立体几何测试题带答案解析
立体几何测试题带答案解析

姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 .下列说法正确的是( )A .三点确定一个平面B .四边形一定是平面图形C .梯形一定是平面图形D .平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点2 .若α//β,a//α,则a 与β的关系是( )A .a//βB .a β⊂C .a//β或a β⊂D .A a =β3 .三个互不重合的平面能把空间分成n 部分,则n 所有可能值为( )A .4、6、8B .4、6、7、8C .4、6、7D .4、5、7、84 .一个体积为1的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为( )A .36B .8C .38D .125 .若直线l ∥平面α,直线a α⊂,则l 与a 的位置关系是( )A .l ∥aB .l 与a 异面C .l 与a 相交D .l 与a 没有公共点6 .已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为( )A .1:2:3B .1:4:9C .2:3:4D .1:8:27 7 .有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下,则该几何体的表面积为( )A .π12B .π24C .π36D .π488 .若a ,b 是异面直线,直线c ∥a ,则c 与b 的位置关系是( )A .相交B .异面C .平行D .异面或相交9 .设正方体的棱长为233,则它的外接球的表面积为 ( )A .π38B .2πC .4πD .π3410.已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球的表面积为 A .π7 B .π14 C .π21 D .π2811.1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A .12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ⇒B .12l l ⊥,23//l l ⇒13l l ⊥C .233////l l l ⇒ 1l ,2l ,3l 共面D .1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面12.如图,正方体1111A B C D A B C D -中,E ,F分别为棱A B ,1C C 的中点,在平面11A D D A 内且与平面1D E F 平行的直线 ( ) A .有无数条 B .有2条C .有1条 D .不存在二、填空题13.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是______.14.如图,在正方体1111A B C D A B C D -中,点P 是上底面1111A B C D 内一动点,则三棱锥P A B C -的主视图与左视图的面积的比值 为_________.ABCD A 1 B 1C 1D 1EF15.如图,正方体1111A B C D A B C D -中,2A B =,点E 为A D 的1A B C ,中点,点F 在C D 上,若//E F 平面则E F =________.16.一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:(1)三角形;(2)矩形;(3)正方形;(4)正六边形.其中正确的结论是____________.(把你认为正确的序号都填上)三、解答题17.如图1,空间四边形ABCD 中,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边BC ,CD 上的点,且32==CDCG CBCF ,求证:直线EF ,GH ,AC 交于一点.18.如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形,边长分别是4cm 与2cm 如图所示,俯视图是一个边长为4cm 的正方形. (1)求该几何体的全面积.(2)求该几何体的外接球的体积.PDC B A 1A 1D 1B 1C 左视主视AB C DE F 1A 1B 1C 1D19.空间四边形ABCD 的对角线AC=8,BD=6,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,MN=5,求异面直线AC 与BD 所成的角20.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V ; (2)求该几何体的侧面积S .21.如图,四棱柱1111A B C D A B C D -中,底面A B C D 是正方形,侧棱1A A ⊥底面A B C D ,E为1A A 的中点.求证:1A C ∥平面E B D .ABCDNM 俯视图主视图左视图4224422.如图是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正(主)视图和侧(左)视图(单位:cm).(I)画出该多面体的俯视图;(Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(Ⅲ)在所给直观图中连结'B C ,证明:'B C ∥平面E F G .直观图E正视图AB B 1A 1 CC 1ED 1 D全国卷设置参考答案一、选择题 1. C 2. C 3. B 4. A 5. D 6. B 7. B 8. D 9. D 10. D 11.答案:B解析:A 答案还有异面或者相交,C 、D 不一定 12. A二、填空题 13. 11π 14. 116. (2),(3),(4) 三、解答题17.提示:FG EH //且FG EH ≠,四边形EFGH为梯形.设EF 与GH 交于点P ,证∈P (平面 ABC 平面DAC ).18.解:(1)由题意可知,该几何体是长方体,底面是正方形,边长是4,高是2,因此该几何体的全面积是:2×4×4+4×4×2=64cm2几何体的全面积是64cm 2..6(2)由长方体与球的性质可得,长方体的对角线是球的直径,记长方体的对角线为d,球的半径是r,d=63641616==++所以球的半径r=3因此球的体积v=3336273434cmr πππ=⨯=,所以外接球的体积是336cm π 1219.解:取AD 的中点Q,连接MQ 、NQ又∵M、N 分别是AB 、CD 的中点 ∴MQ∥BD,NQ∥AC 且AC NQ BD MQ 21,21==∴∠MQ N 为异面直线AC 与BD 所成角或补角 又AC=8,BD=6,MN=5∴△MQN 中,MQ=3,NQ=4,MN=5即△MQN 为直角三角形且∠MQN=90° ∴异面直线AC 与BD 所成的角为90°20.参考答案:由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为1h 的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6,高为2h 的等腰三角形. (1)几何体的体积为为116846433V S h ==⨯⨯⨯=矩形.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为:15h ==,左、右侧面的底边上的高为:2h ==故几何体的侧面面积为:S = 2×(12×8×5+12402=+考查内容:简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,三视图所表示的立体模型,球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 认知层次:b 难易程度:中21.参考答案:连接A C ,设A C B D F =,连接E F ,因为底面A B C D 是正方形, 所以F 为A C 的中点. 又E 为1A A 的中点,所以E F 是△1A A C 的中位线. 所以E F ∥1A C .因为E F ⊂平面E B D ,1A C ⊄平面E B D , 所以1A C ∥平面E B D .考查内容:直线与平面平行的判定定理,空间图形的位置关系的简单命题 认知层次:c 难易程度:中ABB 1A 1 C C 1 ED 1 D F22.解:(Ⅰ)如图俯视图(Ⅱ)所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭3284(c m )3=(Ⅲ)证明:在长方体A B C D A B C D ''''-中,连结A D ',则A D B C ''∥.因为E G ,分别为A A ',A D ''中点, 所以A D E G '∥,从而E G B C '∥.又B C '⊄平面E F G , 所以B C '∥平面E F GABC DE FGA 'B 'C 'D '。
立体几何试题及解析

立体几何试题及解析第一题:求长方体的体积已知长方体的长为6cm,宽为4cm,高为3cm,求长方体的体积。
解析:长方体的体积公式为:体积 = 长 ×宽 ×高代入已知数据:体积 = 6cm × 4cm × 3cm = 72cm³所以长方体的体积为72立方厘米。
第二题:求正方体的表面积已知正方体的边长为5cm,求正方体的表面积。
解析:正方体的表面积公式为:表面积 = 6 ×边长²代入已知数据:表面积 = 6 × (5cm)² = 6 × 25cm² = 150cm²所以正方体的表面积为150平方厘米。
第三题:求圆柱体的体积已知圆柱体的底面半径为2cm,高度为8cm,求圆柱体的体积。
解析:圆柱体的体积公式为:体积= π × 半径² ×高度代入已知数据:体积= 3.14 × (2cm)² × 8cm ≈ 100.48cm³所以圆柱体的体积约为100.48立方厘米。
第四题:求球体的表面积已知球体的半径为3cm,求球体的表面积。
解析:球体的表面积公式为:表面积= 4π × 半径²代入已知数据:表面积= 4 × 3.14 × (3cm)² ≈ 113.04cm²所以球体的表面积约为113.04平方厘米。
总结:在几何学中,立体几何是其中的一个重要部分。
通过对不同类型立体的题目进行解析,可以加深对其体积、表面积等概念的理解。
掌握了基本的立体几何公式和计算方法,能够更好地解决与立体几何相关的问题。
在实际生活中,立体几何的应用广泛,例如建筑、工程、制造等领域。
因此,对立体几何的学习和理解具有重要的意义。
数学立体几何多选题单元测试附解析

数学立体几何多选题单元测试附解析一、立体几何多选题1.已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球,平面11A C B 截球O 的面积为24π,下列命题中正确的有( )A .异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B .1BD ⊥平面11AC B C .球O 的表面积为36πD .三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ,1A B ,通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ;通过反证法证明B ;由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长,进而求出内切球的表面积可判断C ;利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ,连接11A C ,1A B ,由正方体1111ABCD A B C D -,可知11//A C AC ,11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角,设正方体边长为a,则1111AC A B BC ==,由等边三角形知1160A C B ∠=,即异面直线AC 与1BC 所成的角为60,故A 正确; 对于B ,假设1BD ⊥平面11A C B ,又1A B ⊂平面11A C B ,则11BD B A ⊥,设正方体边长为a ,则11A D a =,1A B =,1BD =,由勾股定理知111A D B A ⊥,与假设矛盾,假设不成立,故1BD 不垂直于平面11A C B ,故B 错误; 对于C ,设正方体边长为a,则11AC =,内切球半径为2a,设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O ',由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心,则11123233O A AC a ='=⨯=,又12OA a =,∴球心O 到面11A C B 的距离6a ==,又球心与截面圆心的连线垂直于截面,∴=,又截面圆的面积2246S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=,解得12a =,则内切球半径为6,内切球表面积214644S ππ==⨯,故C 错误;对于D ,由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=,故D 正确; 故选:AD【点睛】关键点点睛:本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征,关键是想象出截面图的形状,从而求出正方体的棱长,进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积,考查了空间想象能力,数形结合的思想,属于较难题.2.如图所示,正三角形ABC 中,D ,E 分别为边AB ,AC 的中点,其中AB =8,把△ADE 沿着DE 翻折至A 'DE 位置,使得二面角A '-DE -B 为60°,则下列选项中正确的是( )A .点A '到平面BCED 的距离为3B .直线A 'D 与直线CE 所成的角的余弦值为58C .A 'D ⊥BDD .四棱锥A '-BCED 237【答案】ABD 【分析】作AM ⊥DE ,交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .利用线面垂直的判定定理判定CD ⊥平面A'MN ,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A 到平面面BCED 的高A'H ,并根据二面角的平面角,在直角三角形中计算求得A'H 的值,从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角,利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N ,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,经过计算求解可得半径从而判定D. 【详解】如图所示,作AM ⊥DE ,交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N . 则A'M ⊥DE ,MN ⊥DE , ,∵'A M ∩MN =M ,∴CD ⊥平面A'MN , 又∵CD ⊂平面ABDC ,∴平面A'MN ⊥平面ABDC , 在平面A'MN 中作A'H ⊥MN ,则A'H ⊥平面BCED , ∵二面角A'-DE -B 为60°,∴∠A'EF =60°,∵正三角形ABC 中,AB =8,∴AN =∴A'M ,∴A'H =A'M sin60°=3,故A 正确; 连接DN ,易得DN ‖EC ,DN =EC =4, ∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角,DN =DA'=4,A'N =A'M ,cos ∠A'DN =22441252448+-=⨯⨯,故B 正确;A'D =DB =4,==,∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直,故C 错误’ 易得NB =NC =ND =NG =4,∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心, 设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC , 若O 在平面BCED 上方,入图①所示:设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线,垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=-+=,解得23x =-,舍去;故O 在平面BCED 下方,如图②所示:设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线,垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=++=, 解得23x =,∴244371699R ⨯=+=,R ∴=故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题,涉及二面角问题,异面直线所成的角,用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算,余弦定理等,属综合性较强的题目,关键是利用线面垂直,面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定,注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.3.在长方体1111ABCD A B C D -中,23AB =12AD AA ==,P 、Q 、R 分别是AB 、1BB 、1A C 上的动点,下列结论正确的是( )A .对于任意给定的点P ,存在点Q 使得1D P CQ ⊥B .对于任意给定的点Q ,存在点R 使得1D R CQ ⊥C .当1AR A C ⊥时,1ARD R ⊥D .当113AC A R =时,1//D R 平面1BDC 【答案】ABCD【分析】本题先建立空间直角坐标系,再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可. 【详解】如图所示,建立空间直角坐标系,设(2,,0)P a ,023a ⎡⎤∈⎣⎦,,(2,23,)Q b ,[]0,2b ∈,设11A R AC λ=,得到(22,23,22)R λλλ--,[]0,1λ∈. 1(2,,2)D P a =-,(2,0,)CQ b =,142D P CQ b ⋅=-,当2b =时,1D P CQ ⊥,A 正确;1(22,23,2)D R λλλ=--,12(22)2D R CQ b λλ⋅=--,取22bλ=+时,1D R CQ ⊥,B 正确;1AR A C ⊥,则1(2,23,22)(2,23,2)412440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=+-+=,解得:15λ=,此时122328232(,,)(,,)05555AR D R ---⋅=⋅=,1AR D R ⊥,C 正确;113AC A R =,则4234(,,)333R ,14232(,,)333D R =-,设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =,则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,解得(3,1,3)n =-,故10n D R ⋅=,故1//D R 平面1BDC ,D 正确.故选:ABCD.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用,是偏难题.4.如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点,则下列选项正确的是( )A .DP 的最小值为35B .DP 的最小值为5C .1AP PC +的最小值为6D .1AP PC +的最小值为1705【答案】AD 【分析】DP 的最小值,即求1DA B △底边1A B 上的高即可;旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ,1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.【详解】求DP 的最小值,即求1DA B △底边1A B 上的高,易知115,2A B A D BD ===,所以1A B 边上的高为355h =,连接111,AC BC ,得11A BC ,以1A B 所在直线为轴,将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ,设点1C 的新位置为C ',连接AC ',则AC '即为所求的最小值,易知11122,2,cos 10AA AC AAC ''==∠=-, 所以217042222()105AC '=+-⨯⨯⨯-=. 故选:AD. 【点睛】本题考查利用旋转求解线段最小值问题.求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否, (1)点的变化,点与点的重合及点的位置变化;(2)线的变化,翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化;(3)长度、角度等几何度量的变化.5.如图,已知矩形ABCD 中,2AB AD =,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆,若M 为线段1A C 的中点,则ADE ∆在翻折过程中,下列说法正确的是( )A .线段BM 的长是定值B .存在某个位置,使1DE AC ⊥ C .点M 的运动轨迹是一个圆D .存在某个位置,使MB ⊥平面1A DE 【答案】AC 【分析】取CD 中点F ,连接BF ,MF ,根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ,由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ,可判断D ;在BFM ∆中,利用余弦定理可求得BM a =为定值,可判断A 和C ;假设1DE A C ⊥,由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ,由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾,可判断B . 【详解】解:取CD 的中点F ,连接BF ,MF ,∵M ,F 分别为1A C 、CD 中点, ∴1MF A D ∥,∵1A D ⊂平面1A DE ,MF ⊄平面1A DE , ∴MF 平面1A DE , ∵DF BE ∥且DF BE =, ∴四边形BEDF 为平行四边形, ∴BFDE ,∵DE ⊂平面1A DE ,BF ⊄平面1A DE , ∴BF ∥平面1A DE , 又BFMF F =,BF 、MF ⊂平面BMF ,∴平面//BMF 平面1A DE , ∵BM ⊂平面BMF , ∴BM ∥平面1A DE ,即D 错误,设22AB AD a ==, 则112MF A D a ==,2BF DE a ==,145A DE MFB ︒∠=∠=, ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=+-⋅⋅=,即BM 为定值,所以A 正确,∴点M 的轨迹是以B 为圆心,a 为半径的圆,即C 正确, ∵DE CE ==,2CD AB a ==,∴222DE CE CD +=,∴DE CE ⊥, 设1DE A C ⊥,∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ,1AC CE C =,∴DE ⊥平面1A CE , ∵1A E ⊂平面1A CE ,∴1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾, 所以假设不成立,即B 错误. 故选:AC . 【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题,涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点,考查学生的空间立体感和推理论证能力.6.如果一个棱锥的底面是正方形,且顶点在底面内的射影是底面的中心,那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18,则该正四棱锥的侧面积最小时,以下结论正确的是( ).A .棱的高与底边长的比为2B .侧棱与底面所成的角为4πC D .侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ,底面边长为a ,由21183V a h ==得254h a=,然后可得侧a =时侧面积取得最小值,此时3h =,然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ,底面边长为a 可得21183V a h ==,即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+,则()23321084f a a a⨯'=- 令()233210840f a a a⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<,()f a 单调递减当()32,a ∈+∞时()0f a '>,()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值,即四棱锥的侧面积最小 此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为22,故A 正确,C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠,由3h =,32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=,故B 正确,D 错误故选:AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值,属于综合题.7.如图,正三棱柱11ABC A B C -中,11BC AB ⊥、点D 为AC 中点,点E 为四边形11BCC B 内(包含边界)的动点则以下结论正确的是( )A .()1112DA A A B A BC =-+ B .若//DE 平面11ABB A ,则动点E 的轨迹的长度等于22AC C .异面直线AD 与1BC ,所成角的余弦值为66D .若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ,则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解,逐项判断,进而可得到本题答案. 【详解】解析:对于选项A ,()1112AD A A B A BC =-+,选项A 错误; 对于选项B ,过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D .以D 为坐标原点,1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .设棱柱底面边长为a ,侧棱长为b ,则002aA ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,,300B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,,130B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,,102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,所以1322a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,,1322a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,. ∵11BC AB ⊥,∴110BC AB ⋅=,即2223022a a b ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得2b =. 因为//DE 平面11ABB A ,则动点E 的轨迹的长度等于122BB =.选项B 正确. 对于选项C ,在选项A 的基础上,002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,,3002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,,()0,0,0D ,1202a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,,所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,,1322a BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,-,, 因为211162cos ,||||622a BC DA BC DA BC DA a a ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭<>===-,所以异面直线1,BC DA 所成角的余弦值为66,选项C 正确. 对于选项D ,设点E 在底面ABC 的射影为1E ,作1E F 垂直于AC ,垂足为F ,若点E 到平面11ACC A 的距离等于3EB ,即有31E F EB =,又因为在1CE F ∆中,3112E F E C =,得1EB E C =,其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离,故点E 满足抛物线的定义,另外点E 为四边形11BCC B 内(包含边界)的动点,所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选:BCD【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题,其中涉及到抛物线定义的应用.8.如图,1111ABCD A B C D -为正方体,下列结论中正确的是( )A .11A C ⊥平面11BB D DB .1BD ⊥平面1ACBC .1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值是2D .过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条【答案】ABD【分析】由直线与平面垂直的判定判断A 与B ;求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ;利用空间向量法可判断D .【详解】 对于A 选项,如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,1BB ⊥平面1111D C B A ,11A C ⊂平面1111D C B A ,则111BB A C ⊥,由于四边形1111D C B A 为正方形,则1111AC B D ⊥, 1111BB B D B =,因此,11A C ⊥平面11BB D D ,故A 正确;对于B 选项,在正方体1111ABCD A B C D -中,1DD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,1AC DD ∴⊥,因为四边形ABCD 为正方形,所以,AC BD ⊥,1D DD BD =,AC ∴⊥平面11BB D D , 1BD ⊂平面11BB D D ,1AC BD ∴⊥,同理可得11BD B C ⊥,1AC B C C =,1BD ∴⊥平面1ACB ,故B 正确; 对于C 选项,由11C D ⊥平面11BCC B ,得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角, 且111112tan 2C D C BD BC ∠==,故C 错误; 对于D 选项,以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ,()1,0,0DA =,()11,0,1CB =,设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =,则221cos ,21DA m DA m DA my z ⋅<>===⋅++, 1122111cos ,221CB m z CB m CB m y z ⋅+<>===⋅⋅++, 整理可得2222341y z y z z ⎧+=⎨=++⎩,消去y 并整理得2210z z +-=,解得12z =-+或12z =--,由已知可得3z ≤,所以,12z =-+,可得22y =±,因此,过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条,D 选项正确.故选:ABD.【点睛】方法点睛:证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面),解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.9.如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点P 在线段B 1C 上运动,则( )A .直线BD 1⊥平面A 1C 1DB .三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C .异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°,90°]D .直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD【分析】在A 中,推导出A 1C 1⊥BD 1,DC 1⊥BD 1,从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ;在B 中,由B 1C ∥平面 A 1C 1D ,得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值,再由△A 1C 1D 的面积是定值,从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值;在C 中,异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°,90°];在D 中,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D. 【详解】解:在A 中,∵A 1C 1⊥B 1D 1,A 1C 1⊥BB 1,B 1D 1∩BB 1=B 1,∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1,∴A 1C 1⊥BD 1,同理,DC 1⊥BD 1,∵A 1C 1∩DC 1=C 1,∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ,故A 正确;在B 中,∵A 1D ∥B 1C ,A 1D ⊂平面A 1C 1D ,B 1C ⊄平面A 1C 1D ,∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ,∵点P 在线段B 1C 上运动,∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值,又△A 1C 1D 的面积是定值,∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值,故B 正确;在C 中,异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°,90°],故C 错误;在D 中,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1,P (a ,1,a ),则D (0,0,0),A 1(1,0,1),C 1(0,1,1),1DA =(1,0,1),1DC =(0,1,1),1C P =(a ,0,a ﹣1),设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =, 则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取x =1,得1,1,1n ,∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为: 11||||||C P n C Pn ⋅⋅=∴当a=12时,直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为3,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤:(1)、①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解;(2)、用空间向量坐标公式求解.10.如图所示,正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1,E ,F 分别是棱AA ',CC '的中点,过直线EF 的平面分别与棱BB ',DD '交于点M ,N ,以下四个命题中正确的是( )A .0MN EF ⋅=B .ME NE =C .四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D .四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3【答案】ABD【分析】证明EF ⊥平面BDD B '',进而得EF MN ⊥,即可得A 选项正确;证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确;由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅,再分别讨论MN 的最大值与最小值即可;根据割补法求解体积即可.【详解】对于A 选项,如图,连接BD ,B D '',MN .由题易得EF BD ⊥,EF BB '⊥,BD BB B '⋂=,所以EF ⊥平面BDD B '',又MN ⊂平面BDD B '',所以EF MN ⊥,因此0MN EF ⋅=,故A 正确.对于B 选项,由正方体性质得:平面''//BCC B 平面''ADD A ,平面''BCC B 平面EMFN MF =,平面''ADD A 平面EMFN EN =, 所以//MF EN ,同理得//ME NF ,又EF MN ⊥,所以四边形MENF 为菱形, 因此ME NE =,故B 正确.对于C 选项,由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅, 所以当点M ,N 分别为BB ',DD '的中点时,四边形MENF 的面积S 最小,此时MN EF ==,即面积S 的最小值为1; 当点M ,N 分别与点B (或点B '),D (或D )重合时,四边形MENF 的面积S 最大,此时MN =,即面积S所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确.对于D 选项,四棱锥A MENF -的体积11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅==△; 因为E ,F 分别是AA ',CC '的中点,所以BM D N '=,DN B M '=,于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的,则它们的体积也是相同的,因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体, 所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积,考查空间思维能力与运算求解能力,是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形,利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和,将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。
高三精选立体几何大题30题(含详细解答)

A BC第1题图ABCD第1题图立体几何大题1.如下图,一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,CD是斜边上的高沿CD 把△ABC折成直二面角.(1)如果你手中只有一把能度量长度的直尺,应该如何确定A,B的位置,使二面角A-CD-B是直二面角?证明你的结论.(2)试在平面ABC上确定一个P,使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直,证明你的结论.(3)如果在折成的三棱锥内有一个小球,求出小球半径的最大值.2.如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3,侧棱长为4,连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F,且AF的延长线交B1B于E。
(Ⅰ)求证:D1B⊥平面AEC;(Ⅱ)求三棱锥B—AEC的体积;(Ⅲ)求二面角B—AE—C的大小的正弦值.3.如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1,点M在BC上,△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.(I)求证:点M为BC的中点;(Ⅱ)求点B到平面AMC1的距离;(Ⅲ)求二面角M—AC1—B 的正切值. 4.如图,已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,三角形ACD是正三角形,且AD=DE=2,AB=1,F是CD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面BCE;(Ⅱ)求多面体ABCDE的体积;(Ⅲ)求二面角C-BE-D 的正切值.5.已知:ABCD是矩形,设PA=a,PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.(Ⅰ)求证:MN⊥AB;(Ⅱ)若PD=AB,且平面MND⊥平面PCD,求二面角P—CD—A的大小;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求三棱锥D—AMN的体积.6.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。
(I)求二面角B1—MN—B的正切值;(II)证明:PB⊥平面MNB1;(III)画出一个正方体表面展开图,使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件,并求出展开图中P、B两点间的距离。
《立体几何》测试及答案

《立体几何》测试及答案(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.1 .已知平而。
内的一条直线1及平而£,则'3_L £”是“ a_L £”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D,既不充分也不必要条件 解析根据直线与平面垂直的判定定理,由lu "”可证得“a_L £”,即充分性是 成立的.反之由“ a 工B,k a”不一定得到“AL £”,即必要性不成立.所以是 “。
J_ £ ”的充分不必要条件.故选B.答案B72 .已知圆锥的顶点为凡母线州,所所成角的余弦值为石,以与圆锥底面所成角为45° ,若 O △为5的面积为5仃,则该圆锥的侧面积为() A. 40(72 +1) nB. 40^2 HC.8(4i5 + 5) nD. 8710 n解析设。
为圆锥底而圆的圆心,设底而圆的半径为r.以与圆锥底而所成角为45° ,即/80=45°.所以以=小厂7 7母线闩1,所所成角的余弦值为5即cosN 川沙=小 o o 由 S^=^PA • j^sinZJj^=|x2?X^^=5J15. A?=40, , 2 o v故 S 秘侧=n r • PA — n r • \[2r=y[2 n y = 4(h/2 n .答案B3 .如图,在正四棱柱物/一儿RG 〃中,底而边长为2,直线。
乙与平而月以所成角的正弦值 为今则该正四棱柱的高为()贝I] sinN 川哈、= 7、J15 S 8A. 2B. 3C. 4D. 5解析以〃为坐标系原点,DA, DC 、弧所在直线分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系。
一 xyz,如图所示,设正四棱柱的高为方,则。
(0, 0,0),月(2, 0, 0),。
(0, 2, 0), 〃(0, 0, 血,4(0, 2,a ),五=(0, 0,方),赤=(-2, 2, 0),遨=(0, -2,方).设平而月曲的法n • m —2乂+2%=0,向量为〃=(%,必,%),则j —令二=2,则必=方,&=方,A=(/b h,.n •速=-2%+方冬=0, 2)为平面月四的一个法向量.又直线CG 与平面月8所成角的正弦值为所以cos " CG )答案C4 .设三棱柱 四。
立体几何基础题题库(360道附详细答案)

S P
S
SS
S
PP
P
R
RR
Pபைடு நூலகம்
Q
R Q
QR
R
P
QR P PQ
Q
R
P
R
Q
QS
R
SS
Q
R
S
SQ R
Q
Q
RP
Q
P
R
S SQ R
P S
R Q
(A)
(B)
(C)
(D)
D
解析: A 项: PS 底面对应的中线,中线平行 QS,PQRS 是个梯形
D'
P
A'
S
C'
B'
R
D
A
B 项: 如图
Q
C B
C 项:是个平行四边形
EG2 FH 2 =2 (EF 2 FG2 ) = 1 ( AC2 BD2 ) 1 (a2 2b)
2
2
27. 如图,在三角形⊿ABC 中,∠ACB=90º, AC=b,BC=a,P 是⊿ABC 所在平面外一点,PB⊥AB, 点,AB⊥MC,求异面直 MC 与 PB 间的距离.
M 是 PA 的中
四边形矛盾。∴EF 和 AD 为异面直线.
26. 在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 分别是 CB,CD 的中点,若 AC + BD
= a ,AC BD =b,求 EG2 FH 2 . A
解析:四边形 EFGH 是平行四边形,…………(4 分)
E H
B F
D
G C
得 OX2+OY2+OZ2=37,OP= 37 .
2024年高考数学总复习立体几何测试卷及答案解析

2024年高考数学总复习立体几何测试卷及答案(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列说法正确的是()A.空间中,两不重合的平面若有公共点,则这些点一定在一条直线上B.空间中,三角形、四边形都一定是平面图形C.空间中,正方体、长方体、四面体都是四棱柱D.用一平面去截棱锥,底面与截面之间的部分所形成的多面体叫棱台答案A解析空间四边形不是平面图形,故B错;四面体不是四棱柱,故C错;平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分所形成的多面体才叫棱台,故D错;根据公理2可知A正确,故选A.2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是() A.α∩β=n,m⊂α,m∥β⇒m∥nB.α⊥β,α∩β=m,m⊥n⇒n⊥βC.m⊥n,m⊂α,n⊂β⇒α⊥βD.m∥α,n⊂α⇒m∥n答案A解析对于A,根据线面平行的性质定理可得A选项正确;对于B,当α⊥β,α∩β=m时,若n⊥m,n⊂α,则n⊥β,但题目中无条件n⊂α,故B不一定成立;对于C,若m⊥n,m ⊂α,n⊂β,则α与β相交或平行,故C错误;对于D,若m∥α,n⊂α,则m与n平行或异面,则D错误,故选A.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是CC1的中点,F是A1B的中点,且DF→=αAB→+βAC→,则()A.α=12,β=-1B.α=-12,β=1C .α=1,β=-12D .α=-1,β=12答案A解析根据向量加法的多边形法则以及已知可得,DF →=DC →+CB →+BF →=12C 1C →+CB →+12BA →1=12A 1A →+AB →-AC →+12BA →+12AA →1=12AB →-AC →,∴α=12,β=-1,故选A.4.平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB →=(1,2,0),AD →=(2,1,0),CC →1=(0,1,5),则对角线AC 1的边长为()A .42B .43C .52D .12答案C解析因为AC →1=AA →1+A 1B 1→+B 1C 1→=CC →1+AB →+AD →=(0,1,5)+(1,2,0)+(2,1,0)=(3,4,5),所以|AC →1|=32+42+52=52,故选C.5.(2019·凉山诊断)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AB 1,BC 1的中点,下列结论中,正确的是()A .EF ⊥BB 1B .EF ⊥平面BCC 1B 1C .EF ∥平面D 1BC D .EF ∥平面ACC 1A 1答案D解析连接B 1C 交BC 1于F ,由于四边形BCC 1B 1是平行四边形,对角线互相平分,故F 是B 1C 的中点.因为E 是AB 1的中点,所以EF 是△B 1AC 的中位线,故EF ∥AC ,所以EF ∥平面ACC 1A 1.故选D.6.(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)《九章算术》中“开立圆术”曰:“置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求球的直径d 的公式d =13169V ⎛⎫⎪⎝⎭.若球的半径为r =1,根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为()A.43πB.916C.94D.92答案D 解析根据公式d =13169V ⎛⎫⎪⎝⎭得,2=13169V ⎛⎫ ⎪⎝⎭,解得V =92.故选D.7.已知棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,球O 与该正方体的各个面相切,则平面ACB 1截此球所得的截面的面积为()A.8π3B.5π3C.4π3D.2π3答案D 解析因为球与各面相切,所以直径为2,且AC ,AB 1,CB 1的中点在所求的切面圆上,所以所求截面为此三点构成的边长为2的正三角形的外接圆,由正弦定理知,R =63,所以截面的面积S =2π3,故选D.8.已知向量n =(2,0,1)为平面α的法向量,点A (-1,2,1)在α内,则P (1,2,-2)到α的距离为()A.55B.5C .25D.510答案A解析∵PA →=(-2,0,3),∴点P 到平面α的距离为d =|PA ,→·n ||n |=|-4+3|5=55.∴P (1,2,-2)到α的距离为55.故选A.9.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 在A 1C 上运动(包括端点),则BP 与AD 1所成角的取值范围是()A.π4,π3 B.π4,π2C.π6,π2 D.π6,π3答案D解析以点D 为原点,DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,设点P 坐标为(x ,1-x ,x )(0≤x ≤1),则BP →=(x -1,-x ,x ),BC 1→=(-1,0,1),设BP →,BC 1→的夹角为α,所以cos α=BP ,→·BC 1→|BP →||BC 1→|=1(x -1)2+2x 2×2=x =13时,cos α取得最大值32,α=π6.当x =1时,cos α取得最小值12,α=π3.因为BC 1∥AD 1.故选D.10.(2019·淄博期中)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB =4,AB =27,CC 1=25,E ,F 分别为AC ,CC 1的中点,则直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角是()A .30°B .45°C .60°D .90°答案A 解析连接AC 1,则EF ∥AC 1,直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角,就是直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角,AC 1与平面AA 1B 1B 所成的角;作C 1D ⊥A 1B 1于D ,连接AD ,因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB =4,所以底面是等腰三角形,则C 1D ⊥平面AA 1B 1B ,可知∠C 1AD 就是直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角,CA =CB =4,AB =27,CC 1=25,可得C 1D =42-(7)2=3,AD =(7)2+(25)2=33,所以tan ∠C 1AD =C 1D AD =33,所以∠C 1AD =30°.故选A.11.(2019·陕西汉中中学月考)点A ,B ,C ,D ,E 是半径为5的球面上五点,A ,B ,C ,D 四点组成边长为42的正方形,则四棱锥E -ABCD 体积的最大值为()A.2563B .256 C.643D .64答案A解析正方形ABCD 对角线长为(42)2+(42)2=8.则球心到正方形中心的距离d =52-42=3.则E 到正方形ABCD 的最大距离为h =d +5=8.则V E -ABCD =13×42×42×8=2563.故选A.12.(2019·四省联考诊断)如图所示,四边形ABCD 为边长为2的菱形,∠B =60°,点E ,F 分别在边BC ,AB 上运动(不含端点),且EF ∥AC ,沿EF 把平面BEF 折起,使平面BEF ⊥底面ECDAF ,当五棱锥B -ECDAF 的体积最大时,EF 的长为()A .1 B.263C.3D.2答案B解析由EF ∥AC 可知△BEF 为等边三角形,设EF =x ,等边△BEF 的高为32x ,面积为34x 2,所以五边形ECDAF 的面积为2×34×22-34x 2=23-34x 2,故五棱锥的体积为13×23-34x 2×32x =x -18x 3(0<x <2).令f ′(x )=x -18x 3′=1-38x 2=0,解得x =263,且当0<x <263时,f (x )单调递增,当263x <2时,f (x )单调递减,故在x =263时取得极大值也即最大值.故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设m ,n 为空间两条不同的直线,α,β为空间两个不同的平面,给出下列命题:①若m ∥α,m ∥β,则α∥β;②若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β;③若m ∥α,m ∥n ,则n ∥α;④若m ⊥α,α∥β,则m ⊥β.其中正确的命题序号是________.答案②④解析对于①,若m ∥α,m ∥β,则α与β可能相交,故①错误;对于②,若m ⊥α,m ∥β,根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β,故②正确;对于③,若m ∥α,m ∥n ,则n 可能在α内,故③错误,对于④,若m ⊥α,α∥β,则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β,故④正确.故答案为②④.14.如图,在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,已知D ,E ,F 分别为AB ,AC ,AA 1的中点,设三棱锥A -FED 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2的值为________.答案124解析设三棱柱的高为h ,∵F 是AA 1的中点,则三棱锥F -ADE 的高为h2,∵D ,E 分别是AB ,AC 的中点,∴S △ADE =14S △ABC ,∵V 1=13S △ADE ·h2,V 2=S △ABC ·h ,∴V 1V 2=16S △ADE ·h S △ABC ·h =124.15.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB =AC ,侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB 1A 1的面积为________.答案2解析由题意知,球心在正方形的中心上,球的半径为1,则正方形的边长为 2.∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱,∴平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,∴BC 为截面圆的直径,∴∠BAC =90°.∵AB =AC ,∴AB =1,∴侧面ABB 1A 1的面积为2×1=2.16.(2019·陕西四校联考)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,侧棱长等于底面三角形的斜边长,若其外接球的体积为32π3,则该三棱柱体积的最大值为____________.答案42解析设三棱柱底面直角三角形的直角边为a,b,则棱柱的高h=a2+b2,设外接球的半径为r,则43πr3=32π3,解得r=2,∵上、下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心,∴2h=2r=4.∴h =22,∴a2+b2=h2=8≥2ab,∴ab≤4.当且仅当a=b=2时“=”成立.∴三棱柱的体积V=Sh=12abh=2ab≤42.三、解答题(本大题共70分)17.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,PC⊥底面ABCD,点E为侧棱PB的中点.求证:(1)PD∥平面ACE;(2)平面PAC⊥平面PBD.证明(1)连接OE.因为O为正方形ABCD对角线的交点,所以O为BD的中点.因为E为PB的中点,所以PD∥OE.又因为OE⊂平面ACE,PD⊄平面ACE,所以PD∥平面ACE.(2)在四棱锥P-ABCD中,因为PC ⊥底面ABCD ,BD ⊂底面ABCD ,所以BD ⊥PC .因为O 为正方形ABCD 对角线的交点,所以BD ⊥AC .又PC ,AC ⊂平面PAC ,PC ∩AC =C ,所以BD ⊥平面PAC .因为BD ⊂平面PBD ,所以平面PAC ⊥平面PBD .18.(12分)(2019·广州执信中学测试)如图,在四棱锥P -ABCD 中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB ∥DC ,△PAD 是等边三角形,已知BD =2AD =8,AB =2DC =45.(1)设M 是PC 上的一点,证明:平面MBD ⊥平面PAD ;(2)求四棱锥P -ABCD 的体积.(1)证明在△ABD 中,由于AD =4,BD =8,AB =45,所以AD 2+BD 2=AB 2.故AD ⊥BD .又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD =AD ,BD ⊂平面ABCD ,所以BD ⊥平面PAD ,又BD ⊂平面MBD ,故平面MBD ⊥平面PAD .(2)解如图,过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ,由于平面PAD ⊥平面ABCD ,所以PO ⊥平面ABCD .因此PO 为四棱锥P -ABCD 的高,又△PAD 是边长为4的等边三角形.因此PO =32×4=2 3.在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =2DC ,所以四边形ABCD 是梯形,在Rt △ADB 中,斜边AB 边上的高为4×845=855,此即为梯形ABCD 的高,所以四边形ABCD 的面积为S =25+452×855=24.故V P -ABCD =13×24×23=16 3.19.(12分)(2019·化州模拟)如图所示,在四棱锥E -ABCD 中,ED ⊥平面ABCD ,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB =AD =12CD =2.(1)求证:BC ⊥BE ;(2)当几何体ABCE 的体积等于43时,求四棱锥E -ABCD 的侧面积.(1)证明连接BD ,取CD 的中点F ,连接BF ,则直角梯形ABCD 中,BF ⊥CD ,BF =CF=DF ,∴∠CBD =90°,即BC ⊥BD .∵DE ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴BC ⊥DE ,又BD ∩DE =D ,∴BC ⊥平面BDE .由BE ⊂平面BDE 得,BC ⊥BE .(2)解∵V ABCE =V E -ABC =13×DE ×S △ABC=13×DE ×12×AB ×AD =23DE =43,∴DE =2,∴EA =DE 2+AD 2=22,BE =DE 2+BD 2=23,又AB =2,∴BE 2=AB 2+AE 2,∴AB ⊥AE ,∴四棱锥E -ABCD 的侧面积为12×DE ×AD +12×AE ×AB +12×BC ×BE +12×DE ×CD =6+22+2 6.20.(12分)(2019·青岛调研)如图,在长方形ABCD 中,AB =π,AD =2,E ,F 为线段AB 的三等分点,G ,H 为线段DC 的三等分点.将长方形ABCD 卷成以AD 为母线的圆柱W 的半个侧面,AB ,CD 分别为圆柱W 上、下底面的直径.(1)证明:平面ADHF ⊥平面BCHF ;(2)求二面角A -BH -D 的余弦值.(1)证明因为H 在下底面圆周上,且CD 为下底面半圆的直径,所以DH ⊥CH ,又因为DH ⊥FH ,且CH ∩FH =H ,所以DH ⊥平面BCHF .又因为DH ⊂平面ADHF ,所以平面ADHF ⊥平面BCHF .(2)解以H 为坐标原点,分别以HD ,HC ,HF 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设下底面半径为r ,由题意得πr =π,所以r =1,CD =2.因为G ,H 为DC 的三等分点,所以∠HDC =30°,所以在Rt △DHC 中,HD =3,HC =1,所以A (3,0,2),B (0,1,2),D (3,0,0),设平面ABH 的法向量为n =(x ,y ,z ),因为n ·HA →=(x ,y ,z )·(3,0,2)=0,n ·HB →=(x ,y ,z )·(0,1,2)=0,+2z =0,2z =0,所以平面ABH 的法向量n =(-2,-23,3).设平面BHD 的法向量m =(x ,y ,z ).因为m ·HD →=(x ,y ,z )·(3,0,0)=0,m ·HB →=(x ,y ,z )·(0,1,2)=0,=0,+2z=0,所以平面BHD的法向量m=(0,-2,1),由图形可知,二面角A—BH—D的平面角为锐角,设为θ,所以二面角A-BH-D的余弦值为cosθ=|m·n||m||n|=28519.21.(12分)(2019·成都七中诊断)如图,在多面体ABCDE中,AC和BD交于一点,除EC以外的其余各棱长均为2.(1)作平面CDE与平面ABE的交线l,并写出作法及理由;(2)求证:平面BDE⊥平面ACE;(3)若多面体的体积为2,求直线DE与平面BCE所成角的正弦值.(1)解过点E作AB(或CD)的平行线,即为所求直线l.∵AC和BD交于一点,∴A,B,C,D四点共面.又∵四边形ABCD边长均相等,∴四边形ABCD为菱形,从而AB∥DC.又AB⊄平面CDE,且CD⊂平面CDE,∴AB∥平面CDE.∵AB⊂平面ABE,且平面ABE∩平面CDE=l,∴AB∥l.(2)证明取AE的中点O,连接OB,OD.∵AB=BE,DA=DE,∴OB⊥AE,OD⊥AE.又OB∩OD=O,∴AE⊥平面OBD,∵BD⊂平面OBD,故AE⊥BD.又四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.又AE∩AC=A,∴BD⊥平面ACE.又BD⊂平面BDE,∴平面BDE ⊥平面ACE .(3)解由V E -ABCD =2V E -ABD =2V D -ABE =2,即V D -ABE =1.设三棱锥D -ABE 的高为h ,h =1,解得h = 3.又∵DO= 3.∴DO ⊥平面ABE .以点O 为坐标原点,OB ,OE ,OD 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,-1,0),B (3,0,0),D (0,0,3),E (0,1,0).∴BC →=AD →=(0,1,3),BE →=(-3,1,0).设平面BCE 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),+3z =0,-y =0得,平面BCE 的一个法向量为n =(1,3,-1).又DE →=(0,1,-3),于是cos 〈DE →,n 〉=235·2=155.故直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值为155.22.(12分)如图,△ABC 的外接圆⊙O 的半径为5,CD ⊥⊙O 所在的平面,BE ∥CD ,CD =4,BC=2,且BE =1,tan ∠AEB =2 5.(1)求证:平面ADC⊥平面BCDE;(2)试问线段DE上是否存在点M,使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为27若存在,确定点M的位置,若不存在,请说明理由.(1)证明∵CD⊥平面ABC,BE∥CD,∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥AB.∵BE=1,tan∠AEB=25,∴AE=21,从而AB=AE2-BE2=2 5.∵⊙O的半径为5,∴AB是直径,∴AC⊥BC,又∵CD⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACD.∵BC⊂平面BCDE,∴平面ADC⊥平面BCDE.(2)解方法一假设点M存在,过点M作MN⊥CD于N,连接AN,作MF⊥CB于F,连接AF.∵平面ADC⊥平面BCDE,平面ADC∩平面BCDE=DC,MN⊂平面BCDE,∴MN⊥平面ACD,∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角.设MN=x,计算易得,DN=32x,MF=4-32x,故AM=AF2+MF2=AC2+CF2+MF2=sin∠MAN=MNAM==2 7,解得x=-83(舍去),x=43,故MN=23CB,从而满足条件的点M存在,且DM=23DE.方法二以点C为坐标原点,CA,CB,CD所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则A (4,0,0),B (0,2,0),D (0,0,4),E (0,2,1),C (0,0,0),则DE →=(0,2,-3).易知平面ACD 的法向量为BC →=(0,-2,0),假设M 点存在,设M (a ,b ,c ),则DM →=(a ,b ,c -4),再设DM →=λDE →,λ∈(0,1],=0,=2λ,-4=-3λ=0,=2λ,=4-3λ,即M (0,2λ,4-3λ),从而AM →=(-4,2λ,4-3λ).设直线AM 与平面ACD 所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈AM →,BC →〉|=|2λ×(-2)|216+4λ2+(4-3λ)2=27,解得λ=-43或λ=23,其中λ=-43应舍去,而λ=23∈(0,1],故满足条件的点M 存在,且点M ,43,。
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高中数学《立体几何》大题及答案解析( 理)1.( 2009 全国卷Ⅰ)如图,四棱锥S ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD底面ABCD,AD2 ,DCo SD 2 ,点 M 在侧棱 SC 上,∠ABM=60。
(I )证明:M是侧棱SC的中点;求二面角 S AM B 的大小。
2.( 2009 全国卷Ⅱ)如图,直三棱柱DE ⊥平面 BCC 1(Ⅰ)证明: AB=AC 的角的大小ABC-A 1B1C1中, AB ⊥ AC,D 、E 分别为 AA 1、 B1C 的中点,(Ⅱ)设二面角A-BD-C 为 60°,求 B 1C 与平面 BCD 所成A 1 C1B1D EACB3. ( 2009浙江卷)如图,DC平面ABC,EB / / DC,AC BC EB 2DC 2 ,ACB 120o, P,Q 分别为 AE , AB 的中点.(I)证明: PQ / / 平面ACD;(II)求AD与平面 ABE 所成角的正弦值.4.( 2009 北京卷)如图,四棱锥P ABCD 的底面是正方形,PD 底面 ABCD ,点E在棱PB上.(Ⅰ)求证:平面AEC 平面 PDB ;(Ⅱ)当 PD2AB 且E为PB的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.5.( 2009 江西卷)如图,在四棱锥P ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA平面ABCD,PA AD 4 , AB 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD 于点 M .(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;(2)求直线PC与平面ABM所成的角;(3)求点O到平面ABM的距离.PMA DOBC6(. 2009 四川卷)如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ ABE 是等腰直角三角形,AB AE , FA FE , AEF 45 (I)求证: EF 平面 BCE ;( II )设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ,求证: PM ∥平面BCE ( III )求二面角 F BD A 的大小。
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____________班级___________学号____________分数______________一、选择题 1 .下列说确的是( )A .三点确定一个平面B .四边形一定是平面图形C .梯形一定是平面图形D .平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点2 .若α//β,a//α,则a 与β的关系是( )A .a//βB .a β⊂C .a//β或a β⊂D .A a =β3 .三个互不重合的平面能把空间分成n 部分,则n 所有可能值为( )A .4、6、8B .4、6、7、8C .4、6、7D .4、5、7、84 .一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为( )A .36B .8C .38D .125 .若直线l ∥平面α,直线a α⊂,则l 与a 的位置关系是( )A .l ∥aB .l 与a 异面C .l 与a 相交D .l 与a 没有公共点6 .已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为( )A .1:2:3B .1:4:9C .2:3:4D .1:8:27 7 .有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下,则该几何体的表面积为( )A .π12B .π24C .π36D .π488 .若a ,b 是异面直线,直线c ∥a ,则c 与b 的位置关系是( )A .相交B .异面C .平行D .异面或相交65659 .设正方体的棱长为233,则它的外接球的表面积为 ( )A .π38B .2πC .4πD .π3410.已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球的表面积为A .π7B .π14C .π21D .π2811.1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A .12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ⇒B .12l l ⊥,23//l l ⇒13l l ⊥C .233////l l l ⇒ 1l ,2l ,3l 共面D .1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面12.如图,正方体1111ABCDA B C D 中,E ,F分别为棱AB ,1CC 的中点,在平面11ADD A 且与平面1D EF 平行的直线 ( ) A .有无数条 B .有2条C .有1条 D .不存在二、填空题13.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是______.14.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是上底面1111A B C DABCD A 1 B 1C 1D 1EF一动点,则三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值 为_________.15.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,点E 为AD 的中点,点F 在CD 上,若//EF 平面1AB C ,则EF =________.16.一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:(1)三角形;(2)矩形;(3)正方形;(4)正六边形.其中正确的结论是____________.(把你认为正确的序号都填上)三、解答题17.如图1,空间四边形ABCD 中,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边BC ,CD 上的点,且32==CD CG CB CF ,求证:直线EF ,GH ,AC 交于一点.18.如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形,边长分别是4cm 与2cm 如图所示,俯视图是一个边长为4cm 的正方形. (1)求该几何体的全面积.(2)求该几何体的外接球的体积.PDCB A 1A 1D 1B 1C 左视主视AB C D EF 1A 1B 1C 1D 图119.空间四边形ABCD 的对角线AC=8,BD=6,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,MN=5,求异面直线AC 与BD 所成的角20.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V ; (2)求该几何体的侧面积S .ABCDNM 俯视图主视图左视图4224421.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是正方形,侧棱1A A ⊥底面ABCD ,E 为1A A 的中点.求证:1AC ∥平面EBD .22.如图是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正(主)视图和侧(左)视图(单位:cm).(I)画出该多面体的俯视图;(Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(Ⅲ)在所给直观图中连结'BC ,证明:'BC ∥平面EFG .E正视图ABB 1A 1 CC 1ED 1D直观图全国卷设置参考答案一、选择题 1. C 2. C 3. B 4. A 5. D 6. B 7. B 8. D 9. D 10. D 11.答案:B解析:A 答案还有异面或者相交,C 、D 不一定 12. A二、填空题 13. 11π 14. 115.16. (2),(3),(4) 三、解答题17.提示:FG EH //且FG EH≠,四边形EFGH 为梯形.设EF 与GH 交于点P ,证∈P (平面 ABC 平面DAC ). 18.解:(1)由题意可知,该几何体是长方体,底面是正方形,边长是4,高是2,因此该 几何体的全面积是: 2×4×4+4×4×2=64cm 2几何体的全面积是64cm 2 ..6(2)由长方体与球的性质可得,长方体的对角线是球的直径,记长方体的对角线为d,球的半径是r,d=63641616==++所以球的半径r=3因此球的体积v=3336273434cm r πππ=⨯=, 所以外接球的体积是336cm π 1219.解:取AD 的中点Q,连接MQ 、NQ又∵M 、N 分别是AB 、CD 的中点 ∴MQ ∥BD,NQ ∥AC 且AC NQ BD MQ 21,21==∴∠MQN 为异面直线AC 与BD 所成角或补角又AC=8,BD=6,MN=5∴△MQN 中,MQ=3,NQ=4,MN=5即△MQN 为直角三角形且∠MQN=90° ∴异面直线AC 与BD 所成的角为90°20.参考答案:由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为1h 的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6,高为2h 的等腰三角形. (1)几何体的体积为为116846433V S h ==⨯⨯⨯=矩形. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为:15h ==,左、右侧面的底边上的高为:2h ==故几何体的侧面面积为:S = 2×(12×8×5+12×6×)40=+考查容:简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,三视图所表示的立体模型,球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 认知层次:b 难易程度:中21.参考答案:连接AC ,设ACBD F =,连接EF ,因为底面ABCD 是正方形, 所以F 为AC 的中点. 又E 为1A A 的中点,所以EF 是△1A AC 的中位线. 所以EF ∥1A C .因为EF ⊂平面EBD ,1A C ⊄平面EBD , 所以1A C ∥平面EBD .考查容:直线与平面平行的判定定理,空间图形的位置关系的简单命题 认知层次:c 难易程度:中ABB 1A 1 C C 1 ED 1 D F22.解:(Ⅰ)如图俯视图(Ⅱ)所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭3284(cm )3=(Ⅲ)证明:在长方体ABCD A B C D ''''-中, 连结AD ',则AD BC ''∥.因为E G ,分别为AA ',A D ''中点, 所以AD EG '∥,从而EG BC '∥.又BC '⊄平面EFG , 所以BC '∥平面EFGABC DE FGA 'B 'C 'D '。