清华大学研究生课程《钢筋混凝土有限元》

τ ( kgf/cm 2 ) = 100 × 10 2 S (cm) − 58.5 × 10 6 S 2 + 8.53 × 10 9 S 3
!
τ (kgf/cm 2 ) = (54 × 103 S (cm) − 25.7 × 10 6 S 2 + 5.98 × 109 S 3 − 0.558 × 1012 S 4 )
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单根钢筋的刚度矩阵
cosθ sin θ [K ] = EA l cos θ
2
几何变形相似
Ub U2 = b1 l2 Ub = Vb = U 2 b1 l2 V2 b1 l2
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钢筋单元
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钢筋与混凝土的界面单元形式
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弹簧单元
[∆w'] =
[K ] =
− cosθ sin θ
常用单元 桁架单元 梁单元 二维或三维
弹簧单元
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Spring, link Goodman
∆u ' − cosθ = ∆v ' sin θ
[ε ] = [B ] = ∂[N ] ∂{x}
B 几何矩阵
ui v 0 i u j cm v j bm u m v m
1 xi 1 ∆ = 1 xj 2 1 xm
yi yj ym
u N i = v 0
钢筋与混凝土的粘结滑移本构
[K ] = [T ]T [K '][T ]
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局部粘结滑移关系
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反复荷载下的粘结滑移关系
滕智明模型
Nilson Houde & Mirza
fc ' 415
sin θ − cos θ cos θ sin θ
sin θ − cosθ
T
cosθ sin θ
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滑移单元
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ui sin θ vi cosθ u j v j
sin θ − cosθ cosθ sin θ sin θ cosθ
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高斯积分
[K ] = ∫−1 ∫−1 [B ] [D ][B ] J tdξdη = ∑∑ wi ([B ] [D ][B ] J t ) i
1 1 T T i =1 j =1 n n
其他常用单元
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参阅教学网页上相关程序
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滕智明
τ (MPa ) = (61.5S (mm) − 693S 2 + 3.14 × 10 3 S 3 − 0.478 ×10 4 S 4 ) f ts c / d F ( x)
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[J ] = 1
x1 − (1 − η ) (1 − η ) (1 + η ) − (1 + η ) x2 4 − (1 − ξ ) (1 − ξ ) (1 + ξ ) − (1 + ξ ) x3 x4
y1 y2 y3 y4
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雅可比矩阵
∂N i ∂N i ∂x ∂N i ∂y = + ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ
∂N i ∂x ∂ξ ∂ξ = ∂N i ∂x ∂η ∂η
∂N i ∂N i ∂x ∂N i ∂y = + ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η
v = ∑ N i vi
形函数矩阵
[∆w'] =
u1 ' v ' 1 u ' 1 x' 1 x' 1 x' 1 x' 2 0 −( + ) 0 ( + ) 0 ( − ) 0 v ' − ( 2 − l ) 2 2 l 2 l 2 l 1 x' 1 x' 1 x' 1 x' 0 −( − ) 0 −( + ) 0 ( + ) 0 ( − ) u 3 ' 2 l 2 l 2 l 2 l v ' 3 u ' 4 v4 ' ∆u ' = [N '][δ '] = ∆v '
i =1
N1 =
1 (1 − ξ )(1 − η ) 4 1 N 2 = (1 + ξ )(1 − η ) 4 1 N 3 = (1 + ξ )(1 + η ) 4 1 N 4 = (1 − ξ )(1 + η ) 4
∂y ∂N i ∂N i x ∂ξ ∂x ∂N = [J ] ∂∂ N ∂y i i ∂ y ∂y ∂η
! ! !
n 1
高斯点 0.0
权因子 2 .0
平面8节点等参元 空间8节点等参元
2 ± 1/ 3 1.0 3 ± 0.7745967 0.555556 0.0 0.888889
planarFEM.pdf 3D_Solid_src.pdf source_planefem.zip
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常用的钢筋混凝土有限元组合方式：
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将钢筋与混凝土分别作为不同单元来处 理 一般将混凝土简化为实体单元，钢筋简 化为梁单元或桁架单元 钢筋与混凝土之间的滑移可以通过在钢 筋与混凝土之间添加相应的界面单元加 以模拟
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分离式模型
常用的混凝土单元
平面三角形单元
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取单元内部的位移场为
m
j
u = a1 + a 2 x + a 3 y v = b1 + b2 x + b3 y
u i = a1 + a 2 x i + a 3 y i
i
u j = a1 + a 2 x j + a3 y j u m = a1 + a 2 x m + a 3 y m
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局部坐标系下的刚度矩阵
2k x ' 0 2k y ' sym kx ' 0 2k x ' 0 ' 0 2 ' k k y y [K '] = l 0 − 2k x ' 0 2k x ' 6 − kx ' 39; 0 2k y ' 0 − 2k ' 0 0 0 2k x ' kx ' kx ' x − 2k y ' 0 − ky ' 0 0 2k y ' ky ' 0
! !
最早由Goodman提出作为岩石力学中的 节理单元 单元宽度为零，不影响网格划分 与混凝土单元位移插值函数一样
1 [(u 3 '−u 2 ') + (u 4 '−u1 ')] 2 1 [(v3 '−v 2 ') + (v4 '−v1 ')] 2
1 [(u3 '−u 2 ') + (u 4 '−u1 ')] l 1 [(v3 '−v 2 ') + (v 4 '−v1 ')] l
=
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单元刚度矩阵
[D ] =
1 ν 0 E ν 1 0 1 −ν 1−ν 0 0 2
三角形单元程序
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等参单元
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PlanarFEM
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钢筋与混凝土的组合
分离式模型
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钢筋混凝土有限元模型
江见鲸 陆新征 清华大学土木工程系 2005
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钢筋混凝土有限元分析的复杂性：
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材性本身的复杂性 材料组合的复杂性 分离式模型 组合式模型 整体式模型
整体坐标系 局部坐标系
[K ] = [B ]T [D ][B ]t∆
参考网页上的教学程序planarFEM.pdf
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母单元插值函数
u = ∑ N i ui
i =1 4 4
单元内应变场
ai = x j y m − xm y j bi = y j − y m ci = − x j + x m
m i j
形函数