广东省2018届高三数学一模试题文科附答案

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广东省广州市海珠区2018届高三综合测试(一)数学文试题(解析版)

海珠区2018届高三综合测试（一）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,2. 已知为虚数单位，复数的模（）A. B. C. D.【答案】C【解析】故选C3. 如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次循环：S=2，i=5第二次循环：S=4.i=4第三次循环：S=6，i=3，第四次循环：S=8，i=2,结束输出S=8故选C4. 的内角的对边分别为，已知，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴由正弦定理得,c==，又sin A=sin(π−B−C)=sin(π−−)=sin(+)=，∴△ABC的面积S=12×b×c×sin A=，故答案为：故选B5. 在“某中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】A【解析】试题分析：，所以，故选B.考点：样本的平均数与方差.6. 函数图象的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】当时，单调递减,去掉A,B; 当时，，单调递减，去掉D;选C.7. 设函数，则下列结论错误的是（）A. 的一个周期为B. 的图像关于直线对称C. 的一个零点为D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】的周期为T=k,所以A对；当时，=-1,所以B对；时，所以C错；时，，y=cosx在上递减，所以D对；故选C8. 如图，点分别是正方体的棱的中点，用过点和点的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）A. ①③④B. ②④③C. ①②③D. ②③④【答案】D【解析】由正视图的定义可知：点A. B. 在后面的投影点分别是点D. C. ，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段C平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线,被遮挡的线段D要画成虚线，故几何体的正视图为②，左视图为③，俯视图为④；故答案为：②、③、④选D点睛：直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图．类似判断俯视图即可9. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵双曲线(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0，依题意,直线bx±ay=0与圆相切，设圆心(0,3)到直线bx±ay=0的距离为d，则d==1,所以8∴双曲线离心率e==3.故选：D.10. 若函数为奇函数，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函数为奇函数，∴f(0)=0，即a=−1，∴，当x>0时,解g(x)=−ln x>1得：x∈(0,e−1)，当x<0时,解g(x)=>1得：x∈(−∞,0)，故不等式g(x)>1的解集为(−∞,0)∪((0,e−1)，故选：C11. 《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第题为：今有女善织，日益功疾（注：从第天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现在一月（按天计），共织尺布，则第天织的布的尺数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设公差为d,由题意可得：前30项和=420=30×5+d,解得d=.∴第2天织的布的尺数=5+d=.故选：A.12. 已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵函数的零点为，f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0，∴0＜a＜1．∵函数的零点为b，g（1）=-1＜0，g（2）=ln2＞0，∴1＜b＜2．综上可得，0＜a＜1＜b＜2．再由函数在（0，+∞）上是增函数，可得，故选D．点睛：本题主要考查函数的零点的存在性定理，函数的单调性的应用，一般地，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，若，则__________．【答案】2【解析】根据题意,向量,且，则有=1×3=3，解可得x=，则=；故答案为：2.14. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，若为抛物线上一点，且，则直线的斜率等于__________．【答案】【解析】双曲线的右焦点为(2,0),∴抛物线方程为=8x，p=4.∵|AF|=3,∴+2=3,∴=1代入抛物线方程可得∵点A在x轴上方,∴A(1,)，∴直线AF斜率等于=−2故答案为：−215. 已知高为的圆柱内接于一个直径为的球内，则该圆柱的体积为__________．【答案】【解析】∵圆柱的高为8,它的两个底面的圆周在直径为10的同一个球的球面上,∴该圆柱底面圆周半径r=，∴该圆柱的体积：V=Sh=.16. 已知函数，当时，有最大值，则=__________．【答案】-5/12【解析】当时，有最大值,=tan三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的首项，前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析:（1）由，得（n≥2），两式相减得（n≥2），,利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知，故=log33n=n，可得,利用分组求和得结果.试题解析:（1）由题意得两式相减得，所以当时，是以为公比的等比数列.因为所以，，对任意正整数成立，是首项为，公比为的等比数列，所以得.（2），所以，点睛：已知与的关系，再写一项得出为等比数列，求和用到了分组求和，此外还有错位相减，裂项相消，并项求和，倒序相加等方法18. 如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面.（1）求证：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由是菱形知，推出；由是矩形得推出，从而可得；（2）连接，由是菱形，及面,得到，证得为四棱锥的高由是菱形，，得到为等边三角形，根据；得到，从而可计算几何体的体积.试题解析：证明：（1）由是菱形3分由是矩形6分（2）连接，由是菱形，由面,，10分则为四棱锥的高由是菱形，，则为等边三角形，由；则，14分考点：1.空间垂直关系；2.几何体的体积.19. 小明家订了一份报纸，暑假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示. （1）根据图中的数据信息，求出众数和中位数（精确到整数分钟）；（2）小明的父亲上班离家的时间在上午至之间，而送报人每天在时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件）的概率.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1），由频率分布直方图可知即，列方程=0.5即得；（2）设报纸送达时间为，小明父亲上班前能取到报纸等价于，由几何概型概率计算公式即得.试题解析：（1）2分由频率分布直方图可知即，3分∴=0.5解得分即6分（2）设报纸送达时间为7分则小明父亲上班前能取到报纸等价于，10分如图可知，所求概率为12分考点：1.频率分布直观图；2.几何概型.20. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为.证明：为定值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析:（I）设椭圆的方程，利用离心率e＝直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，确定几何量，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）利用M点在椭圆上，计算斜率，化简即可得到结论．试题解析:（1）设椭圆的方程为.离心率.直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切，.椭圆的方程为.（2）证明：由椭圆的方程得，设点的坐标为，则...为定值.点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查斜率的计算，主要应用点在曲线上得出定值.21. 已知函数.（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.【答案】（1）（2）【解析】试题分析:（Ⅰ）由于x=3是f（x）的极值点，则f′（3）=0求出a，进而求出f′（x）>0得到函数的增区间，求出f′（x）<0得到函数的减区间，即可得到函数的极大值；（Ⅱ）由于f（x）≥1恒成立，即x>0时，恒成立，设g(x)=，则，分类讨论参数a，得到函数g（x）的最小值≥0，即可得到a的范围．试题解析：（1）是的极值点解得当时，当变化时，的极大值为.（2）要使得恒成立，即时，恒成立，设，则（i）当时，由得函数单调减区间为，由得函数单调增区间为，此时，得.（ii）当时，由得函数单调减区间为，由得函数单调增区间为，此时，不合题意.（iii）当时，在上单调递增，此时，不合题意（iv）当时，由得函数单调减区间为，由得函数单调增区间为，此时，不合题意.综上所述：时，恒成立.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件，恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直线坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）直线的普通方程和曲线的参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，求的直角坐标.【答案】（1），（为参数，）（2）或【解析】试题分析（1）：由，得消去得直线的普通方程，由两边直接乘以得，得出（2）由（1）知是以为圆心，半径为的圆，设曲线上的点为，因为在处的切线与直线垂直，所以直线与的斜率相等，得，出坐标.试题解析：（1）由，得，消去得直线的普通方程为.由，得.将代入上式，曲线的直角坐标方程为，即.得曲线的参数方程为（为参数，）（2）设曲线上的点为，由（1）知是以为圆心，半径为的圆.因为在处的切线与直线垂直，所以直线与的斜率相等，或者，故得直角坐标为或者.23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据零点分段法，分三种情况讨论去绝对值，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在不等式成立，即，根据含绝对值三角不等式得到，然后再解含的绝对值不等式.试题解析：（Ⅰ）不等式等价于或或，解得或，所以不等式的解集是；（Ⅱ），，，解得实数的取值范围是．。

2018年广东省江门市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2018年广东省江门市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|x2≤9}，N＝{x|2﹣x＜0}，则M∪N＝（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，3]C．[﹣3，2）D．（2，3]2．（5分）i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若z+2＝3+4i，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．1﹣4i D．1+4i3．（5分）已知向量＝（﹣1，2），＝（1，λ），若⊥，则+2与的夹角为（）A．B．C．D．4．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最小值为（）A．0B．2C．4D．85．（5分）某校高二年级N名学生参加数学调研测试成绩（满分120分）分布直方图如图．已知分数在100～110的学生有21人，则N＝（）A．48B．60C．72D．806．（5分）过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+（y﹣2）2＝4所截得的弦长为（）A．1B．C．D．27．（5分）若a，b都是正整数，则a+b＞ab成立的充要条件是（）A．a＝b＝1B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2D．a＞1且b＞18．（5分）将函数f（x）＝sin（πx+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[4k+1，4k+3]（k∈Z）D．[4k+2，4k+4]（k∈Z）9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V＝（）A．B．C．3D．10．（5分）F是抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上，点Q在抛物线的准线上，若＝2，则|PQ|＝（）A．B．4C．D．311．（5分）已知函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）•x3，若实数a满足f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，）∪（2，+∞）B．（，2）C．[，2]D．（，4]12．（5分）已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD，∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为（）A．6B．2+3C．2+2D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若∀n∈N+，2S n＝a n+1，则a2018＝．14．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]＝3，[﹣3.2]＝﹣4，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]＝．15．（5分）已知A＝{（x，y）|（x﹣1）2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y+m≥0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是．16．（5分）两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位正整数，且十位数字都是5，则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2 的概率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，A＝，3sin B＝5sin C．（Ⅰ）求tan B；（Ⅱ）△ABC的面积S＝，求△ABC的边BC的长？18．（12分）如图，直角梯形ABEF中，∠ABE＝∠BAF＝90°，C、D分别是BE、AF上的点，且DA＝AB＝BC＝a，DF＝2CE＝2a．沿CD将四边形CDFE翻折至CDPQ，连接AP、BP、BQ，得到多面体ABCDPQ，且AP＝a．（Ⅰ）求多面体ABCDPQ的体积；（Ⅱ）求证：平面PBQ⊥平面PBD．19．（12分）为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用传统教学和“导学案”两种教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如图茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（Ⅰ）请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；（Ⅱ）构造一个教学方式与成绩优良列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（附：K2＝，其中n＝a+b+c+d是样本容量）独立性检验临界值表：20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P 不在x轴上，直线AP、BP的斜率之积k AP k BP＝﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设C是轨迹上任意一点，AC的垂直平分线与x轴相交于点D，求点D横坐标的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣，a∈R是常数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程，并证明对任意a∈R，切线经过定点；（Ⅱ）证明：a＞0时，f（x）有两个零点x1、x2，且x1+x2＞2．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C2的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求曲线C1与曲线C2交点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（Ⅰ）解不等式g（x）≤5；（Ⅱ）若对∀x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），求实数a的取值范围．2018年广东省江门市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|x2≤9}，N＝{x|2﹣x＜0}，则M∪N＝（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，3]C．[﹣3，2）D．（2，3]【解答】解：∵集合M＝{x|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，N＝{x|2﹣x＜0}＝{x|x＞2}，∴M∪N＝[﹣3，+∞）．故选：A．2．（5分）i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若z+2＝3+4i，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．1﹣4i D．1+4i【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则由z+2＝3+4i，得a+bi+2（a﹣bi）＝3a﹣bi＝3+4i，∴，得a＝1，b＝﹣4．∴z＝1﹣4i．故选：C．3．（5分）已知向量＝（﹣1，2），＝（1，λ），若⊥，则+2与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设+2与的夹角为θ，向量＝（﹣1，2），＝（1，λ），若⊥，则有•＝（﹣1）×1+2λ＝0，解可得λ＝，则＝（1，），则+2＝（1，3），则有|+2|＝，||＝，且（+2）•＝（﹣1）×1+2×3＝5，则有cosθ＝＝＝，则θ＝；故选：D．4．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最小值为（）A．0B．2C．4D．8【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（﹣1，2），化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过点A时，直线在y轴上的截距直线，z有最小值为0．故选：A．5．（5分）某校高二年级N名学生参加数学调研测试成绩（满分120分）分布直方图如图．已知分数在100～110的学生有21人，则N＝（）A．48B．60C．72D．80【解答】解：由测试成绩（满分120分）分布直方图得：分数在100～110的频率为：（0.04+0.03）×5＝0.35．∵分数在100～110的学生有21人，∴N＝＝60．故选：B．6．（5分）过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+（y﹣2）2＝4所截得的弦长为（）A．1B．C．D．2【解答】解：过原点且倾斜角为30°的直线方程为y＝x，圆x2+（y﹣2）2＝4的圆心为（0，2），半径r＝2，圆心到直线的距离为d＝＝，则截得的弦长为2＝2＝2，故选：D．7．（5分）若a，b都是正整数，则a+b＞ab成立的充要条件是（）A．a＝b＝1B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2D．a＞1且b＞1【解答】解：∵a+b＞ab，∴（a﹣1）（b﹣1）＜1．∵a，b∈N*，∴（a﹣1）（b﹣1）∈N*，∴（a﹣1）（b﹣1）＝0，故a＝1或b＝1，故选：B．8．（5分）将函数f（x）＝sin（πx+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[4k+1，4k+3]（k∈Z）D．[4k+2，4k+4]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）＝sin（+πx）＝cosπx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝cos（πx）图象；再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g（x）＝cos[π（x﹣1）]═cos（πx﹣）＝sin（πx）的图象．令2kπ+≤x≤2kπ+，求得4k+1≤x≤4k+3，k∈Z，可得函数g（x）的单调递减区间是[4k+1，4k+3]（k∈Z，故选：C．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V＝（）A．B．C．3D．【解答】解：根据题意，原几何体为三棱柱ABC﹣DEF中去除三棱锥G﹣DEF 之外的部分，三棱柱ABC﹣DEF的体积V1＝×2×2×2＝4，三棱锥G﹣DEF的体积V2＝××2×2×1＝，则该几何体的体积V＝V1﹣V2＝4﹣＝；故选：B．10．（5分）F是抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上，点Q在抛物线的准线上，若＝2，则|PQ|＝（）A．B．4C．D．3【解答】解：F（，0），准线方程为x＝﹣．设抛物线的准线与x轴交于N点，过P作准线的垂线，垂足为M，则PM∥FN，∵＝2，∴＝＝，又FN＝1，∴PM＝PF＝3，∴FQ＝，∴PQ＝3+＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）•x3，若实数a满足f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，）∪（2，+∞）B．（，2）C．[，2]D．（，4]【解答】解：根据题意，函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）•x3，其定义域为R，且有f（﹣x）＝（2﹣x﹣2x）•（﹣x）3＝（2x﹣2﹣x）•x3＝f（x），即函数f（x）为偶函数，∵log0.5a＝﹣log2a，∴f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1）等价于f（log2a）≤f（1），又当x＞0时，2x﹣2﹣x＞0，x3＞0，且y＝2x﹣2﹣x和y＝x3均为增函数，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（log2a）≤f（1）可得﹣1≤log2a≤1，∴≤a≤2．故选：C．12．（5分）已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD，∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为（）A．6B．2+3C．2+2D．4【解答】解：连接BD，在三角形ABD中，由余弦定理可得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos A＝4+4﹣2×2×2cos A＝8﹣8cos A，在三角形DBC中，BD2＝CB2+DC2＝2CB2，可得CB2＝4﹣4cos A，+S△BCD则四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＝CB2+AB•AD•sin A＝2﹣2cos A+2sin A＝2+2（sin A﹣cos A）＝2+2sin（A﹣45°），当A﹣45°＝90°，即A＝135°时，sin（A﹣45°）取得最大值1，四边形ABCD的面积取得最大值为2+2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若∀n∈N+，2S n＝a n+1，则a2018＝﹣1．【解答】解：∵2S n＝a n+1，＝a n+1﹣（a n﹣1+1），∴n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1，化为：a n＝﹣a n﹣1n＝1时，2a1＝a1+1，解得a1＝1．则a2018＝a2＝﹣a1＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]＝3，[﹣3.2]＝﹣4，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]＝92．【解答】解：∵[lg1]＝[lg2]＝[lg3]＝…[lg9]＝0，[lg10]＝[lg11]＝…+[lg99]＝1，[lg100]＝2．∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]＝90×1+2＝92．故答案为：92．15．（5分）已知A＝{（x，y）|（x﹣1）2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y+m≥0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣﹣1]．【解答】解：集合A对应的平面区域为以（1，0）为圆心，半径为1的圆及圆的内部．集合B表示在直x+y+m＝0的左下方，∴要使A⊆B恒成立，则满足直线与圆的距离d≥2且（1，0）在x+y+m≤0对应的平面内即d＝且1+m≤0，∴|1+m|≥，且m≤﹣1，∴1+m≤﹣，解得m≤﹣﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣﹣1]．16．（5分）两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位正整数，且十位数字都是5，则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2 的概率为0.44．【解答】解：解：设甲的成绩为x，乙的成绩为y，x，y∈{50，51，52，•，59}则（x，y）对应如图所示的正方形ABCD及其内部的整数点，共有10×10＝100，其中满足|x﹣y|≤2的（x，y）对应的点如图阴影部分（含边界）的整数点，共有100﹣7×8＝44，故所求概率为P＝．故答案为：0.44．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，A＝，3sin B＝5sin C．（Ⅰ）求tan B；（Ⅱ）△ABC的面积S＝，求△ABC的边BC的长？【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由A＝可得B+C＝，又由3sin B＝5sin C，则3sin B＝5sin C＝5sin（﹣B）＝5sin cos B﹣5cos sin B，变形可得sin B＝cos B，则tan B＝5，（Ⅱ）设角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若3sin B＝5sin C，则3b＝5c，又由S＝，则有bc sin A＝，变形可得bc＝15，又由3b＝5c，则有b＝5，c＝3；由余弦定理得，a＝＝＝．18．（12分）如图，直角梯形ABEF中，∠ABE＝∠BAF＝90°，C、D分别是BE、AF上的点，且DA＝AB＝BC＝a，DF＝2CE＝2a．沿CD将四边形CDFE翻折至CDPQ，连接AP、BP、BQ，得到多面体ABCDPQ，且AP＝a．（Ⅰ）求多面体ABCDPQ的体积；（Ⅱ）求证：平面PBQ⊥平面PBD．【解答】解：（Ⅰ）∵DA＝AB＝BC＝a，∠ABE＝∠BAF＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，CD⊥DP，又AD∩DP＝D，∴CD⊥平面ADP．∵AD2+DP2＝AP2，∴AD⊥DP，又CD⊥AD，CD∩DP＝D，∴AD⊥平面CDPQ，又AD∥BC，∴BC⊥平面CDPQ．＝＝（a+2a）×a×a＝a3，∴V B﹣CDPQV B﹣ADP＝＝＝．+V B﹣ADP＝．∴多面体ABCDPQ的体积为V B﹣CDPQ（Ⅱ）取BP的中点G，连接GQ、DG、DQ，在△ABP中，BP＝＝2a，∴BG＝BP＝a，在△BCQ中，BQ＝＝a，PQ＝＝a，∴PQ＝BQ，∴GQ⊥BP．∴QG＝＝a，又BD＝＝2a＝DP，∴DG⊥BP，∴DG＝＝a，又DQ＝＝a，∴DQ2＝QG2+DG2，即QG⊥DG．又BP∩DG＝G，∴QG⊥平面PBD，又QG⊂平面PBQ，∴平面PBQ⊥平面PBD．19．（12分）为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用传统教学和“导学案”两种教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如图茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（Ⅰ）请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；（Ⅱ）构造一个教学方式与成绩优良列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（附：K2＝，其中n＝a+b+c+d是样本容量）独立性检验临界值表：【解答】解：（Ⅰ）乙班（“导学案”教学方式）教学效果更佳，理由1、乙班大多在70以上，甲班70分以下的明显更多；理由2、甲班样本数学成绩的平均分为：70.2；乙班样本数学成绩前十的平均分为：79.05，高10%以上．理由3、甲班样本数学成绩的中位数为：＝70，乙班样本成绩的中位数＝77.5，高10%以上．（Ⅱ）列联表如下：k2的观测值：k＝＝≈3.956＞3.841．答：能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P 不在x轴上，直线AP、BP的斜率之积k AP k BP＝﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设C是轨迹上任意一点，AC的垂直平分线与x轴相交于点D，求点D横坐标的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），（y≠0），则，，……（2分）由k AP•k BP＝﹣，得•＝﹣，……（4分）化简整理得，动点P的轨迹方程为＝1（y≠0）．……（5分）（Ⅱ）设C（x，y），D（x0，0），依题意|AD|＝|CD|，即|x0+2|＝+y2，……（7分）平方并移项整理得，2（x+2）x0＝x2+y2﹣4，……（8分）X（x，y）在椭圆上，∴＝1（y≠0），即，且x≠±2．……（9分）所以2（x+2）x0＝﹣1，，……（11分）因为﹣2＜x＜2，所以﹣，即点D横坐标x0的取值范围为（﹣，0）．当c与b重合横坐标为0，故点D横坐标x0的取值范围为（﹣，0]．……（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣，a∈R是常数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程，并证明对任意a∈R，切线经过定点；（Ⅱ）证明：a＞0时，f（x）有两个零点x1、x2，且x1+x2＞2．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝+，f′（2）＝+a，所求切线方程为y＝f（2）＝f′（2）（x﹣2），y﹣（ln2﹣a）＝（+a）（x﹣2）即y＝（+a）（x﹣2）+（ln2﹣a）＝（+a）x+ln2﹣3a﹣1，切线方程等价于y＝a（x﹣3）+（x+ln2﹣1），当x＝3时，恒有y＝+ln2，即切线过定点（3，+ln2）．（Ⅱ）证明：令f（x）＝0，得lnx＝，画出函数y＝lnx和y＝的草图，如图示：结合图象函数y＝lnx和y＝有2个交点，令x1＜x2，显然0＜x1＜1，x2＞1，①x2≥2时，显然x1+x2＞2成立，②1＜x2＜2时，0＜2﹣x2＜1，而f（x）在（0，1）递增，要证明x1+x2＞2，只需x1＞2﹣x2，即f（x1）＞f（2﹣x2），而f（x2）＝f（x1），问题转化为f（x2）﹣f（2﹣x2）＞0在（1，2）恒成立即可，由a＝（x2﹣1）lnx2，得f（x2）﹣f（2﹣x2）＝﹣ln（2﹣x2）﹣lnx2，令g（x）＝﹣ln（2﹣x）﹣lnx，x∈（1，2），则g′（x）＝﹣＝＞0，故g（x）在（1，2）递增，而x→1时，g（x）→0，故g（x）＞0在（1，2）恒成立，故x1+x2＞2．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C2的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求曲线C1与曲线C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2的参数方程是（t为参数）．由曲线的参数方程得：①，则：②．所以：①•②得：，即：所求的普通方程为：．（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，转换为直角坐标方程为：x2+y2＝4y，所以：，解得：或，转换为极坐标为：A（2，），B（2，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（Ⅰ）解不等式g（x）≤5；（Ⅱ）若对∀x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，|x﹣1|+2≤5，得|x﹣1|≤3……（1分），得﹣3≤x﹣1≤3，即﹣2≤x≤4……（3分）（Ⅱ）函数g（x）的值域为N＝[2，+∞），设函数f（x）的值域为M，依题意，M⊆N……（4分）当a＝6时，f（x）＝3|x﹣3|，此时M＝[0，+∞），不合题意……（5分）当a＞6时，f（x）＝，此时M＝[﹣3，+∞），解，得a≥10……（7分）当a＜6时，f（x）＝，此时M＝[3﹣，+∞），解，得a≤2……（9分）综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，2]∪[10，+∞）……（10分）第21页（共21页）。

2018年广东省高考数学一模试卷(文科)

2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z满足(1+i)z=1，则复数z的虚部为（）A.1 2iB.12C.−12i D.−122. 已知集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}，则A∪B=()A.(0, +∞)B.(0, 1)C.(−1, +∞)D.(−1, 0)3. “常数m是2与8的等比中项”是“m=4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A.3 20B.3π25C.325D.π205. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为( )A.2√2B.√3C.√5D.26. 等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x+2)，…的第四项等于（）A.3B.4C.log318D.log3247. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）)，则下列结论正确的是（）8. 已知曲线C:y=sin(2x−π3A.把C向左平移5π个单位长度，得到的曲线关于原点对称12B.把C向右平移π个单位长度，得到的曲线关于y轴对称12C.把C向左平移π个单位长度，得到的曲线关于原点对称3D.把C向右平移π个单位长度，得到的曲线关于y轴对称69. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A.n是偶数，n≥100B.n是奇数，n≥100C.n是偶数，n>100D.n是奇数，n>10010. 已知函数f(x)在其定义域上单调递减，则函数f(x)的图象可能是（）eA.C.D.11. 已知抛物线C:y 2＝x ，M 为x 轴负半轴上的动点，MA ，MB 为抛物线的切线，A ，B 分别为切点，则MA →⋅MB →的最小值为（）A.−14B.−18C.−116D.−1212. 设函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a +2b +2c 的取值范围是（）A.(16, 32)B.(18, 34)C.(17, 35)D.(6, 7)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知单位向量e 1→，e 2→的夹角为30∘，则|e 1→−√3e 2→|=________．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3，则z =x +y 的最大值为________．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =32n 2+12n ，则a 5=________．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2+c2=a(√33bc+a)．（1）证明：a=2√3cosA；（2）若A=π3,B=π6，求△ABC的面积．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001∼6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求点F到平面ABCD的距离．已知椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√32，且C过点(1,√32)．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．已知函数f(x)=e x−x2−ax．(1)证明：当a≤2−2ln2时，函数f(x)在R上是单调函数；(2)当x>0时，f(x)≥1−x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C1：(x−2)2+(y−4)2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2:θ=π3(ρ∈R)．(1)求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=3|x−a|+|3x+1|，g(x)=|4x−1|−|x+2|．（1）求不等式g(x)<6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由(1+i)z=1，得z=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，则复数z的虚部为−12．2.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】∵集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，∴A∪B={x|x>−1}=(−1, +∞)．3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用等比中项公式求解．【解答】∵m是两个正数2和8的等比中项，∴m=±√2×8=±4．故m=±4是m=4的必要不充分条件，4.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：根据题意可得，黑色部分的面积为S1=π(42−1)=15π，圆靶的面积为S=102π=100π，由题意此点取自黑色部分的概率是：P=15π100π=320.故选A.5.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c=√a2+b2=√5a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c=√a2+b2=√5a，则双曲线C的离心率e=ca=√5.故选C.6.【答案】A【考点】等差数列的通项公式【解析】由等差数列的性质得log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x)，求出x=4，等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，由此能求出第四项．【解答】∵等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x+2)，…，∴log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x)，∴x(x−4)=0，又2x>0，∴x=4，∴等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，d=log312−log38=log332，∴第四项为log318+log332=log327=3．7.B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴ 表面积为：4×6×2+2(4×6−4π)+2×2π×4=96+8π，8.【答案】B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【解答】把C 向左平移5π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +5π12)−π3]=sin(2x +π2)=cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故A 错误；把C 向右平移π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π12)−π3]=sin(2x −π2)=−cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故B 正确；把C 向左平移π3个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +π3)−π3]=sin(2x +π3)，取x =0，得y =√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故C 错误；把C 向右平移π6个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π6)−π3]=sin(2x −23π)，取x =0，得y =−√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故D 错误． ∴ 正确的结论是B ．9.【答案】D【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【解答】n =1，s =0，n=3，s=4，…，n=99，s=992−12，n=100，s=10022，n=101>100，结束循环，10.【答案】A【考点】函数的图象变化【解析】由题意可得[f(x)e ]′=f′(x)−f(x)e≤0，但不恒等于0，结合选项即可得到所求图象．【解答】函数f(x)e x在其定义域R上单调递减，可得[f(x)e ]′=f′(x)−f(x)e≤0，但不恒等于0，即f(x)≥f′(x)恒成立，对于A，f(x)>0恒成立，且f′(x)≤0，则f(x)≥f′(x)恒成立；对于B，由f(x)与x轴的交点设为(m, 0)，(m>0)，可得f(m)=0，f′(m)>0，f(x)≥f′(x)不成立；对于C，可令f(x)=t(t<0)，f′(x)=0，f(x)≥f′(x)不成立；对于D，f(x)在x>0时的极小值点设为n，则f(n)<0，f′(n)=0，f(x)≥f′(x)不成立．则A可能成立，11.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，则A(t24, t2)，B(t24, −t2)，∴ M(−t 24, 0)， ∴ MA →⋅MB →=(t 22, t 2)⋅(t 22, −t 2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，MA →⋅MB →的最小值为−116 12.【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】不妨设a <b <c ，利用f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象可得a ，b ，c 的范围，即可1求出【解答】互不相等的实数a ，b ，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，可得a ∈(−∞, 0)，b ∈(0, 1)，c ∈(4, 5)，则0<2a <1，0<2b <1，16<2c <32，2a +2b +2c ∈(18, 34)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘即可求出e 1→∗e 2→的值，从而可求出(e 1→−√3e 2→)2的值，进而得出|e 1→−√3e 2→|的值．【解答】单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘；∴ e 1→∗e 2→=cos30∘=√32，e 1→2=e 2→2=1； ∴ (e 1→−√3e 2→)2=e 1→2−2√3e 1→∗e 2→+3e 2→2=1−2√3×√32+3=1； ∴ |e 1→−√3e 2→|=1．【答案】2【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3的可行域如图，则z =x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由{x −y =64x +5y =6解得A(4, −2)，【答案】14【考点】等差数列的前n项和【解析】利用a5=S5−S4即可得出．【解答】a5=S5−S4=32×52+12×5−(32×42+12×4)=14，【答案】500√3π27【考点】球的体积和表面积【解析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI=x2，IE=6−x2．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得4∗x2(6−x2)=2x2，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=2√2，OP=√42−22=2√3，R2= (2√3−R)2+(2√2)2．∴R=√3该四棱锥的外接球的体积V=43πR3=500√3π27．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2+c2=a(√33bc+a)，则：b2+c2=√33abc+a2，整理得：b2+c2−a2=√33abc，由于：b2+c2−a2=2bccosA，则：2bccosA=√33abc，即：a=2√3cosA．由于：A=π3，所以：a=2√3cosA=√3．由正弦定理得：asinA =bsinB，解得：b=1．C=π−A−B=π2，所以：S△ABC=12absinC=√32．【考点】三角形求面积【解析】（1）直接利用已知条件和余弦定理求出结论．（2）利用（1）的结论，进一步利用正弦定理求出结果．【解答】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2+c2=a(√33bc+a)，则：b2+c2=√33abc+a2，整理得：b2+c2−a2=√33abc，由于：b2+c2−a2=2bccosA，则：2bccosA=√33abc，即：a=2√3cosA．由于：A=π3，所以：a=2√3cosA=√3．由正弦定理得：asinA =bsinB，解得：b=1．C=π−A−B=π2，所以：S△ABC=12absinC=√32．【答案】根据题意，由频率分布表分析可得：则K2=50×(20×10−10×10)230×20×30×20≈1.389<2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，(1, a, b)，(1, a, c)，(1, b, c)，(2, a, b)，(2, a, c)，(2, b, c)，(a, b, c)；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P=310．【考点】独立性检验【解析】（1）根据题意，由频率分布表分析可得2×2列联表，由独立性检验计算公式计算K2的值，结合独立性检验的意义可得答案；（2）根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，由列举法分析可得从中任选3人和男性人数超过女性人数的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案．【解答】根据题意，由频率分布表分析可得：则K2=50×(20×10−10×10)230×20×30×20≈1.389<2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，(1, a, b)，(1, a, c)，(1, b, c)，(2, a, b)，(2, a, c)，(2, b, c)，(a, b, c)；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P=310．【答案】∵在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF // AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．如图，过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG=D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴EGEB =EBBC，∴EB=√BC∗EG=√4×2=2√2，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，∵V F−ABC=V A−BCF，∴S△ABC⋅ℎ=S△BCF⋅AE，AB=4，S△ABC=12×4×4=8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB=E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵S△BCF=12×4×2√2=4√2，AE=EB=2√2，∴ℎ=4√2×2√28=2，∴点F到平面ABCD的距离为2．【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】（1）推导出EF // AD，AE⊥EF，AE⊥CF，从而AE⊥平面EBCF，由此能证明平面AEFD⊥平面EBCF．（2）过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，由V F−ABC=V A−BCF，能求出点F到平面ABCD的距离．【解答】∵在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF // AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．如图，过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG=D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴EGEB =EBBC，∴EB=√BC∗EG=√4×2=2√2，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，∵V F−ABC=V A−BCF，∴S△ABC⋅ℎ=S△BCF⋅AE，AB=4，S△ABC=12×4×4=8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB=E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵S△BCF=12×4×2√2=4√2，AE=EB=2√2，∴ℎ=4√2×2√28=2，∴点F到平面ABCD的距离为2．【答案】由题意可得{ca =√321 a2+34b2=1a2=b2+c2，解得a =2，b =1，c =√3，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1，证明：：设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)．联立{y =kx +tx 2+4y 2=4，化为(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．△=64k 2t 2−4(4t 2−4)(1+4k 2)>0，化为1+4k 2>t 2． ∴ x 1+x 2=−8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2−41+4k 2，∴ y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2， ∵ 直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴ y 1x 1⋅y2x 2=k 2，即k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=kx 1x 2， ∴−8k 2t 21+4k 2+t 2=0，∵ t ≠0， ∴ 4k 2=1，结合图形可知k =−12， ∴ 直线l 的斜率为定值为−12．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）由题意可得{ c a =√321a +34b =1a 2=b 2+c 2，解得即可；（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)．与椭圆的方程联立可得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．由△>0，可得1+4k 2>t 2．得到根与系数的关系．可得y 1x 1⋅y2x 2=k 2，直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，化为4k 2=1，即可证明【解答】由题意可得{ ca =√321a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2 ，解得a =2，b =1，c =√3，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1，证明：：设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)．联立{y =kx +tx 2+4y 2=4，化为(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．△=64k 2t 2−4(4t 2−4)(1+4k 2)>0，化为1+4k 2>t 2． ∴ x 1+x 2=−8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2−41+4k 2，∴ y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2， ∵ 直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴ y 1x 1⋅y2x 2=k 2，即k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=kx 1x 2， ∴−8k 2t 21+4k 2+t 2=0，∵ t ≠0， ∴ 4k 2=1，结合图形可知k =−12， ∴ 直线l 的斜率为定值为−12．【答案】(1)证明：f′(x)=e x −2x −a ，令g(x)=e x −2x −a ，则g′(x)=e x −2，则当x ∈(−∞, ln2)时，g′(x)<0， x ∈(ln2, +∞)时，g′(x)>0，故函数g(x)在x =ln2时取最小值g(ln2)=2−2ln2−a ，当a ≤2−2ln2时，g(x)≥0.故f′(x)≥0，即函数f(x)在R 上单调递增； (2)解：当x >0时，e x −x 2−ax ≥1−x ，即a ≤e x x−x −1x +1，令ℎ(x)=e x x−x −1x +1(x >0)，则ℎ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2，令φ(x)=e x −x −1，(x >0)，则φ′(x)=e x −1>0，x ∈(0, +∞)时，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0， x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)单调递减， x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)单调递增，故ℎ(x)min =ℎ(1)=e −1，故a ∈(−∞, e −1]．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而证明结论；（2）问题转化为a≤e xx −x−1x+1，令ℎ(x)=e xx−x−1x+1(x>0)，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最小值，从而求出a的范围．【解答】(1)证明：f′(x)=e x−2x−a，令g(x)=e x−2x−a，则g′(x)=e x−2，则当x∈(−∞, ln2)时，g′(x)<0，x∈(ln2, +∞)时，g′(x)>0，故函数g(x)在x=ln2时取最小值g(ln2)=2−2ln2−a，当a≤2−2ln2时，g(x)≥0.故f′(x)≥0，即函数f(x)在R上单调递增；(2)解：当x>0时，e x−x2−ax≥1−x，即a≤e xx −x−1x+1，令ℎ(x)=e xx −x−1x+1(x>0)，则ℎ′(x)=(x−1)(e x−x−1)x2，令φ(x)=e x−x−1，(x>0)，则φ′(x)=e x−1>0，x∈(0, +∞)时，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0，x∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)单调递减，x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)单调递增，故ℎ(x)min=ℎ(1)=e−1，故a∈(−∞, e−1]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：(1)∵圆C1的普通方程为x2+y2−4x−8y=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0，故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y=√3x；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S△OMN=12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．【考点】直线的极坐标方程圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0，故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14，x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14，综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|，故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512，所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，求出f(x)的最小值和g(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14 ，不等式g(x)<6，x≤−2时，4x−1−x−2<6，解得：x>−1，不等式无解；−2<x<14时，1−4x−x−2<6，解得：−75<x<14，x≥14时，4x−1−x−2<6，解得：3>x≥14，综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)=−g(x2)成立，所以{y|y=f(x), x∈R}∩{y|y=−g(x), x∈R}≠⌀，又f(x)=3|x−a|+|3x+1|≥|(3x−3a)−(3x+1)|=|3a+1|，故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max=94，所以|3a+1|≤94，解得−1312≤a≤512，所以实数a的取值范围为[−1312, 512]．。

2018年广东省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅰ含答案)

2018年广东省高考数学试卷（文科)（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分)已知集合A=｛0，2｝，B=｛﹣2，﹣1，0，1,2｝,则A∩B=（）A．｛0，2}B．{1，2}C．{0}D．{﹣2,﹣1,0,1，2｝2．（5分）设z=+2i，则｜z|=（）A．0 B．C．1 D．3．(5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0）,则C的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(）A．12πB．12πC．8πD．10π6．(5分）设函数f（x)=x3+（a﹣1)x2+ax．若f(x）为奇函数,则曲线y=f(x）在点（0，0）处的切线方程为（)A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x7．(5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+8．（5分)已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π,最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x）的最小正周期为2π，最大值为49．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3 D．210．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A．8 B．6C．8D．811．（5分)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则｜a﹣b|=()A．B．C．D．112．(5分）设函数f（x)=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是()A．(﹣∞,﹣1]B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．(﹣∞，0）二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。

2018届广东广州1模(文科)(试卷+答案)

绝密 ★ 启用前2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设复数z 满足2)1(i zi -=，则复数z 的共轭复数=z （）A. 2-B. 2C. i 2-D. i 22、设集合}6,5,4,3,2,1,0{=A ，},2{A n n x x B ∈==，则=B A （） A. }4,2,0{ B. }6,4,2{ C. }6,4,2,0{ D. }12,10,8,6,4,2,0{3、已知向量)2,2(=OA ，)3,5(=OB =-（）A. 10B.10 C. 2 D. 24、等差数列}{n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若n n n a a a +=++221，则=+12n S （）A. 24+nB. n 4C. 12+nD. n 25、执行如图所示的程序框图，则输出的=S （）A. 209B. 94C. 92D. 1096、在四面体ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，CD AB =，CD AB ⊥，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为（）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π7、已知某个函数的部分图像如图所示，则这个函数的解析式可能是（）A. x x y ln =B. 1ln +-=x x x yC. 11ln -+=xx y D. 1ln -+-=x xxy 8、椭圆14922=+y x 上一动点P 到定点)0,1(M 的距离的最小值为（） A. 2 B.554 C. 1 D. 552 9、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 322410++B. 2414+C. 32244++D. 410、已知函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 在区间]32,4[ππ-上单调递增，则ω的取值范围为（）A. ]38,0(B. ]21,0(C. ]38,21[D. ]2,83[ 11、已知数列}{n a 满足21=a ，1221+=+n n n a a a ，设11+-=n n n a a b ，则数列}{n b 是（） A.常数列 B.摆动数列 C.递增数列 D.递减数列 12、如图，在梯形ABCD 中，已知CD AB 2=，52=，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，则双曲线的离心率为（）A. 7B. 22C. 3D. 10第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年广州市一测数学答案(文科)

因为 ABCD 为矩形，所以 CD⊥AD．因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD 所以 CD⊥平面 PAD．因为 CD 平面 PCD，所以平面 PCD⊥平面 PAD．作 EG⊥PD 于 G，则 EG⊥平面 PCD，所以 EG 是点 E 到平面 PCD 的距离．平面 ABCD=AD，
数学（文科）答案 A
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19．（1）证明：连接 AC，设 AC∩BD=O，连接 EO．因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 的中点．因为 PC∥平面 BDE，PC 平面 PAC，平面 PAC∩平面 BDE=EO，所以 PC∥EO．因为 O 为 AC 的中点，所以 E 为 PA 的中点．所以 AE = PE．
绝密 ★ 启用前
2018 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题题号答案二．填空题 13． 85 三、解答题 17．解：（1）因为 a 14． 2 15． 32 16． , 2 2 1 A 2 C 3 C 4 A 5 D 6 B 7 D 8 B 9 A 10 B 11 D 12 A
2 ，即 21 c b bc ，所以 bc 20 】 3

2018年广东省高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝1，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）3．（5分）“常数m是2与8的等比中项”是“m＝4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F 到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．26．（5分）等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（）A．3B．4C．log318D．log3247．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π8．（5分）已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100D．n是奇数，n＞10010．（5分）已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5＝．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH 分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE ⊥CF ，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD ⊥EC ，求点F 到平面ABCD 的距离．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax．（1）证明：当a≤2﹣2ln2时，函数f（x）在R上是单调函数；（2）当x＞0时，f（x）≥1﹣x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ＝．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．2018年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝1，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+i）z＝1，得，则复数z的虚部为．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．故选：C．3．（5分）“常数m是2与8的等比中项”是“m＝4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵m是两个正数2和8的等比中项，∴m＝±＝±4．故m＝±4是m＝4的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：P＝＝，故选：A．5．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F 到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．2【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b＝2a，则c＝＝a，则双曲线C的离心率e＝＝，故选：C．6．（5分）等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（）A．3B．4C．log318D．log324【解答】解：∵等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…，∴log3（2x）+log3（4x+2）＝2log3（3x），∴x（x﹣4）＝0，又2x＞0，∴x＝4，∴等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，d＝log312﹣log38＝，∴第四项为＝log327＝3．故选：A．7．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴表面积为：4×6×2+2（4×6﹣4π）+2×2π×4＝96+8π，故选：B．8．（5分）已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称【解答】解：把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+）＝cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故A错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x﹣）﹣]＝sin（2x﹣）＝﹣cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故B正确；把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+），取x＝0，得y＝，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x﹣）﹣]＝sin （2x﹣），取x＝0，得y＝﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D 错误．∴正确的结论是B．故选：B．9．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100D．n是奇数，n＞100【解答】解：n＝1，s＝0，n＝2，s＝2，n＝3，s＝4，…，n＝99，s＝，n＝100，s＝，n＝101＞100，结束循环，故选：D．10．（5分）已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数在其定义域R上单调递减，可得[]′＝≤0，但不恒等于0，即f（x）≥f′（x）恒成立，对于A，f（x）＞0恒成立，且f′（x）≤0，则f（x）≥f′（x）恒成立；对于B，由f（x）与x轴的交点设为（m，0），（m＞0），可得f（m）＝0，f′（m）＞0，f（x）≥f′（x）不成立；对于C，可令f（x）＝t（t＜0），f′（x）＝0，f（x）≥f′（x）不成立；对于D，f（x）在x＞0时的极小值点设为n，则f（n）＜0，f′（n）＝0，f（x）≥f′（x）不成立．则A可能成立，故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，则A（，），B（，﹣），将点A的坐标代入x＝ty+m，得m＝﹣，∴M（﹣，0），∴＝（，）•（，﹣）＝﹣＝（t2﹣）2﹣，则当t2＝，即t＝±时，的最小值为﹣故选：C．12．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）【解答】解：互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，﹣1），b∈（﹣1，0），c∈（4，5），对应的函数值接近1时，函数趋向最小值：1+1+24＝18，当函数值趋向0时，表达式趋向最大值：1+1+25＝34．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|＝1．【解答】解：单位向量的夹角为30°；∴，；∴＝；∴．故答案为：1．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为2．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，则z＝x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（4，﹣2），所以z＝x+y的最大值为：2．故答案为：2．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5＝14．【解答】解：a5＝S5﹣S4＝﹣＝14，故答案为：14．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH 分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI＝，IE＝6﹣．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得：x＝4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC＝，OP＝，．∴．该四棱锥的外接球的体积V＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求△ABC的面积．【解答】证明：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则：，整理得：，由于：b2+c2﹣a2＝2bc cos A，则：2bc cos A＝，即：a＝2cos A．解：（2）由于：A ＝，所以：．由正弦定理得：，解得：b＝1．C ＝，所以：．18．（12分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．【解答】解：（1）根据题意，由频率分布表分析可得：则K2＝≈1.389＜2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；（2）根据题意，设步行数在3001～6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），（1，a，b），（1，a，c），（1，b，c），（2，a，b），（2，a，c），（2，b，c），（a，b，c）；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P＝．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC＝2AD＝4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求点F到平面ABCD的距离．【解答】证明：（1）∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC＝2AD ＝4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF∥AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF＝F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．解：（2）如图，过点D作DG∥AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG＝D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴，∴EB＝＝＝2，设点F到平面ABCD的距离为h，∵V F﹣ABC ＝V A﹣BCF，∴S△ABC•h＝S△BCF•AE，AB＝4，＝8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB＝E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵＝4，AE＝EB＝2，∴h＝＝2，∴点F到平面ABCD的距离为2．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．【解答】解：（1）由题意可得，解得a＝2，b＝1，c＝，故椭圆C的方程为+y2＝1，证明：（2）：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y＝kx+t（t≠0）．联立，化为（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0．△＝64k2t2﹣4（4t2﹣4）（1+4k2）＞0，化为1+4k2＞t2．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+t）（kx2+t）＝k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，∵直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，∴•＝k2，即k2x1x2+kt（x1+x2）+t2＝kx1x2，∴+t2＝0，∵t≠0，∴4k2＝1，结合图形可知k＝﹣，∴直线l的斜率为定值为﹣．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax．（1）证明：当a≤2﹣2ln2时，函数f（x）在R上是单调函数；（2）当x＞0时，f（x）≥1﹣x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）＝e x﹣2x﹣a，令g（x）＝e x﹣2x﹣a，则g′（x）＝e x﹣2，则x∈（﹣∞，ln2]时，g′（x）＜0，x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，故函数g（x）在x＝ln2时取最小值g（ln2）＝2﹣2ln2﹣a≥0，故f′（x）≥0，即函数f（x）在R递增；（2）当x＞0时，e x﹣x2﹣ax≥1﹣x，即a≤﹣x﹣+1，令h（x）＝﹣x﹣+1（x＞0），则h′（x）＝，令φ（x）＝e x﹣x﹣1，（x＞0），则φ′（x）＝e x﹣1＞0，x∈（0，+∞）时，φ（x）递增，φ（x）＞φ（0）＝0，x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，故h（x）min＝h（1）＝e﹣1，故a∈（﹣∞，e﹣1]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ＝．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．【解答】解：（1）∵圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x﹣8y＝0，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ＝0，故C1的极坐标方程是ρ＝4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y ＝x；（2）分别将θ＝，θ＝代入ρ＝4cosθ+8sinθ，得ρ1＝2+4，ρ2＝4+2，则△OMN 的面积为×（2+4）×（4+2）×sin （﹣）＝8+5．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．g（x ）＝，不等式g（x）＜6，x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解；﹣2＜x ＜时，1﹣4x﹣x﹣2＜6，解得：﹣＜x ＜，x ≥时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：3＞x，综上，不等式的解集是（﹣，3）；（2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）＝﹣g（x2）成立，所以{y|y＝f（x），x∈R}∩{y|y＝﹣g（x），x∈R}≠∅，又f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|≥|（3x﹣3a）﹣（3x+1）|＝|3a+1|，故g（x ）的最小值是﹣，可知﹣g（x）max ＝，所以|3a+1|≤，解得﹣≤a ≤，所以实数a的取值范围为[﹣，]．第21页（共21页）。

2018年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)

2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0} B．{1} C．（0，1）D．{0，1}2．（5分）设复数z1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B． C．D．23．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．94．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4logx2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4logx2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4logx2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4logx2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4logx2≤46．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．1808．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx） D．x2f（cosx）10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则 tan∠APA1的最大值是（）A． B．1 C．D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．212．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S= ．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{an }是等比数列，数列{bn}满足．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{bn }的前n项和Sn．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：（1）请分布计算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K 2的观测值为k 1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB=AD=2，CD=4，PC=PD ，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P 在底面ABCD 的射影为边CD 的中点；（2）点Q 在PB 上，且DQ ⊥PB ，求三棱锥Q ﹣BCD 的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C 1的离心率为，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（2）过点A （﹣2，0）的直线l 与C 2交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为M'，证明：直线M'N 恒过一定点．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯一的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0} B．{1} C．（0，1）D．{0，1}【解答】解：B={x|x﹣x2=0}={0，1}，则A∩B={0，1}，故选：D2．（5分）设复数z1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B． C．D．2【解答】解：∵z1=2+i，z2=1+ai，∴，若，则1﹣2a=0，即a=．故选：C．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．9【解答】解：画出变量x，y满足约束条件可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，﹣1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=﹣3×0+2×1=﹣1．故选：A．4．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，基本事件有10个，分别为：（红1，红2），（红1，红3），（红1，篮1），（红1，篮2），（红2，红3），（红2，篮1），（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），（篮1，篮2），这两个球颜色不同且标号之和不小于4包含的基本事件有3个，分别为：（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），故这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为p=．故选：A．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4logx2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4logx2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4logx2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4logx2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4logx2≤4【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即：¬p：∃x＞1，log2x+4logx2≤4，故选：D．6．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．180【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．8．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．【解答】解：tanθ=2，则======．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx） D．x2f（cosx）【解答】解：根据题意，对于函数f（x）=，当x＞0时，f（x）=x2+2x，则有﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，则函数f（x）为偶函数，分析选项：对于A，设g（x）=f（sinx），有g（﹣x）=f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；对于B，设g（x）=f（cosx），有g（﹣x）=f[cos（﹣x）]=f（cosx）=g（x），为偶函数，不符合题意；对于C，设g（x）=xf（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）f[sin（﹣x）]=﹣xf（﹣sinx）=﹣xf（sinx）=﹣g（x），为奇函数，符合题意；对于D，设g（x）=x2f（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）2f[sin（﹣x）]=x2f（﹣sinx）=x2f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；故选：C．10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则 tan∠APA1的最大值是（）A． B．1 C．D．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，∴AO PM，∴A1P=C1M=，∴tan∠APA1===2．∴tan∠APA1的最大值是2．故选：D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：如图，∵以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N，∴，∵直线l：x﹣y+c=0的倾斜角为300，，∠NAF1=600，∴由，得（y2﹣2．yN=整理得：c3﹣3c2a+4a3=0⇒e3﹣3e2+4=0，（e3+1）﹣3（e2﹣1）=0⇒（e+1）（e2﹣4e+4）=0．∴e=2，故选：C12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣λx，∴g′（x）=f′（x）﹣λ，令g′（x）=0，∴f′（x）﹣λ=0，即f′（x）=λ有两解x1，x2，（x1＜x2）∵f（x）=x3﹣3x2+2x，∴f′（x）=3x2﹣6x+2，分别画出y=f′（x）与y=λ的图象如图所示：①当﹣1＜λ＜0时，则f（x1）＞f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＞f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于﹣5 ．【解答】解：=+λ=（1，2）+λ（﹣1，1）=（1﹣λ，2+λ），∵⊥，∴=1﹣λ+2（2+λ）=0，则实数λ=﹣5故答案为：﹣5．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为±2 ．【解答】解：由y=xlnx，得y′=1+lnx，∴y′|x=1=1，由y=，得y′=﹣，设P（x0，y），则y′=|=﹣，由题意可得：﹣=﹣1，=±2．∴x则P点的横坐标为±2．故答案为：±2．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S= ．【解答】解：△ABC中，∵cosA=，可得：sinA==，∴由正弦定理可得：b===7，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：49=25+c2﹣5c，解得：c=8或﹣3（舍去），∴S=acsinB==．△ABC故答案为：．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是24π．【解答】解：在三角形ABC中，由余弦定理可得cosB==﹣，则sinB==，=2，则AC边上的高为h=1，平面四边形ABCD中，，四边形是筝形，AC⊥BD，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，△ACD翻折成△ACD'两个三角形所在平面垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，如图：则A（0，0，0），B（0，1，1），C（0，4，0），D（1，1，0），设外接球的球心为（x，y，z），则|OA|=|OB|=|OC|=|OD|，可得：，解得x=﹣1；y=2，z=﹣1，外接球的半径为：r=|OA|==，外接球的表面积为：4πr2=24π；故答案为：24π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{an }是等比数列，数列{bn}满足．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{bn }的前n项和Sn．【解答】解：（1）因为an+1+bn=n，则a2+b1=1，得a2=4，a3+b2=2，得a3=8，因为数列{an}是等比数列，所以，所以．（2）由（1）可得，所以=．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：（1）请分布计算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K 2的观测值为k 1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：【解答】解：（1）设40岁以上（含40岁）与40岁以下群体中选择甲公司的概率分别为P 1，P 2，由数据知P 1==≈0.49，P 2==≈0.42，因为P 1＞P 2，所以年龄40岁以上（含40岁）的群体选择甲公式的可能性要大；（2）因为k 1=0.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表：计算K2==≈6.734，且K2=6.734＞6.635，根据临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，PC=PD，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点；（2）点Q在PB上，且DQ⊥PB，求三棱锥Q﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：取CD的中点为O，连接OP，OB，则OD=BA=2，因为AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，所以四边形ABOD是正方形，OB⊥CD，因为PC=PD，O为CD中点，所以PO⊥CD，由OP∩OB=O，所以CD⊥平面POB，PB⊂平面POB，所以CD⊥PB，因为AB∥CD，所以AB⊥PB，则在Rt△ABP中，∠PAB=60°，AB=2，所以，在Rt△DOP中，，所以OB2+OP2=4+8=12=PB2，即OP⊥OB，又CD∩OB=O所以PO⊥底面ABCD，即顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点．（2）解：由题设与（1）可得，因为DQ⊥PB，所以，解得，所以，又，设三棱锥Q﹣BCD的高为h，则，又，所以三棱锥Q﹣BCD的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得，则，代入x=c，得y2=4ax，即，所以，则有，所以椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为y2=8x．（2）依题意，可知直线l的斜率不为0，可设l：x=my﹣2，联立，得y2﹣8my+16=0，设M（x1，y1），N（x1，y1），则M'（x1，﹣y1），△＞0，得m＜﹣1或m＞1，，所以直线M'N的斜率，可得直线M'N的方程为，即=，所以当m＜﹣1或m＞1时，直线M'N恒过定点（2，0）．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯一的零点．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，即，①当x1=x2，即时，f'（x）≥0，f（x）是（0，+∞）上的增函数；②当x1＜x2，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；③当x2＜x1，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上所述，当时，f（x）在单调递增，在单调递减；当时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当时，f（x）在单调递增，在在单调递减．（2）若a＜0，令f'（x）=0，即（2x﹣a）（1+lnx）=0，得，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当时，f（x）取得极小值，以下证明：在区间上，f（x）＜0，令，则，，，因为a＜0，t＞1，不等显然成立，故在区间上，f（x）＜0，又，即，故当a＜0时，函数f（x）有唯一的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ．（2）∵直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点（0，2），也就是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，所以当，|OM|+|ON|取得最大值为．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）=|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。

2018届广东省文科数学模拟试卷一

2018届广东省文科数学模拟试卷一2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足()i z+=，则复数z的虚部为（）11A．1i B．12 C．12i- D．12-22.已知集合{}{}2=>=<，则A B=（）|0,|1A x xB x xA．()-+∞1, 0,+∞ B．()0,1 C．()D．()1,0-3. “常数m是2与8的等比中项”是“4m=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）π个单位长度，得到的曲线关于B．把C向右平移12y轴对称π个单位长度，得到的曲线关于C. 把C向左平移3原点对称π个单位长度，得到的曲线关于D．把C向右平移6y轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A ．n 是偶数，100n ≥B ．n 是奇数，100n ≥ C. n 是偶数，100n > D ．n 是奇数，100n > 10.已知函数()xf x e 在其定义域上单调递减，则函数()f x 的图象可能是（）A ．B ．C. D ．11.已知抛物线2:,C yx M=为x 轴负半轴上的动点，,MA MB为抛物线的切线，,A B 分别为切点，则MA MB 的最小值为（）A ．14-B ．18- C. 116- D ．12-12.设函数()121,25,2x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c满足()()()f a f b f c ==，则222ab c++的取值范围是（）A ．()16,32B ．()18,34 C. ()17,35 D ．()6,7二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量12,e e 的夹角为30°，则123e e -= ．14.设,x y 满足约束条件6456543x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值为．15.已知数列{}na 的前n 项和为nS ，且23122nSn n =+，则5a =．16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,CDG,ADH ABE BCF ∆∆∆∆，使得,,,E F G H重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知223b c a a ⎫+=+⎪⎪⎝⎭.（1）证明：23a A=；（2）若,36A B ππ==，求ABC ∆的面积. 18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步 03000 30016000 60018000 800110000 10000以上男生人数/人1 27155女性人数/人0 3 7 9 1规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”. （1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；积极性懈怠性总计男女总计附：()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.841 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在30016000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//,AD BC AB BC ⊥，且24,,BC AD E F==分别为线段,AB DC 的中点，沿EF 把AEFD折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形. （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD EC ⊥，求点F 到平面ABCD 的距离.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，且C过点3⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（点,P Q 均在第一象限），且直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值. 21. 已知函数()2xf x e x ax =--.（1）证明：当22ln 2a ≤-时，函数()f x 在R 上是单调函数；（2）当0x >时，()1f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆()()221:2420C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，()2:3CR πθρ=∈.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O M 、，3C 与1C 的交点为O N 、，求OMN ∆的面积.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()331,412f x x a x g x x x =-++=--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在12,x xR∈，使得()1f x 和()2g x 互为相反数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DCBAC 6-10: ABBDA 11、12：CB二、填空题13. 1 14. 2 15. 1416. 500327π 三、解答题17.解：（1）因为22233bc abc a +=+，所以22233bc a abc +-=，又因为2222cos bc a bc A+-=，所以32cos bc A =，即23a A=.（2）因为3A π=，所以233a A ==，由正弦定理sin sin a bA B =，可得1b =， 2C A B ππ=--=，所以13sin 22ABCSab C ∆==.18.解：（1）根据题意完成下面的列联表：积极性懈怠性总计男 20 10 30 女 12 8 20 总计3218 50根据列联表中的数据，得到()225020810120.231 2.70630203218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；（2）设步行数在30016000中的男性的编号为1，2，女性的编号为,,a b c . 选取三位的所有情况为：()()()()()()()()()()1,2,,1,2,,1,2,c ,1,,,1,,,1,,,2,,,2,,,2,,,,,a b a b a c b c a b a c b c a b c 共有10种情形，符合条件的情况有：()()()1,2,,1,2,,1,2,a b c 共3种情形.故所求概率为310.19.（1）证明：由题可得//EF AD ，则AE EF ⊥，又AE CF ⊥，且EF CF F=，所以AE ⊥平面EBCF .因为AE ⊂平面AEFD ，所以平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）解：过点D 作//DG AE 交EF 于点G ，连结BG ，则DG ⊥平面EBCF ，DG EC ⊥，又,BD EC BD DG D⊥=，所以EC ⊥平面,BDG EC BG ⊥，易得EGBBEC ∆∆，则EG EBEB BC=，得22EB =设点F 到平面ABCD 的距离为h ，因为14482F ABCA BCF VV --==⨯⨯=，又因为,,BC AE BC EB AE EB⊥⊥于E ，所以BC ⊥平面AEB ，故AB BC ⊥，又因为142242,AE EB 222BCFS∆=⨯⨯===，所以2228h ==，故点F 到平面ABCD 的距离为2.20.解：（1）由题意可得22321314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k xkmx m +++-=，则()()()222222641614116410k mk m k m ∆=-+-=-+>，且()2121222418,1414m kmx x x x k k --+==++，故()()()2212121212y y kx m kxm k x x km x x m =++=+++，又直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，则22121yy k xx =，即()221212212k x x km x x m k x x +++=，所以22228014k m m k-+=+，又0m ≠，所以214k=，又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率为定值. 21.解：（1）()2xf x e x a '=--，令()2xg x ex a =--，则()2x g x e '=-，则当(),ln 2x ∈-∞时，()0g x '<，当()ln 2,x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在ln 2x =取得最小值，()ln 22ln 20g a =--≥，故()0f x '≥，即()f x 在R 上是单调递增函数；（2）当0x >时，21xe x ax x--≥-，即11x e a x x x≤--+，令()()110x e h x x x x x=--+>，则()()()()2221111xx x e x e x x h x x x -----+'==，令()()10xx ex x ϕ=-->，则()10x x e ϕ'=->.当()0,x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ>=，则当()0,1x ∈时，()0h x '<，所以()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 单调递增. 所以()()min11h x h e ==-，所以(],1a e ∈-∞-.22.解：（1）因为圆1C 的普通方程为22480xy x y +--=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=，所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，2C 的平面直角坐标系方程为3y x=；（2）分别将,36ππθθ==代入4cos 8sin ρθθ=+，得12243,423ρρ=+=+，则OMN ∆的面积为((1243423sin 853236ππ⎛⎫⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭23.解：（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<，得1x >-，无解；当124x -<<时，516x --<，得75x >-，即7154x -<<；当14x ≥时，336x -<，得134x ≤<，综上，()6g x <的解集为7|35x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）因为存在12,x xR∈，使得()()12f xg x =-成立，所以(){}(){}|,|y g ,y y f x x R y x x R =∈=-∈≠∅，又()()()331333131f x x a x x a x a =-++≥--+=+，由（1）可知()9,4g x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，则()9,4g x ⎛⎤-∈-∞ ⎥⎝⎦，所以9314a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

2018年广东省广州市一测数学试题文科数学试题

秘密★启用前试卷类型: A2018年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学2018.3本试卷共5页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号,并将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数z 满足()2i =1i z -,则复数z 的共轭复数z =A.2-B.2C.2i -D.2i2.设集合{}=0,1,2,3,4,5,6A ,{}=2,B x x n n A =∈,则A B =IA.{}0,2,4B.{}2,4,6C.{}0,2,4,6D.{}0,2,4,6,8,10,123.已知向量()2,2OA =uu r ,()5,3OB =uu u r ,则OA AB =-uuu r uuu rA.10D.24.等差数列{}n a 的各项均不为零,其前n 项和为n S ,若212n n n a a a ++=+,则21=n S + A.42n +B.4nC.21n +D.2n5.执行如图所示的程序框图,则输出的S =A.920B.49C.29D.9406.在四面体ABCD 中,E F ，分别为AD BC ，的中点,AB CD =, A B C D^,则异面直线EF 与AB 所成角的大小为 A.π6 B.π4 C.π3 D.π27.已知某个函数的部分图象如图所示,则这个函数的解析式可能是A.ln y x x =B.ln 1y x x x =-+C.1ln 1y x x =+-D.ln 1xy x x=-+- 8.椭圆22194x y +=上一动点P 到定点()1,0M 的距离的最小值为A.2C.19.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视图,则该几何体的表面积为A.10+B.14+C.4+D.410.已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增,则ω的取值范围为 A.80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知数列{}n a 满足12a =,2121n n n a a a +=+,设11n n n a b a -=+,则数列{}n b 是 A.常数列B.摆动数列C.递增数列D.递减数列12.如图,在梯形ABCD 中,已知2AB CD =,2=5AE AC uu u r uuu r,双曲线过C ,D ,E 三点,且以A ,B 为焦点,则双曲线的离心率为B.C.3D C ABE图②图① 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知某区中小学学生人数如图所示.为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中需抽取20名学生, 则小学与初中共需抽取的学生人数为名.14.若x ,y 满足约束条件230,10,10x y x y -+--⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥，则z x y =-+的最小值为 .15.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列,俗称“杨辉三角形”,该数表的规律是每行首尾数字均为1,从第三行开始,其余的数字是它“上方”左右两个数字之和.现将杨辉三角形中的奇数换成1,偶数换成0,得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表,由上往下数,记第n 行各数字的和为n S ,如11S =,22S =,32S =,44S =,……,则32S = .16.已知函数()()21,1,ln 2,1x x xf x x x +⎧<-⎪=⎨⎪+-⎩≥，()224g x x x =--.设b 为实数,若存在实数a ,使得()()1f a g b +=成立,则b 的取值范围为 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知21=a,1=-b c ,△ABC 的外(1)求角A 的值； (2)求△ABC 的面积.18.(本小题满分12分)某地1~10岁男童年龄i x (岁)与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表:对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)求y 关于x 的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01)；(2)某同学认为,2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型,他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x=-++.经调查,该地11岁男童身高的中位数为145.3cm .与(1)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好？附:回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ,a y bx =-$$.19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,点E 在线段PA 上,PC P 平面BDE . (1)求证:AE PE =；(2)若△PAD 是等边三角形,2AB AD =, 平面PAD ⊥平面ABCD ,四棱锥P ABCD -的体积为求点E 到平面PCD 的距离.()()()121nx x y yi i i b n x x i i =--∑=-∑=$20.(本小题满分12分)已知两个定点()1,0M 和()2,0N ,动点P满足PN =.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ,B 为(1)中轨迹C 上两个不同的点,O 为坐标原点.设直线OA ,OB ,AB 的斜率分别为1k ,2k ,k .当123k k =时,求k 的取值范围. 21.(本小题满分12分)已知函数()e 1x f x ax a =-+-. (1)若()f x 的极值为e 1-,求a 的值；(2)若),[+∞∈a x 时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4－4:坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,且2PA PB ⋅=,求实数m 的值.23.(本小题满分10分)选修4－5:不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-.(1)当1a =,0b =时,求不等式()31f x x +≥的解集； (2)若0a >,0b >,且函数()f x 的最小值为2,求3a b +的值.。

2018年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)

2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．35．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．906．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．6010．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．211．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=．14．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为．15．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：温度x/°C212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．【解答】解：由zi=2+i，得，∴|z|=，故选：D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4个，分别为：（1，2，3），（1，2，6），（1，3，6），（2，3，6）数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3），共1个．∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是．故选：A．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z=3×2+2=8．故选：C．5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．90【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．故选：C．6．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，准线与x轴的交点为D（﹣2，0），由△ADF为等腰直角三角形，得|AD|=|DF|=4，故点A的坐标为（﹣2，4），由点A在双曲线上，可得，解得，即，∴，∴双曲线的离心率．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．【解答】解：设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得，由f（）=，得sin（π+ϕ）=，即cosϕ=，又0＜ϕ＜，∴ϕ=，f（x）=sin（πx）．由，得．∴f（x）的单调递增区间为．故选：B．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，故选C．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．60【解答】解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列，设首项为a，则，解之得a=3，则该塔中间一层灯盏数有3×23=24．故选：A．10．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2017时，S2017=S1=，k=2018，退出循环．输出S=．故选：C．11．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在①中，如图知AF与GC异面垂直，故①正确；在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED．则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确；在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误．故选：B．12．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数⇔函数的图象与y=e﹣|x|的图象交点个数．由y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，得f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x）．又∵函数f（x+1）是偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），故f（x+2）=f（﹣x）=f（x），因此，f（x）是周期为2的偶函数．∵当x∈[0，1]时，，作出y=f（x）与图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为2018×2=4036．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=1．【解答】解：根据题意，设=（x，y），则﹣2=（2﹣2x，1﹣2y）=（1，1），则有2﹣2x=1，1﹣2y=1，解可得x=，y=0，则=（，0），则=2×+1×0=1；故答案为：114．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为x﹣2y﹣1+2ln2=0．【解答】解：根据题意，曲线y=ln（x+1），则有y′=，则由所求切线斜率，又由f（1）=ln（1+1）=ln2，则曲线在点（1，ln2）处的切线方程为，即x﹣2y﹣1+2ln2=0．故答案为：x﹣2y﹣1+2ln2=015．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为x2+（y﹣6）2=9，得到圆心C（0，6），圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°，∴该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．故答案为：．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．【解答】解：以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为，依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为，则球的半径为．所以球的体积为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若2c•cosB﹣b=2a，则有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ），在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C为钝角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，…（1分）∴∠BAD=∠ADC=120°..…（2分）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°．…（3分）∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即AB⊥AC．…（4分）∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，…（5分）又平面AB⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面PAC．…（6分）解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴AC=AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，…（7分）∴AB是三棱锥B﹣EAC的高，正△PAC的边长为…（8分）∵E是PC的中点，∴S△EAC =S△PAC=．…（10分）∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）（Ⅱ）解法二：过P作PO⊥AC于点O，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱锥E﹣ABC的高，且PO∥EF，…（7分）又E是PC中点，∴EF是△POC的中位线，故．由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB∙tan60°=，即正△PAC的边长为，…（8分）∴PO=，故EF=…（9分）在Rt△ABC中，S△ABC=．…（10分）∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：24272932温度x/°C2123产卵数y/个61120275777经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n=6，，…．…（2分）≈33﹣6.6×26=﹣138.6，…（3分）∴y关于x的线性回归方程为=6.6x﹣138.6…（4分）（Ⅱ）（i ）利用所给数据，，得，线性回归方程=6.6x﹣138.6的相关指数R2=．…（6分）∵0.9398＜0.9522，…（7分）因此，回归方程=（ii）由（i ）得温度x=35°C时，=又∵e8.0605≈3167，…（10分）∴≈0.06×3167≈190（个）…（11分）所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分）20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y 轴，且c=，依题意可知b=2，∴a 2=c 2+b 2=9．则椭圆C 1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C 2的方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵λ＞1，∴点C （﹣1，0）在椭圆内部，直线l 与椭圆必有两个不同的交点．当直线l 垂直于x 轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l 为y=k （x +1）（A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0），由，得．由韦达定理得．∵，而点C （﹣1，0），∴（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=2（x 2+1，y 2），则y 1=﹣2y 2，即y 1+y 2=﹣y 2，故．∴△OAB 的面积为S △OAB =S △AOC +S △BOC ====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB 的面积取得最大值．∴直线的方程为或． 21．（12分）已知函数（a ∈R ）．（Ⅰ）讨论g （x ）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x ＞0，且x ≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g （x ）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）①当时，△≤0，g'（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．…（12分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4…（1分）∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．∵直线l过点P（﹣2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点，∴直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离，得，α∈[0，π），∴α的取值范围是．（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，故其参数方程为（θ为参数）．∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴，，∴，因此，的取值范围是[﹣2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；…（1分）当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）。