基本初等函数讲义(超级全)

一、一次函数

一次

函数

k kx b k0

k0k0

k， b

符号b0b0b0b0b0b0

y y y y

y y

图象

O x O O x

x

O x O x O x

性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小

二、二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：2

f(x)ax bx c(a0)

②顶点式：2

f(x)a(x h)k(a0)

③两根式：f(x)a(x x1)(x x2)(a0)

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．

（3）二次函数图象的性质

20

f x ax bx c a a0a0

图像

x

b

2a

x

b

2a

定义域,

对称轴x

b 2a

顶点坐标

2 b4ac b

,

2a4a

文档

值域

2

4ac b

4a

,,

2

4ac b

4a ,

b

2a

递减,

b

2a

递增

单调区间

b 2a ,

递增

b

2a

,递减

①.二次函数

b 2

f(x)ax bx c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x,

2a

顶

点坐标是

2

b4ac b

(,)

2a4a

b

②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,]

2a

b

上递减，在[,)

2a

上递增，当

x b

2a

时，f(x)

min

2

4ac b

4a

b

；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,]

2a

上递b

增，在[,)

2a 上递减，当x

b

2a

时，f(x)

max

2

4ac b

4a

．

三、幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象

过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．文档

四、指数函数

n

（1）根式的概念：如果x a,a R,x R,n1，且n N，那么x叫做a的n次方根．（2）分数指数幂的概念

m

n m

①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,

a n a a m n N且n1)．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：

m m

11

m

a()()(a0,m,n N,

a a

n n n

且n

1)．0

的负分数指数幂没有意义．

（3）运算性质

r s r s r s rs

①a a a(a0,r,s R)②(a)a(a0,r,s R)

r r r

③(ab)a b(a0,b0,r R)

（4）指数函数

函数名称指数函数

x

定义函数y a(a0且a1)叫做指数函数

a10a1

y

x x y

y a y a

图象

y1y1

(0,1)

(0,1)

O O

x

x 定义域R

值域(0,)

过定点图象过定点(0,1)，即当x0时，y1．

奇偶性非奇非偶

单调性在R上是增函数在R上是减函数

x

a1(x0)

x

a1(x0)

函数值的变化情况

x

a1(x0)

x

a1(x0)

x

a1(x0)

x

a1(x0)

a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．文档

标准实用文案

五、对数函数

（1）对数的定义

x

①若a N(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x log N，其中a

a

叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．

x ③对数式与指数式的互化：

log(0,1,0)

x N a N a a N．

a

（2）几个重要的对数恒等式

log a10，log a a1，log b

a a b．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lg N，即log N；自然对数：ln N，即log e N（其中e 2.71828⋯）．

10

（4）对数的运算性

质如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：log a M log a N log a(MN)②减法：log a log a log a

M N M N

③数乘：log log n()

n M M n R④

a a

log a N

a N

n

n

⑤log M log M(b0,n R)

b

a

a

b

⑥换底公式：

log N

b

log(0,且1) N b b a

log a

b

（5）对数函数

函数

名称

对数函数

定义函数y log x(a0且a1)叫做对数函数

a

a10a1

x1x1

y y

y log a x y log a x

图象

(1,0)

O(1,0)O

x x