2020届虹口区高考数学一模.

2

2

x 2

一、填空题

上海市虹口区 2020 届高三一模数学试卷 2019.12

1. 设全集 U =R ，若 A

x | 2x

1

1

，则C A

x

U

2. 若复数 z 3 i

（i 为虚数单位），则 z

1 i

3. 设 x R

，则 x

2 x 1

的最小值为

4.

若

sin 2x 2 c os x cos x 0 ，则锐角 x

1

5. 设等差数列

a n 的前 n 项和 S n ，若a 2

a 7 12 ， S 4 8 ，则a n

6. 抛物线 x 2

6 y 的焦点到直线3x 4 y 1 0 的距离为

7. 设

2x

1

x

1

6 a

a x a x 2

a x 7 ，则a

1

2

7

5

8. 设 f

1

x 为函数 f x log 4x 1

的反函数，则当 f x

2 f

1

x 时， x 的值为

9.

已知 m 、n 是平面 外的两条不同

直线，给出三个论断：①m ⊥n ；②n // ；③m ⊥ ；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命

题（论断用序号表示）：

10. 如图所示，两块斜边长均等于 的直角三角板拼在一起，则OD AB

2

11. 如图， F 1 , F 2 分别是双曲线C :

a 2

y

1的左、右焦点，过 F 2 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交 于 A 、B 两点，若 F 2 A AB ， F 1B F 2 B

0 ，则双曲线 C 的焦距 F 1F 2 为

12. 已知函数 f

x 的定义域为 R ，当 x

0, 2

时，f x

x 2 x

，且对任意的 x

R ，均有 f

x

2

2 f

x ，

若不等式 f

x

15 在 x

, a 上恒成立，则实数a 的最大值为

2

二、选择题

13. 设x R，则“x 1 1”是“x2 4 ”的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

g

C . 充要条件

D . 既不充分也不必要条件

14. 已知函数 f x 3 s in

2x

cos 2x 为偶函数，且在0,

上为增函数，则

的一个值可以是 2

（ ）

A .

B .

C .

2 D . 2

6 3

3 3

15. 已知函数 f

x

x 2 ， g x

x t ，定义函数 F

x

f

x

f x

g x

，若对任意的 x

R ，都有

f x

g x

F

x

F 2 x

，则 t 的取值为（ ）

A.

4 B.

2 C. 0

D . 2

16. 正四面体 A BCD 的体积为 1，O 为其中心，正四面体 E FGH 与正四面体 A BCD 关于点 O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ） A. 1 3

三、解答题

B. 1 2

C. 2 3

D. 3

4

17. 在

（1） 角 B ； 中， a 8,b 6, cos A 1

，求： 3 （2） BC 边上的高.

ABC

18. 如图，在圆柱OO 1 中，它的轴截面 ABB 1 A 1 是一个边长为 2 的正方形，点 C 为棱 BB 1 的中点，点C 1 为弧

A 1

B 1 的中点，求：

（1） 异面直线 OC 与 A 1C 1 所成角的大小；

（2） 直线CC 1 与圆柱OO 1 底面所成角的大小；

（3） 三棱锥C 1 OA 1C 的体积.

19. 某企业接到生产 3000 台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这 3 种部件的数量分别为２、２、１（单位：件），已知每个工人每天可生产甲部件６件，或乙部件３件，或丙部件２件，该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这 3 种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例， 比例系数为 k （ k 2 为正整数）.

（1） 设生产甲部件的人数为 x ，分别写出完成甲、乙、丙 3 种部件生产需要的时间；

（2） 假设这 3 种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时

具体的人数分组方案.

20.已知两点F

1

3, 0、F

2

3,0，设圆O : x2 y2 4 与x轴交于A、B 两点，且动点P 满足：以线段

F

2

P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为，过点F

2

与x轴不重合的直线l 与轨迹交于M、N 两点.

（1）求轨迹的方程；

（2）设线段MN 的中点为Q，直线OQ 与直线x

4 3

相交于点R，求证：F R l ；

3 2

（3）记ABM 、面积分别为S1 、S2 ，求S1 S2 的最大值及此时直线l 的方程.

21.在数列 a 中，a 0 ，且对任意的m N* ，a

, a , a

构成以 2m 为公差的等差数列.

n 1 2m 1 2m 2m1

（1）求证：a4 、a5 、a6 成等比数列；

（2）求数列a n的通项公式；

22

（3）设S

n a

32

a

，试问S

n

2n 是否存在极限? 若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.

2 3

ABN

n

2

a

n