循环码实验报告

课程名称：信息论与编码

课程设计题目：循环码的编码和译码程序设计指导教师：

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成绩：评阅人：

一、实验目的：

1、通过实验了解循环码的工作原理。

2、深刻理解RS 码构造、RS 编译码等相关概念和算法。

二、实验原理

1、RS 循环码编译码原理与特点

设C 使某

线性分组码的码字集合，如果对任C c c c C n n ∈=--),,,(021 ，它的循环移位),,,(1032)1(---=n n n c c c c C 也属于C ，则称该

码为循环码。 该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。其特点是：（1）可以用反馈移位寄存器很容易实现编码和伴随式的计算；（2）由于循环码有很多固有的代数结构，从而可以找到各种简单使用的译码办法。

如果一个线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n 元组

},,,{110-=n c c c c 是子空间S 的一个码字，则经过循环移位得到的},,,{201)1(--=n n c c c c 也同样是S 中的一个码字；或者，一般来说，经过j 次循环移位后得到的

},,,,,,,{11011)(---+--=j n n j n j n j c c c c c c c 也是S 中的一个码字。

RS 码的编码系统是建立在比特组基础上的，即字节，而不是单个的0和1，因此它是非二进制BCH 码，这使得它处理突发错误的能力特别强。

码长：12-=m

n

信息段：t n k 2-= （t 为纠错符号数）

监督段：k n t -=2

最小码段：12+=t d

最小距离为d 的本原RS 码的生成多项式为：g(x)=(x-α)(x -α2)(x -α3)…(x -αd -2)

信息元多项式为：：m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk -1xk-1

循环码特点有：

1）循环码是线性分组码的一种，所以它具有线性分组的码的一般特性，且具有循环性，纠错能力强。

2）循环码是一种无权码，循环码编排的特点为相邻的两个数码之间符合卡诺中的邻接条件，即相邻数码间只有一位码元不同，因此它具有一个很好的优点是它满足邻接条件，没有瞬时错误（在数码变换过程中，在速度上会有快有慢，中间经过其他一些数码形式，即为瞬时错误）。

3）码字的循环特性，循环码中任一许用码经过牡环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。

对所有的i=0,1,2,……k -1，用生成多项式g(x)除n k i x -+，有：

)()()(x b x g x a x

i i i k n +=+- （2—7） 式中)(x b i 是余式，表示为：

0,1,11,)(i i k n k n i i b x b x b x b ++=---- （2—8） 因此，)(x b x i k n ++-是g(x)的倍式，即)(1x b x i k n ++-是码多项式，由此得到系统形式的生成矩阵为：

(2—9)

它是一个k ⨯n 阶的矩阵。

同样，由G ⨯T H =0可以得到系统形式的一致校验矩阵为：

（2—10）

已知（7，4）循环码的生成多项式和校验多项式分别为：1)(3++=x x x g ，1)(24+++=x x x x h 。写得其生成矩阵和校验矩阵分别为：

2、编码原理：

有信息码构成信息多项式

011)(m x m x m k k ++=-- ，其中最高幂次为k-1； 用k n x -乘以信息多项式m(x)，得到的)(x m x k n -，最高幂次为n-1，该过程相当于把信息码⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101000011010000110100001101G ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101110001011100010111H ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------------0,01,01,00,1,21,20,11,11,10000010001b b b b b b b b b G k n x k k k n k k k k n k ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------------1000100010,00,20,11,01,21,11,01,21,1 b b b b b b b b b H k k k k k n k n k k n k

（1-k m ，2-k m ，……，1m ，0m ）移位到了码字德前k 个信息位，其后是r 个全为零的监督位；

用g(x)除)(x m x k n -得到余式r(x),其次数必小于g(x)的次数，即小于（n-k ），将此r(x)加于

信息位后做监督位，即将r(x)于

)(x m x k n -相加，得到的多项式必为一码多项式。

1）有信息码构成信息多项式m(x)=m k-1x k-1+``````m 0

其中高幂次为k-1。

2）用x n-k 乘上信息多项式m(x)，得最高幂次为n-1，做移位。

3）用g(x)除x n-k m(x)和到余式r(x)。

编码过程流程图：

3、译码原理：

1） 有接收到的y(x)计算伴了随式s(x)。

2） 根据伴随式s(x)找出对应的估值错误图样。

3） 计算c^(x)=y(x)+e^(x)，得估计码字。若c^(x)= c(x)，则译码正确，否则错误。

否 由于g(x) 的次数为n - k 次，g(x) 除E(x) 后得余式（即伴随式）的最高次数为n-k-1次，故S(x) 共有2n-k 个可能的表达式，每一个表达式对应一个错误格式。可以知道(7,4）循环码的S(x) 共有2(7-4) = 8个可能的表达式，可根据错误图样表来纠正(7,4）循环码中的一位错误。

解码过程流程图：

4、纠错能力：

由于循环码是一种线性分组码，所以其纠检错能力与线性分组码相当。而线性分组码的最小距离可用来衡量码的抗干扰能力，那么一个码的最小距离就与它的纠检错能力有关。

初始化

由R(x)确定S(x)： S(x)=0，无误码误由S(x)确定错误图样E(x) 纠错)()()(X R X E x c += 存储c(x)