25与圆有关的比例线段
与圆有关的概念
与圆有关的概念有：
1.圆的基本性质：圆的定义、有关概念（弦、直径；弧、等弧、
优弧、劣弧、半圆；弦心距；等圆、同圆、同心圆）、“三点定圆”
定理。
2.直线与圆、圆与圆的位置关系：相交、相切、相离。
3.与圆有关的角的定理：圆心角、弦心角。
4.与圆有关的比例线段定理：垂径定理、平分弦（不是直径）的
直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
5.同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
6.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是
等圆。
7.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
圆中的比例线段
第2讲圆幂定理理，圆中⽐比例例线段圆幂定理理是初中平⾯面⼏几何中重要定理理之⼀一，在有关计算和证明中应⽤用⾮非常多，尤其是在证明圆中线段⽐比例例式（或等积式）时，能有效地考查学⽣生综合运⽤用相似形和圆的有关知识分析、解决问题的能⼒力力，因⽽而成为全国各省市中考及数学竞赛命题的⼀一个热点，切实加强这⽅方⾯面知识的复习与训练，全⾯面掌握这类问题的证明思路路和⽅方法，对每⼀一个同学都⾮非常重要.此外，证明圆中线段⽐比例例式（或等积式）的基本思路路有(1)利利⽤用平⾏行行线分线段成⽐比例例定理理；(2)利利⽤用相似三⻆角形给出证明；(3)利利⽤用圆幂定理理给出证明；(4)利利⽤用⾯面积或三⻆角函数给出证明.⼀一、基础知识1、相交弦定理理如果圆内两条弦AB和CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD（如下图1）；2、割线定理理如果从圆外⼀一点P向圆引割线P AB和PCD，那么PA·PB＝PC·PD（如下图2）；3、切割线定理理如果从圆外⼀一点P向圆引割线P AB和切线PC，那么PA·PB＝PC2（如下图3）；上述三个定理理统称为圆幂定理理.实际上，可以把切割线定理理看作是割线定理理的极限情形，于是上述三个结论可以合并为：如果交点为P的两条直线与圆O相交于A、B与C、D，那么就有PA·PB＝PC·PD，这⾥里里P、A、B共线及P、C、D共线；⼆二、例例题例例1．已知，如图AB是⊙O的弦，P是AB上⼀一点，AB＝10cm，P A＝4cm，OP＝5cm，求：⊙O的半径.例例2．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于CD两点，其外公切线AB分别切⊙O1、⊙O2于点AB，求证：直线CD 平分线段AB.例例3．如图，E是圆内弦AC、BD的交点，直线EF∥CB，交AD的延⻓长线于F，FG切圆于G，连结EG，求证：∠FEG＝∠FGE.例例4．如图，P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，M是P A的中点，MC交⊙O于N，PN的延⻓长线交⊙O于D，连结BD，求证：P A∥BD;例例5．如图，已知B是线段AC上任⼀一点，在AC同侧分别以AB、AC为直径作两个半圆、，若CD切半圆于点D，EB⊥AC，B为垂⾜足，且交半圆于E，M是DE的中点，求证：CM⊥DE.例例6．如图，在⊿ABC中，AB>AC，如果⊿ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，求证：BC＝2AC；例例7．图中，AB是⊙O的直径，直线MN切⊙O于点C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延⻓长线交MN于点P，求证：AC2＝AE·AP；例例8．如图，⊿ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且和BC切于点D，和AB、AC分别相交于E、F，AD与EF相交于G，求证：BD·EG＝BE·EA；例例9．如图，已知BC是圆中⼀一条弦，EF切圆于A，AD⊥BC于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，求证：AD2＝BE·CF；例例10（2002年年东城区中考）如图，P是⊙O的直径AB延⻓长线上⼀一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于H，CF交AB于点E，求证：P A·PB＝PO·PE；例例11．如图，已知P A、PB是⊙O的切线，切点为A、B，PCD是割线，求证：AC·BD＝AD·BC例例12．如图，BC是圆的直径，O是圆⼼心，P是BC延⻓长线上⼀一点，P A切半圆于点A，AD⊥BC于点D，求证：PD·PO＝PC·PB例例13．如图，过⊿ABC的顶点A作外接圆的切线交BC的延⻓长线于D，求证：例例14（托勒勒密定理理）求证：在圆的内接四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD＝AC·BD三、练习题1．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，P A＝10cm，PB＝5cm，求⊙O的半径.2．过⊙O外⼀一点P作⊙O的两条切线P A、PB，连结OP与AB交于D，与⊙O交于C，过C作AP的垂线，垂⾜足为E，若P A＝10cm，PC＝5cm，则CE＝_____；3．如图A、B、C、D四点在同⼀一个圆周上，且BC＝CD＝4，AE＝6，线段BE和DE的⻓长都是正整数，则BD的⻓长等于________；4．在平⾏行行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则DE＝_________；5．已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平⾏行行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC与DE交于点P，求证：EP＝PD；。
2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)
又∵∠PBC＝∠DBP， ∴△BPC∽△BDP，∠BPC＝∠D. 又∵∠E＝∠D，∴∠BPC＝∠E，EF∥PA.
本课时考点是高考的重点内容，题型既有选择题、 填空题，也有解答题，且是多个定理综合应用.2012年 天津高考将相交弦切割线定理与相似三角形的性质相 结合综合考查解决的问题的能力，是高考模拟命题的
本题主要考查相交弦、切割线定理的
应用，以及相似三角形的判定与性质．
解析：由相交弦定理可得 CF· FE＝AF· FB，得 CF＝2.又因 为 CF∥DB，所以
2
CF AF 8 ＝ ，得 DB＝ ，且 AD＝4CD，由切割 DB AB 3
2
4 线定理得 DB ＝DC· DA＝4CD ，得 CD＝ . 3
[小问题·大思维] 1．切割线定理与割线定理之间有什么关系？ 提示：切割线定理是割线定理的一种特殊情况． 2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆 心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？
提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的
中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．
[研一题]
[例 1] 如图，AB、CD 是半径为 a
(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE· EB＝EF· EP； (3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长． 分析：本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似 三角形的判定与性质与切线长定理的综合应用．解答本题
需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．
解：(1)证明：∵DE2＝EF· EC， ∴DE∶CE＝EF∶ED. ∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.
[研一题] [例2] 如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，
直线BMN交AD的延长线于点C，BM
1_25与圆有关的比例线段(切割线定理)讲解
如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交
⊙O于A、B和C、D. 求证:PA∙PB=PC∙PD.
C D
O B
A
证法2：连接AC、BD，
P
∵四边形ABDC为⊙O 的内 接四边形, ∴∠PDB= ∠A，
又 ∠P=∠P,
∴ △PBD∽ △ PCA.
∴ PD ：PA=PB ：PC.
∴ PA∙PB=PC∙PD.
例5 如图，AB、AC是⊙O的切线，ADE 是⊙O的割线，连接CD、BD 、BE 、CE.
B E
问题1:由上述条件能推出哪些结论？A
探究1:由已知条件可知∠ACD=∠AEC,
D O
图1
而∠CAD=∠EAC, ∴△ADC∽△ACE. ……(1) C
∴ CD:CE=AC:AE, ∴CD•AE=AC•CE. ………(2)
代数、几何等知识的联系及应用
C
A
D O
B
A
C′
C DB
说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的 特例！
例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P, 已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.
解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x.
C
B
由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD, A P
∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10.
B3
A2 P
解：（1）由切割线定理，得 PC ∙ PD=PA ∙ PB
m
C
∵AB=3, PA=2,∴PB=AB+PA=5.
O
4
设PC=m, ∵CD=4 , PD=PC+CD=m+4.
∴m（m+4）=2×5
和圆有关的比例线段难题【九年级】
和圆有关的比例线段难题一．知识点在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幂定理。
1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。
推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。
2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。
3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理；(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。
圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系，它们之间有着密切的联系，我们应当熟悉以下基本图形。
例题精讲例1：如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线，交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切，且PA = 6，PC =2，PD =12时，求AD 的长。
【解析】连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ，所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ，所以∠D =∠E .又∠2=∠3，所以△APD ∽△CPE ，所以PA PDPC PE=， 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6，PC =2，PD =12，得6×PE =2×12，得PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ，所以4PB =6×2，得PB =3.所以BD = PD －PB =9，DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ，所以DA 2= DB ·DE ，即AD 2=9×16，得AD ＝12.例2：如图，已知圆内接四边形ABCD ，延长AB 、DC 交于E ，延长AD 、BC 交于F ，EM 、FN 为圆的切线，分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧，两弧交于K ，求证：EK ⊥FK ．证明 连结EF ，过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ，连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆，所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆，所以∠1=∠3，于是∠2 =∠3，故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2=EC ·ED =EH ·EF ，FN 2= FC ·FB=FH ·FE ，所以EM 2＋FN 2=(EH ＋FH )·EF =EF 2．又因为EM=EK ，FN=FK ，所以EK 2＋FK 2=EF 2．故△EKF 为直角三角形，且∠EKF =90°，即EK ⊥FK .例3：如图，⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点，在公共弦QP 延长线上取一点M ，过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：.AD BD DMAC CB CM=证明 由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ =MC ·MD ，所以A 、B 、D 、C 四点共圆，可得∠ADB =∠ACB .又11sin ,sin 22ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ∆∆=∠=∠，所以.ADB ACB S AD BDS AC BC∆∆=过C 作CG ⊥MB ，垂足为G ，过D 作DH ⊥MB ，垂足为H .所以CG ∥DH ，得△MGC ∽△MHD ，得.ADB ACB S DH DM S CG CM ∆∆==所以AD BD AC BC =.DMCM例4：如图，两个同心圆的圆心为O ，大圆的弦AD 交小圆于B 、C ，大 圆的弦AF 切小圆于E ，经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ，求证：(1) AE 2= BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ，且AE = EC ，求 ∠AFC 的度数。
和圆有关的比例线段(三)
和圆有关的比例线段(三)一、引言在之前的两篇文档中，我们探讨了和圆有关的比例线段的含义以及相关的性质。
本文是本系列的第三篇，将继续深入研究这一主题。
二、线段比例定理的回顾回顾一下前两篇文档中提到的线段比例定理：给定一个三角形ABC，D是AB上的一点，E是AC上的一点，那么线段DE与线段BC的比例等于线段AD与线段AB的比例：DE / BC = AD / AB这个定理的一个特殊情况是当D为A点时，即D与A重合，那么有：AE / AC = AD / AB这个比例关系在和圆有关的问题中经常出现，接下来我们将进一步探讨。
三、和圆切线的线段比例考虑一个圆O，以及一条过圆外一点P的直线L，我们要求从点P向圆作两条切线，分别与圆相交于点A和点B，并且直线L与线段AB的比例为k。
根据线段比例定理，我们有：PL / PK = PA / PB而直线L与线段AB的比例为k，即 PL / PK = k。
从而我们得到：k = PA / PB这意味着点P到圆切线上的两个交点A和B的距离比例等于直线L与线段AB的比例。
四、从线段比例计算半径比例根据刚刚的推导，我们知道了直线L与线段AB的比例为k，它们满足如下关系：k = PA / PB接下来，我们将从这个比例关系中计算圆的半径比例。
设圆O的半径为r₁，点A和点B到圆心O的距离分别为d₁和d₂。
根据勾股定理，我们有：r₁² = d₁² + PA²r₂² = d₂² + PB²将刚刚得到的线段比例带入上述公式，我们得到：r₁² = d₁² + (k * PB)²r₂² = d₂² + PB²进一步化简得到：r₁² = k² * PB² + d₁²r₂² = PB² + d₂²将这两个等式相除，我们得到半径比例的平方：(r₁ / r₂)² = (k² * PB² + d₁²) / (PB² + d₂²)由于我们已知线段比例k，可以将PB用k来表示，进一步化简得到：(r₁ / r₂)² = (k² * r₂² + d₁²) / (r₂² + d₂²)这个公式给出了直线L与圆O的半径比例的平方，通过计算，我们可以得到r₁ / r₂的具体值。
“与圆有关的比例线段”一节课的教学与思考
化中， 学生 可 以发现 ＰＣ ＝ ＰＡ Ｂ Ｃ这个 关
够发 现 这 里 仍 然 存 在 角 相 等 （ Ｐ Ｂ一 Ｃ Ｐ Ｃ变化成为 ／Ｐ Ｂ一 Ｐ Ｃ 和三角 Ａ Ｄ Ａ ） 形相似 （ Ｃ ￣Ｐ Ｂ∽ △Ｐ Ｃ变化 成为△Ｐ Ｄ Ａ Ｂ ∽△Ｐ Ａ 这些不变的性质． Ｃ） ４ 问题 串 ４ 由图 ６出 发 ， Ｐ 点 向 将 圆上 、 内运 动 ， 图 ８ 并 提 圆 如 ，
如 图 ４将 图形 回归 到 图 １再 将 割线 绕 ， Ｐ 点进 行旋 转至 切线 位置 ， 出 ： Ａ 提 问题 ５ 还 有其 他证 明方 法 吗？ 另证 如 图 ５在 ＡｍＢ上任 取一 点 Ｅ， ， 连
结 Ｃ ＡＥ， 以 利 用 弦 切 角 定 理 证 明 Ｅ、 可 Ｐ ＝ ＰＣ ＡＣ Ａ＝ Ｃ Ａ， 根据 垂 径 定 理 Ｅ 再
能达到数学课程标准所希冀 的 目标． 么如 那 何才能打破题型教学的束缚 ， 让学生在数学 课堂教学中主动积极的去探索 ， 在学习 中提 升对数学知识本质的、 整体的认识 ， 发展数学
思维 能力 ， 从而 提高 数学课 堂教学 的效 率 呢？
２）结论（还成立吗？ 问题 ３ “ １， １ ） ” ：上面讨论了
课程标 准 下 的各 种 教材 都在这 方 面进行 了有 益 的探索 ． 如在《 例 人教 版普通 高 中课程标 准 实验教科 书选修 ４ 几何证明选讲》 教 —１ 中，
的题型教学． 在复习阶段 搞所谓 的题型本无 可厚非 ， 至少可以起到将知识归类 的作用 ， 对 提 高学 生 的考试 成绩 有 一 定 的作 用 ， 在 日 但 常教学 中 ， 然 以题 型 教学 为主 ， 仍 这对 学 生系 统 理解数 学 知识 的来 龙 去 脉 ， 升 学 生 的数 提 学 能力就 未 必有 好 处 了． 我们 Ｅ常 的数 学 教 ｌ 学要 承担 提升 学 生 数 学 能 力 ， 升 学 生 对 数 提 学的整体认识的重要功能 ， 普通高 中课程标 准中指出：高 中数学课程对于认识数学与 自 “ 然界 、 数学 与人 类社 会 的关 系 ， 识数 学 的科 认 学价值、 文化价值 ， 提高提出问题 、 分析和解 决 问题 的能 力 ， 形成 理性 思维 ， 发展智 力 和创 新具有基础性 的作用． 课程标准 中倡导“ ” 数 学 教学要 倡导 积 极 主 动 、 勇于 探 索 的 学 习 方 式”要“ 、 注重提高学生的数学思维能力” 要 、 “ 时俱进 地 认 识 ‘ 与 双基 ” 、 “ 调本 质 ， ’要 强 注 意 适度形 式 化 ”数 学 教 学 “ 体 现 数 学 的文 、 要 化价值”要“ 、 注重信息技术与数学课程 的整 合” 等课程 基本 理念 ． 型教学 显 然是基 于 教 题 师对 教学 内容 的总 结 ， 缺 乏 了学 生 对 学 习 而 内容的探索 ； 更多注意 的是教学 内容的形式 化， 而不能 更 为深入 到数 学知 识 的本质 ； 多 更 的是 指 向让 学 生 对 考 试 题 目更 轻松 的应 答 ， 而缺 少 了对 学 生 数 学 思 维 力 的关 注 ， 而 不 从
七年级下期中数学与圆有关的比例线段
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案五与圆有关的比例线段[对应学生用书P31]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则P A·PB＝PC·PD.2．割线有关定理(1)割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．②图形表示：如图，⊙O的割线P AB与PCD，则有：P A·PB＝PC·PD.(2)切割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②图形表示：如图，⊙O的切线P A，切点为A，割线PBC，则有P A2＝PB·PC.3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示：如图：⊙O的切线P A，PB，则P A＝PB，∠OP A＝∠OPB.[对应学生用书P32]相交弦定理求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△P AO中再使用射影定理即可．[证明]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝P A·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8 D．10解析：设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.答案：B2.如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交⊙O于Q、R.求证：PM·MQ＝PN·NR.证明：⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫OM ＝ON OA ＝OB ⇒⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝BNBM ＝ANPM ·MQ ＝AM ·MB PN ·NR ＝BN ·AN⇒PM ·MQ ＝PN ·NR.割线定理、切割线定理[例2] 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O的割线，已知AC ＝AB .证明：(1)AD ·AE ＝AC 2； (2)FG ∥AC .[思路点拨] (1)利用切割线定理； (2)证△ADC ∽△ACE .[证明] (1)∵AB 是⊙O 的一条切线， ADE 是⊙O 的割线，∴由切割线定理得AD ·AE ＝AB 2. 又AC ＝AB ，∴AD ·AE ＝AC 2. (2)由(1)得AD AC ＝ACAE，又∠EAC ＝∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE. ∴∠ADC ＝∠ACE .又∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF＝∠ACE . ∴FG ∥AC .(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理．3．如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D .若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.解析：∵PD ∶DB ＝9∶16，不妨设PD ＝9a ，DB ＝16a (a >0)，∴PB ＝25a . 由切割线定理知P A 2＝PD ·PB ， 即9＝9a ×25a ，∴a ＝15.∴PD ＝95.在直角三角形P AB 中，P A ＝3，PB ＝5，可知AB ＝4. 答案：9544.如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2.求：(1)BC 的长； (2)⊙O 的半径r .解：(1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x .根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )， 解得x ＝2，∴BC ＝3x ＝3 2. (2)在Rt △ABC 中， AC ＝BC 2－AB 2＝14，由割线定理，得CD ·AC ＝CN ·CM ，由(1)可知，CN ＝2，BC ＝32，CM ＝BC －BM ＝32－2＝22，AC ＝14， ∴CD ＝CN ·CM AC ＝2147，∴r ＝12(AC －CD )＝12⎝⎛⎭⎫14－2147＝51414.切线长定理[例3] 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的切线与过A 、B 两点的切线分别交于点E 、F ，AF 与BE 交于点P .求证：∠EPC ＝∠EBF . [思路点拨] 切线长定理→EA ＝EC ，FC ＝FB →EC FC ＝EP PB→CP ∥FB→结论[证明] ∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB .∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB .∴EA ∥FB .∴EA BF ＝EP BP .∴EC FC ＝EPPB .∴CP ∥FB .∴∠EPC ＝∠EBF .运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．5．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB ＝( ) A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°解析：如图，连接OO ′，O ′A . ∵OA 为⊙O ′的切线， ∴∠OAO ′＝90°.又∵⊙O 与⊙O ′为等圆且外切， ∴OO ′＝2O ′A . ∴sin ∠AOO ′＝AO ′OO ′＝12.∴∠AOO ′＝30°.又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°.答案：B6.已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于L，M，N，P.求证：AD＋BC＝AB＋CD.证明：由圆的切线长定理得CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN，∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC，CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD，∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC)＝(AL＋ND)＋(BL＋CN)＝(AL＋BL)＋(ND＋CN)＝AB＋CD，即AD＋BC＝AB＋CD.[对应学生用书P33]一、选择题1．自圆外一点所作过圆心的割线长是12 cm，圆的半径为4 cm，则过此点所引的切线长为()A．16 cm B．4 3 cmC．4 2 cm D．以上答案都不对解析：设切线长为x cm，由切割线定理得x2＝(12－2×4)×12，故x＝4 3.答案：B2．点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则()A．OC2＝CA·CB B．OC2＝P A·PBC．PC2＝P A·PB D．PC2＝CA·CB解析：根据OC⊥CP，可知C为过PC点弦的中点，再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB.答案：D3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：在直角三角形ABC 中，根据直角三角形射影定理可得CD 2＝AD ·DB ，再根据切割线定理可得CD 2＝CE ·CB ，所以CE ·CB ＝AD ·DB .答案：A4.已知PT 切⊙O 于点T ，TC 是⊙O 的直径，割线PBA 交TC 于点D ，交⊙O 于B 、A (B 在PD 上)，DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2，则PB 等于( )A ．20B ．10C ．5D ．8 5解析：∵DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2， ∴由相交弦定理得DB ·DA ＝DC ·DT ， 即DT ＝DB ·DA DC ＝4×32＝6；因为TC 为⊙O 的直径，所以PT ⊥DT . 设PB ＝x ， 则在Rt △PDT 中，PT 2＝PD 2－DT 2＝(4＋x )2－36.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ＝x (x ＋7)， 所以(4＋x )2－36＝x (x ＋7)， 解得x ＝20，即PB ＝20. 答案：A 二、填空题5．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，AM ＝4，BM ＝9，则弦CD 的长为________． 解析：根据相交弦定理，AM ·BM ＝(CD2)2，所以CD2＝6，CD ＝12.答案： 126.如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.解析：因为直线PB 是圆的切线，所以∠ABP ＝∠C ，又因为∠ABP＝∠ABD ，所以∠ABD ＝∠C ，又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AD AB ＝ABAC，所以AB ＝AD ·AC ＝mn .答案：mn7.如图，P A，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，P A＝7，在劣弧AB上任取一点C，过C作⊙O的切线，分别交P A，PB于D，E，则△PDE的周长是________．解析：由切线长定理知，PB＝P A＝7，且DA＝DC，EC＝EB，所以△PDE的周长为PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋CE＋PE＝P A＋PB＝14.答案：14三、解答题8.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，求EF的长．解：因为CD⊥AB于G，F为CG的中点，所以G为CD的中点，即CD＝8，FD＝6.又因为AF·FE＝CF·FD，即3×EF＝2×6，所以EF＝4.9.已知：如图，P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，PO＝13 cm，⊙O半径r＝5 cm，求△PDE的周长．解：∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，∴DA＝DC，EB＝EC.∴△PDE的周长为P A＋PB＝2P A.连接OA，则OA⊥P A.∴P A＝PO2－OA2＝132－52＝12 cm.∴△PDE的周长为24 cm.10．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且P A＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．解：(1)证明：连接AB.∵AC为⊙O1的切线，∴∠BAC ＝∠D .又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E . ∴AD ∥EC .(2)设PB ＝x ，PE ＝y ，由相交弦定理，得PB ·PE ＝P A ·PC ， 则x ·y ＝6×2，∴xy ＝12.① ∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝AP PC ，即9＋x y ＝62.∴9＋x ＝3y .②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(舍去)．∴DE ＝9＋3＋4＝16. ∵AD 为⊙O 2的切线，∴由切割线定理，得AD 2＝DB ·DE ＝9×16. ∴AD ＝12.。
2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)
5． 两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线 OA、OB，A、B是切点，则∠AOB＝ A．90° C．45° B．60° D．30° ( )
解析：如图，连接OO′，O′A. ∵OA为⊙O′的切线， ∴∠OAO′＝90° . 又∵⊙O与⊙O′为等圆且外切， ∴OO′＝2O′A. AO′ 1 ∴sin ∠AOO′＝ ＝ . OO′ 2 ∴∠AOO′＝30° . 又由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60° .
(2)切割线定理： ①文字叙述： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的 比例中项 ； ②图形表示： 如图，⊙O的切线PA，切点为A， PC 割线PBC，则有 PA2＝PB· .
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3．切线长定理 (1)文字叙述： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的 长相等 ，圆 心和这一点的连线平分 两条切线 的夹角．
(2)图形表示：
如图：⊙O的切线PA、PB，则PA ＝ PB ，∠OPA＝ ∠OPB .
[例1]
如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过
点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C、D两点，垂足是点E. 求证：PC· PD＝AE· AO.
[思路点拨]
由相交弦定理知PC· PD＝AP· PB，又P为AB
的中点，∴PC· PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可． [证明] 连接OP， ∵P为AB的中点， ∴OP⊥AB，AP＝PB.
PM· MQ＝AM· MB PN· NR＝BN· AN ⇒PM· MQ＝PN· NR.
[例2]
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，
ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB. 证明：(1)AD· AE＝AC2； (2)FG∥AC. [思路点拨] (1)利用切割线定理；
和圆中有关的比例线段练习题目
和圆有关的比例线段练习题（一）计算1．如图7-197，已知圆O中弦CD垂直于直径AB于P点，AP=4cm，PD=2cm．求OP的长．2．已知：圆内两条弦相交，一条弦被分成5cm，15cm两段，另一条弦被二等分．求另一条弦长．3．已知：如图7-198，C为半圆上的一点，直径AB=10cm，E4．圆内相交的两条弦，一条弦被交点所内分成的两条线段的长为4cm和7cm，另一条弦全长为16cm，求这条弦被分成的两条线段的长．5．已知：如图7-199，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，弦BD过OC的中点E．若⊙O的半径为4cm，求BD的长．6．圆的一条弦分直径为3cm和7cm两部分，且此弦和这条直径相交成30°角．求弦心距和弦长．7．已知：如图7-200，在⊙O中，弦AB与CD相交于E，AE=4cm，EB=12cm，CD被E所分成的两线段的长度比为1∶2．求CD的长．8．已知：如图7-201，直径为AB的半圆O交⊙O'于C和B两，且DM∶ME=2∶5．求⊙O'的直径．9．已知：如图7-202，⊙O直径DE⊥AB于M，弦DF交AB10．已知：如图7-203，以⊙O上任一点A为圆心作圆，两圆相交于B、C，由A引射线交BC于F，交⊙A于D，交⊙O于E，连120°．求FC的长．11．已知：如图7-204，⊙O中，弦AB与CD交于M，弦心距12．已知：如图7-205，两同心圆O中，大圆直径AB交小圆于点C、D，大圆的弦EF⊥AB于C，ED交小圆于G．又知大圆半径为6cm，小圆半径为CO=4cm．求EG的长．13．已知：如图7-206，PA是⊙O的切线，A是切点，PB交⊙O于C且过圆心O，D是OB的中点，连结AD并延长交⊙O于E．若14．已知：如图7-207，PCD是过圆心O的割线，PA切⊙O于A，AB⊥CD于E，若AB=6cm，EC=1cm．求：⊙O的半径与AP的长．15．如图7-208，AD是锐角△ABC的外接圆的切线，AD交和CD的长．cm，AB=1cm，∠D=30°．求S△ABC∶S△ACD．17．已知：如图7-210，直角三角形ABC的两条直角边AC、AB的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边BC交于D点．求BD的长．18．已知：如图7-211，AB是⊙O直径，AC切⊙O于ACB19．已知：如图7-212，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，以AD为直径的圆交AC于M，BC=12cm，AM=5cm，求S△BMC的值．20．已知：如图7-213，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，PC∶AC．21．已知：如图7-214，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆与AC交于D，过D作圆的切线与BC交于E点．若AD∶DC=16∶9，DE=3cm，求此圆半径R．22．已知：如图7-215，⊙O1，⊙O2相交于A，B两点，直线TMD分别与⊙O2切于T，与⊙O1交于M，D两点，M为TD的中点，过AB的直线交TD于C．求CM∶CT的值．23．已知：如图7-216，AB，AC分别切⊙O于B，C，AED是过O点的割线，∠BAC=60°，AB的长为6cm，求AD的长．24．已知：如图7-217，AB切⊙O于B，ACD是⊙O的割线并交⊙O于C和D，OE⊥CD于E．又知AB的长为20cm，AD=40cm，OE=8cm，求⊙O半径的长．25．如图7-218，已知MN切半径为10cm的⊙O于N，MO交⊙O于A、T两点，MA为8cm，NP⊥OM于P，求MN，PA的长．（二）证明26．已知：如图7-219，AB是⊙O直径，C是⊙O外一点，CD⊥AB于D，交⊙O于M，CEF为割线，求证：CD2=CE·CF+AD·DB．27．如图7-220，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，以C为圆心作⊙C 切AB于D并交⊙O于P和Q，PQ交CD于G．求证：GC=DG．和圆有关的比例线段练习题(答案)（一）计算4．14cm，2cm．3，PB=7，OE⊥DC于E，∠EPO=30°，求OE和DC．先由已知勾股定理得BC=6，再由相交弦定理得BF·FC=EF·FA，即（6 －解法二由解法一已求出CM=4，作MN⊥BC于N．根据比例式21．4cm．提示：首先证明DE=CE，DE=EB=3，CB=6．由AD∶DC=16∶9，设AD=16x，CD=9x，则AC=25x．由CB2=CD·AC得所以AB=8，由此得⊙O半径R为4（cm）．22．1∶2．提示：由切割线定理得CT2=CA·CB，由割线定理得CM·CD=CA·CB，所以CT2=CM·CD．又M为TD中点，所以CT2=CM（CM+MD）=CM（CM+CM+CT）．由此得CT2=2CM2+CM·CT，2CM2+CM·CT－CT2=0，（2CM－CT）（CM+CT）=0．所以2CM=CT，CM=－CT（舍去）．从而CM∶CT=1∶2．（二）证明26．提示：证法一延长MD交⊙O于G，由割线定理得CM·CG=CE·CF．因为CM=CD－MD，又MD=DG，从而CG=CD+DG=CD+MD．所以（CD－MD）（CD+MD）=CE·CF，CD2－MD2=CE·CF，移项得CD2=CE·CF+MD2．又MD2=AD·DB，所以CD2=CE·CF+AD·DB．OM，则CE· CF+AD·DB=CT2+MD2=（OC2－OT2）+MD2=（OC2－OM2）+MD2=[（CD2+OD2）－OM2]+MD2=CD227．提示：延长GD交⊙O于M，反向延长GD交⊙C于N．由圆内相交弦定理得PG· GQ=DG·GN，MG·GC=PG·GQ．所以MG·GC=DG·GN．又显然MD=DC=CN，所以（MD+DG）·GC=DG（GC+CN），推出GC=DG．。
切线长定理、弦切角、和圆有关的比
初三中考冲刺之几何证明、解答题技巧切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段定理的掌握。
1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于PPA·PB＝PC·PD连结AC、BD，证：△APC∽△DPB相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于PPC2＝PA·PB用相交弦定理切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
和圆有关的比例线段(二)数学教案
和圆有关的比例线段(二)数学教案
标题：和圆有关的比例线段（二）
一、教学目标
1. 让学生理解并掌握与圆相关的比例线段的概念。
2. 培养学生的观察力和分析问题的能力。
3. 提高学生的几何直觉和空间想象能力。
二、教学重点和难点
重点：理解和掌握与圆相关的比例线段的性质和应用。
难点：如何运用这些性质解决实际问题。
三、教学过程
1. 导入新课
通过回顾上节课的内容，引出本节课的主题——与圆相关的比例线段。
2. 新课讲解
(1) 介绍圆的相关概念和性质，如半径、直径、弦、弧等。
(2) 引入比例线段的概念，并举例说明。
(3) 探讨与圆相关的比例线段的性质，如圆周角定理、切割线定理、相交弦定理等。
(4) 通过例题进行演示，让学生理解并掌握这些性质的应用。
3. 练习与讨论
设计一系列的练习题，让学生在实践中加深对所学知识的理解和掌握。
同时，鼓励学生之间的交流和讨论，培养他们的合作精神和团队意识。
四、课堂小结
回顾本节课的主要内容，强调重点和难点，帮助学生巩固所学知识。
五、课后作业
布置一些相关的问题，让学生在课后继续思考和练习，以提高他们独立解决问题的能力。
六、教学反思
在教学过程中，教师应时刻关注学生的学习情况，及时调整教学方法和策略，以达到最佳的教学效果。
和圆有关的比例线段
和圆有关的比例线段介绍在几何学中，圆是一个非常重要的图形。
而比例则是数学中常见的一个概念，用来描述两个量之间的关系。
本文将讨论和圆有关的比例线段。
圆的定义圆是平面上离一个固定点距离相等的所有点的集合。
这个固定点被称为圆心，而距离圆心最远的点与圆心的距离被称为半径。
圆可以通过圆心和半径来唯一确定。
比例线段在几何中，线段分为很多种类，比例线段是其中一种。
比例线段指的是线段上一个点将线段分割成两个部分，且两个部分的比例与整个线段的比例相等。
如果一个线段被比例为a:b，那么可以得到以下等式：AB/BC = a/b其中，AB表示线段的一部分，BC表示线段的另一部分。
和圆有关的比例线段和圆有关的比例线段主要涉及到圆的直径、半径和切线。
下面以这些情况分别进行讨论。
圆的直径与半径的关系圆的直径是通过圆心的两个点，并且直径的长度等于半径的两倍。
因此，如果线段AB是圆的直径，那么可以得到以下等式：AB/BC = 2这意味着直径上的任意一点将直径划分成两段，其中一段是整个直径的两倍大小。
圆的半径与切线的关系切线是与圆相切且垂直于半径的直线。
在与圆的一个点A相切并垂直于半径的切线上，连接圆心O与A点的线段称为半径OA。
如果线段AB是切线上的一段，那么可以得到以下等式：AB/BC = 1这意味着切线上的任意一点将切线划分成两段，其中一段的长度等于半径的长度。
应用实例求解比例线段的长度已知圆的半径为r，线段AB分割线段OC，如下图所示：A B|--------|O ----------- C根据比例线段的定义，可以得到以下等式：AB/BC = a/b要求解比例线段的长度，可以应用以下公式：AB = (BC * a) / b其中，BC是已知的线段长度，a和b分别是给定的比例。
求解与切线相交的线段长度已知圆的半径为r，线段AB是与一个切线相交的线段，如下图所示：A|--|-------O | B|根据比例线段的定义，可以得到以下等式：AB/BC = a/b要求解与切线相交的线段的长度，可以应用以下公式：AB = (BC * a) / b其中，BC是切线上的线段长度，a和b分别是给定的比例。
与圆有关的比例线段
1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交 点分成的两条线段长的积相等. 2.割线定理：从圆外一点引圆的两条割 线，这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等 3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线 和割线，切线长是这点到割线与圆交点 的两条线段的比例中项. 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相等，圆心和这 一点的连线平分两条切线的夹角.
（2）若AB=2 ，求PA的长
（1）∠P=60 （2）PA=AC=
3
应用举例：
例1.如图，AB是⊙O的直径，过A、B引两 条弦AD和BE，相交于点C. 求证：AC•AD + BC•BE = AB2
Fห้องสมุดไป่ตู้O
例2.如图,已知BC是☉O的直径,AH⊥BC,
的中点,BF交AD于点 垂足为D,点A为 BF
E,且BE·EF=32,AD=6.
(1)求证：AE=BE.
(2)求DE的长. (3)求BD的长. DE=2 BD= 2 3
例3.如图，Rt△BDE中，∠BDE=90，BC 平分∠DBE交DE于点C，ACCB交BE于点 A，△ABC的外接圆的半径为r. （1）若∠E=30，求证：BC•BD = r•ED； （2）若BD=3，DE=4，求AE的长
O F
例4.如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC 是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC =30. （1）求∠P 的大小；
和圆有关的比例线段(一)
和圆有关的比例线段(一)1. 引言在几何学中，比例线段指的是将一条线段等分成若干份，每一份之间满足一定的比例关系。
本文将探讨和圆有关的比例线段问题，从最基础的概念开始，逐步引入相关定理和应用。
2. 圆的基本概念回顾在开始讨论和圆有关的比例线段问题之前，我们先回顾一些与圆相关的基本概念。
2.1 圆的定义圆是由平面上和一个确定点距离相等的所有点组成的集合。
这个确定点称为圆心，距离称为半径。
2.2 圆的要素在讨论和圆有关的比例线段问题时，会涉及到圆的几个重要要素，包括：•圆心：圆的中心点。
•半径：从圆心到圆上任意一点的距离。
•直径：通过圆心的线段，且等于半径的两倍。
•弧：圆上的一段弧线。
•弦：圆上的一段线段，连接圆上的两个点，且不经过圆心。
3. 比例线段的定义比例线段是指将一条线段分割成若干份，每一份之间满足一定的比例关系。
具体来说，如果将线段AB分为两部分，其中一部分的长度为m，另一部分的长度为n，且满足$\\frac{m}{n}=\\frac{a}{b}$，则称线段AB上的点C将线段分割成了比值为$\\frac{a}{b}$的比例线段。
4. 圆的比例线段定理接下来，我们将讨论和圆有关的比例线段定理。
4.1 弧分割定理假设圆的半径为R，圆心角对应的弧长为l，当圆心角为θ时，弧所在的比例线段为m:n。
根据弧分割定理，我们可以得到以下关系：$\\frac{m}{n} = \\frac{R \\cdot θ}{l}$其中，l为弧长，R为半径。
4.2 弦分割定理假设圆的半径为R，连接弦的线段分割弦为m:n。
根据弦分割定理，我们可以得到以下关系：$\\frac{m}{n} = \\frac{\\sqrt{(2R)^2 - d^2} - l}{\\sqrt{(2R)^2 - d^2} + l}$其中，d为弦与圆心的距离，l为弦长，R为半径。
5. 圆的比例线段应用举例为了更好地理解和圆有关的比例线段定理，我们来看一个具体的应用举例。
第四讲 弦切角、与圆有关的比例线段
3.6 弦切角、与圆有关的比例线段［学习目标］ 一、切线长1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
二、弦切角：1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
满足三个条件：（1）顶点在圆上；（2）一边和圆相交；（3）一边和圆相切。
2.分类（以圆心的位置分）： （1）圆心在角的外部；（2）圆心在角的一边上；（3）圆心在角的内部。
直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）3. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：在同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
4. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
5. 遇到圆的切线，可联想“角”：弦切角，“线”：切线的性质定理及切线长定理。
三、与圆有关的比例线段交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】例1. 如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
例2. ⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3. 已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。
和圆有关6个定理,初中教材上没有,但老师都会在课堂上介绍讲解.doc
这些性质定理，具体能不能用，需要问自己的数学老师，一般老师也建议用，至少你在选择题，填空题是可以用，可以快速得出结论的。
和圆有关6个定理，初中教材上没有，但老师都会在课堂上介绍讲解
1、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这个一点的连线平分两条切线的夹角。
2、弦切角定理：弦切角等于它做夹的弧所对的圆周角。本来就有这个定理，ห้องสมุดไป่ตู้偏在做题的时候，需要我们推理求出来。
弦切角定理的推论，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
3、和圆有关的比例线段，相交弦定理，推论。
4、切割线定理，从圆外一点，引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点两条线段长的比例中项。
切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
5、两圆连心线的性质。①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过点点。②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
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∴△ABE∽=△ ACE
∴ BE=CE ⑦
B
E
4 3
∴ AE⊥BC ⑧ A
D
∴ 四边形ABEC各边中点 F
共圆
⑨
C
2
1
G
谢 谢！
探究4:使割线PD绕P点运动到切线的
位置,可以得出什么结论?
D
C(D)
C
O
O
P
P
A(B)
A(B)
PA²=PC·PD 易证Rt△OAP≌Rt△OCP.
PA=PC
4.切线长定理 从圆外一点引圆的两
条切线，它们的切线长相等,圆心和
这一点的连线平分两条切线的夹角.
思考:1.由切割线定理能证明切线长定 理吗? 如图由P向圆任作一条割线EF试试.
A
O´ Q
O
B
M
N
P
习题2.5
6.如图,PA是⊙O的切线, M是PA的中点,
求证:∠MPB=∠MCP
思路：
A
∵MA²=MB•MC=PM² M
MB PM PM MC P
B O
∴△MBP∽△PMC
C
∴∠MPB=∠MCP
习题2.5
7.如图, AD,BE,CF分别是△ABC三边的高,H
是垂心,AD延长线交△ABC外接圆于点G,
B E
B E
D
O
D
O
A
A
C
C
F
G
图⑴
习题2.5 9题
将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A 逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接 DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,你能推
出哪些结论?如果∠BAD= ∠CAD,又有什么结论?
AB²=AD•AE ①
B
CF•CE=CD•CG ②
D O
CD AD
A
CE AC
∴AC•CD=AD•CE ⑻ Q
G
由⑺⑻可得：
图⑶
AC•CD=AE•CG
⑼
C P
连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则
∠PCQ= ∠PGD= ∠DBE,
故C,E,B,Q四点共圆 ⑽
习题2.5
5.如图, ⊙O与⊙O´相交与点A,B.PQ是⊙O的 切线,求证:PN²=NM•NQ
C
同理 BD•AE=AB•BE ⑶
图⑴
因为AC=AB,由 ⑵⑶
可得 BE•CD=BD•CE ⑷
问题2 在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),
其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些
结论?
B E
B E
D
O
A
D
O
A
C
图⑴
F G
C 图⑵
探究2: 猜想并可证明 △ADC∽△ ACE ⑸ 同样可得⑵⑶⑷
问题3 在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割
线CFD变成切线CD,得到图(3),此时又能推出哪
些结论?
B E
B
E
D
O
D
O
A
A
F G
C 图⑵
F
G
图⑶
C
P
探究3: 可以推出（1）~（6）的所有结论。
此外
∵AC//DG.
AD CG AE CE
B
∴AD•CE=AE•CG ⑺
E
∵ △ACD∽△ AEC
思考:2.你能将切线长定理推广到空间 的情形吗?
C(D) F
O
O
P
E
A(B)
例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点
P,已知PA=PB=4.PC= 1 PD,求CD的长.
Hale Waihona Puke 解:设CD=x,则PD=4 5
由相交弦定理,得
x
4
1
,PC= 5
x
A
PA•PB=PC•PD
D
∴求4得×4x==1150,x •
4x 5
C P
析：PC²=PA•PB 又PD²=PA•PB
B A
PC²= PD²
D
PC=PD
例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引两
条弦AD和BE,相交于点C, 求证:AC•AD+BC•BE=AB². D 分析:A,F,C.E四点共圆 E C
BC•BE=BF•BA.
A
FO
B
F,B,D,C四点共圆
AC•AD=AF•AB.
C
P
∴CD=10
B
例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线
EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.
求证:(1)△DFE∽△EFA; C
(2)EF=FG △DFEEF∽△FEDFA
FA EF
3
O
E
B
EF²=FA•FD
1
2
A
D
又GF²=FA•FD
G
F
GF²= EF²
EF=FG
例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB 上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD. 求证:PC=PD
E
∵AC=AB
∴AC²=AD•AE
A
即AC AD AE AC
∵∠CAD= ∠EAC,
D
O
C
F
G
∴ △ADC∽△ ACE ∴∠ACD=∠AEC=∠G
∴ AC//FG
③
如果∠BAD= ∠CAD,如图,
∵△ABD∽=△ ACD (?)
∴ BD=CD ④ ∴∠ABD=∠ACD ∵∠ACD=∠1 ∠ABD=∠2
AC•AD+BC•BE=AF•AB+BF•BA
=AB(AF+BF)=AB²
例5.如图,AB,AC是⊙O的切线,ADE
是⊙O的割线,连接CD,BD,BE,CE.
问题1 由上述条件能推出哪些结论?
探究1: ∠ACD= ∠AEC
B
C△DADACC∽△ ACE ⑴
CE AE
A
D
O
E
CD•AE=AC•CE ⑵
A
求证:DH=DG
3
F
E
H
2C
1
D B
G
习题2.5
8.如图,⊙O直径AB的延长线与弦CD的延长线
交于点P,A⌒E=A⌒C. 求证:PF•PO=PA•PB
思路： △POC∽△PDF
E
A
O
FB
1
2
C
D
PO PC PD PF
P
又PD•PC=PB•PA
PF•PO=PD•PC PF•PO=PB•PA
习题2.5 9.将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A 逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接 DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,能推出 哪些结论?如果∠BAD= ∠CAD,又有什么结论?
证明如下:
∵∴AABC²²==AADD••AAEE,,而即AAABCE=AAACDC,
B E
∵∠CAD= ∠EAC,
A
D
O
∴ △ADC∽△ ACE ⑸
F
(对应边成比例且夹角相等).
G
C 图⑵
另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆
∴ ∠CFG= ∠AEC,
又∵∠ACF= ∠AEC, ∴ ∠CFG= ∠ACF, ∴ FG//AC ⑹