2020届虹口区高考数学一模.
上海市虹口区2020年高三第一学期期末(高考一模)学科质量检测数学试卷(word解析版)
设y＝f（x）＝2f﹣1（x）,函数过（x，y）,反函数过（x， ）,
所以f（x）同时过（x，y）,（ ，x）,
代入 ,得 ,所以x＝1
故答案为：1
【点睛】本题考查反函数的应用,考查对数的运算,考查运算能力
9.已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：_____．
所以 ,整理得 ,解得x＞1或x＜0,
所以∁UA＝{x|0≤x≤1}
故答案为：{x|0≤x≤1}
【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义
2.设复数 (i为虚数单位)，则 ＝_______
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，进而可得结果.
【详解】因为 ,
【答案】
【解析】
【分析】
整理x ,再利用均值不等式求解即可
【详解】设x∈R+,则x 1 ,
当且仅当（x+1）2＝2,即x＝ 时,等号成立
故答案为：
【点睛】本题考查利用均值不等式求最值,属于基础题
4.若 0，则锐角x＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得2cos2x﹣sin2x＝0,即2cos2x﹣2sinxcosx＝0,则sinx＝cosx,可求出
A.﹣4B.﹣2C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用 可得 关于 对称,因为 关于 对称,则推测 关于 对称,再将 代回 检验即可
【详解】由 可得 关于 对称,
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 3【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO 3∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×2×33 A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．2B ．1121-C 521+D ．23【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 3．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-【答案】A【解析】【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：A ．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．4．()()()()()*121311x x x nx n N+++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．3n CB ．21nC + C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B【解析】【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论．【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．5．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( )A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+ 【答案】C【解析】【分析】由题意得210m m -+=，可求得13m =，再根据共轭复数的定义可得选项. 【详解】 由题意得210m m -+=，解得13m =，所以1133z i =-+，所以1133z i =--， 故选：C.【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.6．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25 B ．2 C ．72D ．3 【答案】B【解析】【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】 过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SA SF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B .【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 7．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C k k k a x +⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果.【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.8．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】B【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.9．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x y B ．221714x y -= C ．22136x y -= D ．221147y x -=【答案】B【解析】【分析】 根据所求双曲线的渐近线方程为y 2x =±，可设所求双曲线的标准方程为222x y-=k ．再把点()22,2-代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程． 【详解】∵双曲线的渐近线方程为y 2x,=±∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又()22,2-在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-= 故选：B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．10．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】 作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322z y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 32206z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.11．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t = 【答案】C【解析】【分析】由基本音的谐波的定义可得12()f nf n *=∈N ,利用12f T ωπ==可得12()n n ωω*=∈N ,即可判断选项. 【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由12f T ωπ==,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*=∈N , 故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.【详解】依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
上海市虹口区2019-2020学年高三第一学期数学一模考试卷
虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 试卷 2019年12月考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1. 设全集21,1,x U R A x x -⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭若则U A =ð_______． 2．若复数31iz i-=+（i 为虚数单位），则z =_________. 3. 设,x R +∈则21x x ++的最小值为________. 4．若sin2cos 0,2cos 1x x x= 则锐角x =_________.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为274,12,8,n S a a S +==若则n a =_______.6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为________.7. 设6270127(21)(1),x x a a x a x a x --=++++L 则5________.a =8. 设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_______. 9. 已知,m n α是平面外的两条不同直线. 给出三个论断：①;m n ⊥②//;n α③.m α⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________________.10. 的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅=u u u r u u u r _________.（第16题图）B11.如图，12,F F 分别是双曲线222:1x C y a-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若212,0,F A AB FB F B =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则双曲线C 的焦距12F F 为________. 12. 已知函数()f x 的定义域为(],0,2,()(2),R x f x x x ∈=-当时且对任意的,x R ∈均有 (2)2().f x f x += 若不等式15()2f x ≤在(],x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.设,x R ∈则“11x -<”是“24x <”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则θ的一个值可以是 （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）23π- 15．已知函数()2,(),f x x g x x t =+=+定义函数(),()g(),()g(),()g().f x f x x F x x f x x ≤⎧=⎨>⎩当当若对任意的,x R ∈都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为 （ ）（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心， 正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称， 则这两个正四面体的公共部分的体积为 （ ） （A ）13（B ）12（C ）23 （D ）341（第18题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 在ABC ∆中，18,6,cos .3a b A ===- 求 （1）角B ； （2）BC 边上的高.18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点111C A B 为弧的中点. 求（1）异面直线11OC AC 与所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OAC -的体积.19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙3种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k （k 2≥为正整数）.（1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知两点12(0),0),F F 设圆O ：224x y +=与x 轴交于,A B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示.记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合 的直线l 与轨迹Γ交于,M N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =,R 求证：2F R l ⊥u u u u r ； （3）记,ABM ABN ∆∆的面积分别为12,,S S 求12S S -的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.在数列{}n a 中，1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.（1）求证：456,,a a a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323,2n n nn S S n a a a =+++-L 试问是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.A虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6.17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 3A A =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分sinC sin()cosA)2A B =+=+=（） 因…… 10分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分.解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC ==u u u r u u u u r ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r 因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π……4分 （2）由于1(0,0,2)OO =u u u u r是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-u u u u r,……6分 设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u u r u u u u r于是，直线1CC 与圆柱1OO底面所成角的大小为 …… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故121221.4y y y y m +==-+从而1212()x x m y y+=++=于是Q……7分所以),OQ m=-u u u r于是直线40.OQ mx y+=的方程为由40,mx yx+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而2)).F R m==-u u u u r由于直线l的法向量2(1,m)//,F R-u u u u r故2.F R l⊥u u u u r……10分解：（3）由（2）知121221.4y y y ym+==-+故111222112,2,22S AB y y S AB y y=⋅==⋅=……12分而120,y y<故12121222S S y y y y-=+=-=……14分由于12S S-最大时0,m≠故12mmS S-=≤=+当且仅当2m=时，等号成立.因此12maxS S-=此时直线l的方程为20,20.x y x y+=-或……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.证：（1）因为1212210,,,,2m m ma m N a a a m*-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.所以，当121321,0,22,24;m a a a a a===+==+=时当343542,4,48,412;m a a a a a===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a===+==+=时于是65543,2a aa a==故456,,a a a成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m mm N a a m*+-∈-=任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+L L结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有 故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=--L L L 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++L L L 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2nn S n →+∞-=-……18分。
2020年上海市虹口区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)
（第10题图）2020年上海市虹口区高三一模数学试卷（含答案）（精校Word 版）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1. 设全集21,1,x U R A x x -⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭若则U A =ð_______． 2．若复数31iz i-=+（i 为虚数单位），则z =_________. 3. 设,x R +∈则21x x ++的最小值为________. 4．若sin2cos 0,2cos 1x x x= 则锐角x =_________.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为274,12,8,n S a a S +==若则n a =_______.6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为________.7. 设6270127(21)(1),x x a a x a x a x --=++++则5________.a =8. 设1()fx -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_______. 9. 已知,m n α是平面外的两条不同直线. 给出三个论断：①;m n ⊥②//;n α③.m α⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________________.10. 的直角三角 板拼在一起，则OD AB ⋅=_________.（第16题图）B11.如图，12,F F 分别是双曲线222:1x C y a-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若212,0,F A AB FB F B =⋅=则双曲线C 的焦距12F F 为________. 12. 已知函数()f x 的定义域为(],0,2,()(2),R x f x x x ∈=-当时且对任意的,x R ∈均有 (2)2().f x f x += 若不等式15()2f x ≤在(],x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.设,x R ∈则“11x -<”是“24x <”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则θ的一个值可以是 （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）23π- 15．已知函数()2,(),f x x g x x t =+=+定义函数(),()g(),()g(),()g().f x f x x F x x f x x ≤⎧=⎨>⎩当当若对任意的,x R ∈都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为 （ ）（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心， 正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称， 则这两个正四面体的公共部分的体积为 （ ） （A ）13（B ）12（C ）23 （D ）341（第18题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 在ABC ∆中，18,6,cos .3a b A ===- 求 （1）角B ； （2）BC 边上的高.18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点111C A B 为弧的中点. 求（1）异面直线11OC AC 与所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OAC -的体积.19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙3种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k （k 2≥为正整数）.（1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知两点12(0),0),F F 设圆O ：224x y +=与x 轴交于,A B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示.记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合 的直线l与轨迹Γ交于,M N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =,R 求证：2F R l ⊥； （3）记,ABM ABN ∆∆的面积分别为12,,S S 求12S S -的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.在数列{}n a 中，1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.（1）求证：456,,a a a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323,2n n nn S S n a a a =+++-试问是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.AA参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6.17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 33AA =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分sinC sin()cosA)2A B =+=+=（） 因 (10)分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分.解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC == ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π......4分 （2）由于1(0,0,2)OO =是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-, (6)分 设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111(1,sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅ 于是，直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为arcsin…… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故1212221,.44y y y y m m +=-=-++从而1212()x x m y y+=++=于是Q……7分所以3),OQ m=-于是直线40.OQ mx y+=的方程为由40,mx yx+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而23()).F R m==-由于直线l的法向量2(1,m)//,F R-故2.F R l⊥……10分解：（3）由（2）知121221.4y y y ym+==-+故111222112,2,22S AB y y S AB y y=⋅==⋅= (12)分而120,y y<故12121222S S y y y y-=+=-=……14分由于12S S-最大时0,m≠故12mmS S-=≤=+当且仅当2m=时，等号成立.因此12maxS S-=此时直线l的方程为20,20.x y x y+=-=或……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.证：（1）因为1212210,,,,2m m ma m N a a a m*-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.所以，当121321,0,22,24;m a a a a a===+==+=时当343542,4,48,412;m a a a a a===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a===+==+=时于是65543,2a aa a==故456,,a a a成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m mm N a a m*+-∈-=任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有 故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=-- 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++ 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2nn S n →+∞-=-……18分。
2020年上海市虹口区高考数学一模试卷试题及答案
2020年上海市虹口区高三高考数学一模试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．设全集U R =，若21{|1}x A x x-=>，则U A =ð ． 2．设复数3(1ii i-+为虚数单位），则||z = ． 3．设x R +∈，则21x x ++最小值为 ． 4．若sin 2cos 02cos 1x xx =，则锐角x = ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a = ． 6．抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为 ． 7．设6270127(21)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则5a = ．8．设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为 ． 9．已知m 、n 是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n ⊥；②//n α；③m α⊥；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）: ．10的直角三角板拼在一起，则OD AB = ．11．如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =，120F B F B =，则双曲线C 的焦距12||F F 为 ．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当(0x ∈，2]时，()(2)f x x x =-，且对任意的x R ∈，均有(2)2()f x f x +=，若不等式15()2f x …在(x ∈-∞，]a 上恒成立，则实数a 的最大值为 ． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．设x R ∈，则“|1|1x -<”是“24x <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0，]2π上为增函数，则θ的一个值可以是( ) A ．6πB ．3πC ．23π D ．23π-15．已知函数()|2|f x x =+，()||g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ⎧=⎨>⎩…，若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为( ) A ．4-B ．2-C ．0D ．216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A ．13B ．12C ．23D ．34三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分） 17．在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．18．如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求：（1）异面直线OC 与11A C 所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OA C -的体积．19．某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1（单位：件），已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为(2k k …为正整数）． （1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．20．（16分）已知两点1(F ，0)、2F ，0)，设圆22:4O x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点． （1）求轨迹Γ的方程；（2）设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =相交于点R ，求证：2F R l ⊥； （3）记ABM ∆、ABN ∆面积分别为1S 、2S ，求12||S S -的最大值及此时直线l 的方程．21．（18分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*m N ∈，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列．（1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323n n n S a a a =++⋯⋯+，试问2n S n -是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．设全集U R =，若21{|1}x A x x-=>，则U A =ð {|01}x x 剟． 解：全集U R =，若21{|1}x A x x-=>， 所以211x x ->，整理得10x x->，解得1x >或0x <， 所以{|01}U A x x =剟ð． 故答案为：{|01}x x 剟．2．设复数3(1ii i-+为虚数单位），则||z ．解：复数3(1iz i i-=+为虚数单位），则|3||||1|i z i -===+．．3．设x R +∈，则21x x ++最小值为 1- ．解：设x R +∈，则22111)1111(1)x x x x x +=++--=-+++…，当且仅当2(1)2x +=，即1x =时，等号成立．故答案为：1． 4．若sin 2cos 02cos 1x x x =，则锐角x4． 解：由于sin 2cos 02cos 1x xx =，所以22cos sin 20x x -=，由于x 为锐角，所以sin cos x x =，解得4x π=．故答案为：4π5．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a = 23n - ． 解：设首项为1a ，公差为d 等差数列{}n a 的前n 项和n S ， 若2712a a +=，48S =， 则27141271234482a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，所以12(1)23n a n n =-+-=-， 故答案为：23n -6．抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为 1 ．解：抛物线26x y =的焦点为3(0,)2，所以点3(0,)2到直线3410x y +-=的距离515d ===． 故答案为：1．7．设6270127(21)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则5a = 36 ． 解：利用6(1)x -二项式的展开式：616(1)r r r r T C x -+=-， 令2r =时，得6(1)x -展开式中含4x 的系数，即2615C =，令1r =时，得6(1)x -展开式含5x 的系数，即16(1)6C -=-． 所以621)(1)x x --=展开式中5x 的系数为215(1(6)36⨯+-⨯-=． 故答案为：36．8．设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为 1 ． 解：1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数， 设1()2()y f x f x -==，函数过(,)x y ，反函数过(,)2yx ，所以()f x 同时过(,)x y ，(2y，)x ，代入2122(41)(4)x yy log x log -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得241221y x x y ⎧=-⎨=-⎩，所以1x =， 故答案为：19．已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n⊥；②//nα；③mα⊥；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）:若②③则①．解：已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n⊥；②//nα；③mα⊥；当mα⊥时，m必垂直于平面α内的任意一条直线，由于//nα，所以m n⊥，如图所示故答案为：若②③则①．10的直角三角板拼在一起，则OD AB=1-．解：以O为原点，OA、OB分别为x、y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：(0,0)O，(1,0)A，(0,1)B，D点横坐标的求法：11Dx==，纵坐标：Dy==，∴33(1,)(1,1)1 OD AB=+-=-．故答案为：1-．11．如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =，120F B F B =，则双曲线C 的焦距12||F F 为解：设(A m ，)(0)mm a>，2(,0)F c ， 由中点坐标公式可得，2(2,)mB m c a-， 代入渐近线方程x y a =-，得21(2)m m c a a =--，得4c m =． 由120F B F B =，得22221(2,)(2,)(1)0m m m m c m mc a a a-=+-=， 将4c m =代入，得2221(1)0164c c a +-=，得213a =，∴212||221F F c a ==+=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当(0x ∈，2]时，()(2)f x x x =-，且对任意的x R ∈，均有(2)2()f x f x +=，若不等式15()2f x …在(x ∈-∞，]a 上恒成立，则实数a 的最大值为 4． 解：利用转点法，设015(,)2A x ，在[6x ∈，8]上，则015(2,)4x -在[4x ∈，6]上， 015(4,)8x -在[2x ∈，4]上，015(6,)16x -在[0x ∈，2]上，即()(2)f x x x =-过015(6,)16x -， 所以0015(6)(8)16x x --=，解得0274x =． 故答案为：274． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．设x R ∈，则“|1|1x -<”是“24x <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：|1|102x x -<⇔<<， 2422x x <⇔-<<， (0，2)(2-Ü，2)，∴ “|1|1x -<”是“24x <”的充分不必要条件，故选：A ．14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0，]2π上为增函数，则θ的一个值可以是( ) A ．6πB ．3πC ．23π D ．23π-解：根据题意，())cos(2)f x x x ϕϕ=+++，1)cos(2)]2x x ϕϕ=+++， 2sin(2)6x πϕ=++，若()f x 为偶函数，则有162k πϕππ+=+，即13k ϕππ=+，k Z ∈， 结合选项可知，当1k =-时，23πϕ=-，1()2sin(2)2cos 22f x x x π=-=-满足偶函数且在[0，]2π上为增函数，满足题意．故选：D ．15．已知函数()|2|f x x =+，()||g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ⎧=⎨>⎩…，若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为( ) A ．4-B ．2-C ．0D ．2解：若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立， 则函数()F x 关于1x =对称，作出函数()f x 的图象， 则()f x 关于2x =-对称，由()F x 的对应值则()g x 关于x t =-对称， 即212t--=，得22t --=， 得4t =-， 即t 的值为4-， 故选：A ．16．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解：正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，根据几何体的对称性，重叠部分的体积为，大正四面体的体积减去4个尖端的小棱锥的体积(4个体积相等）， 其中每个小锥体积为18．所以公共部分的体积为11482⨯=．故选：B ．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分） 17．在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．解：（1）在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，所以角A 为钝角，由22sin cos 1A A +=，解得sin A =利用正弦定理的应用sin sin a b A B =，解得sin B =，所以4B π=． （2）根据（1）的结论，1sin sin()sin cos cos sin ()3C A B A B A B =+=+=-=．所以11sin 861622ABC S ab C ∆==⨯⨯=-，由于1116822ah h =-=⨯⨯，解得4h =-，故BC 边上的高为4．18．如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求： （1）异面直线OC 与11A C 所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OA C -的体积．解：（1）作11//OD O C ，以O 为原点，OD 为x 轴，OB 为y 轴，1OO 为z 轴， 如图所示：所以求出各点的坐标为(0O ，0，0)，(0C ，1，1)，1(0A ，1-，2)，1(1C ，0，2)． 则(0,1,1)OC =，11(1,1,0)A C =．异面直线OC 和11A C 的夹角为11111cos 2||||2OC A C OC A C θ===． 所以异面直线OC 与11A C 所成角的大小为3π．（2）根据图形1(1,1,1)CC =-，底面的法向量为(0,0,1)n =． 所以线面的夹角为111sin cos ,||||31CC nCC n CC n θ=<>===⨯． 所以直线1CC 与底面的夹角为 （3）锥体的体积11113COA C OA CV Sh -=⨯⨯，在△1OA C中，OC =，1OA =1A C = 所以等腰三角形的面积为11322OA CS==．棱锥的高即为1C 到底面1OA C 的距离1h =， 所以三棱锥11C OA C -的体积为1311322⨯⨯=．19．某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1（单位：件），已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为(2k k …为正整数）． （1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．解：（1）依题意：生产乙部件的人数为kx ，生产丙部件的人数为(200)x kx ---，甲部件的数量为300026000⨯=．． 所以生产时间为6000010006x x=，同理生产乙部件的数量为300026000⨯=，生产时间为600020003kx kx=-， 丙部件数量为300013000⨯=，生产时间为300015002(200)200x kx x kx=-----．（2）依题意，在（1）的基础上同时开工，求最短时间，由于2k …，所以比较甲、乙的时间得：10002000x kx…（甲部件的生产时间长）， 所以完成订单任务时间由甲和丙部件中较长的决定． ①当10001500200x x kx --…时，得到40025x k +…， 此时，完成订单时间为1000x ，当40025x k =+时，取最小值． ②当10001500200x x kx --…，得到40025x k +…．此时，完成订单时间为1500200x kx --，当40025x k =+时，取最小值．当2k =时，4009x …，当45x =时，此时的订单时间为150030023.08200459013==--．由于22073230.8<，所以①中计算结果耗时最短． 综上所述，当2k =时，44x =时完成订单时间最短． 此时，生产甲、乙、丙部件的人数为44，88，68人．20．（16分）已知两点1(F ，0)、2F ，0)，设圆22:4O x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点． （1）求轨迹Γ的方程；（2）设线段MN 的中点为Q ，直线OQ与直线x =相交于点R ，求证：2F R l ⊥； （3）记ABM ∆、ABN ∆面积分别为1S 、2S ，求12||S S -的最大值及此时直线l 的方程．解：（1）依题意：设2||PF 的中点为C ，切点为T ，由图可知OC 为△12F PF 的中位线，所以122||||2||2||224PF PF OC CF +=+=⨯=>， 所以点P 的轨迹为椭圆，所以2a =，c =，1b =．所以方程为2214x y +=．证明：（2）设直线(0)y k x k =≠，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．所以2214(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得2224(4x k x +-=，变形为2222(14)1240k x x k +-+-=，所以12x x +=212212414k x x k-=+．点Q 的横坐标1202x xx +==． 点Q的纵坐标00(y k x k ===． 直线OQ 为14y x k=-与直线x=R ，所以R． 由23(F R =，直线l 的方向向量(1,)k ， 所以20F R l =，即：2F R l ⊥；（3）在（2）的基础上设点M 和N 在x 轴的上下两侧， 所以11||2M S AB y =，211||||||22N N S AB y AB y ==-． 121||||||2M N SS AB y y -=+． 由1122((y k x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以1212(y y k x x +=+-，代入12x x +=所以122111||4||||||121444k S S k k k k-=⨯⨯-===++…当且仅当14k k =，即12k =±时，12||S S - 直线方程为1(2y x =±．21．（18分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*m N ∈，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列．（1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323n n n S a a a =++⋯⋯+，试问2n S n -是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）令1m =时，1a ，2a ，3a 构成以2为公差的等差数列，所以22a =，34a =． 令2m =时3a ，4a ，5a 构成以4为公差的等差数列，所以48a =，512a =．令3m =时5a ，6a ，7a 构成以6为公差的等差数列，所以618a =，724a =． 由2546144a a a ==，得到4a ，5a ，6a 成等比数列．解：（2）由（1）得数列{}n a 的前几项为：0，2，4，8，12，18，24． 所以22121222mm m m a a m a a m-+=+⎧⎨=+⎩，所以21214m m a a m +--=．由累加法得到211(1)4[121]42(1)2m m m a a m m m ---=⨯++⋯+-=⨯=-． 当n 为奇数时令21m n -=，所以12n m +=，所以211(1)22n n n a n --=+=． 当n 为偶数时，2m n =，所以2nm =，所以22242n n n a =⨯=．解：（3）当n 为奇数时，22222211221111n n n a n n n n ==+=+----+． 当n 为偶数时，22222n n n a n==．所以1111111lim(2)lim[2()()()2]2448112n n n S n n n n n →∞→∞-=+-+-+⋯+--=-+．。
上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)
上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019.12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1. 设全集U =R ，若A ={1|21x x x ->}，则U A =______2. 若复数3i 1iz -=+(i 为虚数单位)，则|z |=______ 3. 设x ∈R +，则21x x ++的最小值为______ 4. 若sin2cos 0cos 1x xx =，则锐角x =______5. 设等差数列{n a }的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a =______6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为______7. 设()()6270127211...x x a a x a x a x --=++++，则5a =______8. 设()1f x -为函数()()2log 41x f x =-的反函数，则当()()12f x f x -=时，x 的值为______9. 已知m 、n 是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：① m ⊥n ；② n //α；③ m ⊥a ；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：______10. 如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅=______11. 如图，1F 、2F 分别是双曲线C ：2221x y a -=的左、右焦点，过2F ，的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若F A AB =2，20F A F B ⋅=1，则双曲线C 的焦距|12F F |为______12. 已知函数()f x 的定义域为R ，当x ∈(0,2]时，()()2f x x x =-，且对任意的x ∈R ，均有()()22f x f x +=，若不等式()152f x ≤在x ∈(-∞,a ]上恒成立，则实数a 的最大值为______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 设x ∈R ，则“11x -<”是“24x <”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件14. 已知函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0,2π]. 上为增函数，则θ的一个值可以是( )A . 6πB . 3πC 23πD . 23π- 15. 已知函数()2f x x =+，()g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f x g x g g x F x x f x ≤>⎧⎪=⎨⎪⎩，若对任意的x ∈R ，都有()()2F x F x =-成立，则t 的取值为( )A . 4-B . 2-C . 0D . 216. 正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A . 13B . 12 C. 23 D . 34三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分) 17. 在△ABC 中，a =8，b =6，1cos 3A =-求： (1) 角B ；(2) BC 边上的高.18. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB ，的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求：(1)异面直线O C 与11A C 所成角的大小；(2)直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小；(3)三棱锥11C OA C -的体积.19. 某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1(单位：件)，已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k (2k ≥为正整数).(1) 设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间；(2) 假设这3种部件额生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20. 已知两点F (、F ，设圆O ：224x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F ，与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线O Q 与直线433x =相交于点R ，求证：2F R ⊥l ； (3) 记△ABM 、△ABN 面积分别为1S 、2S ，求|12S S -|的最大值及此时直线l 的方程.21. 在数列{n a }中，10a =，且对任意的m ∈N *，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列.(1) 求证：4a 、5a 、6a 成等比数列；(2) 求数列{n a }的通项公式；(3) 设2222323n n n S a a a =+++试问2n S n -是否存在极限? 若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析。
2024届上海市虹口区高三一模数学试题及答案
上海市虹口区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.12一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 0,1,2,3,4,5A ，21B x x ，则A B ．2.函数lg 2y x的定义域为．3.4.5.在x6.已知7.双曲线8.9.已知y 且21(1)0f a f a ，则实数a 的10.天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为11.设a ．12.设312231,,,,,a a a b b b是平面上两两不相等的向量，若1223312a a a a a a ，且对任意的,i j1,2,3，均有 j i a b ，则122331b b b b b b．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设i 为虚数单位，若2521iz i i，则z （）.A 12i ；.B 12i ；.C 2i ；.D 2i ．第8题图14.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日AQI 的数据并绘成折线图如下：.A .B .C .D 15..A .C 316.已知曲线 的对称中心为O ，若对于 上的任意一点A ，都存在 上两点B 、C ，使得O 为ABC 的重心，则称曲线 为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．则（）.A ①是假命题，②是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①②都是假命题；.D ①②都是真命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 sin sin sin ,sin m A B C A，,n c b c a ，//m n ．（1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C 的取值范围．18.1CC 的中点，满足11AM A B （1）（2）所成角的大小．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨．（1）若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？已知点 ,4M m 在抛物线2:2x py （0p ）上，点F 为 的焦点，且5MF ．过点F 的直线l 与及圆 2211x y 依次相交于点A 、B 、C 、D ，如图．（1）求抛物线 的方程及点M 的坐标；（2）求证：AC BD 为定值；（3）过A 、B 两点分别作 的切线1l 、2l ，且1l 与2l 相交于点P ，求ACP 与BDP 的面积之和的最小值．第20题图已知 y f x 与 y g x 都是定义在 0, 上的函数，若对任意 12,0,x x ，当12x x 时，都有121212f x f xg x g x x x，则称 y g x 是 y f x 的一个“控制函数”．（1）判断2y x 是否为函数2y x （0x ）的一个控制函数，并说明理由；（2）设 ln f x x 的导数为 'f x ，0a b ，求证：关于x 的方程'f b f a f x b a在区间,a b 上有实数解（3）设 ln f x x x ，函数 y f x 是否存在控制函数？若存在，请求出 y f x 的所有控制函数；若不存在，请说明理由．1M 1( 第18题图1 )B 虹口区2023学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 参考答案和评分标准 2023年12月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分 ） 1．{}1,2,3 2．(2,5) 3. 924． 12π 5．560 6.7. 35 8．cos(2)6x π− 9. (1, 10．1711．()9,+∞ 12.3二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. A 14. C 15. D 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)解：(1) 因为m //n ，所以 ()()sin sin sin sin A B C b c a c A +−⋅+−=⋅， …… 2分由正弦定理，可得 ()()a b c b c a ac +−⋅+−=，即 222ac a c b =+−. …… 4分于是，由余弦定理得 2221cos 22a cb B ac +−==，又()0,B π∈，所以3B π=．…… 7分（2）由（1）可知2,3A C π+=所以23sin sin sin sin()sin )326y A C A A A A A ππ=+=+−==+ …… 11分 由△ABC 为锐角△,得20,0,232A A πππ<<<−<且所以,62A ππ<<从而362.3A πππ<+<所以sin sin )6y A C A π=+=+的取值范围为32,.⎛ ⎝ …… 14分 18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 证：(1) 取AC 中点D ，连接DN ，A 1D .因AA 1＝AC ，AD ＝CM ，∠A 1AD ＝∠ACM 90=︒， 故△A 1AD ≌△ACM . …… 2分从而∠AA 1D ＝∠CAM ，又因∠AA 1D ＋∠A 1DA 90=︒， 故∠CAM ＋∠A 1DA 90=︒.所以AM ⊥A 1D .由于AM ⊥A 1B 1及A 1B 111,A D A ⋂=因此( 第18题图2 )AM ⊥平面A 1B 1D. …… 4分因D , N 分别为AC , BC 的中点，故D N // AB ，从而D N // A 1B 1，于是A 1，P ，B 1，N ，D 在同一平面内，故AM ⊥面A1PN. …… 6分 解：(2) 因为AB ＝AC ＝4，BC ＝AB 2＋AC 2＝BC 故AB ⊥AC.因AM ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，故AM ⊥AB ； 又因AM ∩AC ＝A ，所以AB ⊥面ACC 1A 1 ， 从而AB ⊥AA 1；因此AB ，AC ，AA 1两两垂直.以A 为原点，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图. ……8分则由条件，相关点的坐标为M (0，4，2)，N (2，2，0)，P ( 1，0，4)，B 1(4，0，4). 设平面MNP 的一个法向量为(,,),n x y z =则(,,)(2,2,2)2220,,2,(,,)(1,4,2)420,n MN x y z x y z y z x z n MP x y z x y z ⎧⋅=⋅−−=−−==⎧⎪⎨⎨=⋅=⋅−=−+=⎩⎪⎩即取1,(2,1,1).z n ==得 ……11分因1AB = (4，0，4)，设直线1AB 与平面PMN 所成的角为θ，则111(4,0,4)(2,1,1)123sin cos ,.(4,0,4)(2,1,1)2426AB n AB n AB nθ⋅⋅=<>====⋅⋅⋅故直线1AB 与平面PMN 所成角的大小为.3π ……14分 19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）设从2023年1月起第n 个月处理后的废水排放量为n a 吨，则由已知条件知： 数列{}n a 是首项为10，公差为2的等差数列，故28n a n =+. ……2分当18002nni an =≥+∑时，即[]10(28)80022n n n ++≥+， ……4分化简得278000n n +−≥，解得25,32;n n ≥≤−或 由n 是正整数，则25n ≥.故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕. ……6分 （2）设从2023年1月起第n 个月深度净化的废水量为n b 吨. 由已知条件，1260b b b ====，当7n ≥时， 数列{}n b 是首项为5，公比为1.2的等比数列，故70,16,5 1.2,7,n n n b n −≤≤⎧=⎨⨯≥⎩ （n 为正整数）. ……8分 显然，当16n ≤≤时，n n a b >. 当7n n n a b ≥≤时,由得 7285 1.2n n −+≤⨯. （*） ……10分设7285 1.2n n c n −=+−⨯，则812 1.2n n n c c −−−=−，所以当711n ≤≤时，数列{}n c 是严格增数列，且0;n c > 当12n ≥时，数列{}n c 是严格减数列. ……12分由于19 1.420c ≈>，20 5.500c ≈−<.所以不等式（*）的解为20n ≥（n 为正整数）. 故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化. ……14分20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解：（1）易知抛物线Γ的焦点F 的坐标为(0,),2p 准线为2py =−，由抛物线的定义，得 452pMF +==，故2p =.所以，抛物线Γ的方程为24.x y = ………2分将 (,4)M m 代入Γ的方程，得4x =±，所以点M 的坐标为：(4,4),或(4,4).− ………4分 （2）由（1）知F (0,1),又由条件知直线l 的斜率 存在，设直线l 的方程为1y k x =+，并设A 11(,),x yB 22(,),x y 则由21,4,y k x x y =+⎧⎨=⎩得2440,x kx −−=故216(1)0,k ∆=+>且12124, 4.x x k x x +==−………7分由抛物线的定义，可知11,AF y =+2 1.BF y =+又因圆22(1)1x y +−=的圆心为F （0,1），半径为1，于是 11,AC AF y =−= 21.BD FB y =−=所以 AC BD ⋅222121212()14416x x x x y y ==⋅==. ………10分（3）由24x y =得24x y =，而12y x '=.故过点A 211(,)4x x 的抛物线 Γ的切线1l 的方程为2111(),42x x y x x −=−即 21120.2x x x y −−= ①………12分同理，过点B 222(,)4x x 的抛物线Γ的切线2l 的方程为 22220.2x x x y −−= ②由①，②可得：2212121212112,() 1.2424P P P x x x x x k y x x x x x ⎡⎤++===+−==−⎢⎥⎣⎦即(2,1).P k − ……15分 所以点P 到直线l : 10k x y −+=的距离为d ==于是 111()222ACP BDP S S AC d BD d AC BD d ∆∆+=⋅+⋅=+⋅ ()()()()22212121212221112224811682218x x y y d d x x x x d k k ⎛⎫+⎡⎤=+⋅=⋅=+−⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭=+⋅+ 故当k =0，即直线l 为y =1 时，ACP BDP S S ∆∆+有最小值2. ……18分 21. (本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）由于对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都有112222x x x x ≤+≤； ……2分 即有2212121222,x x x x x x −≤≤−故由控制函数的定义，22y x y x ==是函数的控制函数. ……4分证：（2）关于x 的方程ln ln 1b a b a x −=−在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1b a b b a a−⇔<<−()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔−<−<−ln ln ln 10ln ln ln 10b a b b b a a a a a b a a a b b b b−⎧⎧−<−+<⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨−⎪⎪−<−+<⎪⎪⎩⎩. ……7分 记()ln 1F x x x =−+，则()11'1x F x x x−=−=，当()0,1x ∈时()'0F x >，()F x 在()0,1上严格增；当()1,x ∈+∞时()'0F x <，()F x 在()1,+∞上严格减. 而01a b b a <<<，故()()10,10a b F F F F b a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是所要证的结论成立.……10分 另证：关于x 的方程ln ln 1b a b a x −=−在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1b a b b a a −⇔<<− ()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔−<−<−ln ln 0ln ln 0a b b a a a b a a b b b −+−<⎧⇔⎨−+−<⎩. ……7分 记()ln ln F x a x x a a a =−+−，则()'1a F x x =−，当[],x a b ∈时()'0F x ≤，故()F x 在[],a b 上严格减，()()0F b F a <=.记()ln ln G x b x x b b b =−+−，则()G'1b x x=−，当[],x a b ∈时()'0G x ≥，故()G x 在[],a b 上严格增，()()0G a G b <=. 于是所要证的结论成立. ……10分解：（3）①先证引理：对任意0a b <<，关于x 的方程()()()'f b f a f x b a −=−在区间(),a b 上恒有实数解. 这等价于()()()()ln ln ln 1ln 1ln 1ln ln ln 1b b a a a b a b a b b a a b b a b a −+<<+⇔+−<−<+−− 1ln ln 1b a b b a a−⇔<<−，由（2）知结论成立. ……12分 ②（证控制函数的唯一性）假设()y f x =存在“控制函数”()y g x =，由上述引理知，对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得()12()'()g x f c g x ≤≤.……（*） 下证：()()()',0,g x f x x =∈+∞.若存在()10,t ∈+∞使得()()11'g t f t >，考虑到()'ln 1f x x =+是值域为R 的严格增函数，故存在21t t >使得()()21'f t g t =.由（*）知存在()012,c t t ∈使得()102()'()g t f c g t ≤≤，于是有()()()012''f c g t f t ≥=，由()'f x 的单调性知02c t ≥，矛盾.故对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≤.同理可证，对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≥，从而()()'g x f x =. ……15分 ③（证控制函数的存在性）最后验证，()()'g x f x =是()y f x =的一个“控制函数”. 对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得()1212()()'f x f x f c x x −=−，而由()'f x 的单调性知()12'()''()f x f c f x ≤≤，即121212()()()()f x f x g x g x x x −≤≤−. 综上，函数()y f x =存在唯一的控制函数ln 1y x =+. ……18分。
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sinx 12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④ 【答案】D【解析】【分析】 计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】 ()sin 12sin x f x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确； 根据图像知：①③不正确；故选：D .本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.2．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ）A ．12B ．45C ．38D ．34【答案】C【解析】【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x y y x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 3．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ）A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃- 【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果.【详解】 ()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x ∴=--=++<， 由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U .故选：B .【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.4．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】【分析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可.【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C【解析】【分析】 由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果.【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥，则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥，因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．6．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ）A ．()()22211x y -+-=B ．()()22211x y +++=C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++= 【答案】A【解析】【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=. 故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.7．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果.【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'， 又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值， 所以()327630f a -=-+='，解得5a =.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.8．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C【解析】【分析】 由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.9．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x =- 【答案】C【解析】【分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】 因为函数12,2x y x y ==和1y x=-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减. 故选：C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.10．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）．A ．()ln f x x x =B ．()x x f x e e -=-C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =- 【答案】B【解析】【分析】奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可.【详解】A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；B ：()x x f x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x x x x f x f x e e e e --+-=-+-=满足奇函数，又()'0x x f x e e -=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()33()0f x f x x x x x +-=-+-+=， 满足奇函数，()2'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误； 故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.11．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C -D + 【答案】C【解析】【分析】 利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解: )()())1111111222ii i z i i i i ---=====-+++-， 故选：C【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.12．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】D【解析】【分析】 根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立； 22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【2020年】上海市虹口区高考数学一模试卷及解析
上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则=．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC 的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=．11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+12018年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为（﹣∞，2）．【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，故答案为：0．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则= 1．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的首项和公比均为，则其前n项和S n==1﹣（）n，则=1；故答案为：1．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是[，] ．【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，∴，即a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，则ab=cosθ•sinθ=，∴ab∈[，]．故答案为：．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18．【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，则一共有9+9=18种选法；故答案为：187．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，∵M是AB的中点，∴，∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，则，，∴=．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（±3，0），则有a2=9，则双曲线的方程为：﹣y2=1，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为故答案为：9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，∵底边长为一个周期T=2π，高为，∴△ABC的面积=2=，故答案为：．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=4．【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，△MNF2的内切圆的面积为π，∴△MNF2内切圆半径r=1．∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案为：411．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：如图所示，∵D是BC的中点，∴=+=+，又=+，，∴+=+a n（+），）+，化为：=（1﹣a n﹣a n+1∵点列P n（n∈N*）在线段AC上，+=1，∴1﹣a n﹣a n+1化为：a n=﹣，又a1=1，+1则数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为﹣．∴a n=．故答案为：．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为（0，0）或（1，0）．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x，方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点，则有，解可得x=0，即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，则f（x）=x2+2a•x，解可得x1=0或x2=﹣2a，f（f（x））=（x2+2a•x）2+2a（x2+2a•x），若函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，分析可得a=0或a=1，则（a，b）为（0，0）或（1，0）；故答案为（0，0）或（1，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，∴θ的范围是（0，]．故选：C．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=1009×f（﹣1）+1008×f（0）=1009×2﹣1+1008×20=．故选：D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．故选B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，∴PM⊥AB，∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．解：（2）连结BM，∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，∴PM==，BM===，∴tan∠PBM===，∴．∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S==（x＞1）；（2）由（1）得：S′=（x＞1）；当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，故x=2时，S min=4．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=﹣，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d﹣，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，在△EAF中，cos∠EAF==1﹣，可得﹣≤cos∠EAF≤，可得arccos≤π﹣arccos，则∠EAF的取值范围是[arccos]；（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得∠AMF=∠MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得∠AMF+∠EFM=90°，tan∠AMF=cot∠EFM==，可设y0＞0，则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），则y0y﹣y02=px﹣px0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，即为（y﹣y0）2=0，可得y=y0，x=x0，即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+1【解答】解：（1）∵无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．a2=2，且对于一切正整数n，均有，∴==1，=，由此猜想=23﹣n．再利用数学归纳法证明：①当n=1时，=4，成立．②假设n=k时，成立，即，则a k+1====2（6﹣2k）﹣（4﹣k）=22﹣k=23﹣（k+1）．由①②得，∴{a n}是首项为4，公比为的等比数列，∴S n==8（1﹣）．（2）∵对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，∴S n=a n a n+1，S n﹣1=a n﹣1a n，∴a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∴a n+1﹣a n﹣1=1．a1=4，由a n•a n+1=S n，得a2=1，a3=5，a4=3，…∴当n为偶数时，+===．当n为奇数时，S n=++==．证明：（3）∵对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，∴a n+a n+1=3S n，a n﹣1+a n=3S n﹣1，∴a n+1﹣a n﹣1=3a n，a1+a2=3a1，a2=2a1=8，能被8整除，a3﹣a1=3a2，a3=28，假设a3k﹣1=8m，m∈N*．=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k﹣1）+a3k则a3k+2=10a3k+a3k﹣1=40p+24q，p，q∈N*能被8整除，综上，a3n能被8整除．﹣1。
2020-2021学年度第一学期 上海虹口区高三数学 一模解析 期终学生学习能力诊断测试
（2）若 a ， b ， c 成等差数列，且 PA l ，求 PB 的最大值；
（3）若 a ， b ， c 成等比数列，且 PA l ，求 PB 的取值范围. y
x A OB
【解析】
（1）直线 l
：
x
y
1
0，
PBmin
d B l
1 0 1 12 12
故此时 PA 5 34km, PB 3 34km
【答案】
（1） APB arccos 5 27
（2） PA 5 34km, PB 3 34km
20.（本题满分 16 分.第（1）小题 3 分，第（2）小题 7 分，第（3）小题 6 分）.
已知点 A1, 0 、 B 1, 0 ，直线 l : ax by c 0 （其中 a,b, c R ），点 P 在直线 l
（1）当 f x 是奇函数时，求实数 a 的值； （2）当函数 f x 在2, 上单调递增时，求实数 a 的取值范围.
【解析】
（1） f (x) (a 1)x 2 (a 1)x a 2 1 为奇函数，则只可能 a 1
检验 f (x) 2x 成立
（2） f (x) (a 1)x2 (a 1)x a 2 1 在[2, ) 单调递增
P
（2）求三棱锥 P BMC 的体积. M
A
C
B
【解析】
（1）以 AB, AC, AP 建立空间直角坐标系， B(3, 0, 0), M (0, 0,1), P(0, 0,3),C(0,3, 0)
Байду номын сангаас
BM (3, 0,1), PC (0,3, 3) ， cos
上海市虹口区2019-2020学年高考数学模拟试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()0,2=r a，()b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x=（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B 【解析】 【分析】由题意cos 3a b a bπ⋅=r rr r ，代入解方程即可得解. 【详解】由题意1cos 32a b a b π⋅===r r r r ，所以0x >，且2x =2x =.故选：B. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 2．已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14CD．2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．12D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】(1)2i ai bi -=+Q ，2a i bi ∴+=+，得2a =，1b =．2ab ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．4．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 BC ．5 D．【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由15z z ⋅=可得15z z =，所以155||2i ||||z z +====B ． 5．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5}B ．{1,2,3,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的基本运算即可求解. 【详解】解：{1,3,5}A =Q ，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =， 则(){1,3}{2,3,4,5}{1,2,3,4,5}A B C ⋂⋃=⋃= 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．6． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．23【答案】A 【解析】 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.7．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.故选:A. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小. 8．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min 2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A ．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得到函数()f x 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得ω的值，结合其对称轴，求得θ的值，进而求得()f x 解析式.根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得()g x 的单调递减区间. 【详解】解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图像关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min1222x x ππω-==⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6x π=对称，可得262k ππθπ⨯+=+，k ∈Z .∴6πθ=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图像. 令222k x k πππ≤≤+，求得2k x k πππ≤≤+，则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】B 【解析】 【分析】根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误；在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.10．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种 B ．36种 C ．54种 D ．72种【答案】B 【解析】 【分析】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得. 【详解】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，则不同的分配方案有234336C A =种.故选：B . 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.11．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．25-C ．D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得minPM ，由PQ 取得最小值为min1PM -，求得结果.【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2p x =-，则点(5,)t 到焦点的距离为562pd =+=，则2p =， 所以抛物线方程：24y x =，设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1， 则2222(6)(6)4(4)20PM x y x x x =-+=-+=-+， 当4x =时，PQ 取得最小值，最小值为201251-=-， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目. 12．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4 B ．8C ．9D ．27【答案】D 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ， 作正四面体的高为PM ，则3233AD AM AD ===， 2263PM PA AM ∴=-=，134312P ABC V -∴=⨯⨯=， 设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ，则1443P ABC O ABC V V --==⨯，解得：r =； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ， 则MN PM R =-或R PM -，AN R =， 在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：222AM MN AN +=，22133R R ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得R =， 3Rr∴=， 3327V R v r∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海虹口区高三一模数学试卷
2020年上海虹口区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1~6题每题4分，7~12题每题5分，共54分）1.设全集，若，则 ．2.若复数（为虚数单位），则 ．3.设，则的最小值为 ．4.若，则锐角 ．5.设等差数列的前项和，若，，则 ．6.抛物线的焦点到直线的距离为 ．7.设，则 ．8.设为函数的反函数，则当时，的值为 ．9.已知、是平面外的两条不同直线，给出三个论断：①；②；③；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）： ．10.如图所示，两块斜边长均等于的直角三角板拼在一起，则11.如图，、分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的焦距为 ．12.已知函数的定义域为，当时，，且对任意的，均有，若不等式在上恒成立，则实数的最大值为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.设，则“”是“”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.已知函数为偶函数，且在上为增函数，则的一个值可以是（ ）．A.B.C.D.15.已知函数，，定义函数，若对任意的，都有成立，则的取值为（ ）．A.B.C.D.16.正四面体的体积为，为其中心，正四面体与正四面体关于点对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）．A.B.C.D.三、解答题（本大题共5题，共76分）（1）（2）17.在中，，， ，求：角．边上的高．（1）（2）（3）18.如图，在圆柱中，它的轴截面是一个边长为的正方形，点为棱的中点，点为弧的中点，求：异面直线与所成角的大小．直线与圆柱底面所成角的大小．三棱锥的体积．【答案】（1）（2）19.某企业接到生产台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这种部件的数量分别为、、（单位：件），已知每个工人可生产甲部件件，或乙部件件，或丙部件件，该企业计划安排名工人分成三组分别生产这种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为（为正整数）．设生产甲部件的人数为，分别写出完成甲、乙、丙种部件生产需要的时间．假设这种部件额生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．（1）（2）（3）20.已知两点、，设圆与轴交于、两点，且动点满足：以线段为直径的圆与圆相内切，如图所示，记动点的轨迹为，过点，与轴不重合的直线与轨迹 交于、两点．求轨迹的方程．设线段的中点为，直线与直线 相交于点，求证：．记、面积分别为、，求的最大值及此时直线的方程．（1）（2）（3）21.在数列中，，且对任意的，、、构成以为公差的等差数列，求证：、、成等比数列．求数列的通项公式．设，试问是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．解析:集合．∵，∴，即．解析:∵复数，，则．解析:，，∵，则，，由基本不等式，即，当时等号成立，∴，最小值为．故答案为：．1.或2.3.4.解析:∵,则，，，∴或由为锐角则．故．解析:等差数列的前项和为．，即，，，解方程组，解得，，则，故，．解析:抛物线的焦点，则点到直线的距离为．解析:展开式的通项公式为，令，得，所以，令得，所以，则展开式中的系数为，即．解析:，．5.6.7.8.函数的反函数为，由得，即，所以，令，，则，即，解得（舍去）或，所以，解得．故答案为：．解析:若，则存在直线满足且，因为，所以，又，所以．故由②③可推出①．解析:．解析:由得为的中点，所以，因为，所以，从而，设，：，：，则，又，所以：，联立，可得，若②③，则①9.10.11.联立，可得 ，由为的中点，可得，即，解得，故．12.解析:方法一：当时，函数在单调递增，在单调递减，的最大值为，因为，所以当函数向右平移两个单位时，最大值变为原来的倍，可得，当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，函数在单词递增，在上单调递减，因为要对任意的，都有，所以当最大时，，，解得，故实数的最大值为．方法二：设，则时，，且对任意的，均有，∴当时，，令，解得或，由图象可得．解析:∵，，则，即，∴．故，则是的充分条件．又∵，，解得，∴．故，不是的必要条件．∴，则是的充分不必要条件．故正确．故选．解析:，∵函数为偶函数，∴，，即，，结合选项，当时，，此时函数在上为减函数，不符合题意，当时，，此时函数在上为增函数，符合题意，综上所示，故选．解析:由可得关于直线对称，当时，函数的图象满足关于直线对称．故选．A 13.D 14.A 15.（1）解析:由正四面体的对称性可知，公共部分的体积等于正四面体的体积减去个角上小正四面体的体积．设正四面体的边长，底面三角形的中心为，则 ，，设，则 在中，，则，可得：角上的小正四面体的高为： ，为正四面体的高的一半，则，综上．解析:在中，，， ，由余弦定理，，解得，∵为内角，，B 16.小共（1）．（2）．17.（2）（1），由正弦定理，，，∴．过作，交于点，∵，∴．解析:以点为原点，直线，分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则相关点的坐标为，，，，，，，于是，，（1）．（2）．（3）．18.（2）（3）（1）（2）从而，因此，异面直线与所成角的大小为．由于是圆柱底面的一个法向量，又，设直线与圆柱底面所成角的大小为，则，于是，直线与圆柱底面所成角的大小为．由于三棱锥的顶点到面的距离为，而，故．解析:设完成甲、乙、丙种部件生产需要的时间（单位：天）分别为，，，则由题意，得，，，即，，，其中，，均为到的正整数，且．完成订单所用的时间为，其定义域为，且，，，由于，均为减函数，为增函数，并注意到，（）当时，，（1），，，其中，， 均为到的正整数，且．（2）当时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为天．此时生产甲、乙、丙种部件的人数分别为，，人．19.（1）此时，其中且，由，的单调性知，当时，取得最小值，解得，由于，而，，，故当时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为天．（）当时，，由于，故，此时且为增函数，于是，由，的单调性知，当时，取得最小值，解得 ，由于，而，，此时完成订单任务的最短时间大于天，综上所述，当时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为天．此时生产甲、乙、丙种部件的人数分别为，，人．解析:（1）．（2）证明见解析．（3），．20.（2）（3）连结，设的中点为，则，由圆与圆相内切，得，于是，因此，动点的轨迹是：以、为焦点，为长轴长的椭圆，其方程为．设直线的方程为，并设，，联立，得，故，，从而，于是，所以，于是直线 的方程为，由，解得，从而，由于直线的法向量，故．由知：，，故，，而，故，由于最大时，故，当且仅当时，等号成立，因此，此时直线的方程为或．（1）证明见解析．21.（1）（2）（3）解析:因为，且对任意的，，，构成以为公差的等差数列，所以，当时，，，，当时，，，，当时，，，，于是，故，，成等比数列．由题意，对任意的，有，于是，结合，得，（），令，则，得，（为奇数），由题意，对任意的，有，故对正偶数，有，因此，数列的通项公式为或．对任意的，有，，下面分为偶数与奇数两种情况讨论：（）当为偶数时，设，，则当时，（2）或．（3）存在极限，且．为奇数为偶数为奇数为偶数，于是．（）当为奇数时，设，则当时，，于是，综上，得，于是存在极限，且．为奇数为正偶数。
2020年上海市高三数学一模分类汇编：三角
2（2020松江一模）. 若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+= 4（2020虹口一模）. 若sin 2cos 02cos 1x xx =，则锐角x =5（2020青浦一模）. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是34(,)55-，则sin2α=6（2020徐汇一模）. 已知函数()arcsin(21)f x x =+，则1()6f π-=8（2020嘉金一模）. 已知点(2,)y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=14（2020虹口一模）. 已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0,]2π上为增函数，则θ的一个值可以是（ ）A.6π B. 3π C. 23π D. 23π-14（2020杨浦一模）. 要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x =的图象（ ）A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位16（2020宝山一模）. 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ） A. 当0a >，0b >时，辅助角arctanba ϕ= B. 当0a >，0b <时，辅助角arctan ba ϕπ=+C. 当0a <，0b >时，辅助角arctan ba ϕπ=+D. 当0a <，0b <时，辅助角arctan baϕπ=-16（2020嘉金一模）. 某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型：0.5sin() 3.24(06)y x πωπω=++>，若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）A. 16时B. 17时C. 18时D. 19时17（2020虹口一模）. 在△ABC 中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高.18（2020宝山一模）. 已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=++.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.18（2020松江一模）. 已知函数2()cos 2sin f x x x x =-. （1）求()f x 的最大值；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f A =，b 、a 、c成等差数列，且2AB AC ⋅=uu u r uuu r，求边a 的长.18（2020崇明一模）. 已知函数21()2cos 22f x x x =--. （1）求函数()f x 的最大值，并写出取得最大值时的自变量x 的集合；（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c =()0f C =， 若sin 2sin B A =，求a 、b 的值.18（2020青浦一模）. 已知向量,sin )a x x ωω=r ，(cos ,cos )b x x ωω=r，其中0ω>，记()f x a b =⋅r r.（1）若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若()2Af =4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.19（2020徐汇一模）. 如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C ，景区管委会又开发了风景优美的景点D ，经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向8km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上，已知5AB km =.（1）景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km ） （2）求景点C 与景点D 之间的距离. （结果精确到0.1km ）19（2020嘉金一模）. 如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图，其中4AB =百米，3BC =百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB 边上，要求4MDN π∠=.（1）若2AN CM ==百米，判断△DMN 是否符合要求，并说明理由； （2）设CDM θ∠=，写出△DMN 面积的S 关于θ的表达式，并求S 的最小值.ABCDMN。
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2
2
x 2
一、填空题
上海市虹口区 2020 届高三一模数学试卷 2019.12
1. 设全集 U =R ，若 A
x | 2x
1
1
，则C A
x
U
2. 若复数 z 3 i
（i 为虚数单位），则 z
1 i
3. 设 x R
，则 x
2 x 1
的最小值为
4.
若
sin 2x 2 c os x cos x 0 ，则锐角 x
1
5. 设等差数列
a n 的前 n 项和 S n ，若a 2
a 7 12 ， S 4 8 ，则a n
6. 抛物线 x 2
6 y 的焦点到直线3x 4 y 1 0 的距离为
7. 设
2x
1
x
1
6 a
a x a x 2
a x 7 ，则a
1
2
7
5
8. 设 f
1
x 为函数 f x log 4x 1
的反函数，则当 f x
2 f
1
x 时， x 的值为
9.
已知 m 、n 是平面 外的两条不同
直线，给出三个论断：①m ⊥n ；②n // ；③m ⊥ ；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命
题（论断用序号表示）：
10. 如图所示，两块斜边长均等于 的直角三角板拼在一起，则OD AB
2
11. 如图， F 1 , F 2 分别是双曲线C :
a 2
y
1的左、右焦点，过 F 2 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交 于 A 、B 两点，若 F 2 A AB ， F 1B F 2 B
0 ，则双曲线 C 的焦距 F 1F 2 为
12. 已知函数 f
x 的定义域为 R ，当 x
0, 2
时，f x
x 2 x
，且对任意的 x
R ，均有 f
x
2
2 f
x ，
若不等式 f
x
15 在 x
, a 上恒成立，则实数a 的最大值为
2
二、选择题
13. 设x R，则“x 1 1”是“x2 4 ”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
g
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
14. 已知函数 f x 3 s in
2x
cos 2x 为偶函数，且在0,
上为增函数，则
的一个值可以是 2
（ ）
A .
B .
C .
2 D . 2
6 3
3 3
15. 已知函数 f
x
x 2 ， g x
x t ，定义函数 F
x
f
x
f x
g x
，若对任意的 x
R ，都有
f x
g x
F
x
F 2 x
，则 t 的取值为（ ）
A.
4 B.
2 C. 0
D . 2
16. 正四面体 A BCD 的体积为 1，O 为其中心，正四面体 E FGH 与正四面体 A BCD 关于点 O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ） A. 1 3
三、解答题
B. 1 2
C. 2 3
D. 3
4
17. 在
（1） 角 B ； 中， a 8,b 6, cos A 1
，求： 3 （2） BC 边上的高.
ABC
18. 如图，在圆柱OO 1 中，它的轴截面 ABB 1 A 1 是一个边长为 2 的正方形，点 C 为棱 BB 1 的中点，点C 1 为弧
A 1
B 1 的中点，求：
（1） 异面直线 OC 与 A 1C 1 所成角的大小；
（2） 直线CC 1 与圆柱OO 1 底面所成角的大小；
（3） 三棱锥C 1 OA 1C 的体积.
19. 某企业接到生产 3000 台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这 3 种部件的数量分别为２、２、１（单位：件），已知每个工人每天可生产甲部件６件，或乙部件３件，或丙部件２件，该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这 3 种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例， 比例系数为 k （ k 2 为正整数）.
（1） 设生产甲部件的人数为 x ，分别写出完成甲、乙、丙 3 种部件生产需要的时间；
（2） 假设这 3 种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时
具体的人数分组方案.
20.已知两点F
1
3, 0、F
2
3,0，设圆O : x2 y2 4 与x轴交于A、B 两点，且动点P 满足：以线段
F
2
P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为，过点F
2
与x轴不重合的直线l 与轨迹交于M、N 两点.
（1）求轨迹的方程；
（2）设线段MN 的中点为Q，直线OQ 与直线x
4 3
相交于点R，求证：F R l ；
3 2
（3）记ABM 、面积分别为S1 、S2 ，求S1 S2 的最大值及此时直线l 的方程.
21.在数列 a 中，a 0 ，且对任意的m N* ，a
, a , a
构成以 2m 为公差的等差数列.
n 1 2m 1 2m 2m1
（1）求证：a4 、a5 、a6 成等比数列；
（2）求数列a n的通项公式；
22
（3）设S
n a
32
a
，试问S
n
2n 是否存在极限? 若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.
2 3
ABN
n
2
a
n
3
参考答案
一、填空题
1. [0,1]
2.
3. 2
1 4.
5. 2n -3
6. 1
7. 36
8. 1 4
9. 若②③，则① 10. 1
11. 4 3
3
12. 27
4
二、选择题
13. A 14. D 15. A 16. B
三、解答题
17.（1）
；（2） 4 4 18.（1） ；（2） a rcsin 3
3 3 19.（1） 1000 , 2000 , x x x 2 2
1500
200 x
kx ；（2） k =2，A 44 人，B 88 人，C 68 人 20.（1） y
4
1 ；（2）证明略；（3） 3, x
2 y 0 n 2 1 n 2 21.（1） a 4 8, a 5 12, a 6 18 ；（2）当 n 为奇数， a n
2
，当 n 为偶数， a n 2
（3）裂项， lim S 2n 2 2 n n 32 1 52 1
5
2
2
1 1 1 1
1 2。