2018年10月自考02324离散数学真题
02324离散数学(课后习题解答(详细)
离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
离散数学(本)2018年10月份试题
离散数学（本）2018年10月份试题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．若集合A＝{1,2,3}，则下列表述不正确的是( )．A．1 ∈A B．{1}⊂AC．∅∈A D．{2}⊆A2．设A={2, 3｝，B ={3, 4}，A到B的关系R ={<x, y> | x∈A, y∈B，且x不大于y｝，则R = ( )．A．{<3, 3>, <4, 4>} B．{<2, 3>, <2, 4>, <3, 3 >, <3, 4 >}C．{<2, 3>, <2, 4>, <3, 4>} D．{<2, 2>, <3, 3>, <4, 4>}3．无向图G的结点的度数之和是24，则图G的边数为（）．A．12 B．24C．48 D．234．设连通平面图G有v个结点，e条边，r个面，则（）．A．v + e – r = –4 B．v + e - r=4C．v + e - r=2 D．r + v - e =25．设个体域D是实数集合，则命题(∃x)(∀y)(x⨯y = y)的真值是（）．A．T B．FC．由y的取值确定D．不确定二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A={a, b}，B={b, c}，C={c, d}，则(A⋃ B)–(B⋂C) =．7．设A={3，6}，B={1，6}，C={3，5}，从A到B的函数f={<3, 1>,<6, 6>}，从B到C 的函数g={<1，3>, <6，5>}，则Dom(g︒ f) = ．8．结点数相等是两个图同构的条件．9．设G是汉密尔顿图，S是其结点集的一个子集，若S的元素个数为4，则在G -S中的连通分支数不超过．10．设个体域D＝{a, b}，则谓词公式(∀x)Q(x)消去量词后的等值式为．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“昨天是公休日，今天也是公休日．”翻译成命题公式．12．将语句“如果今天是周五，则明天是周四．”翻译成命题公式．四、判断说明题（判断各题正误，并说明理由．每小题7分，本题共14分）13．如果A是集合B的元素，则A不可能是B的子集．14．(∀x)(A(x)→(B(y) →C(z)))中的约束变元为y．五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设A={1，2，3}，R={<x，y>|x∈A，y∈A且x > y }，S={<x，y>|x∈A，y∈A且x≤y}，试求R，S，R-1，s(S)．16．设图G=<V, E>，其中，结点集V={a, b, c, d, e}，边集E={ (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (d, e) }，对应边的权值依次为2、3、3、4、1及5，请画出G的图形、写出G的邻接矩阵并求出G权最小的生成树及其权值．17．画一棵带权为1, 2, 3, 4, 5的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．六、证明题（本题共8分）18．试证明：P→Q P→(P∧Q)．离散数学（本）2018年10月份试题参考解答一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．C 2．B 3．A 4．D 5．A二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．{ a, b }7．{3，6}8．必要9．410．Q(a)∧Q(b)三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．设P：昨天是公休日，Q：今天是公休日．（2分）则命题公式为：P∧Q．（6分）12．设P：今天是周五，Q：明天是周四．（2分）则命题公式为：P→Q．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13．错误．（3分）反例：设A={1}，B={1,{1}}，则A是B的元素，也是B的子集．（7分）说明：举出符合条件的反例均给分．14．错误．（3分）( x)(A(x)→(B(y) →C(z)))中的y是自由变元，约束变元为x．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．R={<2, 1>, <3, 1>, <3, 2>} （3分）S={<1, 1>,<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>} （6分）R-1={<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>} （9分）s(S)={ <1, 1>, <2, 1>,<1, 2>, <3, 1>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>,<2, 3>, <3, 3>} （12分）说明：对于每一个求解项，如果基本求出了解，可以给对应1分．16．G的图形表示为：（3分）邻接矩阵：（6分）如下为最小的生成树，权为10：（9分）（12分）17．（10分）权为1⨯3+2⨯3+3⨯2+4⨯2+5⨯2=33 （12分）六、证明题（本题共8分）18．证明：（1）P→Q P （1分）（2）P P（附加前提）（3分）（3）Q T（1）（2）I （5分）（4）P∧Q T（2）（3）I （7分）（5）P→(P∧Q) CP规则（8分）说明1：因证明过程中，公式引用的次序可以不同，一般引用前提正确得1分，利用两个公式得出有效结论得1或2分，最后得出结论得2或1分。
离散数学练习题(含答案)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∀x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系 12．设R 为实数集，函数f ：R →R ，f(x)=2x ，则f 是（ B ） A ．满射函数 B ．单射函数 C ．双射函数 D ．非单射非满射第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
自考02324离散数习题9.8
自考02324离散数习题9.81.设G 是至少有11个结点的无向简单连通平面图，证明G 的补图G 一定是非平面图。
证明：反证法。
设G 是平面图，G 的结点数为v ，边数为e ，G 的结点数为v ′，边数为e ′。
由补图的定义知v =v ′，e ＋e ′=)1(21+v v ，由不等式e ≤3v –6，e ′≤3v ′–6=3v –6，相加得)1(21+v v = e ＋e ′≤6v －12，v 2－v ≤12v －24， v 2－13v ＋24≤0，即(v －11)( v －2)＋2≤0。
另一方面，当v ≥11时，(v －11)( v －2)v ＋2＞0，矛盾。
所以，补图G 一定是非平面图。
2.证明：每个面至少有4条边围成的任何简单连通平面图中，m ≤2n －4，其中n 为结点数，m 为边数。
证明：设该图有r 个面，所有面次数之和大于等于4r ，另一方面，所有面次数之和等于边数的2倍。
所以2m ≥4r ，即r ≤m 21，代入欧拉公式2=n －m ＋r ≤n －m ＋m 21= n －m 21，化简后得m ≤2n －4。
3.证明：在6个结点12条边的简单连通平面图中，每个面用3条边围成。
证明：设v 和e 分别为该图的结点数和边数，则v =6，e =12，由欧拉公式r =2＋e －v =8，即图中有8个面，又因为∑=81)deg(i i r =2e =24，而每个面的次数deg(r i )≥3，故必有deg(r i )=3，i =1…8。
即个面用3条边围成。
4.证明：小于30条边的平面简单图有一个结点度数小于等于4。
证明：反证法。
假设每个结点的度大于4，即deg(r i )≥5，因为2e =∑=n i i v 1)deg(≥5v ，即v ≤52e 。
由于e ≤3v －6，代入后得到e ≤56e －6，即有e ≥30，与边数小于等于30向矛盾。
5.设G 是简单平面图，面数r ＜12，δ(G )≥3，证明G 中存在次数小于等于4的面。
【全国自考历年真题10套】02324离散数学2013年4月至2019年10月试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或 钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
一、单项选择题（本大题共 15 小题，每小题 1 分，共 15 分）
A. (∃x)( A(x) ∧ B(x)) ⇔ (∃x) A(x) ∧ (∃x)B(x)
B. A →（∃x）B(x) ⇔ (∃x)( A → B(x))
C.（∃x）A(x) → B ⇔ (∀x)( A(x) → B)
D. ¬（∃x）A(x) ⇔ (∀x)¬A(x)
4.设 A（x）： x 是鸟， B（x）： x 会飞，命题“没有不会飞的鸟”符号化为
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”
的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均不得分。
1．设 p：天下雨；q：我走路上学。命题“只要不下雨，我就走路上学”可符号化为
A．p → q
B．q →p
C．┐p → q D．q → ┐p
2．设简单无向图 G 有 16 条边，有 3 个 4 度结点，有 4 个 3 度结点，其余结点的度数均小 3，则 G 中的结点个数至．少．为
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绝密★考试结束前
全国 2014 年 4 月高等教育自学考试
离散数学试题
课程代码：02324
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或
最新自考离散数学02324真题含答案(.4-2016.4年整理版)
全国2009年4月自学考试离散数学试题（附答案）课程代码：02324一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列为两个命题变元P，Q的小项是（）A．P∧Q∧⎤ P B．⎤ P∨QC．⎤ P∧Q D．⎤ P∨P∨Q2．下列语句中是真命题的是（）A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的3．设P：我们划船，Q：我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（）A．⎤ P∧⎤ Q B．⎤ P∨⎤ QC．⎤（P↔Q）D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式5．命题公式⎤（P∧Q）→R的成真指派是（）A．000，001，110，B．001，011，101，110，111C．全体指派D．无6．在公式（x∀）F（x，y）→（∃y）G（x，y）中变元x是（）A．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x，y>|x+y=10，x∈A，y∈A}，则R的性质是（）A．自反的B．对称的C．传递的、对称的D．反自反的、传递的8．若R和S是集合A上的两个关系，则下述结论正确的是（）A．若R和S是自反的，则R∩S是自反的B．若R和S是对称的，则R S是对称的C．若R和S是反对称的，则R S是反对称的D．若R和S是传递的，则R∪S是传递的9．R={<1，4>，<2，3>，<3，1>，<4，3>}，则下列不是．．t（R）中元素的是（）A．<1，1> B．<1，2>C．<1，3> D．<1，4>10．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（）A．1∈A B．{1，2，3}⊆AC．{{4，5}}⊂A D．∅∈A11．在自然数集N上，下列运算是可结合的是（）A．a*b=a-2b B．a*b=min{a，b}C．a*b=-a-b D．a*b=|a-b|12．在代数系统中，整环和域的关系是（）A．整环一定是域B．域不一定是整环C．域一定是整环D．域一定不是整环13．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（）A．B．C．D．14．设G为有n个结点的简单图，则有（）A．Δ(G)＜n B．Δ(G)≤nC．Δ(G)＞n D．Δ(G)≥n15．具有4个结点的非同构的无向树的数目是（）A．2 B．3C．4 D．5二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
自考离散数学试题及答案
自考离散数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，下列哪个符号表示“属于”关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 命题逻辑中，下列哪个表达式表示“非”操作？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C3. 在下列哪个图论的术语中，表示图中任意两个顶点都相连？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：C4. 布尔代数中，下列哪个操作是“或”？A. ∧C. ¬D. →答案：B5. 以下哪个是等价关系的属性？A. 自反性B. 对称性C. 反对称性D. 传递性答案：A6. 有限自动机中，状态可以被分为哪两种类型？A. 初始状态和终止状态B. 接受状态和拒绝状态C. 确定状态和非确定状态D. 静态状态和动态状态答案：B7. 在关系数据库中，下列哪个操作用于删除表中的行？A. INSERTB. DELETEC. UPDATED. SELECT答案：B8. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？B. ∃C. ∧D. ∨答案：A9. 在命题逻辑中，德摩根定律描述了哪些逻辑运算的对偶性？A. ∧ 和∨B. ¬和→C. ¬和↔D. → 和↔答案：A10. 树的深度优先搜索（DFS）算法通常使用哪种数据结构来实现？A. 队列B. 栈C. 链表D. 哈希表答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 在集合{1, 2, 3, 4, 5}中，子集的总数是_________。
答案：3212. 如果命题P为真，则命题P → Q的真值表中，Q的值必须为_________。
答案：真13. 在有向图中，一个顶点的入度是指_________。
答案：指向该顶点的边的数量14. 一个关系R(A, B, C)中，如果对于任意两个元组，当它们在属性A上的值相等时，它们在属性B和C上的值也相等，则称R具有_________。
答案：候选键15. 在布尔代数中，表达式(A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)的结果是_________。
自考02324离散数学习题1.8
自考02324离散数学习题1.81.用全真值表或部分真值表证明下列各题的有效结论。
⑴(p→(q→r))，p∧q⇒r((p→(q→r))∧(p∧q))→r的全真值表如表1.56所示。
表1.56由真值表可知，((p→(q→r))∧(p∧q))→r是永真式，所以(p→(q→r))，p∧q⇒r。
⑵⌝p∨q,⌝(q∧⌝r),⌝r⇒⌝p((⌝p∨q)∧(⌝(q∧⌝r))∧⌝r)→⌝p的全真值表如表1.57所示。
表1.57由真值表可知：((⌝p∨q)∧(⌝(q∧⌝r))∧⌝r)→⌝p是永真式，所以⌝p∨q，⌝(q∧⌝r)，⌝r⇒⌝p。
⑶⌝p∨q,r→⌝q⇒p→⌝r((⌝p∨q)∧(r→⌝q))→(p→⌝r)的真值表如表1.58所示。
表1.58→⌝r。
⑷p→q，q→r⇒p→r((p→q)∧(q→r))→(p→r)的真值表如表1.59所示。
表1.59⑸p∨⌝p,p→q,⌝p→q⇒q((p∨⌝p)∧(p→q)∧(⌝p→q))→q的真值表如表1.60所示。
表1.60由真值表可知：((∨⌝)∧(→)∧(⌝→))→是永真式，所以∨⌝,→,⌝→⇒q。
⑹p↔q，q↔r⇒p↔r((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)的真值表如表1.61所示。
表1.61由真值表可知：((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)是永真式，所以p↔q，q↔r⇒p↔r。
2.用等价演算法，主析取范式法或蕴含演算法证明上题中的各有效结论。
⑴(p→(q→r)),p∧q⇒r((p→(q→r))∧(p∧q))→r⇔⌝((p→(q→r))∧(p∧q))∨r⇔⌝((⌝p∨⌝q∨r)∧(p∧q))∨r⇔(p∧q∧⌝r)∨⌝(p∧q)∨r⇔(p∧q∧⌝r)∨⌝(p∧q∧⌝r)⇔1所以(p→(q→r)),p∧q⇒r⑵⌝p∨q,⌝(q∧⌝r),⌝r⇒⌝p((⌝p∨q)∧(⌝(q∧⌝r))∧⌝r)→⌝p⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝(q∧⌝r))∧⌝r)∨⌝p⇔((p∧⌝q)∨(q∧⌝r)∨r)∨⌝p⇔(p∧⌝q)∨(q∧⌝r)∨r∨⌝p⇔((p∧⌝q)∨⌝p)∨((q∧⌝r)∨r)⇔(⌝p∨⌝q)∨(q∨r)⇔1所以⌝p∨q,⌝(q∧⌝r),⌝r⇒⌝p⑶⌝p∨q,r→⌝q⇒p→⌝r((⌝p∨q)∧(r→⌝q))→(p→⌝r)⇔((⌝p∨q)∧(⌝r∨⌝q))→(⌝p∨⌝r)⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝r∨⌝q))∨(⌝p∨⌝r)⇔((p∧⌝q)∨(r∧q))∨(⌝p∨⌝r)⇔((p∧⌝q)∨⌝p)∨((r∧q)∨⌝r)⇔(⌝p∨⌝q)∨(q∨⌝r)⇔1所以⌝p∨q,r→⌝q⇒p→⌝r⑷p→q，q→r⇒p→r((p→q)∧(q→r))→(p→r)⇔((⌝p∨q)∧(⌝q∨r))→(⌝p∨r)⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨r))∨(⌝p∨r)⇔(p∧⌝q)∨(⌝r∧q)∨⌝p∨r⇔((p∧⌝q)∨⌝p)∨((⌝r∧q)∨r)⇔(⌝p∨⌝q)∨(q∨r)⇔1所以p→q，q→r⇒p→r⑸p∨⌝p,p→q,⌝p→q⇒q((p∨⌝p)∧(p→q)∧(⌝p→q))→q⇔(1∧(⌝p∨q)∧(p∨q))→q⇔⌝((⌝p∨q)∧(p∨q))∨q⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧⌝q)∨q⇔⌝q∨q⇔1所以p∨⌝p,p→q,⌝p→q⇒q⑹p↔q，q↔r⇒p↔r((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)⇔((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)∧(⌝q∨r)∧(⌝r∨q))→(p↔r)⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)∧(⌝q∨r)∧(⌝r∨q))∨(p∧r)∨(⌝p∧⌝r)⇔(p∧⌝q)∨(p∧r)∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝r)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)⇔((p∧(⌝q∨r))∨⌝(⌝q∨r))∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)⇔((⌝(⌝q∨r)∨(⌝q∨r))∧(p∨⌝(⌝q∨r)))∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)⇔(T∧(p∨⌝(⌝q∨r)))∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)⇔p∨(q∧⌝r)∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)⇔p∨(q∧⌝r)∨((q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r))∨(r∧⌝q)⇔p∨(q∧⌝r)∨((⌝p∧(q∨⌝r))∨⌝(q∨⌝r))⇔p∨(q∧⌝r)∨⌝p∨(⌝q∧r)⇔T所以p↔q，q↔r⇒p↔r3.推理证明下列各题的有效结论。
自考离散数学02324真题含答案(2009.4-2016.4年整理版)
全国2009年4月自学考试离散数学试题（附答案）课程代码：02324一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列为两个命题变元P，Q的小项是（）A．P∧Q∧⎤ P B．⎤ P∨QC．⎤ P∧Q D．⎤ P∨P∨Q2．下列语句中是真命题的是（）A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的3．设P：我们划船，Q：我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（）A．⎤ P∧⎤ Q B．⎤ P∨⎤ QC．⎤（P↔Q）D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式5．命题公式⎤（P∧Q）→R的成真指派是（）A．000，001，110，B．001，011，101，110，111C．全体指派D．无6．在公式（x∀）F（x，y）→（∃y）G（x，y）中变元x是（）A．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x，y>|x+y=10，x∈A，y∈A}，则R的性质是（）A．自反的B．对称的C．传递的、对称的D．反自反的、传递的8．若R和S是集合A上的两个关系，则下述结论正确的是（）A．若R和S是自反的，则R∩S是自反的B．若R和S是对称的，则R S是对称的C．若R和S是反对称的，则R S是反对称的D．若R和S是传递的，则R∪S是传递的9．R={<1，4>，<2，3>，<3，1>，<4，3>}，则下列不是．．t（R）中元素的是（）A．<1，1> B．<1，2>C．<1，3> D．<1，4>10．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（）A．1∈A B．{1，2，3}⊆AC．{{4，5}}⊂A D．∅∈A11．在自然数集N上，下列运算是可结合的是（）A．a*b=a-2b B．a*b=min{a，b}C．a*b=-a-b D．a*b=|a-b|12．在代数系统中，整环和域的关系是（）A．整环一定是域B．域不一定是整环C．域一定是整环D．域一定不是整环13．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（）A．B．C．D．14．设G为有n个结点的简单图，则有（）A．Δ(G)＜n B．Δ(G)≤nC．Δ(G)＞n D．Δ(G)≥n15．具有4个结点的非同构的无向树的数目是（）A．2 B．3C．4 D．5二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
自考02324离散数习题4.5
自考02324离散数习题4.51.设A有4个元素，A上等价关系有哪几个？解：A有15种划分，故有15个等价关系。
令A= ⎨1,2,3,4⎬R1= ⎨1⎬×⎨1⎬∪⎨2⎬×⎨2⎬∪⎨3⎬×⎨3⎬∪⎨4⎬×⎨4⎬R2= ⎨1⎬×⎨1⎬∪⎨2⎬×⎨2⎬∪⎨3,4⎬×⎨3,4⎬R3= ⎨1⎬×⎨1⎬∪⎨3⎬×⎨3⎬∪⎨2,4⎬×⎨2,4⎬R4= ⎨1⎬×⎨1⎬∪⎨4⎬×⎨4⎬∪⎨2,3⎬×⎨2,3⎬R5= ⎨2⎬×⎨2⎬∪⎨3⎬×⎨3⎬∪⎨1,4⎬×⎨1,4⎬R6= ⎨2⎬×⎨2⎬∪⎨4⎬×⎨4⎬∪⎨1,3⎬×⎨1,3⎬R7= ⎨3⎬×⎨3⎬∪⎨4⎬×⎨4⎬∪⎨1,2⎬×⎨1,2⎬R8= ⎨1,2⎬×⎨1,2⎬∪⎨3,4⎬×⎨3,4⎬R9= ⎨1,3⎬×⎨1,3⎬∪⎨2,4⎬×⎨2,4⎬R10= ⎨1,4⎬×⎨1,4⎬∪⎨2,3⎬×⎨2,3⎬R11= ⎨1,2,3⎬×⎨1,2,3⎬∪⎨4⎬×⎨4⎬R12=⎨1,2,4⎬×⎨1,2,4⎬∪⎨3⎬×⎨3⎬R13=⎨1,3,4⎬×⎨1,3,4⎬∪⎨3⎬×⎨3⎬R14=⎨2,3,4⎬×⎨2,3,4⎬∪⎨1⎬×⎨1⎬R15=⎨1,2,3,4⎬×⎨1,2,3,4⎬2.设R是A上的二元关系，判断R是否为A上的等价关系。
⑴A是实数集合，R=⎨<x,y>| x∈A∧y∈A∧x－y=2 ⎬⑵A=⎨1,2,3⎬，R=⎨<x,y>| x∈A∧y∈A∧x＋y≠3 ⎬⑶A= Z+(正整数集合)，R=⎨<x,y>| x∈A∧y∈A∧x×y是奇数⎬⑷A=P(X)，|X|≥2，R=⎨<x,y>| x∈A∧y∈A∧(x⊆y∨y⊆x)⎬解：⑴R不是A上的等价关系。
02324离散数学2020年10月试题及答案
绝密★考试结束前全国2020年10月高等教育自学考试离散数学试题课程代码：023241. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
2. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
选择题部分注意事项：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一 、单项选择题：本大题共15小题，每小题1分，共15分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1. 设P:我周末不加班，Q:我去爬山，命题“只要我周末不加班，我就去爬山”符号化为A.-PV-QB. PvQC. P→QD. Q→ P 2. 下列关系矩阵所对应的关系具有对称性的是....3. 下列图为欧拉图的是A. B. C. D.4. 如题4图所示的格中，元e 的补元是A. a 和bB. a 和c C . a 和d D. a 和f 5. 下列命题公式为矛盾式的是A.-(P→Q)^QvRB.(Pv(P^Q))→PC.-(PAQ)v(-P^-Q)D.-(P→Q)^Q题 4 图D C B A6. 设集合A中有4个元素，则A的不同的等价关系的个数为A. 11B. 12C. 15D. 167. 下列选项中与题7图互为补图的是A. B. C. D. 题7 图8. 在自然数集N上，a,b∈N,不满足交换律的运算是A. a*b= min(a,b)B. a*b=a+bC. a*b=a-bD.a*b=max(a,b)9. 下列式子中，不正确的是A.-3xA(x)= Vx-A(x)B.3x(A→B(x))=A→3xB(x)C.-VxB(x)=3x-B(x)D.Vx(A(x)→B)=VxA(x)→B10.下列图中不是哈密顿图的是A. B. C. D.11.设R为实数集，下列关系中能构成函数的是A. {(x,y>|x ∈R^y ∈RA(y²-2x=1)}B. {(x,y》|x ∈RAy ∈RA(x²+2y=1)}C. {(x,y>|x ∈R^y ∈RA(2y/x=1)}D. {<x,y>|x ∈RAy ∈RA(2y ·x=1)}12.谓词公式vx(F(x)^G(y)) →3y(H(x) →S(y,z)) 中量词Vx 的辖域是A.F(x)AG(y)B. F(x)C.Vx(F(x)^G(y))D. F(x),H(x)13.设R、S均为集合A上的二元关系，下列命题错误的是A. 若R和S是自反的，则R-S也是自反的B. 若R和S是反自反的，则R-S也是反自反的C. 若R和S是反对称的，则R-S也是反对称的D. 若R和S是对称的，则R-S也是对称的14.下列度数列可简单图化的是A.(5,4,4,2,1)B.(3,3,1,1)C.(4,4,3,3,2,2)D.(4,3,2,1)15.令S={a,b,c}上的二元运算*如题15表所示，则该代数系统不满足A. 交换律C. 结合律B. 幂等律D. 消去律题15表* a Ca ab bb b b bC b b c非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
自考02324离散数习题4.4
自考02324离散数习题4.41.设A =⎨1,2,3,4⎬，A 上二元关系R 定义为：R =⎨<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>⎬⑴ 求R 的自反闭包、对称闭包和传递闭包。
⑵ 用R 的关系矩阵和四阶单位阵求R 的自反闭包、对称闭包和传递闭包的关系矩阵。
再由关系矩阵写出它们的集合表达式。
⑶ 根据R 的关系图，画出R 的自反闭包，对称闭包和传递闭包的关系图，再由关系图写出它们的集合表达式。
总结出用R 的关系图求出R 的自反闭包，对称闭包和传递闭包关系图的一般方法。
解：⑴r(R )=⎨<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>⎬s(R )=⎨<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<3,2>,<4,3>⎬R 2=R R =⎨<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>⎬ R 3=R 2 R =⎨<1,2>,<1,4>,<2,1>,<2,3>⎬ R 4=R 2 R =⎨<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>⎬=R 2t(R )=R ∪R 2∪R 3∪R 4= ⎨<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>⎬ ⑵解：M R =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000100001010010 M r(R )= M R ∨AI M =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001010010∨⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000110001110011r(R )=⎨<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>⎬M s(R )= M R ∨TR M =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001010010∨⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0100001000010010=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0100101001010010s(R )= ⎨<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<3,2>,<4,3>⎬=2R M M R M R =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001010010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000100001010010=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000101001013R M =2R M M R =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000010100101 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001010010=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000001011010 4R M =3R M M R =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000001011010 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001010010=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000010100101M t(R )= M R ∨2R M ∨3R M ∨⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00001000111111114R Mt(R )= ⎨<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>⎬⑶R 的关系图如图4.30所示，R 的自反闭包、对称闭包和传递闭包的关系图如图4.31、图4.32和图4.33所示。
自考离散数学02324课后答案：[1]1.2章节
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1.分析下列语句哪些是命题，哪些不是命题； 如果是命题，指出其真值： a)北京是中国的首都。
b)上海是全国人口最多的城市。
c)今天天气多么好啊 d)11+1=100. e)雪是黑色的，当且仅当 50.
f)全体起立！
P:我在说谎。
看上去像是一个命题，但这是个愽论（如果 P 为 T,则我就不是在说谎了，如果 P 为 F 则我就是 在说谎了。所以无法辨别真假。） 自考需要坚持，为自己加油！自考离散数学 02324 课后答案(共 5 篇)下一篇：1.3 章节
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g)F； h)不是命题； i)T；
j)不是命题；
k)F。 3.将下列命题符号化 a)小李不但聪明而且用功。
b)昨天晚自习时小赵做了二三十道数学题。
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c)如果天下大雨，他就在体育馆内锻炼。 d)除非天下大雨，否则他不在室内运动。 e)不经一事，不长一智。
答案：
a)原子命题为：今天天气炎热；今天有雷阵雨 b)原子命题为：你去比赛；我去比赛； c)原子命题为：我看电视；我看电影；我做作
业；
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d)原子命题为：四边形 ABCD 是平行四边形； 四边形的对边平行； 另外要注意的是，一些悖论因为是无法辨别真 假的，所以不是命题，如
g)不存在最大素数。 h)x+6≥16. i)白色加红色可以调成粉红色。
j)明天你去看电影吗?
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k)火星上有生物。 答案： a)的真值为 T;
b)的真值为 T；
c)不是命题； d)的真值为 F； e)F；
自考02324离散数习题9.3
自考02324离散数习题9.31.有向图G如图9.20所示。
⑴求a到d的最短路和距离。
⑵求d到a的最短路和距离。
⑶判断G是哪类连通图，是强连通的？是单向(侧)连通的？还是弱连通的？⑷将有向图G略去方向得到无向图G'，对无向图G'讨论(1)，(2)两个问题。
解：⑴a到d的最短路为：aed，距离为d<a,d>=2。
⑵d到a的最短路为deba距离为d<d,a>=3。
⑶G是单向连通的和弱连通的，但不是强连通的。
⑷a到d的最短路为aed距离为d(a,d)=2。
d到a的最短路为dea距离为d(d,a)=2。
2.图9.21是有向图，试求该图的强分图，单向(侧)分图和弱分图。
解：结点集⎨1,2,3⎬导出子图是该图强分图；结点集⎨1,2,3,4,5,6⎬导出子图是该图的单向分图和弱分图，即该图是它自己的单向分图和弱分图。
3.G为无向连通图，有n个结点，m条边，证明m≥n–1。
对有向图，这个结论对吗?证明：对m归纳证明。
当m=0时，由于G是连通图，所以它必为平凡图，n=1，n-1≤m。
设m=k-1时，结论成立。
下证m=k时，结论也成立。
从G中删除一条边得G′, G′可能是连通的，也可能是不连通的。
⑴当G′是连通图时，G′有n个结点，k-1条边，由归纳假设n–1≤k-1＜k=m，即n–1≤m。
⑵当G′是不连通图时，G′有n个结点，k-1条边，设有2个连通分支，分别为：G1=<V1, E1>和G2=<V2,E2>。
| V1|+| V2|=n，| E1|+| E2|=k-1。
由归纳假设有| V i|－1≤| E i|，i=1,2。
| V 1|+| V 2|-2≤| E 1|+| E 2|，n –2≤k -1，n –1≤k =m ，即n –1≤m 。
因为强连通图和单向连通图都是弱连通的，所以这个结论也是成立的。
4.设G =<V ,E >是一个简单图，|V |≤2n ，∀v ∈V ，deg(v )≥n ，证明G 是连通图。
自考离散数学02324课后答案：[1]1.2章节
c)我既不看电视，也不去看电影，我准备做作
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业。 d)四边形 ABCD 是平行四边形，当且仅当它的 对边平行。
答案：
a)原子命题为：今天天气炎热；今天有雷阵雨 b)原子命题为：你去比赛；我去比赛； c)原子命题为：我看电视；我看电影；我做作
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k)火星上有生物。 答案： a)的真值为 T;
b)的真值为 T；
c)不是命题； d)的真值为 F； e)F；
f)不是命题；
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g)F； h)不是命题； i)T；
j)不是命题；
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c)设 P:天下大雨；Q：他在体育馆内锻炼则本
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例符号化为：P→Q d)设 P:天下大雨；Q：他在室内运动则本例符 号化为：|P→|Q
e)设 P:经一事；Q:长一智则本例符号化为： |P→|Q
4.将下列复合命题分成若干原子命 a)今天天气炎热，且有雷阵雨。 b)如果你不去比赛，那么我也不去比赛。
业；
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d)原子命题为：四边形 ABCD 是平行四边形； 四边形的对边平行； 另外要注意的是，一些悖论因为是无法辨别真 假的，所以不是命题，如
P:我在说谎。
看上去像是一个命题，但这是个愽论（如果 P 为 T,则我就不是在说谎了，如果 P 为 F 则我就是 在说谎了。所以无法辨别真假。） 自考需要坚持，为自己加油！自考离散数学 02324 课后答案(共 5 篇)下一篇：1.3 章节
k)F。 3.将下列命题符号化 a)小李不但聪明而且用功。
b)昨天晚自习时小赵做了二三十道数学题。
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自考02324离散数习题4.7
自考02324离散数习题4.71.集合A是自然数集合的子集，A上的整除关系R是偏序关系。
定义为R=⎨<x,y>| x∈A ∧y∈A∧x整除y⎬。
求出下列集合A上的盖住关系COV A，画出哈斯图，指出该偏序关系是否为全序关系。
⑴A=⎨3,9,27,54⎬⑵A=⎨1,2,3,4,6,8,12,24⎬⑶A=⎨1,3,5,9,15,18,27,36,45,54⎬⑷A=⎨1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12⎬解：⑴R=⎨<3,9>,<3,27><3,54>,<9,27>,<9,54><27,54>⎬∪I A集合A上的盖住关系COV A=⎨<3,9>,<9,27><27,54>⎬哈斯图如图4.39所示。
R是全序关系。
⑵R=⎨<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,<1,24>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>,<2,24>,<3,6>,<3,12>,<3,24>,<4,8>,<4,12>,<4,24>,<6,12>,<6,24>,<8,24>,<12,24>⎬∪I ACOV A=⎨<1,2>,<1,3>,<2,4>,<2,6>,<3,6>,<4,8>,<4,12>,<6,12>,<8,24>,<12,24>⎬哈斯图如图4.40所示。
R不是全序关系。
自考02324离散数习题8.2
自考02324离散数习题8.21.设<X,≼>是布尔格，a,b∈X，证明a′∨b＝1当且仅当a≼b证明：设a′∨b＝1，下证a≼ba＝a∧1＝a∧(a′∨b)= (a∧a′)∨(a∧b)=0∨(a∧b)= a∧b，由定理8.1.4有a≼b。
设a≼b，下证a′∨b＝1。
由a≼b知，a∨b=b，a′∨b=a′∨(a∨b)=(a′∨a)∨b=1∨b=12.设<X,∨,∧, ′>是布尔代数，在X上定义二元运算*为：a*b=(a∧b′)∨(a′∧b)证明<X,*>是阿贝尔群。
证明：(1)*运算在X上封闭是显然的。
(2)(a*b)*c=((a∧b′)∨(a′∧b))*c=(((a∧b′)∨(a′∧b))∧c′)∨(((a∧b′)∨(a′∧b))′∧c)=((a∧b′∧c′)∨(a′∧b∧c′))∨(((a′∨b)∧(a∨b′))∧c)=(a∧b′∧c′)∨(a′∧b∧c′)∨(((a′∧a)∨(a′∧b′)∨(b∧a)∨(b∧b′))∧c)=(a∧b′∧c′)∨(a′∧b∧c′)∨(((a′∧b′)∨(b∧a))∧c)=(a∧b′∧c′)∨(a′∧b∧c′)∨(a′∧b′∧c)∨(a∧b∧c)a*(b*c)=(a∧((b∧c′)∨(b′∧c))′)∨(a′∧((b∧c′)∨(b′∧c)))=(a∧((b′∨c)∧(b∨c′)))∨(a′∧b∧c′)∨(a′∧b′∧c)=(a∧((b′∧b)∨(b′∧c′)∨(c∧b)∨(c∧c′)))∨(a′∧b∧c′)∨(a′∧b′∧c)=(a∧((b′∧c′)∨(c∧b)))∨(a′∧b∧c′)∨(a′∧b′∧c)=(a∧b′∧c′)∨(a∧b∧c)∨(a′∧b∧c′)∨(a′∧b′∧c)所以，(a*b)*c=a*(b*c)，*运算在X上是可结合的。
(3) 全下界0∈X是幺元。
a*0＝(a∧0′)∨(a′∧0)＝(a∧1)∨0＝a∧1＝a0*a＝(0∧a′)∨(0′∧a)＝0∨(1∧a) =1∧a＝a(4) ∀a∈X，a*a=(a∧a′)∨(a′∧a)=0∨0=0所以，a-1＝a，<X,*>是群。
自考02324离散数习题7.6
自考02324离散数习题7.61.如果将同构的代数系统看作是相同的，那么，具有两个元素的代数系统(运算是封闭的)可以有多少种?解：由于含两个元素的运算表中仅有4个方格，所以当运算为封闭时，共有24=16种不同的运算结果；当同构的代数系统看作是相同时，那么两个元素的代数系统(运算是封闭的)共有8种。
2.设<N12,＋12>和<N6,＋6>是群，f是从<N12,＋12>到<N6,＋6>的一个同态映射，定义为f(3k)=0，f(3k+1)=2，f(3k+2)=4，k=0,1,2,3。
(1)试求同态像<f(N12),＋6>，其中f(N12)＝⎨f(a) | a∈N12⎬(2)证<f(N12),＋6>是群。
(3)试求f的同态核Ker(f)。
(4)验证<Ker(f),＋12>是<N12,＋12>的正规子群。
证明：⑴f(N12)＝⎨f(a) | a∈N12⎬＝⎨0,2,4⎬。
同态像<f(N12),＋6>是<⎨0,2,4⎬,＋6>⑵考察代数系统<⎨0,2,4⎬,＋6>。
显然，＋6在⎨0,2,4⎬上是封闭的且满足结合率；0是幺元；0−1＝0，2−1＝4，4−1＝2。
所以<f(N12),＋6>(<⎨0,2,4⎬,＋6>)是群。
⑶Ker(f)＝⎨x|x∈N12∧f (x)＝0⎬＝⎨0,3,6,9⎬⑷Ker(f)＝⎨0,3,6,9⎬⊆N12，显然，＋12在⎨0,3,6,9⎬上是封闭的且满足结合率；0是幺元；0−1＝0，3−1＝9，6−1＝6，9−1＝3。
所以<Ker(f),＋12>是<N12,＋12>的子群。
因为<N12,＋12>是阿贝尔群，根据例7.9，<Ker(f),＋12>是<N12,＋12>的正规子群。