微观经济学第四章答案
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[K2/（K＋L）2]/[L2/（K＋L）2]＝[K2/L2]＝PL/PK，K＝（PL/PK）1/2L就为扩展线。
对于生产函数Q＝KL2，MPL＝2KL，MPK＝L2，
由企业均衡条件得到：MPL/MPK＝PL/PK得：
[2KL]/[L2]＝2K/L＝PL/PK，K＝（PL/2PK）L就为扩展线。
生产函数Q＝min（3L，K）是定比生产函数，厂商按照K/L＝3/1的固定投入比例进行生产，且厂商的生产均衡点在直线K＝3L上，所以K＝3L就为扩展线。
（2）解：
MPL＝（1/3）AL-2/3K2/3，MPK＝（2/3）AL1/3K-1/3，
d(MPL)/dL＝（－2/9）AL-5/3K2/3＜0，d(MPK)/dK＝（－2/9）AL1/3K-4/3＜0。
生产函数Q＝AL1/3K2/3，无论对L，还是K都是边际报酬递减的。
8
（1）解：
对于生产函数Q＝L2/3K1/3，
L＝10（2）1/3，K＝5（2）1/3
对于生产函数Q＝min（3L，K），扩展线为K＝3L，当PL＝PK＝1，Q＝1000时，
L＝1000/3，K＝1000。
7
（1）解：
∵Q＝AL1/3K2/3，对于任意λ，有f（λL，λK）＝A（λL）1/3（λK）2/3＝λAL1/3K2/3＝λf（L，K）
∴规模不变。
TC＝PLL＋PKK＝2L＋5K
最小成本问题就转化为：
minC＝2L＋5K，
s.t.L＝100，K≥25；或K＝25，L≥100，
解得：minC＝2×100＋5×25＝325，Lmin＝100，Kmin＝25。
6
（1）解：
对于生产函数Q＝5L1/3K2/3，MPL＝（5/3）L-2/3K2/3，MPK＝（10/3）L1/3K-1/3
MPL＝d(TPL)/dL＝－L＋20
（2）解：
对于总产量函数Q＝－0.5L2＋20L－50，要求其极大值，只要取其MPL＝－L＋20＝0，就可求得L＝20。又d2Q/dL2＝－1＜0，故L＝20为极大点。
对于平均产量函数APL＝－0.5L＋20－50/L，要求其极大值，只要取其导数d(APL)/dL＝－0.5＋50/L2＝0，L2＝100，L＝10，又d2(APL)/dL2＝－100/L3＜0，故L＝10时，平均产量达到极大。
MPL＝（2/3）L-1/3K1/3，MPK＝（1/3）L2/3K-2/3
由MPL/ MPK＝PL/ PK得
[（2/3）L-1/3K1/3]/[（1/3）L2/3K-2/3]=2/1
即2K/L＝2，K＝L，代入2L＋K＝3000得
K＝L＝1000，Q＝1000。
（2）解：
对于生产函数Q＝L2/3K1/3，
对于边际产量函数MPL＝－L＋20，为负斜率的直线，而且L≥0，故L＝0时，MPL最大，等于20。
（3）解：
当APL＝MPL，即－0.5L＋20－50/L＝－L＋20，解得，L＝10
5
（1）解：
根据题意，32＝min（L，4K），解得，L＝32，K≥8，或K＝8，L≥32。
（2）解：
根据题意，100＝min（L，4K）解得，L＝100，K≥25；或K＝25，L≥100。
3解：
MRTSLK>w/r，减少资本投入，增加劳动投入，以达到最优要素组合；反之亦然。这样在不改变总成本的情况下增加产量。
4
（1）解：对于生产函数Q＝2KL－0.5L2－0.5K2
TPL＝f(L，10)＝2×10L－0.5L2－0.5×102＝－0.5L2＋20L－50
APL＝TPL/L＝－0.5L＋20－50/L
MP曲线下的面积是总产量TP。
TP与AP：
根据定义，AP是TP曲线各点到原点连线的斜率。
由TP曲线形状可知，AP先增加后减少。
AP乘以要素投入量等于总产量。所以TP等于AP曲线各点到横轴与纵轴的矩形的面积。
AP与MP：
在MP递减的过程中，当MP大于AP时，AP增加；当MP小于AP时，AP减少；所以，在MP＝AP的那一点，AP最大。在图上，表现为边际产量曲线从上面穿过平均产量曲线的最高点。
第四章
1
（1）解：
可变要素的数量
可变要素的总产量
可变要素的平均产量
可变要素的边际产量
1
2
2
2
2
12
6
10
3
24
8
12
4
48
12
24
5
60
12
12
6
66
11
6
7
70
10
4
8
70
8.75
0
9
63
7
-7
（2）答：
是，5
2答：
总产量TPL通常随着可变投入的增加，总产量先以递增的速度增加（这是可能的，但并不是必然的），然后以不变的速度增加，最后以递减的速度增加。
由企业均衡条件得到：MPL/MPK＝PL/PK得：
[（5/3）L-2/3K2/3]/[（10/3）L1/3K-1/3]＝（1/2）（K/L）＝PL/PK，即K＝（2PL/PK）L就为扩展线。
对于生产函数Q＝KL/（K＋L），MPL＝K2/（K＋L）2，MPK＝L2/（K＋L）2，
由企业均衡条件得到：MPL/MPK＝PL/PK得：
MPL＝（2/3）L-1/3K1/3，MPK＝（1/3）L2/3K-2/3
由MPL/ MPK＝PL/ PK得
[（2/3）L-1/3K1/3]/[（1/3）L2/3K-2/3]＝2/1
即2K/L＝2，K＝L，代入L2/3K1/3＝800得
K＝L＝800，C＝2400。
9答：
在下图中，有一条等成本线AB和三条等产量曲线Ql、Q2和Q3。等成本线AB的位置和斜率决定于既定的成本量C和既定的已知的两要素的价格比例－w/r。由图中可见，惟一的等成本线AB与其中一条等产量曲线Q2相切于E点，该点就是生产的均衡点。它表示：在既定成本条件下，厂商应该按照E点的生产要素组合进行生产，即劳动投入量和资本投入量分别为OL1和OKl，这样，厂商就会获得最大的产量。
边际产量MPL通常先随着可变投入的增加而增加（这也不是必然的），然后随着可变投入的增加而递减。
平均产量APL通常先随着可变投入的增加而增加（这也不是必然的），然后随着可变投入的增加而递减。
TP与MP：
MP是TP的斜率，TP以递增速度增加时MP递增；TP以不变速度增加时MP不变；TP以递减速度增加时MP递减（MP在由递增到递减的转折点最大）；TP最大时MP为零。
（2）解：
对于生产函数Q＝5L1/3K2/3，扩Байду номын сангаас线为K＝（2PL/PK）L，当PL＝PK＝1，Q＝1000时，
L＝100（1/2）1/3，K＝200（1/2）1/3。
对于生产函数Q＝KL/（K＋L），扩展线为K＝（PL/PK）1/2L当PL＝PK＝1，Q＝1000时，
L＝K＝2000。
对于生产函数Q＝KL2，扩展线为K＝（PL/2PK）L，当PL＝PK＝1，Q＝1000时，
对于生产函数Q＝KL2，MPL＝2KL，MPK＝L2，
由企业均衡条件得到：MPL/MPK＝PL/PK得：
[2KL]/[L2]＝2K/L＝PL/PK，K＝（PL/2PK）L就为扩展线。
生产函数Q＝min（3L，K）是定比生产函数，厂商按照K/L＝3/1的固定投入比例进行生产，且厂商的生产均衡点在直线K＝3L上，所以K＝3L就为扩展线。
（2）解：
MPL＝（1/3）AL-2/3K2/3，MPK＝（2/3）AL1/3K-1/3，
d(MPL)/dL＝（－2/9）AL-5/3K2/3＜0，d(MPK)/dK＝（－2/9）AL1/3K-4/3＜0。
生产函数Q＝AL1/3K2/3，无论对L，还是K都是边际报酬递减的。
8
（1）解：
对于生产函数Q＝L2/3K1/3，
L＝10（2）1/3，K＝5（2）1/3
对于生产函数Q＝min（3L，K），扩展线为K＝3L，当PL＝PK＝1，Q＝1000时，
L＝1000/3，K＝1000。
7
（1）解：
∵Q＝AL1/3K2/3，对于任意λ，有f（λL，λK）＝A（λL）1/3（λK）2/3＝λAL1/3K2/3＝λf（L，K）
∴规模不变。
TC＝PLL＋PKK＝2L＋5K
最小成本问题就转化为：
minC＝2L＋5K，
s.t.L＝100，K≥25；或K＝25，L≥100，
解得：minC＝2×100＋5×25＝325，Lmin＝100，Kmin＝25。
6
（1）解：
对于生产函数Q＝5L1/3K2/3，MPL＝（5/3）L-2/3K2/3，MPK＝（10/3）L1/3K-1/3
MPL＝d(TPL)/dL＝－L＋20
（2）解：
对于总产量函数Q＝－0.5L2＋20L－50，要求其极大值，只要取其MPL＝－L＋20＝0，就可求得L＝20。又d2Q/dL2＝－1＜0，故L＝20为极大点。
对于平均产量函数APL＝－0.5L＋20－50/L，要求其极大值，只要取其导数d(APL)/dL＝－0.5＋50/L2＝0，L2＝100，L＝10，又d2(APL)/dL2＝－100/L3＜0，故L＝10时，平均产量达到极大。
MPL＝（2/3）L-1/3K1/3，MPK＝（1/3）L2/3K-2/3
由MPL/ MPK＝PL/ PK得
[（2/3）L-1/3K1/3]/[（1/3）L2/3K-2/3]=2/1
即2K/L＝2，K＝L，代入2L＋K＝3000得
K＝L＝1000，Q＝1000。
（2）解：
对于生产函数Q＝L2/3K1/3，
对于边际产量函数MPL＝－L＋20，为负斜率的直线，而且L≥0，故L＝0时，MPL最大，等于20。
（3）解：
当APL＝MPL，即－0.5L＋20－50/L＝－L＋20，解得，L＝10
5
（1）解：
根据题意，32＝min（L，4K），解得，L＝32，K≥8，或K＝8，L≥32。
（2）解：
根据题意，100＝min（L，4K）解得，L＝100，K≥25；或K＝25，L≥100。
3解：
MRTSLK>w/r，减少资本投入，增加劳动投入，以达到最优要素组合；反之亦然。这样在不改变总成本的情况下增加产量。
4
（1）解：对于生产函数Q＝2KL－0.5L2－0.5K2
TPL＝f(L，10)＝2×10L－0.5L2－0.5×102＝－0.5L2＋20L－50
APL＝TPL/L＝－0.5L＋20－50/L
MP曲线下的面积是总产量TP。
TP与AP：
根据定义，AP是TP曲线各点到原点连线的斜率。
由TP曲线形状可知，AP先增加后减少。
AP乘以要素投入量等于总产量。所以TP等于AP曲线各点到横轴与纵轴的矩形的面积。
AP与MP：
在MP递减的过程中，当MP大于AP时，AP增加；当MP小于AP时，AP减少；所以，在MP＝AP的那一点，AP最大。在图上，表现为边际产量曲线从上面穿过平均产量曲线的最高点。
第四章
1
（1）解：
可变要素的数量
可变要素的总产量
可变要素的平均产量
可变要素的边际产量
1
2
2
2
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12
24
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12
12
6
66
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10
4
8
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8.75
0
9
63
7
-7
（2）答：
是，5
2答：
总产量TPL通常随着可变投入的增加，总产量先以递增的速度增加（这是可能的，但并不是必然的），然后以不变的速度增加，最后以递减的速度增加。
由企业均衡条件得到：MPL/MPK＝PL/PK得：
[（5/3）L-2/3K2/3]/[（10/3）L1/3K-1/3]＝（1/2）（K/L）＝PL/PK，即K＝（2PL/PK）L就为扩展线。
对于生产函数Q＝KL/（K＋L），MPL＝K2/（K＋L）2，MPK＝L2/（K＋L）2，
由企业均衡条件得到：MPL/MPK＝PL/PK得：
MPL＝（2/3）L-1/3K1/3，MPK＝（1/3）L2/3K-2/3
由MPL/ MPK＝PL/ PK得
[（2/3）L-1/3K1/3]/[（1/3）L2/3K-2/3]＝2/1
即2K/L＝2，K＝L，代入L2/3K1/3＝800得
K＝L＝800，C＝2400。
9答：
在下图中，有一条等成本线AB和三条等产量曲线Ql、Q2和Q3。等成本线AB的位置和斜率决定于既定的成本量C和既定的已知的两要素的价格比例－w/r。由图中可见，惟一的等成本线AB与其中一条等产量曲线Q2相切于E点，该点就是生产的均衡点。它表示：在既定成本条件下，厂商应该按照E点的生产要素组合进行生产，即劳动投入量和资本投入量分别为OL1和OKl，这样，厂商就会获得最大的产量。
边际产量MPL通常先随着可变投入的增加而增加（这也不是必然的），然后随着可变投入的增加而递减。
平均产量APL通常先随着可变投入的增加而增加（这也不是必然的），然后随着可变投入的增加而递减。
TP与MP：
MP是TP的斜率，TP以递增速度增加时MP递增；TP以不变速度增加时MP不变；TP以递减速度增加时MP递减（MP在由递增到递减的转折点最大）；TP最大时MP为零。
（2）解：
对于生产函数Q＝5L1/3K2/3，扩Байду номын сангаас线为K＝（2PL/PK）L，当PL＝PK＝1，Q＝1000时，
L＝100（1/2）1/3，K＝200（1/2）1/3。
对于生产函数Q＝KL/（K＋L），扩展线为K＝（PL/PK）1/2L当PL＝PK＝1，Q＝1000时，
L＝K＝2000。
对于生产函数Q＝KL2，扩展线为K＝（PL/2PK）L，当PL＝PK＝1，Q＝1000时，