线性代数练习册-答案
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第一章 行列式习题答案
二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案
1.计算下列二阶行列式 （1）
23112
=； （2）
cos sin 1sin cos θθθ
θ
-=；
（3）
111112122121
2222
a b a b a b a b ++++112211221122
1122a a a b b a b b
1221
122112211221a a a b b a b b （4）
11121112
21222122
a a
b b a a b b +
1122
1122
1221
1221a a b b a a b b
2.计算下列三阶行列式
（1）103
12
126231-=--；
(2)11
1213222332
33
a a a a a a a 112233
112332
a a a a a a 1122332332a a a a a
（3）a c b
b
a c
c b a
3
3
3
3a b c abc
3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235.
123t 112217t
（3）()
()()
123225
24212n n n n ---
当n 为偶数时，2n
k ，排列为
143425
2122
21
223
412
k k k k k k
k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2
2
(1)
1
3
1
31
42
n k
k
k
k
k k
n
其中11(1)(1)k k 为143425
2122k k k k --+的逆序
数；k 为21k
与它前面数构成的逆序数；(1)
(2)
21k k
为
23,25,
,2(21)k k k
k 与它们前面数构成的逆序数的和；
113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k
与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21n
k ，排列为
142345
2122
23
225
412
k k k k k k
k k ++++++1122t k k
(1)21k k 2
2
1
3
32
3432n k
k
k
k
k k
n
其中1122k k 为142345
2122k k k k +++的逆序数；
(1)21k k 为23,25,
,2(21)k k
k
k 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22,
,2k k
与它们前面数构成的逆序数的
和.
4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5i
j
，()()23162431655t i j t ==为奇排列.
5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a -
6.按定义计算下列行列式：
（1）
0001
002003004000(4321)
(1)
2424
（2）
00
000000000
a c d
b (1342)
(1)
abcd abcd
7. 求1230312
()1231
22x x f x x x
x
-=
的展开式中4x 和3
x 的系数.
4x 的系数为6；含3x 的项只有(4231)(1)(3)3t x x x ，所以3x 的系数为
(4231)(1)3(3)11
9t
行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式：
（1）200819861964
200919871965201019881966
；
解：3221
20081986196411101
11
r r r r D
(2)
1
231231
2
3
111a a a a a a a a a +++；
解：2312
32
32
3
1(1
)111
1
a a D a a a a a a a 各列加到第一列后提取公因式
2131
2
31
2
331(1)0
10
1
r r r r a a a a a a 1
2
3(1)a a a
（3）41
2320132011160116011101110310
2
3
500r r D
213
31
4
116
116(1)11102
7
3
50
818
r r r 20