二次函数对称轴经典问题

高中数学二次函数对称轴典型问题练习题

二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类：

①定区间，定轴； ②定区间，动轴，

③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0.

第一类问题 二次函数中的动轴定区间 例一已知函数2

142+-+-=a ax x y 在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a 的值。 〖解答〗.3

106,310,2)1(,]1,0[,2,12/;,20,32,2)2

(,20,120;6,2)0(,]1,0[,0,02

,2,42)2(max max max 22或综上上单调递增函数在即时当故舍去矛盾与或得有即时当得有上单调递减函数在即时当对称轴为-==∴==∴>>≤≤-===≤≤≤≤-===<<=+-+--=a a f y a a a a a f y a a a f y a a a x a a a x y 第二类问题 二次函数中的定轴动区间

例二 函数f (x )＝142-+-x x 在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值记为g (t )．

(1)求g (t )的解析式；(2)求g (t )的最大值

(1)对区间[t ，t ＋1](t ∈R)与对称轴x ＝2的位置关系进行讨论： ①当t ＋1<2，即t <1时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上递增，

此时g (t )＝f (t ＋1)＝－t 2＋2t ＋2；

②当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上先增后减， 此时g (t )＝f (2)＝3；

例三

已知f (x )＝)(2)34(2R a a x x a ∈+--a ∈R)，求f (x )在[0,1]上的最大 值

()()()()()()2222[1]4122(1)3(12)241(2) 3.

t f x t t g t f t t t t t t g t t t t t g t >⎧-++<⎪≤≤⎨⎪-+->⎩

③当时，函数在区间，＋上递减，此时＝＝－＋－，综上，＝利用图象解得的最大值是()()()[]()()()()[]()()max max 4430342.30,140.34430341()43003430,10.12a a f x x f x f x f a a a a x a f x f x f a ⎡⎤⎣⎦≠≠

<><-⎡⎤⎣⎦若－＝，则＝，所以＝－＋由于在上是减函数，所以＝＝若－，即，分两种情况讨论：ⅰ若－，即，因为对称轴＝，所以在上是减函数，所以＝【】＝解析()()()()()[]max max 41()4300343112043231221124<<<0.243330,12a a x a a a f x f a a f x f a a f x ><>-<≤≤-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦-⎧ⅱ若－，即，因为对称轴＝

，故又分两种情况讨论：

①当，即时，＝＝－；②当，即时，＝＝综上所述，在上的最大值是关

第三类 动轴动区间

例二 求函数)(a x x y --=在区间],1[a -上的最大值。 〖解答〗.4

,0,2;0)(,01,2.,4)2()(,12,12max max 2

2a y a a a a f y a a a a a x a x x y a a =><==≤<-≥+--=--=->∴->时即当时即当图象开口向下由已知 练习 已知函数f (x )＝862+-x x ， x ∈[1，a ]的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是

补充练习作业

1已知二次函数f(x)=ax2 – 6ax+a2 – 6在[0，4]上有最大值4，求函数最小值?

2已知二次函数f(x)=4x2 – 4ax+a2 – 2a+2在[0，2]上的最小值为3，求a.

3 求函数322+-=x x y 在[]1,+∈t t t 的最大值和最小值

4若函数1)(2-+=ax x x f 在[]3,0上的最小值为2-求实数a 的值

5关于x 的不等式0122>--ax x 在[]3,1∈x 上恒成立，求a 的取值范围

6设()222+-=ax x x f 当[)+∞-∈,1x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围

7已知函数[]1,1,)1(23)(22-∈+-+=x a x a x x f

（1） 写出函数最小值)(a g 的解析式

（2） 若)(x f 的最小值为13求a 的值

8函数3)(2++=ax x x f 在区间[]2,2-的最大值为)(a g ，求)(a g 的表达式还可以求最小值