尺规作图角平分线
数学沪科版八年级(上册)15.4.1角平分线的尺规作图与性质
求证：PD=PE.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
O
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD=PE.
A
D C
P
E
B
新知探究
性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. A
点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过
程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个
过程呢？
O
B (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
新知探究
Байду номын сангаас尺规作图
作法：
1.以_点__O_为圆心，__任__意__长为半径画圆
弧，与角的两边分别交于M、N两点；
2.分别以点 _M_、__N_ 为圆心， _大__于__1_2_M__N_的长为半径画弧，
A
其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等.
D
B
(E) C
新知探究
尺规作角平分线 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该
仪器的功能吗？
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明
作图方法与仪器的关系.
A
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶
A
M C
B
N
O
课堂小测 3.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC且长度等于m．
B
m
A
C
课堂小测
解：
A
N D
角平分线的性质(含尺规作图动画)
A M E P
C B
O
F
N
动手画一画
A C
3
E
1
2
4
用尺规作图法，画出角平分线
在角平分线上取一点E，分别作角两 边的垂线，垂足为C,D
有什么发现吗？
O
D
B
证明
在△COE与△DOE中
∠1=∠2 ∠3=∠4
△COE ≌△DOE（AAS）
OE=OE
∴CE=DE
角平分线的性质
主讲人：王雨婷 数本1605
回顾
全等三角形的判定
AAS
角角边
ASA
角边角
SAS
边角边
SSS
边边边
HL
直角三角形中 直角边,斜边分别相等
角平分仪 D
A B
AB=AD C BC=DC
说明原理
在△ABC与三角形ADC中
AB=AD
BC=DC
△ABC≌△ADC（SSS)
AC=AC
尺规作图
角平分线的性质一
角平分线上的一点，到角两边的距离相等
思考
角内部的一点，到角两边的距离相等，那么 这个点在角平分线上吗
A C
E
O
连接OE 在Rt△COE与△COE≌RT△DOE（HL）
OE=OE
∴∠COE=∠DOE，即OE是角平分线，即点 E在角平分线上
角平分线的性质二
在角的内部到角两边的距离相等的点在 角的平分线上
实际应用练习
完成课后习题1~3
12.8尺规作图2-角平分线 (1)
二.互助探究
环节1----师友探究
1.画一个角∠AOB，尺规作出它的角平分线。
2.在OC上任取一点C，过C点作CD⊥OA于D， 过C点作CE⊥OB于E. 3.你发现CD与CE有什么数量关系？请说明 理由。 4.请用最精炼的语言总结这一规律 8分钟
环节2----教师点拨 角平分线的性质： 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
A D
P
O
E
B
9分钟
四.总结归纳
环节1----师友总结
1、这节课你学会了哪些知识和学习方法？ 1.会用尺规作已知角的角平分线，知道 其依据。 SSS 2.探索并证明角平分线的性质定理和逆定 理； 运用全等 3.会对的学师（友）提一条学习建议？ 4分钟
五.巩固反馈
作业：
1. 练习册61-62页
1分钟
定理：到角两边距离相等的点在这个角
的平分线上
3分钟
三.分层提高
环节1----师友探究
例1：如图,AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, 垂足为点E， DF⊥AC，垂足为F,且BD=CD 求证：BE=CF
B D E
A
F
C
9分钟
三.分层提高
环节2----师友探究
例2：如图, PD⊥OA,垂足为点D， PE⊥OB， 垂足为E,且PD=PE 求证:点P在∠AOB的平分线上
12.8尺规作图—角平分线
角平分线
学习目标： 1.会用尺规作已知角的角平分线，知道 其依据。 2.探索并证明角平分线的性质定理和逆定 理； 3.会对角平分线的性质进行简单的应用。
2分钟
一.预习交流
环节1----学生动手操作 按以下步骤画图 1.画一个角∠AOB；
2.以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA与D，
_角平分线的性质和判定(包含答案)
角平分线的性质和判定（1）以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；（2）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，相交于点；（3）连接点和并延长，则射线就是的角平分线若DP=EP，则点P在∠AOB的角平分线上一．考点：角平分线的尺规作图，角平分线的性质和判定二．重难点：角平分线的性质和判定三．易错点：1．角平分线的性质和判定混淆不清导致解题出错．题模一：尺规作图例1.1.1如图，已知M、N分别是AOB∠的边OA上任意两点．（1）尺规作图：作AOB∠的平分线OC；（2）在AOB∠的平分线OC上求作一点P，使PM PN+的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）例1.1.2作图题：（简要写出作法，保留作图痕迹）如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到点M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．题模二：性质例1.2.1如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2例1.2.2如图，在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BP＋CQ－AR＝________．例 1.2.3 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．题模三：判定例1.3.1 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥CB 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，DE 平分∠ADC ，且点E 为BC 的中点，连接AE ．（1）求证：AE 平分∠BAD ； （2）求∠AED 的度数．例 1.3.2 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．随练1.1 尺规作图（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）如图，两条公路EA 和FB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路EA 、FB 的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．FABCDEOOEDCBA随练1.2如图，△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.65°B.60°C.55°D.45°随练1.3如图，已知ABC∆的周长是20，OB和OC分别平分ABC∠和ACB∠，OD BC⊥于点D，且3OD=，则ABC∆的面积是（）A.20B.25C.30D.35随练 1.4如图，AB CD∥，BP和CP分别平分ABC∠和DCB∠，AD过点P，且与AB垂直．若8AD=，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2随练1.5三角形中到三边的距离相等的点是（）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点随练1.6如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线，求证：点P在∠A的平分线上．拓展1如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．拓展2如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A.四处B.三处C.两处D.一处拓展3在ABC∆中，AB AC=，70ABC∠=︒（1）用直尺和圆规作ABC∠的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，BDC∠=________．PCBA拓展4 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点拓展5 如图，已知在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，2DE =，则BCE ∆的面积等于________．拓展6 如图，ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC ∆分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5拓展7 如图，已知：BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥于E ，236ABC S cm ∆=；，12AB cm =，18BC cm =，则DE 的长为________cm ．拓展8 如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥交AF 的延长线于F ．（1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长．拓展9 如图，△ABC 和△AED 为等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ，连接BE 、CD 交于点O ，连接AO ． 求证：（1）△BAE ≌△CAD ； （2）OA 平分∠BOD ．GFE DC BA答案解析角平分线题模一：尺规作图例1.1.1【答案】（1）（2）【解析】（1）如图1所示，OC即为所求作的AOB∠的平分线．（2）如图2，作点M关于OC的对称点M'，连接M N'交OC于点P，则点P即为所求．例1.1.2【答案】【解析】（1）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA、OB于点C、点D，（2）再分别以点C、点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于一点E，（3）连接OE，则OE为∠AOB的角平分线，（4）连接MN，分别以M、N为圆心，大于12MN长为半径作弧，两弧交于点F、点H，（5）连接FH，则FH为线段MN的垂直平分线，（6）直线FH与OE交于点P，点P即为所求．题模二：性质例1.2.1【答案】C【解析】过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．例1.2.2【答案】4【解析】连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR ＝OQ ，OR ＝OP ，∴由勾股定理得：AR 2＝OA 2－OR 2，AQ 2＝AO 2－OQ 2， ∴AR ＝AQ ，同理BR ＝BP ，CQ ＝CP ， 即O 在∠ACB 角平分线上，设BP ＝BR ＝x ，CP ＝CQ ＝y ，AQ ＝AR ＝z ， 则987y z x y x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ x ＝3，y ＝5，z ＝4，∴BP ＝3，CQ ＝5，AR ＝4， BP ＋CQ －AR ＝3＋5－4＝4．例1.2.3【答案】31.5【解析】∵O 点为ABC △中角平分线的交点， ∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=题模三：判定 例1.3.1【答案】（1）见解析 （2）90°【解析】（1）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，图略．∵DE 平分∠ADC ，EC ⊥CD ，EF ⊥AD ，∴EC ＝EF ，又EC ＝EB ，∴EF ＝EB ，又EF ⊥AD ，EB ⊥AB ，∴点E 在∠BAD 的平分线上，∴AE 平分∠BAD ． （2）∠AED ＝90°． 例1.3.2【答案】见解析．【解析】因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=︒， 则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌．进而由AF AO=得AFO AOF∠=∠；由AOE AFO∠=∠可得AOF∠=AOE∠，即OA平分DOE∠．随练1.1【答案】【解析】如图所示：作CD的垂直平分线，AOB∠的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．P和1P都是所求的点．随练1.2【答案】A【解析】解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF＝AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG 是∠CAB 的平分线，∵∠CAB ＝50°，∴∠CAD ＝25°；在△ADC 中，∠C ＝90°，∠CAD ＝25°，∴∠ADC ＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）．随练1.3【答案】C【解析】如图，连接OA ，过O 作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ，OB 、OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，3OE OF OD ∴===，ABC ∆的周长是20，OD BC ⊥于D ，且3OD =，1111()32222ABC S AB OE BC OD AC OF AB BC AC ∆∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯ 1203302=⨯⨯=．随练1.4【答案】C【解析】过点P 作PE BC ⊥于E ，AB CD ∥，PA AB ⊥，PD CD ∴⊥， BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，PA PE ∴=，PD PE =，PE PA PD ∴==，8PA PD AD +==，4PA PD ∴==，4PE ∴=．随练1.5【答案】D【解析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知： 三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．随练1.6【答案】见解析【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =．同理可证PF PG =．所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上．拓展1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）如图1，射线CP 为所求作的图形．（2）∵CP 是∠ACB 的平分线∴∠DCE=∠BCE ．在△CDE 和△CBE 中，CD=CB DCE=BCE CE=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCE ≌△BCE （SAS ），P∴BE=DE．拓展2【答案】A【解析】满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．拓展3【答案】（1）（2）75︒【解析】（1）如图所示，BD 即为所求；（2）在ABC ∆中，AB AC =，70ABC ∠=︒，180218014040A ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， BD 是ABC ∠的平分线，11703522ABD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒， BDC ∠是ABD ∆的外角，403575BDC A ABD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．拓展4【答案】D【解析】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴角形三边距离相等的点应是这个三角形三个内角平分线的交点．拓展5【答案】6【解析】作EF BC ⊥于F ， BE 平分ABC ∠，EF BC ⊥，ED AB ⊥，2EF DE ∴==，BCE ∴∆的面积162BC EF =⨯⨯=．拓展6【答案】C【解析】过点O 作OD AC ⊥于D ，OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，点O 是内心，OE OF OD ∴==， 111::::::2:3:4222ABO BCO CAO S S S AB OE BC OF AC OD AB BC AC ∆∆∆∴===．拓展7【答案】2.4【解析】如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥， DE DF ∴=，ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，1122AB DF BC DE =+， 11121822DE DE =⨯+⨯， 15DE =，236ABC cm ∆=，1536DE ∴=，解得 2.4DE cm =．拓展8【答案】（1）见解析；（2）2a b BE -=，2a b AE += 【解析】（1）连接DB 、DC ，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴DB DC =．∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE DF =．90AED BED ACD DCF ∠=∠=∠=∠=︒在Rt △DBE 和Rt △DCF 中DB DC DE DF =⎧⎨=⎩Rt △DBE ≌Rt △DCF （HL ），∴BE CF =．（2）在Rt △ADE 和Rt △ADF 中∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）．AD AD DE DF =⎧⎨=⎩∴AE AF =．∵AC CF AF +=，∴AE AC CF =+．∵AE AB BE =-，∴AC CF AB BE +=-∵AB a =，AC b =，∴b BE a BE +=-， ∴2a b BE -=， ∴22a b a b AE AB BE a -+=-=-=．拓展9【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）过点A 分别作AF ⊥BE 于F ，AG ⊥CD 于G ．如图所示：G F EDCB A∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，AB ACBAE CAD AE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△CAD（SAS），（2）连接AO并延长交CE为点H，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，∴AF＝AG，∵AF⊥BE于F，AG⊥CD于G，∴OA平分∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠COH＝∠AOD，∠EOH＝∠AOB，∴∠COH＝∠EOH．∴OA平分∠BOD．。
高线,中线,角平分线尺规作图
做一做：用尺规作角的平分线。
已知：∠AOB
求作：射线OC，使∠AOC =∠BOC
作法：1、在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD = OE
2、分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C。
3、作射线OC
OC就是∠AOB的平分线。
用尺规作三角形的高
具体步骤是
以顶点为圆心画个弧与底边相交于两点
做两点间线段的中点
连接中点与顶点就是高
线段的中点还不会做？
以相同半径（大于线段一半）分别以两个端点为圆心画弧
两弧相交于两点
连接两点与线段交点就是中点?
做中线，就是要做一个边的中点。
请先确定你要做中线的边（假设是AB）
然后用A为圆心~任意长度为半径（需要大于AB的一半）做圆。
然后用B为圆心~相同长度为半径做圆交上圆于C D。
连结CD~交AB于M
那么M就是AB中点~（CD是AB中垂线）
所以连结CM~就是中线~。
尺规作图（二）角平分线
课题：基本作图（二）-----角平分线及其性质教学重点：角平分线的尺规作图、性质定理及它们的应用。
教学难点：理解角平分线尺规作图的依据，以及角平分线性质定理的应用；教学目标：1．知识与技能：掌握角平分线的尺规作图方法及角平分线的性质定理，并用它们解决相关问题；2．过程与方法：学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。
3．情感与态度：经过对角的平分线的性质的探索与形成的过程，发展应用数学知识的意识与能力，养成良好的学习态度和严谨的科学态度。
教学过程：实际问题引入：若要在S区建一个瞭望塔，安排人员进行环境监测，要求瞭望塔到三条公路的距离都相等，请问瞭望塔应建于何处？预设一：学生想到作高线，找交点。
预设二：学生想到作中线，找交点。
预设三：学生想到作角平分线，找交点。
（在此情况下，学生分组进行画图实验，之后比较，猜想哪种做法是有可能正确的，之后引出作角平分线的方法，既然作角平分线的方法有可能，那就研究标准的作角平分线的的方法，研究猜想是否正确。
）【活动一】作角平分线。
（一）提出问题：你能自己想办法做出一个角的角平分线吗？（学生自己考虑解决问题的方法）预设一：学生估计角度的大小，直接画出近似的角平分线；预设二：学生用折纸的方法完成；预设三：学生用量角器度量功能完成；预设四：学生用直尺量出AO=BO,联结AB ，确定AB中点C ，之后作射线预设五：学生用直尺量出AO=BO,分别过A,B 作OA,OB 的垂线，两条垂线相交于点C ，之后作射线OC;预设六：学生思考到尺规作图的方法，但是不能准确叙述或者是完成；预设七：学生可以用尺规作图的方法完成。
如果学生出现预设中的一、二、三、四、五情形的时候，老师适时提出：预设一不准确，预设二相对准确些，但是不便于操作，预设三、四、五，这时可以提问：如果我们没有刻度尺，没有半圆仪这些带刻度的工具，我们能不能考虑其他方法解决这个问题呢？如何做呢？如果学生考虑到了预设六、七中的尺规作图，鼓励学生继续思考，如果学生不能完成，老师可以带领学生完成，如果有的学生能够完成，可以教师带领学生写好已知、求作，由学生演示做法。
八年级数学《尺规作图-角平分线、垂线和中垂线》课件
3、任意画一个三角形，画出三个内角的角 平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
4、已知：角∠α，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、经过一点作已知直线的垂线
1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的 垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论， 应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
2题的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交
于A、B两点； （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1 AB
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2 （4）过C、D两点作直线CD。
所以，直线CD就是所求作的。
练习
1、如图，过点P画∠O 两边的垂线.
2、如图，画 △ABC 边 BC 上的(第高1 题.)
第19章 全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画 图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺 规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图.
❖ 下面介绍几种基本作图:
（第 2 题）
❖什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线）
❖线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
1、平分已知角
在平行四边形的角平分线垂直平分线尺规作图法
在平行四边形的角平分线垂直平分线尺规作图法
1.做角平分线：
以该角顶点为圆心以适当长度为半径画弧，与角的两边分别产生一个交点，分别以这两个焦点为圆心，一定长为半径画弧，（半径长度必须使两条弧有交点），产生一个交点，连接角的顶点和两弧交点并延长，所得射线即为所求。
2.线段的垂直平分线：
分别一线段的两个端点为圆心，以适当长度为半径（长度大于线段长度的一半，小于线段长）向另一端点方向画弧，两弧相交在线段两侧各产生一个交点，连接着两个交点并向两端延长所得直线即为所求。
尺规作图角平分线原理证明
尺规作图角平分线原理证明
一、原理：
利用尺规作图作角平分线利用的原理是：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
由作图可知，利用的是SSS三角形全等定理，其实质是从这个角的顶点出发，在角里面做三条边相等的两个全等三角形。
由此推出两角相等。
二、角平分线性质证明
在三角形中的性质。
1三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等.这个点称为内心(即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆)。
2.三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，若AD是△ABC的角平分线，则 BD/DC=AB/AC。
证明:作CE//AD交BA延长线于E。
∵CE//AD
∴∆BDA∽∆BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴BA/AE=BD/DC
∵CE//AD
∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E 即∠ACE=∠E
∴AE=AC
又∵BA/AE=BD/DC
∴BA/AC=BD/DC。
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法有以下几种：
1. 三等分法：直接使用尺规作图，以角的顶点为圆心，任意取一个半径作圆，然后分别画两个弧交于圆上的两点，连接这两个点与角的顶点，即可得到角的平分线。
2. 比例法：利用角的平分线将整个角分为两部分，然后再将其中一部分再次平分，直到得到所需的比例。
具体步骤如下：取一条尺寸大于一半角的任意直线段AD，以D为圆心作一个尺规圆，交BC于E和F。
再从E和F分别画直线段连接圆心D，与角的两边交于G和H。
直线GH即为所求的角平分线。
3. 三辅圆法：与三等分法类似，利用尺规作图画三个辅助圆，然后通过相交弧来求解角的平分线。
具体步骤如下：以角的两边分别为半径，在空白纸上画两个圆，分别与角的两边相切，并且两个圆心在同一直线上。
再以角的顶点为圆心，画一个辅助圆与两个已知圆相切。
连接辅助圆上两个切点与角的顶点，即可得到角的平分线。
4. 辅助线法：在需要画角平分线的角内引入辅助线，然后利用已知条件来求解。
具体步骤根据具体情况而定，可以使用角的内切圆、垂直线、平行线等辅助线来求解角的平分线。
15.4第一课时-角平分线的尺规作图
【教学设计】课题名称15.4 角平分线的尺规作图科目数学设计人张帅备课组长白雅馨课时安排 1 使用人时间2018.08.19 教学目标 1.理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线;2.应用三角形全等的知识，理解角平分线的原理;3.在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线.教学难点应用三角形全等的知识，理解角平分线的原理;教学方法启发法；练习法.教学准备多媒体课件.教学过程教师活动学生活动修改意见多媒体出示图形导入新课观察与思考画出下列图形的对称轴讲授新课角平分线的尺规作图问题：怎样作∠AOB的平分线呢？1.折纸法2.度量法3.尺规作图观察图形并作答尺规作图作法：1.以____为圆心，______长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；2.分别以_____ 为圆心，__________的长为半径作弧，两条圆弧交于∠AOB内一点____；3.作射线_____；_____就是所求作∠AOB的平分线.想一想：为什么OP是角平分线呢？已知：OM=ON，MP=NP.求证：OP平分∠AOB.证明：在△OMP和△ONP中，OM=ON，MP=NP，OP=OP，∴△OMP≌△ONP,（SSS）∴∠MOP=∠NOP,即OP平分∠AOB.过一点作已知直线的垂线问题：当∠AOB =180°时，角平分线怎么画？学生认真观察并动手作图已知：直线AB及一点C，求作：直线AB的垂线，使它经过点C. 解：分两类情况作图.1.当点C在直线AB上时,作∠ACB的平分线CF，直线CF就是所求的垂线.经过已知直线上一点作这条直线的垂线2.当C在直线AB外时.作法：1)任意取一点K，使K和C在AB的两旁；2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E;3)分别以点D和点E为圆心，大于CK 的长为半径作弧，两弧交于点F；4)作直线CF.直线CF是所求的垂线.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.巩固练习P143 1，23.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC 且长度等于m．课堂小结：本节课你有什么收获？作业布置课堂小练习板书设计15.4 角平分线的尺规作图1.用尺规作已知角的平分线；2.角平分线的原理;3.过一点作已知直线的垂线.教学反思。
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一、尺规作图
1. 作一个角等于已知角的方法
已知：∠AOB ，求作：∠A ′O ′B ′=∠AOB.
作法：
1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；
2.画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；
3.以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ′；
4.过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB.
2. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A ′B ′C ′，使
A ′
B ′=AB , B ′
C ′=BC ，C ′A ′ =CA.
作法：
画一个△A ′B ′C ′ ，使A ′B ′=AB, A ′C ′=AC ，B ′C ′=BC ：
（1）画B ′C ′=BC ；
（2)分别以点B ′,C ′为圆心，线段AB ，AC 长为半径
画弧，两弧相交于点A ′;
(3)连接线段A ′B ′，A ′C ′.
二、角的平分线
导入：
小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.
问题1：怎样修建管道最短？
问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看
.
角的平分线的画法
O A B C D O′ A′
B′ C′ D′
图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就 是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？
作已知角的平分线的方法.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：（1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.
(2)分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC 即为所求（如图).
理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS ”．
拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线．
注意： “大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交．
如图所示，已知∠AOB ，求作：∠AOM ＝ ∠
AOB.
角的平分线的性质 如图12.3-3，任意作一个角∠AOB ，作出 ∠AOB 的平分线OC.在OC 上任取一点P ，点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D ，E ，测量 PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取 几个点试一试.
1212121
4
通过以上测量，你发现了
角的平分线的什么性质？
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
要点精析：
(1)点一定要在角平分线上；
(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；
(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等．
2.书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，
PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于
点E, ∴PD＝PE.
例1、如图, ∠AOC=∠BOC，点 P 在OC 上，PD⊥OA, PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.
证明：∵PD⊥OA, PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO,
∠AOC=∠BOC,
OP=OP,
∴△PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.
导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
1、如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA
和OB 的距离相等.
2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD
平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝
6 cm，则△DBE的周长是( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
3、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________．
总结：角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE ⊥OB于E，DE交OC于点F.
(1)角的相等关系：
①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；
②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP ＝90°；
③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.
(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.
三、角平分线的判定
角平分线的性质为：角的平分线上的点到角的两边距离相等.
交换上述已知和结论，你能得到什么结论，
这个新结论正确吗？
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)
【例1】如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
导引：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．
证明角平分线的“两种方法”
(1)定义法：应用角平分线的定义.
(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.
1、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是( ) A．点M B．点N C．点P D．点Q
2、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得
S△PAB＝ S△PCD，则满足此条件的点P( )
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的平分线
D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
三角形的角平分线
如图，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC， CA的距离相等.
三角形得角平分线的交点到三边的距离相等，这个交点叫作三角形的内心.
1 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．以上均不对
2 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则 S △ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________________.
3 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是
到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．
性质
判定定理。