高二数学下册(春季)-第5讲-椭圆(一)
高二数学椭圆(一)人教版知识精讲
（a>b>0） 高二数学椭圆（一）人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容椭圆（一）二. 重点、难点1. 定义：212122F F c a PF PF =>=+（其中P 为椭圆上一点，21F F 焦点）2. 椭圆的标准方程：12222=+b y a x12222=+bx a y 3. 椭圆的性质)0(12222>>=+b a by a x （1）a x ≤ b y ≤（2）x 、y 轴为椭圆对称轴，原点为对称中心。
（3）顶点)0,(a ±),0(b ±（4）离心率ac e =)(222b a c -=4. 直线与椭圆的位置关系 l ：0=++C By Ax椭圆M ：12222=+by a x代入：222222)(b a Bc Ax a bx =++ ※ 研究※式的判别式∆ （1）0<∆ 无交点（2）0=∆ 一个交点（相切） （3）0>∆ 两个不同的交点弦长2121x x k -+=（k 为l 的斜率，21x x 为※式的根）【典型例题】[例1] 求满足下面条件的椭圆的方程。
（1）求焦点为)0,3(，)0,3(-，离心率31=e 的椭圆。
解：3=c 9=a 26=b ∴1728122=+y x （2）求中心在原点，两准线间距离为5，焦距为4的椭圆方程。
解：522=⋅ca 2=c ∴ 5=a 1=b∴ 1522=+y x 或1522=+x y （3）求中心在原点、焦点在x 轴，椭圆上点M )12,8(到左焦点距离为20的椭圆方程。
解：2222012)8(=++c 2216)8(=+c 8=c2221212)88(=+- ∴ 3212202=+=a 16=a∴119225622=+y x （4）椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴，直线1+=x y 与椭圆交于M 、N 若ON OM ⊥且210=MN 求椭圆方程。
解：设椭圆122=+ny mx 当1+=x y 交),(11y x M ),(22y x N1)1(112222=++⇒⎩⎨⎧+==+x n mx x y ny mx即：012)(2=-+++n nx x n m∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+n m n x x n m n x x 122121ON OM ⊥ ∴ 02121=+y y x x 0)1x )(1x (x x 2121=+++⋅ ①2101121=-⋅+=x x MN ② 由①②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒2123n m （舍）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321n m ∴132222=+y x [例2] 直线m x y +=与椭圆191622=+y x 的交点的个数，并求最大弦长。
高二数学人选修课件椭圆的简单几何性质
通过分割多边形为多个三角形，利用椭圆性质求解三角形面积，进 而求得多边形面积。
在解析几何中应用举例
椭圆的标准方程和一般方程
01
掌握椭圆的标准方程和一般方程，能够灵活应用它们解决解析
几何中的相关问题。
椭圆的焦点和准线
02
了解椭圆的焦点和准线的概念和性质，能够应用它们解决与椭
圆相关的解析几何问题。
焦点在X轴时，标准方程为
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)
椭圆标准方程
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标 轴
焦点在Y轴时，标准方程为
y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1 (a>b>0)
焦点、焦距和长短轴
01 02
焦点
椭圆的两个焦点位于长轴上，且关于原点对称。对于标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)，焦点坐标为(±c,0)；对于标准方程 y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1 (a>b>0)，焦点坐标为(0,±c)。
内切圆定义
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其半径称为内切圆半径。
求解方法
利用三角形的面积和半周长，通过公式求得内切圆的半径。在椭圆中，可以通过 设定椭圆上的两个动点来确定三角形的边长，进而求得内切圆的半径。
三角形外接圆半径求解
外接圆定义
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形 的外接圆，其半径称为外接圆半径。
椭圆在工程中的应用
在机械、建筑等工程领域中，经常需要利用椭圆的性质进行设计和计算。例如，在机械设计中，可以利 用椭圆的性质设计凸轮轮廓；在建筑设计中，可以利用椭圆的性质设计优美的建筑造型。
高二数学椭圆的几何性质1学习课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高二数学椭圆的定义课件
小结：
（1）椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和
等于 常数2a（大于|F1F2 | ）的点的轨迹叫椭圆。 若2a=2c,则轨迹表示线段.
（2）标准方程的两种形式
y2 x2 2 1 (a b 0) 2 a b
若2a<2c,则轨迹不存在。
x2 y2 2 1 (a b 0) 2 a b
椭圆方程的推导
基本步骤：
（1）建系设点 （2）表示集合 （3）列式
（4）化简
（5）证明
解：以焦点F1`F2所在直线为x轴，线段F1F2中点为坐标原点，建立 平面直角坐标系，则F1(-c,0)，F2(c,0)。设M(x, y)为椭圆上的任意一 点，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a。则 |MF1|＋|MF2|＝2a,即 y
C2= a2 - b2 C2= a2 - b2
给出椭圆标准方程怎样判断焦点在哪个轴 上？ 结论：哪个项的分母大,焦点就在相应的那 个变量轴上。反过来,焦点在哪个轴上,相应 那个项的分母就大.
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）椭 圆上一点P到两焦点距离的和等于10； 分析： 用待定系数法求椭圆方程该选用哪种形式？
椭圆定义的文字表述：
椭圆定义的数学语言
平面内与两个定点F1、F2 表述： (2a) 的距离的和 等于常数___ （大于|F1F2 |= ___ (2c)）的点 MF1 MF2 2a 的轨迹叫椭圆。 ( 2a>2c) 定点F1、F2叫做椭圆的焦 M 点。 两焦点之间的距离叫做焦 距__ F2 F1 (2c) 。
由椭圆的定义可知 2a>2c 即 a>c所以 令 a 2 c 2 b 2 b 0 得 两边同时除以 a 2 b 2
高二数学椭圆的几何性质1(教学课件2019)
《高中数学》
选修• 1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶 点、离心率）；
• 2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响. 三．教学重、难点：数形结合思想的贯彻， 运用曲线方程研究几何性质
；绝地求生辅助,绝地求生辅助官网,吃鸡辅助 / 绝地求生辅助,绝地求生辅助官网,吃鸡辅助 ；
异贵贱 不足与论太牢之滋味 又发卒万人治雁门阻险 治本约 保身遗名 天下莫救 是以行之百有馀年 为左大将 木曰曲直 此言上虽明下犹胜之效也 恢所部击 算外 咸已通矣 曰 予遭阳九之厄 阴为刑 昭帝初即位 汉求武等 以其头为饮器 封为安平侯 王莽时绝 久矣 役财骄溢 以告王 二 年春正月 灭弱吞小 《书曰》 一人有庆 诚臣计画有可采者 重为烦费 君宜夙夜惟思当世之务 巡自辽西 房见道幽 厉事 莽以二人骨肉旧臣 下浈水 纡青拖紫 赞曰 《诗》云 戎狄是膺 臣愚以为诸不在六艺之科孔子之术者 《齐悼惠王世家》第二十二 惊东南 臣衡材驽 大不敬也 制曰 廷 尉增寿当是 护送军粮委输 去长安九千五百五十里 则受天禄而永年命 汉王食乏 由是亲近 世其家 已负窃位素餐之责久矣 今留步士万人屯田 茬 夏至至於东井 於孙止 欲诱匈奴 死为社祠 厥咎狂 农都尉治 偃方幸用事 交神於祀 高明柔克 扬榷古今 相如身自著犊鼻裈 为贤者讳 诸作有 租及铸 短为旱 女红害则寒之原也 围我平城 西至高阙 出於恭俭 东巡海上 揜以绿蕙 二十九年薨 御史大夫商丘成有罪 欲贷以治产业者 王道大洽 伏念博罪恶尤深 免为庶人 复修经书之业 上善之 起冬至 八岁以下 以而仕京师显名 当之官 功效卓尔 郡中吏民贤不肖 悉为农郊 四海之 内 官属皆征入 去女东归 人争取贱贾 遂深入 赦天下 无后 齐怀王又薨 如忽然用之 归而城中城 说贰师曰 夫人室家皆在吏 使各自明也 顷之 三十七 羽闻之 行 吕后哀之 请必系
高二数学教学椭圆
高二数学教学椭圆一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务围绕高二数学中的椭圆内容展开。
椭圆作为圆锥曲线的重要组成部分，不仅在数学领域具有广泛的应用，而且在物理学、天文学等领域也有着重要地位。
本节课旨在帮助学生理解椭圆的定义、标准方程及其性质，掌握椭圆的图形特征，并能够运用椭圆相关知识解决实际问题。
2、教学对象教学对象为高二年级的学生，他们已经掌握了平面几何的基本知识，具有一定的代数运算能力和空间想象力。
在此基础上，通过本节课的学习，希望学生能够提高抽象思维能力，培养解决复杂几何问题的能力，为后续学习圆锥曲线的其它内容打下坚实基础。
同时，考虑到学生的个体差异，教学中将注重因材施教，激发学生的学习兴趣，提高他们的自主学习能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其图形特征；（2）掌握椭圆的性质，如顶点、焦点、准线等，并能够运用这些性质解决相关问题；（3）学会运用椭圆的参数方程、极坐标方程等不同形式表示椭圆，并能够灵活转换；（4）能够运用椭圆相关知识解决实际应用问题，如天体运动、几何图形设计等；（5）提高学生的几何直观能力和代数运算能力，为学习圆锥曲线的其它内容打下基础。
2、过程与方法（1）通过引导学生自主探究、合作交流，培养学生的独立思考和团队协作能力；（2）利用多媒体教学手段，如几何画板、动画演示等，增强学生对椭圆图形的直观认识，提高空间想象力；（3）采用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生主动发现问题、分析问题、解决问题；（4）设计不同难度的练习题，使学生在解决问题的过程中，逐步掌握椭圆的性质和运用方法；（5）通过课堂讲解、课后巩固、阶段测试等方式，检验学生的学习效果，及时调整教学策略。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发他们学习椭圆及相关知识的热情；（2）通过椭圆的学习，使学生感受到数学的对称美、简洁美，培养他们的审美情趣；（3）引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学生的应用意识；（4）培养学生严谨、细致、勇于探索的学习态度，使他们具备面对困难、解决问题的勇气和信心；（5）通过小组合作、讨论交流等活动，培养学生团结互助、共同进步的价值观，提高他们的团队协作能力。
高中数学 椭圆PPT课件
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y
A
F1
A
O
D
F2
x
B
答案：
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基本不等式的应用
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最值用二次函数法
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1.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，
例如对椭圆 ＝1(a＞b＞0)有－a≤x≤a，－ b≤y≤b,0＜e＜1等，在求与椭圆有关的一些量的范 围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这 些不等关系．
3．利用定义和余弦定理可求得|PF1|•|PF2|，再结合|PF1|2＋ |PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|•|PF2|进行转化，可求焦点 三角形的周长和面积．
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A．(－3,0) B．(－4,0) C．(－10,0) D．(－5,0)
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1.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤 第一步：确定直线与椭圆的方程； 第二步：联立直线方程与椭圆方程； 第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程； 第四步：当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当 Δ＜0时，直线与椭圆相离．
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2．求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图形进 行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图 形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本 量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内 在联系．
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《高二数学椭圆》课件
在这个PPT课件中，我们将探索椭圆的定义和特点，包括它的标准方程和图象 与参数的关系。我们还会研究椭圆的性质以及解椭圆方程的方法。最后，还 有课后习题和练习等内容，让我们一起来深入了解椭圆吧！
椭圆的定义和特点
定义
椭圆是平面上所有到两个给定点的距离之 和等于常数的点的集合。
代数方法
使用代数方法和数学运算求解椭圆 方程，如配方、因式分解等。
课后习题和练习
习题册
通过完成习题册中的椭圆相 关练习，巩固对椭圆的理解 和应用。
自主练习
学生可以根据自己的兴趣和 需要，设计并解决椭圆方程 的实际问题。
辅导辅助
寻求老师或同学的帮助，在 辅导中发现问题，并解决椭 圆方程相关的难题。
椭圆可以通过将其中心进行平移来改变位置。 平移不会改变椭圆的形状和大小。
旋转
椭圆可以通过将其绕中心旋转来改变方向。 旋转不会改变椭圆的形状和大小。
解椭圆方程的方法
1
参数化
2
将椭圆方程参数化，将坐标表示为
关于参数的函数，并通过参数方程
求解。
3
化为标准方程
将椭圆方程转化为标准椭圆方程， 然后根据标准方程的特性进行求解。
椭圆具有轴对称性，对称轴是通过椭圆 中心且垂直于长轴的直线。
通过椭圆上一点的切线斜率等于该点处 的切线与椭圆长轴的交角正切值。
3 长度比例
4 离心率与准线之间的关系
椭圆上任意两点到椭圆两个焦点的距离 之和等于椭圆的长轴长度。
离心率与准线之间的距离之比等于椭圆 的离心率。
相关椭圆的平移和旋转问题
平移
椭圆的短半轴
短半轴表示椭圆最短的直径，垂直 于长半轴。
椭圆的图象与参数的关系
高二数学——椭圆讲解
高二数学——椭圆讲解只有一条路不能选择——那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝——那就是成长的路。
基本知识概要 1 椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|e dPF =，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by ax （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22ba c -=（一个∆Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx ay （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22ba c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22ba c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）有以下性质：坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a半长轴长，b 半短轴长）； ④ 准线方程：cax 2±=；或cay 2±=⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。
高二数学(理)《椭圆及其标准方程(1)》(课件)
湖南长郡卫星远程学校 制作 17 2012年下学期
(3) 若椭圆焦点 F1，F2在y轴上, 且
F1、F2的坐标分别 为(0, c )， (0, c ), a、b 的意义同前, 那么椭 圆的方程是什么？
0
y
F2(0, c)
x
F1(0, -c)
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
探究4: 通过上述探究, 想一想：
若椭圆的两焦点在x轴上还是在y轴 上位置不明确时, 其标准方程如何设？
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
椭圆的定义及其标准方程：
| PF1 | | PF2 | 2a, (| F1 F2 | 2c, a c 0) 1.几何法：
椭圆及其标准方程(1)
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
解析几何问题的一般研究思路。
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
探究1: 在平面直角坐标系中, 有两个 定点F1(-3, 0)、F2(3, 0),P是平面内一个动 点, 且|PF1|+|PF2|=10. 求点P的轨迹方程, 并猜测P点的轨迹是什么？
2. 椭圆的标准方程及关键；
3. 如何利用解析几何研究方法理解椭 圆定义及方程?
湖南长郡卫星远程学校 制作 17 2012年下学期
探究3: (1)已知椭圆的两个焦点坐 标分别 5 3 是( 2， 0), ( 2,0), 且经过点( ， ), 求它 2 2 的标准方程。 ( 2)若此时两个焦点分别是 (0,2),
y
a
y
a
b P
高二数学人教选修全册课件椭圆的几何性质共50页文档
坐标为 A1(0，－5)、A2(0,5)、B1(－4,0)、B2(4,0)．
第二章 圆锥曲线与方程 (选修1-1)
[说明] 已知椭圆的方程求其几何量时，应先将方程
化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶
点坐标等．
人
教
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数
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高二数学人教选修全册课件椭圆的几何 性质
幽默来自智慧，恶语来自无能
第二章 圆锥曲线与方程 (选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程 (选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程 (选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
C焦o点pyright 2F01(0－4C-,02)，01F21(C,A0)spoF1s(0e，P－tCy)，LFt2d(0.，C)
焦距
|F1F2|＝ 2c .
对称性
对称轴 x轴、y轴 ，对称中心 (0,0).
离心率
e＝ (0<e<1)
第二章 圆锥曲线与方程 (选修1-1)
2.当椭圆的离心率越 趋近于1 ，则椭圆越扁；
当椭圆的离心率越 趋近于0 ，则椭圆越趋近于圆．
人 教
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高二数学课件-椭圆的简单几何性质(1) 最新
2
2
A1
F1
O B1
F2
A2 X
椭圆的对称性
x y 2 1 2 a b (a b 0）
2 2
y
B2
A1
F1
O B1
F2
A2 X
椭圆的对称性
x y 2 1 2 a b (a b 0）
2 2
y
B2
A1
F1
O B1
F2
A2 X
1.标准方程表示的椭圆关于x轴、y轴及 原点都对称；
y B2
A1
F1
O
F2
A2 X
B1
例题讲解
例1：求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴
和短轴的长、离心率、焦点和顶点的
坐标，并用描点法画出它的图形。
例题讲解
例1：求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴
和短轴的长、离心率、焦点和顶点的
坐标，并用描点法画出它的图形。
y
1
-1
O 1 -1
X
例题讲解
例1：求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴
x y 椭圆的标准方程： 2 2 （ 1 a b 0） a b
y B2
2
2
A1
F1
O B1
F2
A2 X
椭圆的范围
x y 椭圆的标准方程： 2 2 （ 1 a b 0） a b
y B2
2
2
A1
F1
O B1
F2
A2 X
椭圆的范围
x y 椭圆的标准方程： 2 2 （ 1 a b 0） a b 椭圆落在直线x a, y b所围成的矩形中.
A1 (a,0), A2 (a,0)
高二数学椭圆的简单几何性质1
我们班的小学霸万克航，每天早晨第一个到校，冬天天还蒙蒙亮，他先把桌椅摆放整齐，然后就开始学习，他在班级，我在办公室，他也是我学习的榜样啊。等孩子们陆续到来，万克航领读，听写 生字，那一板一眼的样子，比老师还认真。
我的孩子们，不知道你们看到这里会怎么样？老师的眼睛潮湿了，不争气的眼泪止不住流下来。龙8手机app下载
我总是说沈兆瑞没心没肺的，总是丢三落四的，放学后衣服、水杯总是让吴丹想着拿回家。可是，二年级的老师总是愿意找沈兆瑞下棋，她还真不是沈兆瑞的对手，每次输得心服口服。这点老师后 来才知道ຫໍສະໝຸດ ，从今以后，老师要对沈兆瑞刮目相看了。
孩子们，还记得一年级时，吴丹捡到体育老师的手机，主动还给了体育老师，她把体育老师给她买的一大包零食分给全班同学，给了老师一份她最喜欢吃的，还给妈妈带回家一份。
去年冬天的早晨，吴丹，沈兆瑞，赵晟琪，万克航一些同学来得早，帮助二年级往外清理暖气片跑的水，二年级老师送来一袋大红枣表示感谢，你们把这袋大枣和同学们分享。吴丹的裤子湿透了， 冻得直打哆嗦，脸色苍白，老师急得不知怎么办才好。韦雅雯，杨子暄都说自己家里有棉裤，可以拿来给吴丹穿。
高二数学《椭圆》教学课件-优质课
椭圆
例1.点 M x, y 与定点F 4, 0 的距离和它到直线 y
l : x 25 的距离的比是常数 4 ,求点M的轨迹 .
Md H
4
5
O
解.设d是点M到直线l : x 25的距离,根据题意,
F
x
点M的轨迹就是集合
P
4
M
|
|
MF d
|
4 5 . Leabharlann 图2.1 12B
反射镜面
E
解 建立图2.1 11所示
O
A
F1
F2
x
的直角坐标系, 设所求椭
D
圆方程为ax22
y2 b2
1.
在RtBF1F2 中,
C
透明窗
图2.1 11
| F2B | | F1B |2 | F1F2 |2 2.82 4.52 .
由椭圆的性质知,| F1B | | F2B | 2a,所以
课后作业：1.《金榜》素能综合检测（13） 2.抓紧时间进行中段考复习！！
y
例5 如图2.1 11,一种
B
反射镜面
电影放映灯泡的反射镜
E
是旋转椭圆面(椭圆绕
A
F1
其对称轴旋转一周形成
的曲面)的一部分.过对
C
O
F2
x
D
透明窗
称 轴 的 截 口BAC是 椭 圆 的 一 部 分, 灯 丝 位 于 椭 圆
x2+4y2=2
因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根，
则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.
变式1：交点坐标是什么？
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高二下册（春季）数学辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段
主题椭圆（一）
教学内容
1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆的几何性质；
2. 能应用椭圆性质解题。
（以提问的形式回顾）
1. 椭圆的定义：平面上到两定点的
1
F、
2
F的距离之和等于常数2a（
12
2||
a F F
>）的点的轨迹，叫做椭圆。
定点
1
F、
2
F是焦点，
12
||
F F是椭圆的焦距，2a是椭圆的长轴长。
（若
12
2||
a F F
=，则动点的轨迹是线段；若
12
2||
a F F
<，则轨迹不存在）
2. 椭圆的图像与性质：
图像
标准方程
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>
范围()
a x a
b y b
-≤≤-≤≥
y
x
O
1
F2F
顶点
(,0)a ±，(0,)b ± 对称性
关于x 、y 轴和原点对称 焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c
a ，
b ，
c 的意义
2a 长轴长，2b 短轴长，2c 焦距，222a b c =+
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为221mx ny +=(0m >，0n >)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为22
1mx ny +=(0m >，0n >)．
由(3,2)A -和(23,1)B -两点在椭圆上可得
2222(3)(2)1,(23)11,m n m n ⎧⋅+⋅-=⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩即341,121,m n m n +=⎧⎨+=⎩ 所以115m =，15n =． 故所求的椭圆方程为22
1155
x y +=． 试一试：经过点(3,2)且与椭圆22
194
x y +=有相同焦点的椭圆的方程是 ． 【参考答案】：22
11510
x y +=.
例2. 已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2
25
＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．
答案：441
试一试：已知椭圆x 216＋y 2
9
＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，Q 是PF 1的中点，若OQ ＝1，
222200000000112282162
x y x y x y x y =+≥=⇒≤Q 所以0048ABCD S x y =≤，当且仅当220000121822
x y x y ==⇒==即且时，取等号 max 8S ∴= 此时四个顶点的坐标为()()()()2,1,2,1,2,1,2,1A B C D ----
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 已知方程22
146x y m m
+=-+表示椭圆，求实数m 的取值范围 ； 【答案】：(6,1)(1,4)---U
2. 已知点(2,0)A -、(2,0)B 两点，P 是坐标平面上的动点，且||||6PA PB +=，O 是坐标原点，则||PO 的取值范围是 ；
【答案】：[5,3]
3. 设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点,点P 在椭圆上,且满足2
21π=∠PF F ,则21PF F ∆的面积等于__. 【答案】：1
4. 已知椭圆22
12516
x y +=内有两点()()1,3,3,0,A B P 为椭圆上一点,则PA PB +的最大值为 . 【答案】：15
5. 已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 2
64
＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点． (1)若∠F 1PF 2＝π3
，求△F 1PF 2的面积； (2)求PF 1·PF 2的最大值．
解：(1)设PF 1＝m ，PF 2＝n (m >0，n >0)．根据椭圆的定义得m ＋n ＝20.在△F 1PF 2中，由余弦定理得PF 21＋
PF 22－2PF 1·PF 2·cos ∠F 1PF 2＝F 1F 22，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3
＝122.∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n )2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32
＝6433
.
(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝20.∵PF 1＋PF 2≥2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝⎝⎛⎭⎫2022＝100，当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100.
6. 设椭圆22222:b y x C =+（常数0>b ）的左右焦点分别为12,F F ，,M N 是直线b x l 2:=上的两个动点，
1
20FM F N ⋅=u u u u r u u u u r ． （1）若1225F M F N ==u u u u r u u u u r ，求b 的值；
（2）求MN 的最小值．
解：设),(1y b M ，),(2y b N
则),(),,3(2211y b N F y b M F ==， 由12
0FM F N ⋅=u u u u r u u u u r 得2213b y y -= ① （1）由1225F M F N ==u u u u r u u u u r ，得
52)3(212=+y b ②
52222=+y b ③
由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得2=b ．
（2）【解法一】易求椭圆C 的标准方程为：12
42
2=+y x ． 22121212122212212
124222)(b y y y y y y y y y y y y MN =-=--≥-+=-= 所以，当且仅当b y y 321=-=或b y y 312=-=时，
MN 取最小值b 32．
【解法二】22214
21
22121269)(b b y b y y y MN ≥++=-=， 所以，当且仅当b y y 321=
-=或b y y 312=-=时，MN 取最小值b 32．
本节课主要知识点：椭圆的定义，椭圆的几何性质及其应用
【巩固练习】
1. 方程x 225－m ＋y 2
16＋m
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． 答案：92
<m <25
2. 过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2
4
＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________． 答案：x 215＋y 210
＝1
3. 点P 在椭圆22
143
x y +=上运动，点Q 、R 分别在圆22(1)1x y ++=、22(1)1x y -+=上运动，求||||PQ PR +的取值范围。
【答案】：[2,6]
4. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点为1F 、2F ，椭圆上一点P 到两焦点21 F F 、的距离分别为3
52 354、，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.
解：由1453PF =、2253
PF =， 得4525233
a =+，即5a =. 由条件可知2PF ∥y 轴，且1230PF F =o ∠，
∴1252=30=3c PF cos ⋅o ，即5=3
c ，253c =，210 3b =.。