即可；（3）满足条件的一个有序实数对为()1,1-，即1,1a b =-=，()11z f z z -+=+，结合复数模的求法及复数的运算证明即可.【详解】（1）由()11,1P 知1i z =+，则()12i z f z =+=+，故1(2,1)Q ；设2(,)P x y ，则()()11i f z z x y =+=++，由()21,1Q 知11,1x y +==，则0,1x y ==，即2(0,1)P .（2）直线l 上的任意一点(),P x y “对应”到点()11,Q x y ，()()2222i i,z x y f z z x y xy ∴=+==-+，且y kx t =+，22112,x y x xy y ∴-==，即()22,2Q x y xy -，由题意，点()11,Q x y 仍在直线l 上，则()222xy k x y t =-+，又y kx t =+，则()()222x kx t k x kx t t ⎡⎤+=-++⎣⎦，展开整理得()()3222220k k x t k t x kt t ++++-=，则32202200k k t k t kt t ⎧+=⎪+=⎨⎪-=⎩，解得0k t ==，所以，所求的有序实数对(),k t 为()0,0.（3）满足条件的一个有序实数对为()1,1-，即1,1a b =-=，()11z f z z -+=+，证明如下：设i,,R,0z x y x y x =+∈>，则()()()1i 111ix y z f z z x y -+--+==+++，()()()()()1i1i1i 1i x y x y f z x y x y -+--+-===++++∵()()22221140x y x y x ⎡⎤-++-++=-<⎣⎦，∴()()222211x y x y -++<++，()1f z =<，即()f z A ∈，满足条件①；设i,,R m n m nω=+∈，且1ω<1<，得221m n +<，由()f z ω=得11z z ω-+=+，则()()()()21i 1211121111i 1i i m n z m n m n m n ωωω⎡⎤+--+⎣⎦==-+=-+=-+++++⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦()()()()()()22222222221212i 2i11111m n m n n m n m n m n m n -++=-+-=-++++++++，则()()22221Re 01m n z m n -+=>++，满足条件②，综上，满足条件的一个有序实数对为()1,1-.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。
邵阳市第二中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(PDF版,含部分解析)
高一数学期中考试总分：100分时间：100min一、单选题（共8小题，共32分）1.设1234,25z i z i =-=-+，则12z z +在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知a =1= b ，()1a a b ⋅-= ，则向量a 与向量b 的夹角为（）A．6πB．4πC．3πD．23π3如下图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是（）A．16cmB．C．8cmD．4.在ABC 中，下列各式正确的是（）A.sin sin a B b A=B.sin sin a C c B =C.2222cos()c a b ab A B =+-+ D.sin()sin a A B c A+=5.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，11,AD A D 交于点O ，则（）A.OB ⊥平面11ACC AB.OB ⊥平面11A B CDC.OB 平面11CD B D.1OB BC ⊥6.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则直线CE 与平面PAD 所成角的正弦值为（）A．23D．27.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1tan 2A =，cos 10B =，若ABC ，则最短边长为（）C．D．8.已知O 是锐角三角形ABC 的外接圆圆心，的值为则若m AO m AC B C AB C B A ,2sin cos sin cos ,31tan =+=（）1010.A 10103.B 31.C 1.D 二、多选题（共3题，共12分）9.已知m ，n 表示两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若//m α，//n α，则//m n B．若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥C．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥A．当点Q 运动时，平面MNQ B．当点Q 运动时，均有平面C．当点Q 为1AB 的中点时，直线D．当点Q 为1AB 的中点时，平面二、填空题（共4题，共16分）12.已知向量(3,1),(,2),a b a x a b =--=⊥且，则x =.13.设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知cos C =45，b sin C ＝5c sin A ，则=14.在ABC △中，AB AC == ，G 为ABC △的重心，则AG BC ⋅=15．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，且球心O 在PC 上，AC=BC=4，AC ⊥BC ，tan ∠PAB=tan ∠PBA=26，则该鞠（球）的表面积为四、解答题（共4题，每小题10分，共40分）16.已知平面向量a ，b ，a=（1，2）.（1）若b=（0，1），求2a b + 的值；（2）若b=（2，m ），a 与a b - 共线，求实数m 的值.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos 0a B A +=（1）求角A 的大小；（2）若AD 是ABC 角平分线，求证：111AB AC AD+=.18.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M 、N 分别为直线,PB PD 上的点，且满足PM PNPB PD=．（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）若2PA AB ==，12PM PN PB PD ==，求点N 到平面PBC 的距离．19.已知函数()()()22f x x m x =-+（m ∈R ）．（1）对任意的实数α，恒有()sin 10f α-≤成立，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当实数m 取最小值时，讨论函数()()2cos 15F x f x a =+-在[)0,2x π∈时的零点个数．数学参考答案1234567891011A B B D C D A A BC BD BCD12.83-13.__32_____．14.___6___．15.____π36______．8．图图图由于111,,,BD AC AA AA A AC AA ⊥⊥⋂=⊂1AAC ,所以BD ⊥平面11AAC ,由于//MN DB ,故直线MN 11AAC ，MN ⊂平面MNQ，MNQ ⊥平面11AAC ，故B 正确；如图3所示，当点Q 中点时，截面MNSER 为五边形，直线MN 与直线AC 交于点得：31AT TC =，又在平面1A 中，易得1SB AE SB EA =15．16.（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+= a b ，所以2+== a b （2）(1,2)m -=-- a b ，因为a 与a b - 共线，所以1212m--=，解得4m =.17.（1）由sin cos 0a B A =，由正弦定理可得sin sin cos 0A B B A =，因为(0,)B π∈，可得sin 0B >，所以sin A cos A =0，即tan A =，又因为(0,)A π∈，可得23A π=.（2）因为AD 是ABC 角平分线，且23A π=，所以3BAD CAD π∠=∠=，所以ABC ABD ADC S S S =+ ,可得1211sinsin sin 232323AB AC AB AD AD AC πππ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,可得AB AC AB AD AD AC ⋅=⋅+⋅，所以AB AC AB AD AD ACAB AC AD AB AC AD AB AC AD⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以111AB AC AD+=.18．【解析】（1）连接BD ，∵PM PNPB PD=，∴MN ∥BD ，∵MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴MN ∥平面ABCD．（2）设N 点到平面PBC 的距离为d 1，D 点到平面PBC 的距离为d 2，∵PM PNPB PD =，∴1212d d =,依题可得V D -PBC =V P -DBC,又PA ⊥平面ABCD ，∴V P -DBC =13S ΔBCD ·PA =114222323⨯⨯⨯⨯=,∴V D -PBC =13S ΔPBC ·d 2=43,∵四边形ABCD 为正方形，∴CB ⊥AB ，又PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，∵PA ∩AB =A ，∴BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥PB ，依题可得S ΔPBC=122⨯⨯=,∴2433d ⨯==,∴122d =,即点N 到平面PBC 的距离为22．19.【解析】（Ⅰ）任意的实数α，可设sin 1t α=-，可得[2t ∈-，0]，由题意可得0)(≤t f 恒成立，结合函数()f x 的图象为开口向上的抛物线，可得0)0(0)2(≤≤-f f 且，解得0≥m ，即m 的取值范围是[0，)+∞；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得0m =，即()2(2)f x x x =+，()(2cos )154cos (2cos 2)15F x f x a x x a =+-=++-，令()0F x =，可得15cos (cos 1)8ax x -=+，[0x ∈，2)π，可令cos u x =，2211()()24f u u u u =+=+-，11≤≤-u ，当203x π<<时，cos u x =递减，()y f u =在112u -<<递增，即有cos (cos 1)y x x =+在203x π<<时递减，此时124y -<<；当23x ππ<<时，cos u x =递减，()y f u =在112u -<<-递减，即有cos (cos 1)y x x =+在23x ππ<<时递增，此时104y -<<；当43x ππ<<时，cos u x =递增，()y f u =在112u -<<-递减，即有cos (cos 1)y x x =+在43x ππ<<时递减，此时104y -<<；当423x ππ<<时，cos u x =递增，()y f u =在112u -<<递增，即有cos (cos 1)y x x =+在423x ππ<<时递增，此时124y -<<；作出cos (cos 1)y x x =+，[0x ∈，2)π的大致图象如右：由图象可得当1528a-=，即1a =-时，函数()F x 的零点个数为1；当15184a -=-或15028a -<<，即17a =或115a -<<时，函数()F x 的零点个数为2；当1508a -=，即15a =时，函数()F x 的零点个数为3；当115048a --<<，即1517a <<时，函数()F x 的零点个数为4；当1a <-或17a >时，函数()F x 的零点个数为0．。
2010-2023历年初中毕业升学考试(湖南邵阳卷)数学(带解析)
2010-2023历年初中毕业升学考试（湖南邵阳卷）数学（带解析）第1卷一.参考题库(共12题)如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP ∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：．2.介于（）A．﹣1和0之间B．0和1之间1和2之间2和3之间3.如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是．4.如图所示，已知抛物线y=﹣2x2﹣4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到F．1）求图象F所表示的抛物线的解析式：（2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式．5.网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣3 5岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．请根据图中的信息，解决下列问题：1）求条形统计图中a的值；2）求扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角；（3）据报道，目前我国12﹣35岁网瘾人数约为2000万，请估计其中12﹣23岁的人数．6.下列计算正确的是（）2x﹣x=xa3•a2=a6C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．(a+b)(a﹣b)=a2+b27.端午节前，妈妈去超市买了大小、质量及包装均相同的粽子8个，其中火腿粽子5个，豆沙粽子3个，若小明从中任取1个，是火腿粽子的概率是．8.如图是某班学生参加兴趣小组的人数占总人数比例的统计图，则参加人数最】B．演唱组C．书法组9.分）在△ABC中，若，则∠C的度数是【】A．30°B．45°C．60°90°在计算器上，依次按键2、x2，得到的结果是．11.地球的表面积约为511000000km2，用科学记数法表示正确的是（）A．5.11×1010km2B．5.11×108km2C．51.1×107km2D．0.511×109km212.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）B．C．D．第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：△ABP∽△AED试题分析：∵BP∥DF，ABP∽△AED．故答案为△ABP∽△AED考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质2.参考答案：C.试题分析：根据，可得答案∵，∴1<<2C．考点：估算无理数的大小.3.参考答案：∠A=∠C（答案不唯一）。
2015二中直升班数学试卷
2015二中直升班试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1、观察1+3=4 4+5=9 9+7=16 16+9=25 25+11=36 这五道算式，找出规律，则下一道算式是；2、iPhone-5S 手机，2015年售价是3900元人命币，比2014年售价降了100元人民币，则降幅是；3、工程队修一条长600米的公路，已经修好这条公路的75%，还剩米没有修？4、一份稿件，甲单独打印需要10天完成，乙单独打印5天只能完成这份稿件的31，现在两人合作，天可打印这份稿件的50%；5、甲、乙两人进行百米赛跑，且在比赛中两人的速度都不会发生改变，当甲跑完75米时，乙离终点还有10米，当乙到达终点时，甲离终点的距离是米；6、一个长与宽都不相等且都取整数的长方形，它的周长的数值与面积的数值相等，则这个长方形的面积是；7、如图，ABCD 、AEFG 、BIHE 都是平行四边形，且E 是DC 的中点，点D 在FG 上，点C 在HI 上。
△GDA ，△DFE ，△EHC ，△BCI 的面积一次记为4321,,,S S S S ,则21S S +与43S S +的大小是（填＜，＞，=）8、工程队原计划用20个工人挖一定数量的土方，按计划工作，5天后，因事调走6人，并将每天每人的工作量增加为比原定工作量多挖一立方米，正好按原计划如期完成任务，那么，原计划每人每天挖土立方米；9、一个学生参加了若干次考试，在最后一次考试时发现，如果这次他考110分，那么他的平均分数是90分，如果这次他考80分，那么他的平均分是84分，则该学生一共参加了次考试；10、某工厂去年的生产总值比前年增长25%，则前年比去年少的百分数是；11、浓度为20%的盐水10公斤与浓度为30%的盐水10公斤混合后的溶液浓度是；12、某同学上学时步行，放学回家乘车往返全程共用了1.5小时，若他上学、放学都乘车。
则只需0.5小时。
若他上学、放学都步行，则往返全程要用小时。
2019邵阳市二中(直升班)卓越创新人才实验班测试卷含答案
邵阳市二中卓越创新人才培养实验班测试题数学一、选择题（每题3分）1、38的平方根是（ ） A.2 B.2 C.±2 D. ±22、下列计算错误的是（ ）A. 523824x x x =•B.a a a =-34B. C.()1052-x x -= D.()2222b ab a b a +-=- 3、已知M （3,2），N （1，-1），点P 在y 轴上，且PM+PN 最短，则点P 的坐标是（ ）A. （0，21）B.（0,0）C.（0，611）D.（0，41-） 4、把一个多边形割去一个角后，得到的多变形内角和为1440°，这个多边形原来的边数为（ ）A.9B.10C.11D. 以上都有可能5、若关于x 的方程04932=--x kx 有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A. k=0 B. k ≥-1 且k ≠0 C.k ≥-1 D.k ＞-16、如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC=6，NC=2，那么四边形MABN 的面积是（ ）A.63B.123C.183D.2437、对于代数式642+-x x 的值的情况，小明作了如下探究的结论，其中错误的是（ ）A.只有当x=2时，642+-x x 的值为2 B.x 取大于2的实数时，642+-x x 的值随x 的增大而增大，没有最大值 C.642+-x x 的值随x 的变化而变化，但是有最小值 D. 可以找到一个实数x ，使642+-x x 的值为0 8、油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中．汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油．某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下：油电混动汽车 普通汽车 购买价格17.48 15.98 每百公里燃油成本（元） 31 46某人计划购入一辆上述品牌的汽车．他估算了未来10年的用车成本，在只考虑车价和燃油成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本．则他在估算时，预计平均每年行驶的公里数至少为（ ）A. 5 000B. 10 000C. 15 000D. 20 0009、已知abc ≠0，而且p b a c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过（ ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限10、已知下列命题：1.对顶角相等；2.若a ＞b ＞0，则b a 11<；3.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；4.抛物线x x y 22-=与坐标轴有3个不同交点；5.边长相等的多边形内角都相等。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==邵阳二中篇一：201X邵阳市二中直升班考试试卷201X邵阳市二中直升班考试试卷一．选择题（共12小题）1．已知声音在空气中传播的速度为v1，在钢轨中的传播速度为v2，有人用锤子敲了一下钢轨的一端，另一人在另一端听到的薄壁空杯，其中甲图为柱形空杯，四个空杯子对桌面的压强均为1OOPa．当在其中一个空杯中装入0.9kg的水后，水对杯底产生的压强为900Pa；则这个杯子的形状可能是24．早晨，小明骑着自行车沿平直的公路驶向学校，强劲的北风迎面吹来，此时地面对车前轮的摩擦力为f1，对车后轮的摩6．一弹簧测力计下挂一圆柱体，将圆柱体从盛水的烧杯上方离水面某一高度处缓慢下降，然后将圆柱体逐渐浸入水中．如图是整个过程中弹簧测力计的示数F与圆柱体下降高度h变化关系的图象．下列说法正确的是（））第1页（共23页）8．在探究树荫下光斑的综合实践活动中，为了研究孔的大小对光斑形状的影响．小华设计了四种有不同形状孔的卡片甲，并用另一张卡片乙覆盖在甲上，如图所示．接着，从图示位置沿箭头方向水平移动乙，观察光斑形状的变化情况，下列合乎电路设计如图甲所示．电路中两根探针由包有绝缘皮的铜棒制成，将每根铜棒的一端剥去一小段绝缘皮做成两个探针头P、Q，它们相互接触时电路中的电压表有示数．他切下一片厚的苹果，中央剜空一块来模拟有洞穴的土壤，如图乙所示，并沿箭头方向插入探针模拟探测过程．下列有关说法正确的是11．如图所示电路，灯泡L1标有“6V 6W”，L2标有“6V 3W”，电流表A1的量程是0～3A，A2的量程为0～0.6A，电压表量程0～15V，在a，b间接入电压可调的直流电源．闭合开关S后，假设电阻不随温度变化，为保证所有电学元件的安全，则允许加在a、b间的电源电压和通过电流表A1的电流不得超过（）连，可上下移动．现要求：当风吹过探头时，滑动变阻器R2的滑片P向上移动，且风速增大时电压表的示二．填空题（共4小题）13．如图所示，A、B两段同种材料制成的实心导体电阻值相等，A导体比B导体的长度和横截面积都小．将它们串联在电路中，通电一段时间后，A导体升高的温度（选填“大于”、“等于”或“小于”）B导体升高的温度．14．一辆小汽车，车和人总重 1.5t，在平直公路上以72km/h的速度匀速行驶，车与地面的摩擦力为总重力的0.1，小汽车行驶10km牵引力做功J，汽车发动机的效率为30%，则该运动过程中汽车发动机的功率为kW．（g取10N/kg）15．有一台汽油机在一个工作循环中消耗100g的汽油（热值为4.6×10J/kg），这些汽油完全燃烧产生的热量是J．若这台汽油机的效率为30%，则一个工作循环中输出的有用机械能为J． 16．某汽车研究所研制了一种新型太阳能电动观光车．为减轻车体自身的重，外壳拟采用新近发现的一种硬度相当于钢铁2～5倍的聚丙烯塑料，其外壳的总质量仅为22kg．已知：聚丙烯塑料的密度ρ塑=1.1×10kg/m，则该观光车外壳的总体积是333m，若该观光车外壳用钢铁制成，则它的质量是kg．（ρ钢铁=7.9×10kg/m）三．解答题（共10小题）第2页（共23页）33717．如图甲所示电路中，R0为定值电阻，R1为滑动变阻器．图乙是该滑动变阻器消耗的电功率与电流关系的图象．则该滑动变阻器的最大值是Ω，电源电压是 V．18．新型电饭锅采用“聪明火”技术，智能化地控制食物在不同时间段的温度，以得到最佳的营养和口感，其简化电路如图甲所示．R1和R2均为电热丝，S1是自动控制开关．煮饭时，把电饭锅接入220V电路中，在电饭锅工作的30min 内，电路中总电流随时间变化的图象如图乙所示．求：（1）S和S1都闭合时电饭锅的电功率；（2）电热丝R2的阻值；（3）这30min内电饭锅产生的热量．19．实验室有如下器材：天平、量筒、烧杯（2个）、弹簧测力计、金属块、细线（质量和体积不计）、足量的水（密度已知）、足量的未知液体（密度小于金属块的密度）．（1）甲组选用上述一些器材测量金属块的密度，步骤是：①在量筒中倒入20mL水；②把金属块浸没在量筒的水中，如图（甲）所示，此时液面示数为mL；③把天平放在水平桌面上，如图（乙）所示，接下来的操作是：a． b．向（填“左”或“右”）调节平衡螺母，使天平平衡；c．在左盘放金属块，向右盘加减砝码并移动游码使天平重新平衡，如图（丙）所示，金属块的质量m=g．④计算金属块的密度是 kg/m．该实验所测密度与金属块实际的密度相比较（填“偏大”或“偏小”）．（2）乙组选用上述一些器材（没有天平），设计了一种测量未知液体密度的实验方案，下面是乙组同学所做的实验过程，请将其补充完整，并写出表达式．选用器材：弹簧测力计、金属块、细线、水、烧杯、量筒主要实验步骤：①②用弹簧测力计测金属块浸没在未知液体中（未接触烧杯底）的示数F1；第3页（共23页）3③用弹簧测力计测金属块浸没在水中（未接触烧杯底）的示数F2．未知液体密度的表达式：ρ=（用字母表示） 20．小亮同学做测定“小灯泡的额定电功率”实验时，所用器材有电压为6V的电源、额定电压为2.5V的小灯泡（小灯泡的额定功率小于1W）、滑动变阻器（30Ω 1A）、以及符合实验要求的电表、开关和导线．如图甲是小亮同学没有连接完整的电路．（1）本实验的实验原理是．（2）请你用笔画线代替导线，将图甲所示的电路连接完整．（3）小亮同学连好电路后闭合开关，移动滑动变阻器滑片P，发现小灯泡始终不亮，电压表有示数，电流表无示数，则故障可能是（写出一种即可）．（4）小亮同学排除故障后闭合开关，移动滑动变阻器滑片P，同时眼睛应注视（选填序号）． A．小灯泡亮度 B．电压表示数 C．电流表示数 D．滑动变阻器滑片（5）小亮同学移动滑动变阻器滑片P到某处时，电压表的示数为2.2V，要测量小灯泡的额定功率，应将滑片P向端移动（选填“A”或“B”）．当小灯泡正常发光时，电流表的示数如图乙所示，则小灯泡的额定功率是 W，此时小灯泡的电阻是Ω．（6）小亮利用该电路探究电流跟电阻的关系，他将小灯泡换成多个定值电阻R，保持电压表示数始终如图丙所示，多次更换阻值不同的定值电阻R，并记录各次电流表的示数，若不更换其他器材，为了能够完成实验，更换的电阻阻值不能够大于Ω．21．汽车刹车时站在车内的乘客会向前倾倒，小明在解释这个现象时用了以下四句话：①刹车时人脚和汽车同时突然减速，②汽车行驶时人和汽车以相同的速度前进．③人的身体由于惯性还在以原来的速度向前运动．④人就向前倾倒．你认为解释这一现象合理的顺序是．22．电焊利用电流的热效应将焊条熔化，从而使金属部件连接在一起，某电焊机输出电压40V，输出功率201XW．各种橡胶绝缘铜芯导线在常温下安全载流量（长时间通电时的最大安全电流）如表．从安全角度考虑．应选择（填写导示灯和插孔的连接方式，并与电源线接通．24．如图，B点为海岸上一棵椰子树的顶点，请画出人在水下A点看到B点的光路图，并大致确定B点的像的位置B′．第4页（共23页）25．雪灾给人民群众的生活、生产带来很多困难，小鹏看到抢险队员在冰雪覆盖的道路上洒大量的盐，他产生了这样的疑问： [含盐的冰熔化时跟纯净的冰熔化特点有何不同？含盐浓度不同的冰，熔化特点有无区别？]为此，他进行了下列探究过程： [设计实验]他用同样多的纯水、淡盐水、浓盐水制得纯冰、淡盐冰、浓盐冰，然后将这些冰弄碎放入试管中，在冰块中插入温度计，记下此时温度计的示数，每隔0.5分钟记录一次温度计的示数，同时观察试管中冰块状态的变化，在选择冰块吸热方式时他遇到了一个难题，现有如图所示的三种方法，请你为他选择一种最佳的方法．你选择的方法是（A/B/C）．（当时的室温大约是10℃）在相同条件下测量三者的温度变化，得到三条温度变化曲线（纯冰对应曲线①、淡盐冰对应曲线②、浓盐冰对应曲线③）． [分析]根据曲线图可知：（1）利用盐水制成的冰（是/不是）晶体．。
湖南省邵阳二中立体几何多选题试题含答案
湖南省邵阳二中立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题1．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）A ．AM 与DB ''10 B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A BCD ''''-的截面面积为92C ．四面体A C BD ''的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=''为AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，2221543x y =++⨯P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-，10cos ,10||||58AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>===''⨯，故正确.B ：若N 为CC '的中点，连接MN ，则有//MN AD '，如下图示，∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面， 而2,2,5MN AD AM D N ''====322， ∴梯形的面积为132932222S =⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，∴118848323V =-⨯⨯⨯=，而四面体的棱长都为22，有表面积为142222sin 8323S π=⨯⨯⨯⨯=，∴若其内切圆半径为r ，则有188333r ⨯⋅=，即33r =，所以内切球的表面积为2443r ππ=.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，构建如下空间直角坐标系，232(0,0,2),(2),(0,22,0)22A M C '-，若(,,0)P x y ，则232(,,0),(0,22,2),(,,2)22AM AC AP x y '=-=-=-，∴15cos ||||512AM AC MAC AM AC '⋅'∠==='⨯222cos ||||43AP AC PAC AP AC x y '⋅'∠=='++⨯22215543x y =++⨯，整理得22(102)9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.故选：AB 【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.2．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ） A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒ B ．点A 到平面BCD 的距离为263C ．四面体ABCD 6πD ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC 【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,22263AF AB BF =-=,即点A 到平面BCD 的距离为263,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径， 因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即6=6OF AO =，, 所以四面体ABCD 的外接球体积3344633V R OA πππ===,故C 正确； 建系如图：26230,0,,0,,033A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ，则262326,,0,,AP x y AC →→⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=，所以22232481224193972y x y +=++⨯+⨯， 即222388=33y x y +++，平方化简可得：2232340039y x y ----，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.3．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBCC ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D ．存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD 【分析】依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，计算得到2cos 3α=，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒，计算得到5tan θ=，故D 正确，得到答案. 【详解】当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确； 若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC 平面SBC BC =，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误；如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，1CE BF ==，125DG =，12cos 5OG α=，故只需满足12sin 5SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：2221213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OMAB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==，设OAG OAM θ∠=∠=，84ππθ<<，则22DAG πθ∠=-，tan tan 22DG OGAG πθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得到2tan tan 21θθ=，解得5tan 5θ=，验证满足，故D 正确； 故选：ACD .【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡∈⎣，()2,23,Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,23,22R λλλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时11333313,,,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,33R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,33D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.5．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||10A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为23【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论. 对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ， 则22223111010()1()21cos12022224A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=()f λ取得最大值()312313f λ⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.6．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．A ．棱的高与底边长的比为22B ．侧棱与底面所成的角为4π C 2 D ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a=，然后可得侧242108a a+32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=- 令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增 所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小此时3h = 所以棱锥的高与底面边长的比为22，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误 故选：AB【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 6． 【详解】解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n ，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为： 11||||||C P n C P n ⋅⋅＝22(1)3a a +-⋅＝21132()22a ⋅-+， ∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3【答案】ABD【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF BB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1； 当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时MN =，即面积S 的最大值为2所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确．对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅==△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体， 所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。
2021年邵阳市高中实验班招生考试数学试卷(含答案)
。
17. Rt△ACB 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D 点，若 BD=2，AD=3，那么：tan∠BCD=
。
（17 题图）
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3
7 9 11
18. 仔细观察下列一组数： ，1， ， ， ，……它们是按一定规律排列的，
2 10 17 26
那么这组数的第 20 个数是
。
三、解答题（本大题有 8 个小题，第 19-25 题每小题 8 分，第 26 题 10 分，共 66 分）
第 4页（共 4 页）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
4. 16 的算术平方根是（ ）
A. 4
B. 2
C. 4
D. 2
5. 下列说法不正确的是（ ）
A. 函数 y 3x 的图象必过原点
B. 函数 y 3x 1 的图象不经过第二象限
C. 函数 y 1 的图象位于第一、三象限 x
D. 函数 y (x 1)2 2 的图象中，当 x 1 时，y 随 x 增大而增大
D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击 10 次，两人平均成绩相同，方差 S甲2 0.3 ，
湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题
湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题一、单选题 1．复数13i2iz +=+的实部和虚部分别是（ ） A ．1，1B ．1，iC ．13-，53D ．13-，5i 32．已知向量()2,2a =r ，(),4b λ=-r ，R λ∈，若()a ab ⊥+rr r ，则λ=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．如图所示，梯形|A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法画出的图形，22A D B C ''''==，1A B ''=，则平面图形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．C ．3D ．4．已知向量(1,1),(2,1)a b ==-r r ，则a r在b r 方向上的投影数量为（ ）A ．15B ．15-C D ．5．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 6．已知)π()2sin (06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若方程|()|1f x =在区间(0,2π)上恰有3个实根，则ω的取值范围是（ ） A ．1526ω<≤ B ．516ω<≤C ．413ω<≤D ．413ω≤≤7．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==．若球O 的表面积为4π，则这个三棱柱的表面积是（ ）A．2+B ．C ．3+D ．3+8．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且()2f x -是偶函数，当02x ≤≤时，2()4f x x x =-，则当68x ≤≤时，()f x 的解析式为（ ） A ．2(4)=--f x x x B ．2()1660f x x x =-+ C ．2()1232f x x x =-+D ．2()1232f x x x =-+-二、多选题9．同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A ：甲骰子点数为奇数，事件B ：乙骰子点数为偶数，事件C ：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ） A ．事件A 与事件B 对立 B ．事件A 与事件B 相互独立 C ．事件A 与事件C 相互独立D ．()()P C P AB =10．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为π,,,3,3a b c a A ==，O 为ABC V 的外心，则（ ）A ．若ABC V 有两个解，则3c <<B ．OA BC ⋅u u u r u u u r的取值范围为[-C ．BA BC ⋅u u u r u u u r的最大值为9D ．若,B C 为平面上的定点，则A 11．,a b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论正确的有（ ）A ．当直线AB 与a 成60o 角时，AB 与b 成30o 角； B ．当直线AB 与a 成60o 角时，AB 与b 成60o 角；C ．直线AB 与a 所成角的最小值为45o ；D ．直线AB 与a 所成角的最大值为60o .三、填空题12．在同一个平面内，向量,,OA OB OC u u u v u u u v u u u v 的模分别为OA u u u v 与OC u u u v的夹角为α，且tan 7,OB α=u u u v 与OC u u u v的夹角为45o ，若(),OC mOA nOB m n R =+∈u u u v u u u v u u u v ，则m n +=．13．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为．14．已知函数()()()211022420x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩，若函数()()()2g x f f x m =--，当()g x 恰有3个零点时，求m 的取值范围为.四、解答题15．某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：[)[)[)[)[)[)[)65,75,75,85,85,95,95,105,105,115,115,125,125,135，[)135,145，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求第七组的频率；(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从[)[)95,105,105,115的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率． 16．如图，已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．17．记ABC V 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.18．四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：AB PD ⊥（2）若90,2BPC PB PC ∠===o 问AB 为何值时，四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.19．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对任意两个向量()11,m x y =r，()22,n x y =r .作：OM m =u u u u r r ，ON n =u u u r r 当,m n r r不共线时，记以,OM ON 为邻边的平行四边形的面积为()1221,S m n x y x y =-r r ；当,m n r r共线时，规定(),0S m n =r r . (1)分别根据下列已知条件求(),S m n r r；①()2,1m =r ，()1,2n =-r；②()1,2m =r，()2,4n =r ；(2)若向量()22,,0p m n λμλμλμ=+∈+≠R r r r ，求证：()()()(),,,S p m S p n S m n λμ+=+r r r r r r ；(3)记OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，且满足c a b λμ=+r r r，a b ⊥r r ，1a b c ===r r r ，求()(),,S c a S c b +r r r r 的最大值.。
2021年湖南省邵阳市第二中学初升高自主招生考试数学试题
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，其中第13题每空2分．
11.将一质地均匀的正方体骰子掷两次，观察向上一面的点数，两次点数差的绝对值为2的概率是______．
12.设a≠b，且a2+3a＝b2+3b＝4，则ab2+a2b＝_____．
13.已知 ，那么
即 ，模仿上述求和过程，
四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（1）求值：
（2）分解因式：
17.已知：如图， 中 ， 平分 ，且 ．求证： ．
18.如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．设△ABC的面积为36，求△NEF的面积．
20.已知关于x的方程 ．其中p，q都是实数．
（1）若 时方程有两个不同的实数根 ， ，且 ．求实数p的值．
（2）若方程有三个不同的实数根 ， ， ，且 ．求实数p和q的值．
（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根 ， ， ， ，且 ？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，请说明理由．
A. B. C. D.
7.如图， 是 直径， 是 的弦，弦 ，垂足为点F， 交 于点G， 为 的切线，交 的延长线于H， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.市场油价经常波动，司机小王、小李在同一加油站加油，小王的加油方式为：每次加油金额相同，小李的加油方式为：每次的加油量相同，若两次加油的单价不同，只考虑加油单价，下列结论正确的是（）
19.已知抛物线 经过点 ，顶点在直线 上，且抛物线被x轴截得 线段长为1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题
湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．在复平面内，复数11i 2z =+的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设向量(,1),(1,2)a m b ==r r ，若a b ⊥r r ，则m =（ ）A ．12- B ．12C ．2-D ．23．若正三棱锥的所有棱长均为a ，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．2B ．2C 2D ．24a 4．若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）A ．“甲站排头”与“乙站排头”B ．“甲站排头”与“乙站排尾”C ．“甲站排头”与“乙不站排头”D ．“甲不站排头”与“乙不站排头”5．在ABC V 中，π1,,3b C c ==B 的大小为（ ）A ．π6 B ．π4 C ．π6或5π6 D ．π36．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由()1253OP OA OB OC λλ=++∈R u u u r u u u r uu u r u u u r 确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ的值为（）A ．215B ．13 C ．35 D ．257．已知向量(,2,1),(2,4,2)a x b =-=-r r ，若//a b r r ，则x =（ ）A ．1-B ．1C ．5-D ．58．两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（ ） A ．13 B ．16 C ．12 D ．23二、多选题9．复数23i z =+，下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为3iC ．23i z =-D ．z 10．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）A ．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜B ．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜D ．小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体的上底面1111D C B A 内（不含边界）的动点，点Q 是棱BC 的中点，则以下命题正确的是（ ）A ．三棱锥Q PCD -的体积是定值B ．存在点P ，使得PQ 与1AA 所成的角为60︒C ．直线PQ 与平面11A ADD 所成角的正弦值的取值范围为⎛ ⎝⎭D ．若1PD PQ =，则P三、填空题12．已知1x 、2x 、3x 、4x 的平均值为m ，则123x +、223x +、323x +、423x +的平均值为．13．已知4a =v ，3b =v ，a v 与b v 的夹角为120o ．则a b +=v v ．14．在三棱锥P ABC -中，10AB BC ==，120ABC ∠=︒，D 为AC 的中点，PD ⊥平面ABC ，且15PD =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为．四、解答题15．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数，单位：分）的频率分布直方图如图所示．(1)求这次测试数学成绩的众数；(2)求这次测试数学成绩的中位数．(3)延伸探究：若本例的条件不变，求数学成绩的平均分．(4)若本例条件不变，求80分以下的学生人数．16．已知非零向量,a b r r 满足1a =r ,且()()34a b a b +⋅-=r r r r . (1)求b r ; (2)当14a b ⋅=-r r 时,求2a b +r r 和向量a r 与2a b +r r 的夹角θ的值. 17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点．(1)证明：1//BD 平面AEC ；(2)若正方体棱长为2，求三棱锥D AEC -的体积．18．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos sin cos C A B A C -，a c +=3b =．(1)求角B 的大小；(2)求ABC V 的面积．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1BB ，1DD 上，且1AF A D ⊥，1AA BD =．(1)求证：平面1ACD ⊥平面AEF ； (2)当3AD =，4AB =，求平面11D B BD 与平面1ACD 的夹角的余弦值．。
湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,2,4,1,4U M N ===，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A ．{}3,5B ．{}1,2,5C ．{}1,3,5D ．{}3,4,52．命题“1x ∀>，220x x +->”的否定为（）A ．1x ∃>，220x x +-≤B ．1x ∃≤，220x x +-≤C ．1x ∀≤，220x x +-≤D ．1x ∀>，220x x +-≤3．若p ：“01b <<”，q ：“21b <”，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知f (x )是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f (－0.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是（）A ．f (－0.5)＜f (0)＜f (－1)B ．f (－1)＜f (－0.5)＜f (0)C ．f (0)＜f (－0.5)＜f (－1)D ．f (－1)＜f (0)＜f (－0.5)5．下列各组函数中为同一函数的是（）A ．()f x =()1g x x =-B ．()21f x x =+，()2g t =C ．()f x =，()g x =D ．()f x x =，()2x g x x=6．已知函数()f x 和()g x 分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且()()212f x g x x x-=+-，则()2g =（）A ．12B ．12-C ．2-D ．1127．已知实数0a >，0b >，c ∈R ，下列关系成立的是（）A ．22ac bc >B ．2aba b>+C ．()114a ba b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D 8．对于实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,1a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数()()()222f x x x x =-⊗-，x R ∈，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭二、多选题9．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{}24x x -<<则（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭10．x ∀∈R ，用()M x 表示()f x ，()g x 的较小者，记为()()(){}min ,M x f x g x =，若()1f x x =+，()223g x x x =--，则下列说法正确的是（）A ．()23M =-B ．函数()M x 有最大值，无最小值C ．不等式()4M x ≤-的解集是(],5-∞-D ．若,,a b c 是方程()10M x +=的三个不同的实数解，则0a b c ++=11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x >，()24f =，则（）A ．()48f =B ．()f x 为奇函数C ．()f x 为减函数D ．当2x <-时，()()221f x f x ->+三、填空题12．已知集合{}2410,A x ax x a =++=∈R ，若A 中只有一个元素，则a 的值构成的集合为．13．函数2()1ax bf x x +=+是奇函数，且()1f x ≤对任意R x ∈成立，则满足条件的一组值可以是a =，b =．14．已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为．四、解答题15．已知全集{}Z 16U x x =∈-≤≤|，集合{}2|680A x x x =-+=，{}3,4,5,6B =.(1)求A B ，()U A B ⋂ð；(2)求()U A B ð.16．已知命题“x ∃∈R ，方程2260x x m +-+=有实根”是真命题.(1)求实数m 的取值集合A ；(2)已知集合{|2131}=-≤≤-B x a x a ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围.17．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （单位：万元）和宿舍与工厂的距离x （单位：km ）的关系式为()01541kp x x =≤≤+，当距离为11km 时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设()f x 为建造宿舍与修路费用之和．(1)求()f x 的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小?并求()f x 的最小值．18．已知2(),(2,2)4xf x x x =-+∈．(1)判断()f x 的奇偶性并说明理由；(2)求证：函数()f x 在(2,2)-上是增函数；(3)若不等式()(2)5f x a t <-+对任意(2,2)x ∈-和[3,0]a ∈-都恒成立，求t 的取值范围．19．已知幂函数()()2312221m m f x m x--=-在()0,∞+上单调递增．函数()2g x x k =-，()()h x x af x =+．(1)求m 的值；(2)当[]1,4x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合A ，B ，若A B A = ，求实数k 的取值范围；(3)当[]4,9x ∈时，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；。
2023年邵阳市二中全真模拟考试数学参考答案
2023年邵阳市第二中学全真模拟考试 数学 参考答案6. B 【解析】由题意可知：A(0，b)，1(,0)F c−，2(,0)F c，直线AP的方程为：，y=2√3x+b 由∠PF1F2=120°，点P在第三象限，|PF1|=|F1F2|=2c，则P(−2c,−√3c),代入直线AP方程中得−√3c=2√3∙(−2c)+b整理得b=3√3c,则a=√b2+c2=2√7c∴题意的离心率e=ca =√714故选B．∴当0<x≤1时，f′(x)≤0,f(x)(0,1]上调递减 , ∴f(0.5)>f(1)=1，有有0.5−ln0.5>1，∴a>1;方法一：构建g(x)=tanx−ln(x+1),x∈(0,1)，求导g′(x)=1cos2x −1x+1,∵x∈(0,1)，则1cos2x >1>1x+1，有1cos2x−1x+1>0, 故g′(x)>0(0,1)上恒成立,所以g(x) (0,1)上调递减增，则g(0.5)>g(0)=0, 有tan0.5−ln1.5>0，则tan0.5>ln1.5，8.A 【解析】kf (x )≥g (x )，对(0,)x ∀∈+∞恒成立， 即ke 2kx −lnx x+k ≥xlnx,即2kxe 2kx +2kx ≥x 2lnx 2+lnx 2,即e 2kx lne 2kx +lne 2kx ≥x 2lnx 2+lnx 2,令()h t tlnt lnt =+，(0,)t ∈+∞，1()1()h t lnt u t t ∴'=++=，22111()t u t t t t−'=−=，可得1t =时，函数()u t 取得极小值即最小值，u （1）20=>，()0h t ∴'>恒成立，∴函数()h t 在(0,)t ∈+∞上单调递增，原不等式等价于ℎ(e 2kx )≥ℎ(x 2),所以e 2kx ≥x 2,即2kx ≥2lnx,即k ≥lnx x恒成立，令v (x )=lnx x，(0,)x ∈+∞，v ′(x )=1−lnx x 2可得x e =时，函数()v x 取得极大值即最大值．v(x)max =v (e )=1e ,所以 k ≥1e故选 A.因为函数 是奇函数，且关于直线 对称，所以函数 是周期为8的周期函数，，故B 错误； 对于选项C ，若()f x 的图象关于直线1x =对称，则()()31f f =−，但是 又 ，这与假设矛盾，所以选项C 正确；，又 是周期为8的周期函数， 的正奇数项的周期为4，，故D 正确。
湖南省邵阳市第二中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
湖南省邵阳市第二中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =--<，则A =R ð（ ）A ．{12}xx -<<∣ B ．{}12xx -≤≤∣ C ．{1xx <-∣或2}x > D ．{1xx ≤-∣或2}x ≥ 2．0a =是复数i z a b a b =+∈R （，）为纯虚数的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知,x y 都是正数,且211x y+=，则x y +的最小值等于A ．6B ．C ．3+D ．4+4．设()21,23,2x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则f （f （-1））的值为（ ）A ．5B ．6C ．9D ．105．29(2)x x-展开式中的常数项为（ ）A ．672B ．672-C ．5376-D ．53766．已知平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，点(0A ，()1,0B -，C (3，0)，则向量BA u u u r在向量BC u u u r方向上的投影向量为（ ）A ．14BC u u urB u u rC ．14BC -u u urD ．u u r 7．人工智能领域让贝叶斯公式：()()()()P B A P A P A B P B =站在了世界中心位置，AI 换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI 对抗AI ，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ） A ．0.1%B ．0.4%C ．2.4%D ．4%8．函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +是奇函数，()1f x -是偶函数，则（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()3f x +是偶函数 C ．()30f =D ．()()3f x f x =+二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14B ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1C ．相对样本点(),i i x y 的随机误差是µµi ii e y y =- D ．若样本数据121021,21,,21x x x +++L 的方差为8，则数据1210,,,x x x ⋯的方差为2 10．下列命题正确的是（ ）A ．()ln xf x x=在1x =处的切线方程为1y x =- B ．函数()()2ln f x x x =-的定义域为()1,+∞C ．方程3log 30x x +-=在区间()2,3上有实数根D ．直线():10l x n y +-=与圆22:230C x x y ++-=的位置关系是相交11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，P 分别是线段11C D ，线段1C C ，线段1A B 上的动点，且110MC NC =≠.则下列说法正确的有（ ）A ．MN AB ⊥B ．直线MN 与AP 所成的最大角为90︒C ．三棱锥M DPC -的体积为定值D ．当四棱锥11P D DBB -体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为12π三、填空题12． ()538f x x ax bx =++-且()20f -=，则()2f 等于 ．13．已知数列{}n a 满足()*1222,211,N ,2n n n a n k a a a k a n k++=-⎧===∈⎨-=⎩，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则50S =14．“白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词．某数学爱好者用两个函数图象描绘了这两句诗词：()[]3sin sin ,0,2πf x x x x =+∈的图象犹如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下（如图1），()[]1s i n 2,0,2π2g x xx =∈的图象如滚滚波涛，奔腾入海流（如图2）．若存在一点0πx ≠，使()f x 在()()00,x f x 处的切线与()g x 在()()00,x g x 处的切线平行，则0cos x 的值为 ．四、解答题15．已知函数()ln 1f x x ax =++． (1)当1a =-时，求()f x 的极值； (2)讨论函数()f x 的单调性．16．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，角B 是A 与C 的等差中项. (1)若2b =，求ABC V 的面积；(2)求11tan tan A C+的值. 17．四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2,60AD BAD =∠=︒，平面PBD ⊥平面ABCD ．(1)证明：PB AC ⊥；(2)若PB PD =，且P A 与平面ABCD 成角为60︒，点E 在棱PC 上，且13PE PC =u u u r u u u r，求平面EBD与平面BCD 的夹角的余弦值．18．已知不透明的袋子中装有6个大小质地完全相同的小球，其中2个白球，4个黑球，从中无放回地随机取球，每次取一个． (1)求前两次取出的球颜色不同的概率；(2)当白球被全部取出时，停止取球，记取球次数为随机变量X ，求X 的分布列以及数学期望．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，长轴长为4，,A B 是其左、右顶点，F是其右焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设()()000,0P x y y >是椭圆C 上一点，PFB ∠的角平分线与直线AP 交于点T ． ①求点T 的轨迹方程； ②若TPF △面积为94，求0x ．。
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2014年二中直升班考试题一、选择题（16×4=64分）1、已知0<x<1，化简 —A.2xB. —2xC.—2D.02、凸n 边形的内角中至多有（ ）个锐角. A ．5 B ．4 C ．3 D ．以上都不对3、二次函数y=6x ²—6x —21（—1<x<2）的最值为（ ） A. 最小值为—2，最大值为223 B. 最小值为—2，最大值为25 C. 最小值为0，最大值为25 D. 最小值为25 ，最大值为2234、将抛物线y=—2（x —4）²+5沿x 轴向右移动5个单位，再沿y 轴向下移动2个单位，则此时抛物线所对应的解析式是（ ）A. y=—2（x —9）²+3B. y=—2（x+1）²+3C. y=—2（x —9）²+7D. y=—2（x+1）²+75、如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短距离为（ ）A ．12B ．4πC. 62D. 636、一群猴子分桃子，每只猴子分4个，则还剩52个，若每只猴子分6个，那么有一只猴子分到的桃子不够6个,这群猴子所摘桃子的总数是（ ）个.A. 100B. 162C. 160或164D. 160或1627、一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数是（ ）A. 75°或30°B. 75°或15°C. 30°或15°D. 75°或30°或15°8、一元二次不等式—2x ²—4x+6<的解为（ ）A 、—3<x<1 B. X>1 或 x<3B. 空集 D. 全体实数9、已知关于x 的方程2x ²+（k —10）x+18=0在1<x<2内有一实根，则实数k 的取值范围为（ ）A. —10<k<—3B. 3<k<10C. K<—2或k>22D. —3<k<—210、S=2-x —221-+x x ，且—1≤x ≤2，则S 的最大值与最小值的差是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 311、方程2x —x ²=x2的正根的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 312、已知k b a c a c b c b a =+=+=+，则k 的值等于（ ）A. 21B. —1C.21或—1 D. 不确定 13、甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 314、二次函数y=ax ²+bx+c ，当x=3时取取最大值10，且它的图像在x 轴上截得的弦长为4，试求二次函数的解析式为（ ）A. y=22515252-+-x x B. y=—5x ²+30x —25 C. y=—x ²+15x —25 D. y=—5x ²+15x —2515、五个互不相等自然数的平均数是15，中位数是18，则这5个数中，最大数的最大值为（ ）A. 35B. 36C. 37D. 3816、直角三角形的周长为8+33，斜边上的中线长为3，则此三角形的面积为（ ）A. 25312+B. 25312-C. 45312+D.45312- 二、解答题（7×8=56分）17、已知1x 、2x 是关于x 的方程4x ²—（3m —5）x —6m ²=0的两个实数根，且21x x =23，求m 的值。
18、已知21y y y +=，且1y 与x ²成反比例，2y 与（x+2）成正比例，且当x=1时，y=9；当x=—1时，y=5，（1）求y 关于x 的关系式；（2）当x=—3时，求y 的值.19、设0°<a<45°，sina •cosa=1673，求sina.20、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD=3AB ，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于多少？21、已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 点，DE ∥BC ，DF ∥AC ， 求证：33AC BC AE BF22、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 坐标为（-1，0），．一次函数的图象经过点B 、C ，反比例函数 的图象经过点B.（1）求一次函数和反比例函数的关系式；（2）求当x ＜0时， 的解集；（3）在x 轴上找一点M ，使得AM+BM 的值最小，并求出点M 的坐标和AM+BM 的最小值．23、已知：抛物线y=ax ²+4ax+t 与x 轴的一个交点为A （—1，0）；（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案：1.A2.C3.A4.A5.D6.C7.D8.B9. A 10.B 11.A 12.C 13.C 14.A 15.C 16.D17.根的判别式=（3m-5)^2+96m^2>0当m为任意实数时,方程都有两个实数根.|x1/x2|=3/2.x1=3/2*x2或x1=-3/2*x2根据根与系数的关系得：x1+x2=(3m-5)/4,x1*x2=-3/2*m^2所以,x2=(3m-5)/10,x2^2=-m^2或者x2=-(3m-5)/2,x2^2=m^2 所以,（3m-5)^2=-100m^2（无解）或者（3m-5)^2=4m^2 所以,m1=5,m2=1.18.(1)设y1=k1x ,y2=k2/x²∴ y=2k1x -k2/x²根据题意得-2k1-k2=-4 2k1-k2=0∴k1=1 k2=2 ∴y=2x-2/x²(2)设y1=k1(x-2) ,y2=k2/5x∴y=2k1(x-2) +k2/5x根据题意得k2/10=9/10-2k1+k2/5=1/5 ∴k1k2=9 k1=4/5∴y=8/5(x-2)+9/5x当x=-1时原式=-8/15-9/5=-7/319.(sina)^2+(cosa)^2=1cosa=3√7/(16sina)代入(sina)^2+63/[256(sina)^2]=1令k=(sina)^2k+63/(256k)=1 256k^2-256k+63=0(16k-9)(16k-7)=0k=9/16,k=7/160<a<45 所以0<sina<√2/20<(sina)^2<1/2 所以(sina)^2=k=7/16 sina=√7/420.AE：ED=21521.证明：由直角三角形射影定理，知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，所以．由△ADE∽△DBF，知．由△ADE∽△ABC，知．所以＝·＝．22.⑴过B做BD垂直于X轴；点C坐标为（-1，0），；则OC=1；在直角三角形AOC中AO="OC"=2，AC= ，；在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，则BC="AC=" ；易知；则，所以；在直角三角形BCD中BD=1；CD= ；所以B的坐标（-3，1），代入，解得m =-3，所以反比例函数的关系式；C坐标为（-1，0），待定系数法解得一次函数的关系式⑵不等式的解集即是不等式的解集，不等式可把它看成是一次函数的关系式与反比例函数的关系式，则的意思是在图象上去找一次函数在反比例函数下方的x的范围即⑶作点A关于x轴的对称点A′，连接B A′与x轴的交点即为点M，点M的坐标为（-2,0），AM+BM的最小值为23.解：（1）依题意，抛物线的对称轴为x=﹣2，∵抛物线与x轴的一个交点为A（﹣1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0）；（2）∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0）∴a（﹣1）2+4a（﹣1）+t=0 ∴t=3a∴y=ax2+4ax+3a ∴D（0，3a）∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上，∵C（﹣4，3a）∴AB=2，CD=4∵梯形ABCD的面积为9∴（AB+CD）·OD=9∴（2+4）|3a|=（AB+CD）·OD=9 ∴a±1∴所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=﹣x2﹣4x﹣3；（3）设点E坐标为（x0，y0），依题意，x0＜0，y0＞0，且∴y0=﹣x0①设点E在抛物线y=x2+4x+3上，∴y0=x02+4x0+3解方程组得，∵点E与点A在对称轴x=﹣2的同侧∴点E坐标为（，），设在抛物线的对称轴x=﹣2上存在一点P，使△APE的周长最小，∵AE长为定值，∴要使△APE的周长最小，只须PA+PE最小∴点A关于对称轴x=﹣2的对称点是B（﹣3，0）∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x=﹣2的交点设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n∴，解得∴直线BE的解析式为y=x+∴把x=﹣2代入上式，得y=∴点P坐标为（﹣2，）②设点E在抛物线y=﹣x2﹣4x﹣3上∴y0=﹣x02﹣4x0﹣3，解方程组消去y0，得∴△＜0∴此方程无实数根，综上，在抛物线的对称轴上存在点P（﹣2，），使△APE的周长最小。