高中数学 第二章 向量在物理中的应用举例例题讲解素材 北师大版必修4

向量在物理中的应用举例

向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念.物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决.用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．

１．解决力学问题

例1 质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对于物体的摩擦力和支持力的大小．

解：如图1，物体受三个力：重力G （竖直向下，大小为mg

Ｎ），斜面对物体的支持力F （垂直于斜面，向上，设其大小为F Ｎ），摩擦力f （与斜面平行，向上，大小为f Ｎ）．

由于物体静止，故这三个力平衡，合力为0，

即G F f ++=0． ①

记垂直于斜面向下、大小为1N 的力为e 1，与斜面平行向下、大小为1N 的力为2e ，以e 1，e 2为基底，则()()F F f f =-=-00，，，，由e 1旋转到G 方向的角为θ，则

=G (cos sin )θθ，mg mg ． 由①得过且过++=G F f （cos θ-mg F ，sin θ-mg f ）(00)=，

， cos mg θ∴-F 0=，sin θ-mg f 0=， 故F cos mg θ=，f sin mg θ=．

例2 有两根柱子相距20m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连结一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2m ，求此时绳子所受的张力．

解：如图2所示，设重力作用点为C ，绳子AC BC ，所承受

的力分别记为CE CF ，

，重力记为CG ．由C 为绳子的中点知CE CF

=

．

由CE CF CG +=，知四边形CFGE 为菱形．

又cos cos 0.02FCG DCB ∠=∠=≈， 18.92445cos 0.02

CG CE CF FCG ∴====∠． 即绳子所受的张力为445N ．

2．解决与位移、速度有关的问题

例3 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30，风速为4m/s ，这时气象台报告实际风速为2m/s ．试求风的实际方向和汽车的速度大小．

分析：这是一个需要用向量知识解决的物理问题，因此，先要用物理概念建立解题意向，再使用向量形象描述，进而分析题意，创建数学模型，最后利用解直角三角形的技巧把问题解决．

解：依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地．

风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地=v 风车+v 车地． 如图3，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v 风地的有向线段AD 是

ACDB 的对角线．

4m/s AC =，302m/s ACD AD ∠==，，

90ADC ∴∠=． 在Rt ADC △

中，cos3023(m/s)DC AC ==·．

即风向的实际方向是正南方向；汽车速度的大小为

．

例4 一位模型赛车手摇控一辆赛车，向正东方向前进1米，逆时针方向转弯α度，继续按直线向前行进1米，再按逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此法继续操作

下去．

（1） 作图说明，当45α=时，操作几次赛车的位移为0．

（2） 若按此操作赛车能回到出发点，α应满足什么条件，请写出其中两个．

解：（1）作图，如图4，赛车位移路线构成一个正八边形．

赛车所行路程为8米，操作8次赛车的位移为0．

（2）若按此法操作n 次赛车能回到出发点，则操作n 次赛车的位

移为0，赛车位移路线构成一个正n 边形，由平面几何知识，360

n α

=（多边形外角和定理），360

(3)n n n α*∴=∈N 且≥． 若60α=，则6n =，即操作6次可回到起点．

若15α=，则24n =，即操作24次可回到起点．

评注：本题是向量位移的应用，培养了同学们动手操作绘图能力，分析问题及解决问题的能力．