尺规作图角平分线

一、尺规作图

1. 作一个角等于已知角的方法

已知：∠AOB ，求作：∠A ′O ′B ′=∠AOB.

作法：

1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；

2.画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；

3.以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ′；

4.过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB.

2. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A ′B ′C ′，使

A ′

B ′=AB , B ′

C ′=BC ，C ′A ′ =CA.

作法：

画一个△A ′B ′C ′ ，使A ′B ′=AB, A ′C ′=AC ，B ′C ′=BC ：

（1）画B ′C ′=BC ；

（2)分别以点B ′,C ′为圆心，线段AB ，AC 长为半径

画弧，两弧相交于点A ′;

(3)连接线段A ′B ′，A ′C ′.

二、角的平分线

导入：

小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.

问题1：怎样修建管道最短？

问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看

.

角的平分线的画法

O A B C D O′ A′

B′ C′ D′

图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就 是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？

作已知角的平分线的方法.

已知：∠AOB.

求作：∠AOB 的平分线.

作法：（1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.

(2)分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C.

(3)画射线OC.射线OC 即为所求（如图).

理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS ”．

拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线．

注意： “大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交．

如图所示，已知∠AOB ，求作：∠AOM ＝ ∠

AOB.

角的平分线的性质 如图12.3-3，任意作一个角∠AOB ，作出 ∠AOB 的平分线OC.在OC 上任取一点P ，点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D ，E ，测量 PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取 几个点试一试.

1212121

4

通过以上测量，你发现了

角的平分线的什么性质？

1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

要点精析：

(1)点一定要在角平分线上；

(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；

(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等．

2.书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，

PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于

点E, ∴PD＝PE.

例1、如图, ∠AOC=∠BOC，点 P 在OC 上，PD⊥OA, PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.

证明：∵PD⊥OA, PE⊥OB,

∴∠PDO=∠PEO=90°.

在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO,

∠AOC=∠BOC,

OP=OP,

∴△PDO ≌△PEO(AAS).

∴PD=PE.

例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.

导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．

1、如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA

和OB 的距离相等.

2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD

平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝

6 cm，则△DBE的周长是( )

A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm

3、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________．

总结：角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE ⊥OB于E，DE交OC于点F.

(1)角的相等关系：

①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；

②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP ＝90°；

③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.

(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.

三、角平分线的判定

角平分线的性质为：角的平分线上的点到角的两边距离相等.

交换上述已知和结论，你能得到什么结论，

这个新结论正确吗？

判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,

∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)