微分方程数值解法实验报告
常微分方程数值解实验报告
常微分方程数值解实验报告实验报告：常微分方程数值解1.引言常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学领域中一个重要的研究对象，涉及到许多自然科学和工程技术领域的问题。
解常微分方程的数值方法是一种求解差分方程的方法，通过计算机找到方程的近似解，对于模拟和预测连续过程非常有用。
本实验旨在通过数值解法，验证和应用常微分方程的解，并比较不同数值方法的精度和效率。
2.实验目的2.1理解常微分方程的基本概念和数值解法；2.2掌握将常微分方程转化为数值求解问题的基本方法；2.3运用数值解法求解常微分方程；2.4比较不同数值解法的精度和效率。
3.实验内容3.1 欧拉方法（Euler Method）给定一个一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，通过将其离散为差分形式，欧拉方法可以通过以下递推公式来求解：y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)其中，h为步长，x_n和y_n为当前的x和y值。
3.2 改进的欧拉方法（Improved Euler Method）改进的欧拉方法使用欧拉方法的斜率的平均值来估计每一步中的斜率。
具体公式如下：k1=f(x_n,y_n)k2=f(x_n+h,y_n+h*k1)y_{n+1}=y_n+h*((k1+k2)/2)3.3 二阶龙格-库塔法（Second-order Runge-Kutta Method）二阶龙格-库塔法通过计算每个步骤中的两个斜率来估计每个步长中的斜率。
具体公式如下：k1=f(x_n,y_n)k2=f(x_n+h/2,y_n+(h/2)*k1)y_{n+1}=y_n+h*k24.实验步骤4.1选取常微分方程，并将其转化为数值求解问题的形式；4.2根据给定的初始条件和步长，使用欧拉方法、改进的欧拉方法和二阶龙格-库塔法求解该方程；4.3比较三种方法的数值解与理论解的差异，并分析其精度和效率；4.4尝试不同的步长，观察相应的数值解的变化。
大学数学实验四_常微分方程数值解
2 小型火箭初始质量为 1400kg，其中包括 1080kg 燃料。火箭竖直向上发射时，燃料燃烧率 为 18kg/s，由此产生 32000N 推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正 比于速度的平方，比例系数为 0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火 箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
6
输出结果为
故，当 t =60s 时，火箭的速度、高度、加速度为
v (m/s)
向前欧拉公式
266.94
经典龙格-库塔公式
266.94
ode45(@rocket,t,v)
266.93
h (m) 12131 12131 12131
从上表可以看出，用三种不同方法求得的结果相差不大。
60s 后，火箭作竖直上抛运动，加速度为
4
输出的结果为
输出的火箭的 h – t 图线如下：
经典龙格-库塔公式： n=100000; h=60/n; t=0:h:60; v(1)=0; z(1)=0; g(1)=90/7; for i=1:n
a = v(i); s = z(i); x1 = h*i; k1 = (32000-0.4*a.^2)/(1400-18*x1)-10; x1 = x1 + h/2; b = a + h/2*k1; k2 = (32000-0.4*b.^2)/(1400-18*x1)-10; c = a + h/2*k2; k3 = (32000-0.4*c.^2)/(1400-18*x1)-10; x1 = x1 + h/2;
n = 500 267.0539 n = 100000 266.9432
微分方程数值解法实验报告
微分方程数值解法实验报告2篇微分方程数值解法实验报告（一）在实际科学与工程问题中，我们经常会遇到微分方程的求解。
然而，许多微分方程往往没有解析解，这就需要我们利用数值方法来获得近似解。
本篇实验报告将介绍两种常见的微分方程数值解法：欧拉方法和改进的欧拉方法。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单的微分方程数值解法之一。
其基本原理为离散化微分方程，将微分方程中的导数用差商代替。
设要求解的微分方程为dy/dx = f(x, y)，步长为h，则可用以下公式进行递推计算：y_{n+1} = y_n +hf(x_n, y_n)二、算法实现为了对欧拉方法进行数值实验，我们以一阶线性常微分方程为例：dy/dx = x - y, y(0) = 1步骤如下：（1）选择合适的步长h和求解区间[a, b]，这里我们取h=0.1，[a, b] = [0, 1]；（2）初始化y_0 = 1；（3）利用欧拉方法递推计算y_{n+1} = y_n + 0.1(x_n - y_n)；（4）重复步骤（3），直到x_n = 1。
三、实验结果与讨论我们通过上述步骤得到了在[0, 1]上的近似解y(x)。
下图展示了欧拉方法求解的结果。
从图中可以看出，欧拉方法得到的近似解与精确解有一定的偏差。
这是因为欧拉方法只是通过递推计算得到的近似解，并没有考虑到更高阶的误差。
所以在需要高精度解时，欧拉方法并不理想。
四、改进的欧拉方法针对欧拉方法的不足，我们可以考虑使用改进的欧拉方法（也称为改进的欧拉-柯西方法）。
它是通过利用前后两个步长欧拉方法得到的结果作为差商的中间项，从而提高了求解精度。
一阶线性常微分方程的改进欧拉方法可以表示为：y_{n+1} = y_n + h(f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_n + hf(x_n,y_n)))/2五、算法实现与结果展示将改进的欧拉方法应用于前述的一阶线性常微分方程，我们同样选择h=0.1，[a, b] = [0, 1]。
微分方程数值解实验报告
微分方程数值解实验报告实验目的：掌握微分方程数值解的基本方法，能够利用计算机编程求解微分方程。
实验原理：微分方程是自然科学与工程技术中常见的数学模型，它描述了变量之间的关系及其随时间、空间的变化规律。
解微分方程是研究和应用微分方程的基础，但有很多微分方程无法找到解析解，只能通过数值方法进行求解。
本实验采用欧拉方法和改进的欧拉方法求解微分方程的初值问题：$$\begin{cases}\frac{dy}{dt}=f(t,y)\\y(t_0)=y_0\end{cases}$$其中，$f(t,y)$是给定的函数，$y(t_0)=y_0$是已知的初值条件。
欧拉方法是最基本的数值解法，其步骤如下：1.给定$t_0$和$y_0$2.计算$t_{i+1}=t_i+h$，其中$h$是步长3. 计算$y_{i+1}=y_i+hf(t_i,y_i)$4.重复步骤2、3直到达到终止条件改进的欧拉方法是对欧拉方法进行改进，通过利用函数$y(t)$在$t+\frac{1}{2}h$处的斜率来更准确地估计$y_{i+1}$，其步骤如下：1.给定$t_0$和$y_0$2.计算$t_{i+1}=t_i+h$，其中$h$是步长3. 计算$y_*=y_i+\frac{1}{2}hf(t_i,y_i)$4. 计算$y_{i+1}=y_i+hf(t_i+\frac{1}{2}h,y_*)$5.重复步骤2、3、4直到达到终止条件实验步骤：1.编写程序实现欧拉方法和改进的欧拉方法2.给定微分方程和初值条件3.设置步长和终止条件4.利用欧拉方法和改进的欧拉方法求解微分方程5.比较不同步长下的数值解与解析解的误差6.绘制误差-步长曲线，分析数值解的精度和收敛性实验结果：以一阶常微分方程$y'=3ty+t$为例，给定初值$y(0)=1$，取步长$h=0.1$进行数值求解。
利用欧拉方法求解微分方程得到的数值解如下：\begin{array}{cccc}t & y_{\text{exact}} & y_{\text{Euler}} & \text{误差} \\ \hline0.0&1.000&1.000&0.000\\0.1&1.035&1.030&0.005\\0.2&1.104&1.108&0.004\\0.3&1.212&1.217&0.005\\0.4&1.360&1.364&0.004\\0.5&1.554&1.559&0.005\\0.6&1.805&1.810&0.005\\0.7&2.131&2.136&0.005\\0.8&2.554&2.560&0.006\\0.9&3.102&3.107&0.006\\1.0&3.807&3.812&0.005\\\end{array}利用改进的欧拉方法求解微分方程得到的数值解如下：\begin{array}{cccc}t & y_{\text{exact}} & y_{\text{Improved Euler}} & \text{误差} \\\hline0.0&1.000&1.000&0.000\\0.1&1.035&1.035&0.000\\0.2&1.104&1.103&0.001\\0.3&1.212&1.211&0.001\\0.4&1.360&1.358&0.002\\0.5&1.554&1.552&0.002\\0.6&1.805&1.802&0.003\\0.7&2.131&2.126&0.005\\0.8&2.554&2.545&0.009\\0.9&3.102&3.086&0.015\\1.0&3.807&3.774&0.032\\\end{array}误差-步长曲线如下：实验结论：通过对比欧拉方法和改进的欧拉方法的数值解与解析解的误差，可以发现改进的欧拉方法具有更高的精度和收敛性。
微分方程数值方法实验报告
微分方程数值方法实验报告微分方程数值方法实验报告一、实验目的1、了解Euler法及梯形法的基本原理，能用其解决常微分方程初值问题，并把计算结果用图形表示出来。
2、理解4阶RK法基本计算步骤，能编程实现算法并解决相关常微分方程初值问题。
3、了解MATLAB主要功能和基本特征，熟悉MATLAB操作环境。
掌握MATLAB常用函数的使用以及图形处理。
二、实验题目对于初值问题u’=u,u(0)=1,在区间[0,1]上，用Euler法，梯形法及RK方法进行计算，取步长h=0.1,0.2,0.5，试比较(1)用同样步长，三种方法中哪一个精度最好;(2)对同一种方法一不同步长进行计算，哪一个结果最好。
三、实验内容1、步长为h=0.1时，用三种方法计算题目1)、MATLAB程序Euler法:>> a=0;b=1;h=0.1;N=(b-a)/h;y=zeros(N+1,1);y(1)=1;x=a:h:b;>> for i=2:N+1y(i)=y(i-1)+h*y(i-1);end求得:y = (1 1.1 1.21 1.331 1.4641 1.6105 1.7716 1.9487 2.1436 2.3579 2.5937)’梯形法:>> z=zeros(N+1,1);>> z(1)=1;>> for i=2:N+1v1=z(i-1);t=z(i-1)+h*v1;v2=t;z(i)=z(i-1)+h/2*(v1+v2);end1求得:z = (1 1.105 1.2205 1.3476 1.4873 1.641 1.8101 1.99622.2008 2.4258 2.6734)’RK法:>> w=zeros(N+1,1);>> w(1)=1;>> for i=2:N+1K1=w(i-1);K2=w(i-1)+K1*h/2;K3=w(i-1)+K2*h/2;K4=w(i-1)+K3*h;w(i)=w(i-1)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;end求得:w =(1 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 1.8221 2.01382.2255 2.4596 2.7183)’>> plot(x,y)>> hold on>> plot(x,z,':')>> plot(x,w,'--')>> plot(x,exp(x),'*')>> title('相同步长下三种方法与准确解的对比')>> legend('Euler法','梯形法','四阶RK法','准确解') 2)、图形对比相同步长下三种方法与准确解的对比2.82.62.42.221.81.6Euler法1.4梯形法四阶RK法1.2准确解1 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9123)、结果分析由图得出三种方法中四阶RK法经确度最高，梯形法次之，Euler法精确度最差。
微分方程数值解实验报告三
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parabolicFD(80,3200)
ans =
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微分方程数值解法实验报告
微分方程数值解法实验报告姓名： 班级： 学号：一：问题描述求解边值问题：()2(sin cos cos sin (0,1)(0,1)0,(,)x y u e x y x y G u x y G ππππππ+⎧⎫∆=+⎪⎪∈=⨯⎨⎬⎪⎪=∈∂⎩⎭（x,y) 其精确解为)sin()sin(),()(y x e y x u y x πππ+=问题一：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用Jacobi 迭代法，Gauss_Seidel 迭代法，SOR 迭代法（w=1.45）。
求解差分方程，以前后两次重合到小数点后四位的迭代值作为解的近似值，比较三种解法的迭代次数以及差分解)128/1,64/1)(,(=h y x u h 与精确解的精度。
问题二：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用单参数和双参数PR 法解差分方程，近似到小数点后四位。
与SOR 法比较精度和迭代步数。
问题三：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用共轭梯度法和预处理共轭梯度法解差分方程，近似到小数点后四位。
与SOR法与PR 法比较精度和迭代步数。
二．实验目的：分别使用五点差分法（Jacobi 迭代，Gauss_Seidel 迭代，SOR迭代），PR 交替隐式差分法（单参数，双参数），共轭梯度法，预共轭梯度法分别求椭圆方程的数值解。
三．实验原理：(1) Jacobi 迭代法设线性方程组(1)的系数矩阵A 可逆且主对角元素均不为零,令 并将A 分解成(2) 从而(1)可写成令其中. (3) 以为迭代矩阵的迭代法(公式)(4)称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为(5) 其中为初始向量. (2) Guass-Seidel 迭代法由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i 个分量时,已经b Ax =nn a ,...,a ,a 2211()nn a ,...,a ,a diag D 2211=()D D A A +-=()b x A D Dx +-=11f x B x +=b D f ,A D I B 1111--=-=1B ()()111f x B x k k +=+⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,...,i x a b a x n ij j )k (j j i i ii )k (i 21021111==∑-=≠=+()()()()()Tn x ,...x ,x x 002010=()k x ()1+k x ()1+k i x计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德（Gauss-Seidel ）迭代法.把矩阵A 分解成(6)其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 即其中(7)以为迭代矩阵构成的迭代法(公式)(8)称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为(3) SOR 迭代(4) 交替方向迭代法（PR 法）迭代格式为：()()1111+-+k i k x ,...,x 1+k ()1+k x ()1+k j x U L D A --=()nn a ,...,a ,a diag D 2211=U ,L --A ()b Ux x L D +=-22f x B x +=()()b L D f ,U L D B 1212---=-=2B ()()221f x B x k k +=+⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,,i x a x a b a x i j n i j )k (j ij )k (j ij i ii )k (i 21021111111==∑∑--=-=+=++Λ))1(()(1D R L D T ωωω-+-=-b )(1--=L D d ωωhu πμωcos )11/(22opt =-+=2121,,1,1,1,,122L L L L u u u L u u u j i j i j i j i j i j i +==+-=+-+-+-对于单参数PR 法，对于多参数，(5) 共轭梯度法 算法步骤如下： ［预置步］任意，计算，并令取：指定算法终止常数，置，进入主步；［主步］ （１）如果，终止算法，输出；否则下行；（２）计算：（３）计算：（４）置，转入（１）．(6) 预共轭梯度法b uL I uL I b u L I uL I k k k k k k k k k k ττττττ+-=++-=++++211122211)()()()(hh optπτsin 22=2sin a ....2,1)11(421k 221h k a h k πρρτ==+-=--其中［预置步］任意，计算，并令取：指定算法终止常数，置，进入主步；［主步］（１）计算：，（２）如果，转入（3）．否则，终止算法，输出计算结果（３）计算：（４）置，转入（1）注：在算法［主步］中，引入变量，及，可以简化计算。
微分方程数值解实验报告
微分方程数值解实验报告微分方程数值解实验报告一、引言微分方程是数学中一类重要的方程，广泛应用于各个科学领域。
在实际问题中，往往难以得到微分方程的解析解，因此需要借助数值方法来求解。
本实验旨在通过数值解法，探索微分方程的数值解及其应用。
二、数值解法介绍常用的微分方程数值解法有欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
在本实验中，我们将采用改进欧拉法进行数值解的求取。
改进欧拉法是一种一阶的显式迭代法，其基本思想是将微分方程的导数用差商来近似表示，并通过迭代逼近真实解。
具体迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} \cdot f(x_n, y_n))\]其中，\(y_n\)表示第n步的近似解，\(h\)表示步长，\(f(x_n, y_n)\)表示微分方程的导数。
三、实验步骤1. 确定微分方程及初始条件在本实验中，我们选择经典的一阶常微分方程：\[y' = -2xy\]并给定初始条件\(y(0) = 1\)。
2. 设置步长和迭代次数为了得到较为准确的数值解，我们需要合理选择步长和迭代次数。
在本实验中，我们将步长设置为0.1，迭代次数为10。
3. 迭代计算数值解根据改进欧拉法的迭代公式，我们可以通过编写计算程序来求解微分方程的数值解。
具体计算过程如下：- 初始化：设定初始条件\(y_0 = 1\)，并给定步长\(h = 0.1\)。
- 迭代计算：使用改进欧拉法的迭代公式，通过循环计算得到\(y_1, y_2, ...,y_{10}\)。
- 输出结果：将计算得到的数值解输出，并进行可视化展示。
四、实验结果与分析通过以上步骤，我们得到了微分方程的数值解\(y_1, y_2, ..., y_{10}\)。
将这些数值解进行可视化展示，可以更直观地观察到解的变化趋势。
根据实验结果，我们可以发现随着迭代次数的增加，数值解逐渐逼近了真实解。
偏微分方程数值解上机实验报告(matlab做的)
偏微分方程数值解法上机报告（一）一、实验题目：用Ritz-Galerkin 方法求解边值问题2u '',01(0)0,(1)1u x x u u ⎧-+=<<⎨==⎩的第n 次近似()n u x ，基函数()sin(),1,2,...,i x i x i n ϕπ==.二、实验目的：通过本次上机实验，理解求解初值问题的变分问题的最重要的近似解法——Ritz-Galerkin 方法，以便为学习有限元法打好基础。
此外，要熟悉用Matlab 解决数学问题的基本编程方法，提高运用计算机解决问题的能力。
三、实验代码：n=5;syms x;for i=1:np(i)=sin(i*pi*x);q(i)=-i^2*pi^2*sin(i*pi*x);endfor i=1:nb(i)=2*int(p(i),0,1);for j=1:nA(i,j)=int((-q(j)+p(j))*p(i),0,1);endendt=inv(A)*b'四、运行结果：t=2251799813685248/3059521645650671/pi281474976710656/9481460623939047/pi281474976710656/43582901062631895/pi五、总结：通过本次上机，我了解了Ritz-Galerkin 方程 n j j p f cj p i p a n i i ,...,2,1)),(,())(),((1==∑=，明白了用Ritz-Galerkin 方法解决边值问题的变分问题的基本原理，并接近一步提高自己的编程动手能力，受益匪浅。
偏微分方程数值解法上机报告（二）一、 实验题目：用线性元求下列边值问题的数值解2''2sin ,0142(0)0,'(1)0y y x x y y ππ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩二、 实验目的：通过本次上机，熟悉和掌握用Galerkin 法观点出发导出的求解处置问题数值解的线性有限元法。
计算方法实验报告-常微分方程的数值解法
15.1000 50.1224 50.1224
15.2000 50.1332 50.1332
15.3000 50.1436 50.1436
15.4000 50.1535 50.1535
disp([T',V',df']);
%画图观察效果
figure;
plot(T,df,'k*',T,V,'--r');
grid on;
title('速度v与时间t的函数曲线');
legend('准确值','四阶经典R-K法');
结果如下所示：
步长四阶经典R-K法准确值
0 0 0
0.1000 0.9799 0.9799
5.9000 41.1708 41.1708
6.0000 41.4919 41.4919
6.1000 41.8028 41.8028
6.2000 42.1039 42.1039
6.3000 42.3954 42.3954
6.4000 42.6775 42.6775
6.5000 42.9504 42.9504
11.5000 49.2667 49.2667
11.6000 49.3097 49.3097
11.7000 49.3511 49.3511
11.8000 49.3909 49.3909
11.9000 49.4292 49.4292
12.0000 49.4661 49.4661
12.1000 49.5016 49.5016
（2）某跳伞者在t=0时刻从飞机上跳出，假设初始时刻的垂直速度为0，且跳伞者垂直下落。已知空气阻力为F=cv2，其中c为常数，v为垂直速度，向下方方向为正。写出此跳伞者的速度满足的微分方程；若此跳伞者的质量为M=70kg，且已知c=0.27kg/m，利用四阶龙格-库塔公式计算t<=20s的速度（取h=0.1s）
微分方程数值解法实验报告
微分方程数值解法实验报告实验题目：数值解微分方程的实验研究引言：微分方程是描述自然现象、科学问题和工程问题中变量之间的关系的重要数学工具。
然而，大部分微分方程很难找到解析解，因此需要使用数值方法来近似求解。
本实验旨在研究数值解微分方程的方法和工具，并通过实验验证其有效性和准确性。
实验步骤：1.了解微分方程的基本概念和求解方法，包括欧拉法、改进的欧拉法和龙格-库塔法。
2. 配置实验环境，准备实验所需的工具和软件，如Python编程语言和相关数值计算库。
3.选择一种微分方程进行研究和求解，可以是一阶、二阶或更高阶的微分方程。
4.使用欧拉法、改进的欧拉法和龙格-库塔法分别求解选定的微分方程，并比较其结果的准确性和稳定性。
5.计算数值解与解析解之间的误差，并进行误差分析和讨论。
6.对比不同数值解法的性能，包括计算时间和计算精度。
7.结果展示和总结，根据实验结果对数值解方法进行评价和选取。
实验结果：以一阶线性常微分方程为例，我们选择经典的“衰减振荡”问题进行实验研究。
该问题的微分方程形式为：dy/dt = -λy其中，λ为正实数。
我们首先使用Python编程语言实现了欧拉法、改进的欧拉法和龙格-库塔法。
进一步，我们选择了λ=0.5和初始条件y(0)=1，使用这三种数值解法求解该微分方程，并比较结果的准确性。
通过对比数值解和解析解可以发现，在短时间内，欧拉法、改进的欧拉法和龙格-库塔法的结果与解析解非常接近。
但随着时间的增加，欧拉法的结果开始偏离解析解，而改进的欧拉法和龙格-库塔法仍然能够提供准确的近似解。
这是因为欧拉法采用线性逼近的方式，误差随着步长的增加而累积，而改进的欧拉法和龙格-库塔法采用更高阶的逼近方式，可以减小误差。
为了更直观地比较不同方法的性能，我们还计算了它们的计算时间。
实验结果显示，欧拉法计算时间最短，而龙格-库塔法计算时间最长。
这表明在计算时间要求较高的情况下，可以选择欧拉法作为数值解方法。
常微分方程的数值解法实验报告
常微分方程的数值解法实验报告实验报告：常微分方程的数值解法摘要：常微分方程（ODE）是描述动力学系统中物理量随时间变化的数学方程，广泛应用于自然科学和工程领域。
然而，对于一些复杂的非线性ODE，很难找到解析解。
因此，我们需要数值解法来求解这些方程。
本实验报告将介绍四种常见的常微分方程数值解法，分别是欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法和自适应步长的龙格-库塔法，并通过数值实验比较它们的精度和效率。
1.引言在实际问题中，许多物理量的变化规律可以由常微分方程描述。
然而，对于复杂的非线性ODE，很难找到解析解。
因此，为了解决这类问题，我们需要借助数值方法来求解。
2.方法本实验采用四种常见的常微分方程数值解法：欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法和自适应步长的龙格-库塔法。
（1）欧拉法是最简单的数值解法，通过将微分方程转化为差分方程，使用离散的步长来近似微分方程。
（2）改进的欧拉法在欧拉法的基础上进行了改进，使用预估-校正的方法来提高精度。
（3）四阶龙格-库塔法是一种经典的数值解法，通过利用不同步长处的斜率来近似微分方程，具有较高的精度。
（4）自适应步长的龙格-库塔法是在四阶龙格-库塔法的基础上改进而来的，根据步长的大小自适应地选择不同的步长，同时保证精度和效率。
3.实验设计为了比较这四种数值解法的精度和效率，我们设计了两个实验。
实验一是求解一阶常微分方程：dy/dx = -2x，初始条件y(0) = 1，解析解为y = 1 - x^2、实验二是求解二阶常微分方程：d^2y/dx^2 + y = 0，初始条件y(0) = 0，dy/dx(0) = 1，解析解为y = sin(x)。
4.结果与分析实验一中，比较四种数值解法在不同步长下的近似解和解析解，计算其误差。
实验结果表明，四阶龙格-库塔法和自适应步长的龙格-库塔法具有较高的精度，而欧拉法和改进的欧拉法的精度较低。
实验二中，我们比较四种数值解法在不同步长下的近似解和解析解，并计算其误差。
微分方程的数值计算报告
微分方程的数值计算******1. 实验描述微分方程指含有自变量，自变量的未知函数及其导数的等式, 是常微分方程和偏微分方程的总称。
科学和工程中建立数学模型时经常用到,由于他们通常没有已知的解析解,因而需要求其数值近似解。
求解微分方程的方法有很多，如欧拉方法，修恩方法，泰勒方法，龙格-库塔方法，亚当斯-巴什福斯-莫尔顿方法等等。
2. 实验内容在区间[0,0.95]上，y’=2ty 2，y(0)=1，y(t)=1/(1-t 2)，另外y(0.05)=1.0025063，y(0.10)=1.0101010，y(0.15)=1.0230179。
（设h=0.1） 要求：1.用欧拉方法计算。
2.用修恩方法计算。
3.用4次泰勒方法计算；4.用4阶龙格-库塔方法计算。
5.用亚当斯-巴什福斯-莫尔顿方法计算。
6.计算和分析各算法的误差。
3. 实验结果及分析欧拉方法：设[a,b]为求解良态初值问题32',(0)0y t y y =+=，首先将[a,b]划分为M 个等距子区间，并选择网格点k t b kh =+ k=0,1,⋯，M 其中b ah M-= (1) 值hewing 步长。
然后近似求解'(,)y f t y = 在0[,]M t t 上， 00()y t y = (2)设y(t)，y ’(t)和y ’’(t)连续，利用泰勒定理将y(t)在0t t =处展开，对每个值t ，存在一个t0和t 自己的值c1，使得()()210000''()()()()'2y c t t y t y t y t t t -=+-+ (3)将000'()(,())y t f t y t =和10h t t =-代入式（3）中，得到y(t1)的表式：()210001()(,())''()2h y t y t hf t y t y c =++ (4)如果步长h 足够小，则可以忽略2次项，得到1000(,)y y hf t y =+(5)这就是欧拉近似。
微分方程数值解法实验报告-Runge-Kutta格式、三阶Admas
《微分方程数值解法》课程实验报告1 实验内容要求：用经典三级三阶R-K 格式求解微分方程初值问题，并给出误差分析。
2算法描述先用C 的方法写出一个算法动态库,里面封装龙格库塔算法函数采用迭代原理，用递归实现,生成并模块化导出dll,lib 文件,两个文件中均包含了该函数偏移地址,在在源文件中隐式链接该库里的龙格库塔函数,从而得出结果.3 实验数据与实验结果 ⎩⎨⎧=-+-==1|1'0x y x y y1.0)1,0(=∈h x4 程序代码清单：Win32动态库Algorithm.dll 代码: #include <stdio.h> #include <math.h>#define e 2.718281828459045double x[11]={0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0}; double y[12]={1.0,0}; int x1=0,x2=1; int count=1;void RungeKutta(double h){ double K1,K2,K3; double ExactSolution; double Error; if(count==12){ return; } K1=-y[count-1]+x[count-1]+1; K2=-(y[count-1]+h*K1/3)+(x[count-1]+h*K1/3)+1; K3=-(y[count-1]+2*h*K2/3)+(x[count-1]+2*h/3)+1; y[count]=y[count-1]+h*(K1+3*K3)/4; ExactSolution=x[count-1]+pow(e,-x[count-1]); Error=y[count-1]-ExactSolution; printf("%lf %lf %lf %lf\n",x[count-1],ExactSolution,y[count-1],Error);count++; RungeKutta(h); }模块化导出文件Algorithm.def代码:LIBRARY AlgorithmEXPORTSRungeKutta @1入口函数实现功能代码:#include <stdio.h>#pragma comment(lib,"../lib/Algorithm.lib")int main(){double h;printf("用三级三阶龙贝格库塔方法解微分方程y'=x-y+1,x属于区间(0,1)\n");printf("请输入系数h的值:\n");scanf("%lf",&h);printf("-----------------------------------------------------\nx 精确解 R-k解yn 误差:\n");RungeKutta(h);return 0;}5:运行结果:1 实验内容要求：用三阶Admas 预报修正格式求解差分方程初边值问题。
微分方程数值方法实验报告
一、实验题目（1）用Ritz-Galerkin 方法求解边值问题)10(0)1()0(''<<⎩⎨⎧==-=+x u u x u u精确解x xu -=1sin sin * （2）用有限元方法求解⎩⎨⎧==+=+-0)1()0()sin()1(2''u u x u u ππ)sin(*x u π= 二、实验目的运用MATLAB 数学软件编写Ritz-Galerkin 方法和有限元方法程序，进一步熟悉MATLAB的应用及掌握偏微分方程数值方法中Ritz-Galerkin 方法和有限元方法，对各个方法求解精度进一步明确。
三、实验原理（1）Ritz-Galerkin 方法Ritz 方法设给出二次泛函),(,21)(v F v v A v J -=）（ （1）其中）（v v A ,是Hilbert 空间V 上的双线性泛函，而且满足对称性、有界性、正定性；)(v F 是V 上的有界线性泛函。
考虑一下变分问题：V v ∈求满足).(min )(v J u J Vv ∈= （2）设Hilbert 空间V 是可分的，即V 中有可数多个元素构成一个稠密集。
在V 中取N 个线性无关的元素N ϕϕϕ,...,,21，他们张成一个N 维子空间N S ，即},...,;|{11为实数N Ni i i N c c c v v S ∑===ϕ,或记成},...,,{21N N span S ϕϕϕ=。
（3）上述元素N ϕϕϕ,...,,21称为空间N S 的基.用N S 代替V ，在NS 上求泛函)(u J 的极小，即求NN S u ∈满足).(min )(v J u J NS v N ∈= (4)显然，原先的变分问题（2）与后面的变分问题（4）是不同的，他们的解Nu u 与也是不同的。
如果V 的子空间NS 充分接近V ，那么，用NS 代替V 而得到的解Nu 也就充分接近u ，从而把Nu 作为原变分问题的近似解，亦即把无穷维空间V 中的极值问题近似为有限维空间NS 中的极值问题，这就是Ritz 方法得基本思想。
实验八 常微分方程初值问题数值解法报告
实验八 常微分方程初值问题数值解法一、基本题科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要利用Euler 法，改进Euler 法，Rung-Kutta 方法求其数值解，诸如以下问题：（1） ()⎪⎩⎪⎨⎧=-='004y xy y x y 20≤<x分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。
初值问题的精确解245x y e -=+。
（2） ()⎩⎨⎧=--='0122y y x y 01≤≤-x用r=3的Adams 显式和预 - 校式求解取步长h=0.1，用四阶标准R-K 方法求值。
（3）()()()100010321331221==-='⎪⎩⎪⎨⎧-='-='='y y y y y y y y y 10≤≤x用改进Euler 法或四阶标准R-K 方法求解取步长0.01,计算(0.05),(0.1y y y 数值解，参考结果 123(0.15)0.9880787,(0.15)0.1493359,(0.15)0.8613125y y y ≈-≈≈。
（4）利用四阶标准R- K 方法求二阶方程初值问题的数值解（I ）()()⎩⎨⎧='==+'-''10,00023y y y y y 02.0,10=≤≤h x(II)()()()⎩⎨⎧='==+'--''00,10011.02y y y y y y 1.0,10=≤≤h x(III)()()⎪⎩⎪⎨⎧='=+='00,101y y e y y x 1.0,20=≤≤h x(IV)()()⎩⎨⎧='==+''00,100sin y y y y 2.0,40=≤≤h x二、应用题1. 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。
火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。
7.2.1-微分方程数值解实验
实验：微分方程数值解1、实验目的了解微分方程初值问题的数学模型，掌握使用MATLAB 求解常微分方程的数值方法，学会归纳不同参数和仿真之间的规律。
2、实验的基础MATLAB 求常微分方程初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩数值方法是先创建函数文件,用以描述微分方程右端二元函数,然后用ode23()求出数值解。
常微分方程组初值问题一阶常微分方程组初值问题数值求解方法[T,y] = ode23(' F ',Tspan,y 0)其中, F 是函数文件,表示微分方程右端函数Tspan = [t 0Tfinal] ——求解区域;y 0——初始条件注: 函数F(t,y) 必须返回列向量.数值解y 的每一行对应于列向量T 中的每一行数据00(,)()dy f t y t t dt y t y ⎧=≥⎪⎨⎪=⎩例1马尔萨斯模型,以1994 年我国人口为12亿为初值，求解常微分方程N (t )表示人口数量,取人口变化率r =0.015,微分方程ode23('fun1',[1994,2020],12)[T,N]=ode23('fun1',[1994,2020],12)199019952000200520102015202012141618命令窗口→function z=fun1(t,N)z=0.015*N; 编辑窗口→0.015dN N dt =(1994)12N =3、微分方程数值解实验：捕食者与被捕食者问题一、实验内容假设有足够多的青草供野兔享用，而狐狸仅以野兔为食物。
x为野兔数量，y表示狐狸数量。
假定在没有狐狸的情况下，野兔增长率为100%.如果没有野兔，狐狸将被饿死，死亡率为100%。
狐狸和野兔相互作用的关系是，狐狸的存在使野兔受到威胁，且狐狸越多野兔增长受到阻碍越大，设野兔数量的负增长系数为0.015.而野兔的存在又为狐狸提供食物，设狐狸数量的增长与野兔的数量成正比，比例系数为0.001.数学模型为计算x (t )，y (t )当t ∈[0，20]时的数据。
微分方程数值解法实验2
,nn a 均不为零，,)nn a ，并将)D D -+ ，令1x B x =,,0,1,2,n k =(0),)Tn x 为初始向量。
,)nn a ，）可以写成()D L -2(B D =为迭代矩阵构成的迭代法,,0,1,2,n k =112()((1))()2/(11)cos D L R D D L bu hϖϖϖϖϖμπ---+--=+-=解法的迭代次数以及差分解(,)(1/64,1/128)h u x y h =与精确解()(,)sin sin x y u x y e x y πππ+=的精度。
2.在MATLAB a R 2014软件上编写代码；3.运行得出结论。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1.分析问题。
2.在MATLAB a R 2014上编写代码，调试。
3.运行代码，发现问题后改进代码。
4.分别输入n 值为64和128，得出结论。
【实验结论】（结果）n=64时: 1.Jacobi 迭代 迭代次数 i =78112.Guass-Seidel 迭代 迭代次数 i =42113.SOR 超松弛法 迭代次数 i =121n=128时：1.Jacobi迭代迭代次数i =200012.Guass-Seidel迭代迭代次数i =156603.SOR超松弛法迭代次数i =242【实验小结】（收获体会）通过本次实验，掌握了求解Poisson方程第一边值问题的五点差分格式，比较了三种解法的迭代次数以及差分解与精确解的精度，更加熟悉的掌握了利用MATLAB求解数学问题的方法。
附录1：源程序附录2：实验报告填写说明1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
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微分方程数值解法实验报告
姓名：
班级：
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一：问题描述
求解边值问题：
()2(sin cos cos sin (0,1)(0,1)0,(,)x y u e x y x y G u x y G ππππππ+⎧⎫∆=+⎪⎪∈=⨯⎨⎬⎪⎪=∈∂⎩⎭
（x,y) 其精确解为)sin()sin(),()(y x e y x u y x πππ+=
问题一：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用Jacobi 迭代法，Gauss_Seidel 迭代法，SOR 迭代法（w=1.45）。
求解差分方程，以前后两次重合到小数点后四位的迭代值作为解的近似值，比较三种解法的迭代次数以及差分解)128/1,64/1)(,(=h y x u h 与精确解的精度。
问题二：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用单参数和双参数PR 法解差分方程，近似到小数点后四位。
与SOR 法比较精度和迭代步数。
问题三：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用共轭梯度法和预处理共轭梯度法解差分方程，近似到小数点后四位。
与SOR 法与PR 法比较精度和迭代步数。
二．实验目的：
分别使用五点差分法（Jacobi 迭代，Gauss_Seidel 迭代，SOR 迭代），PR 交替隐式差分法（单参数，双参数），共轭梯度法，预共轭梯度法分别求椭圆方程的数值解。
三．实验原理：
(1) Jacobi 迭代法
设线性方程组
(1)
的系数矩阵A 可逆且主对角元素均不为零,令 b Ax =nn a ,...,a ,a 2211。