25与圆有关的比例线段
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∴∠1=∠2 ⑤ ∴B⌒D=F⌒D ⑥
∴△ABE∽=△ ACE
∴ BE=CE ⑦
B
E
4 3
∴ AE⊥BC ⑧ A
D
∴ 四边形ABEC各边中点 F
共圆
⑨
C
2
1
G
谢 谢！
A
求证:DH=DG
3
F
E
H
2C
1
D B
G
习题2.5
8.如图,⊙O直径AB的延长线与弦CD的延长线
交于点P,A⌒E=A⌒C. 求证:PF•PO=PA•PB
思路： △POC∽△PDF
E
A
O
FB
1
2
C
D
PO PC PD PF
P
又PD•PC=PB•PA
PF•PO=PD•PC PF•PO=PB•PA
习题2.5 9.将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A 逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接 DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,能推出 哪些结论?如果∠BAD= ∠CAD,又有什么结论?
证明如下:
∵∴AABC²²==AADD••AAEE,,而即AAABCE=AAACDC,
B E
∵∠CAD= ∠EAC,
A
D
O
∴ △ADC∽△ ACE ⑸
F
(对应边成比例且夹角相等).
G
C 图⑵
另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆
∴ ∠CFG= ∠AEC,
又∵∠ACF= ∠AEC, ∴ ∠CFG= ∠ACF, ∴ FG//AC ⑹
B E
B E
D
O
D
Baidu Nhomakorabea
O
A
A
C
C
F
G
图⑴
习题2.5 9题
将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A 逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接 DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,你能推
出哪些结论?如果∠BAD= ∠CAD,又有什么结论?
AB²=AD•AE ①
B
CF•CE=CD•CG ②
C
同理 BD•AE=AB•BE ⑶
图⑴
因为AC=AB,由 ⑵⑶
可得 BE•CD=BD•CE ⑷
问题2 在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),
其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些
结论?
B E
B E
D
O
A
D
O
A
C
图⑴
F G
C 图⑵
探究2: 猜想并可证明 △ADC∽△ ACE ⑸ 同样可得⑵⑶⑷
思考:2.你能将切线长定理推广到空间 的情形吗?
C(D) F
O
O
P
E
A(B)
例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点
P,已知PA=PB=4.PC= 1 PD,求CD的长.
解:设CD=x,则PD=
4 5
由相交弦定理,得
x
4
1
,PC= 5
x
A
PA•PB=PC•PD
D
∴求4得×4x==1150,x •
4x 5
探究4:使割线PD绕P点运动到切线的
位置,可以得出什么结论?
D
C(D)
C
O
O
P
P
A(B)
A(B)
PA²=PC·PD 易证Rt△OAP≌Rt△OCP.
PA=PC
4.切线长定理 从圆外一点引圆的两
条切线，它们的切线长相等,圆心和
这一点的连线平分两条切线的夹角.
思考:1.由切割线定理能证明切线长定 理吗? 如图由P向圆任作一条割线EF试试.
C P
析：PC²=PA•PB 又PD²=PA•PB
B A
PC²= PD²
D
PC=PD
例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引两
条弦AD和BE,相交于点C, 求证:AC•AD+BC•BE=AB². D 分析:A,F,C.E四点共圆 E C
BC•BE=BF•BA.
A
FO
B
F,B,D,C四点共圆
AC•AD=AF•AB.
C
P
∴CD=10
B
例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线
EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.
求证:(1)△DFE∽△EFA; C
(2)EF=FG △DFEEF∽△FEDFA
FA EF
3
O
E
B
EF²=FA•FD
1
2
A
D
又GF²=FA•FD
G
F
GF²= EF²
EF=FG
例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB 上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD. 求证:PC=PD
D O
CD AD
A
CE AC
∴AC•CD=AD•CE ⑻ Q
G
由⑺⑻可得：
图⑶
AC•CD=AE•CG
⑼
C P
连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则
∠PCQ= ∠PGD= ∠DBE,
故C,E,B,Q四点共圆 ⑽
习题2.5
5.如图, ⊙O与⊙O´相交与点A,B.PQ是⊙O的 切线,求证:PN²=NM•NQ
A
O´ Q
O
B
M
N
P
习题2.5
6.如图,PA是⊙O的切线, M是PA的中点,
求证:∠MPB=∠MCP
思路：
A
∵MA²=MB•MC=PM² M
MB PM PM MC P
B O
∴△MBP∽△PMC
C
∴∠MPB=∠MCP
习题2.5
7.如图, AD,BE,CF分别是△ABC三边的高,H
是垂心,AD延长线交△ABC外接圆于点G,
问题3 在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割
线CFD变成切线CD,得到图(3),此时又能推出哪
些结论?
B E
B
E
D
O
D
O
A
A
F G
C 图⑵
F
G
图⑶
C
P
探究3: 可以推出（1）~（6）的所有结论。
此外
∵AC//DG.
AD CG AE CE
B
∴AD•CE=AE•CG ⑺
E
∵ △ACD∽△ AEC
E
∵AC=AB
∴AC²=AD•AE
A
即AC AD AE AC
∵∠CAD= ∠EAC,
D
O
C
F
G
∴ △ADC∽△ ACE ∴∠ACD=∠AEC=∠G
∴ AC//FG
③
如果∠BAD= ∠CAD,如图,
∵△ABD∽=△ ACD (?)
∴ BD=CD ④ ∴∠ABD=∠ACD ∵∠ACD=∠1 ∠ABD=∠2
AC•AD+BC•BE=AF•AB+BF•BA
=AB(AF+BF)=AB²
例5.如图,AB,AC是⊙O的切线,ADE
是⊙O的割线,连接CD,BD,BE,CE.
问题1 由上述条件能推出哪些结论?
探究1: ∠ACD= ∠AEC
B
C△DADACC∽△ ACE ⑴
CE AE
A
D
O
E
CD•AE=AC•CE ⑵
∴△ABE∽=△ ACE
∴ BE=CE ⑦
B
E
4 3
∴ AE⊥BC ⑧ A
D
∴ 四边形ABEC各边中点 F
共圆
⑨
C
2
1
G
谢 谢！
A
求证:DH=DG
3
F
E
H
2C
1
D B
G
习题2.5
8.如图,⊙O直径AB的延长线与弦CD的延长线
交于点P,A⌒E=A⌒C. 求证:PF•PO=PA•PB
思路： △POC∽△PDF
E
A
O
FB
1
2
C
D
PO PC PD PF
P
又PD•PC=PB•PA
PF•PO=PD•PC PF•PO=PB•PA
习题2.5 9.将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A 逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接 DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,能推出 哪些结论?如果∠BAD= ∠CAD,又有什么结论?
证明如下:
∵∴AABC²²==AADD••AAEE,,而即AAABCE=AAACDC,
B E
∵∠CAD= ∠EAC,
A
D
O
∴ △ADC∽△ ACE ⑸
F
(对应边成比例且夹角相等).
G
C 图⑵
另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆
∴ ∠CFG= ∠AEC,
又∵∠ACF= ∠AEC, ∴ ∠CFG= ∠ACF, ∴ FG//AC ⑹
B E
B E
D
O
D
Baidu Nhomakorabea
O
A
A
C
C
F
G
图⑴
习题2.5 9题
将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A 逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接 DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,你能推
出哪些结论?如果∠BAD= ∠CAD,又有什么结论?
AB²=AD•AE ①
B
CF•CE=CD•CG ②
C
同理 BD•AE=AB•BE ⑶
图⑴
因为AC=AB,由 ⑵⑶
可得 BE•CD=BD•CE ⑷
问题2 在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),
其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些
结论?
B E
B E
D
O
A
D
O
A
C
图⑴
F G
C 图⑵
探究2: 猜想并可证明 △ADC∽△ ACE ⑸ 同样可得⑵⑶⑷
思考:2.你能将切线长定理推广到空间 的情形吗?
C(D) F
O
O
P
E
A(B)
例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点
P,已知PA=PB=4.PC= 1 PD,求CD的长.
解:设CD=x,则PD=
4 5
由相交弦定理,得
x
4
1
,PC= 5
x
A
PA•PB=PC•PD
D
∴求4得×4x==1150,x •
4x 5
探究4:使割线PD绕P点运动到切线的
位置,可以得出什么结论?
D
C(D)
C
O
O
P
P
A(B)
A(B)
PA²=PC·PD 易证Rt△OAP≌Rt△OCP.
PA=PC
4.切线长定理 从圆外一点引圆的两
条切线，它们的切线长相等,圆心和
这一点的连线平分两条切线的夹角.
思考:1.由切割线定理能证明切线长定 理吗? 如图由P向圆任作一条割线EF试试.
C P
析：PC²=PA•PB 又PD²=PA•PB
B A
PC²= PD²
D
PC=PD
例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引两
条弦AD和BE,相交于点C, 求证:AC•AD+BC•BE=AB². D 分析:A,F,C.E四点共圆 E C
BC•BE=BF•BA.
A
FO
B
F,B,D,C四点共圆
AC•AD=AF•AB.
C
P
∴CD=10
B
例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线
EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.
求证:(1)△DFE∽△EFA; C
(2)EF=FG △DFEEF∽△FEDFA
FA EF
3
O
E
B
EF²=FA•FD
1
2
A
D
又GF²=FA•FD
G
F
GF²= EF²
EF=FG
例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB 上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD. 求证:PC=PD
D O
CD AD
A
CE AC
∴AC•CD=AD•CE ⑻ Q
G
由⑺⑻可得：
图⑶
AC•CD=AE•CG
⑼
C P
连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则
∠PCQ= ∠PGD= ∠DBE,
故C,E,B,Q四点共圆 ⑽
习题2.5
5.如图, ⊙O与⊙O´相交与点A,B.PQ是⊙O的 切线,求证:PN²=NM•NQ
A
O´ Q
O
B
M
N
P
习题2.5
6.如图,PA是⊙O的切线, M是PA的中点,
求证:∠MPB=∠MCP
思路：
A
∵MA²=MB•MC=PM² M
MB PM PM MC P
B O
∴△MBP∽△PMC
C
∴∠MPB=∠MCP
习题2.5
7.如图, AD,BE,CF分别是△ABC三边的高,H
是垂心,AD延长线交△ABC外接圆于点G,
问题3 在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割
线CFD变成切线CD,得到图(3),此时又能推出哪
些结论?
B E
B
E
D
O
D
O
A
A
F G
C 图⑵
F
G
图⑶
C
P
探究3: 可以推出（1）~（6）的所有结论。
此外
∵AC//DG.
AD CG AE CE
B
∴AD•CE=AE•CG ⑺
E
∵ △ACD∽△ AEC
E
∵AC=AB
∴AC²=AD•AE
A
即AC AD AE AC
∵∠CAD= ∠EAC,
D
O
C
F
G
∴ △ADC∽△ ACE ∴∠ACD=∠AEC=∠G
∴ AC//FG
③
如果∠BAD= ∠CAD,如图,
∵△ABD∽=△ ACD (?)
∴ BD=CD ④ ∴∠ABD=∠ACD ∵∠ACD=∠1 ∠ABD=∠2
AC•AD+BC•BE=AF•AB+BF•BA
=AB(AF+BF)=AB²
例5.如图,AB,AC是⊙O的切线,ADE
是⊙O的割线,连接CD,BD,BE,CE.
问题1 由上述条件能推出哪些结论?
探究1: ∠ACD= ∠AEC
B
C△DADACC∽△ ACE ⑴
CE AE
A
D
O
E
CD•AE=AC•CE ⑵