高二数学下册(春季)-第5讲-椭圆(一)

高二下册（春季）数学辅导教案

学员姓名：学科教师：

年级：辅导科目：

授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段

主题椭圆（一）

教学内容

1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆的几何性质；

2. 能应用椭圆性质解题。

（以提问的形式回顾）

1. 椭圆的定义：平面上到两定点的

1

F、

2

F的距离之和等于常数2a（

12

2||

a F F

>）的点的轨迹，叫做椭圆。

定点

1

F、

2

F是焦点，

12

||

F F是椭圆的焦距，2a是椭圆的长轴长。

（若

12

2||

a F F

=，则动点的轨迹是线段；若

12

2||

a F F

<，则轨迹不存在）

2. 椭圆的图像与性质：

图像

标准方程

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>

范围()

a x a

b y b

-≤≤-≤≥

y

x

O

1

F2F

顶点

(,0)a ±，(0,)b ± 对称性

关于x 、y 轴和原点对称 焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c

a ，

b ，

c 的意义

2a 长轴长，2b 短轴长，2c 焦距，222a b c =+

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．

分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为221mx ny +=(0m >，0n >)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．

解：设所求椭圆方程为22

1mx ny +=(0m >，0n >)．

由(3,2)A -和(23,1)B -两点在椭圆上可得

2222(3)(2)1,(23)11,m n m n ⎧⋅+⋅-=⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩即341,121,m n m n +=⎧⎨+=⎩ 所以115m =，15n =． 故所求的椭圆方程为22

1155

x y +=． 试一试：经过点(3,2)且与椭圆22

194

x y +=有相同焦点的椭圆的方程是 ． 【参考答案】：22

11510

x y +=.

例2. 已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2

25

＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．

答案：441

试一试：已知椭圆x 216＋y 2

9

＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，Q 是PF 1的中点，若OQ ＝1，

222200000000112282162

x y x y x y x y =+≥=⇒≤Q 所以0048ABCD S x y =≤，当且仅当220000121822

x y x y ==⇒==即且时，取等号 max 8S ∴= 此时四个顶点的坐标为()()()()2,1,2,1,2,1,2,1A B C D ----

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 已知方程22

146x y m m

+=-+表示椭圆，求实数m 的取值范围 ； 【答案】：(6,1)(1,4)---U

2. 已知点(2,0)A -、(2,0)B 两点，P 是坐标平面上的动点，且||||6PA PB +=，O 是坐标原点，则||PO 的取值范围是 ；

【答案】：[5,3]

3. 设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点,点P 在椭圆上,且满足2

21π=∠PF F ,则21PF F ∆的面积等于__. 【答案】：1

4. 已知椭圆22

12516

x y +=内有两点()()1,3,3,0,A B P 为椭圆上一点,则PA PB +的最大值为 . 【答案】：15

5. 已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 2

64

＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点． (1)若∠F 1PF 2＝π3

，求△F 1PF 2的面积； (2)求PF 1·PF 2的最大值．

解：(1)设PF 1＝m ，PF 2＝n (m >0，n >0)．根据椭圆的定义得m ＋n ＝20.在△F 1PF 2中，由余弦定理得PF 21＋

PF 22－2PF 1·PF 2·cos ∠F 1PF 2＝F 1F 22，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3

＝122.∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n )2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32

＝6433

.

(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝20.∵PF 1＋PF 2≥2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝⎝⎛⎭⎫2022＝100，当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100.

6. 设椭圆22222:b y x C =+（常数0>b ）的左右焦点分别为12,F F ，,M N 是直线b x l 2:=上的两个动点，

1

20FM F N ⋅=u u u u r u u u u r ． （1）若1225F M F N ==u u u u r u u u u r ，求b 的值；

（2）求MN 的最小值．

解：设),(1y b M ，),(2y b N

则),(),,3(2211y b N F y b M F ==， 由12

0FM F N ⋅=u u u u r u u u u r 得2213b y y -= ① （1）由1225F M F N ==u u u u r u u u u r ，得

52)3(212=+y b ②

52222=+y b ③

由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得2=b ．

（2）【解法一】易求椭圆C 的标准方程为：12

42

2=+y x ． 22121212122212212

124222)(b y y y y y y y y y y y y MN =-=--≥-+=-= 所以，当且仅当b y y 321=-=或b y y 312=-=时，

MN 取最小值b 32．

【解法二】22214

21

22121269)(b b y b y y y MN ≥++=-=， 所以，当且仅当b y y 321=

-=或b y y 312=-=时，MN 取最小值b 32．