(专升本)高数之导数与微分
专升本高数知识点汇总
专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。
以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。
周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。
有界性则是指函数的值域在某个范围内。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。
5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。
无穷小的性质在极限计算中经常用到。
二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。
3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
5、复合函数求导通过链式法则进行求导。
6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。
7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
202四川专升本高数考纲
202四川专升本高数考纲2024年四川专升本高数考纲一、复习重点1. 函数与极限在高数考试中，函数与极限是一个重要的考察内容。
需要掌握函数的性质和图像，以及极限的定义和计算方法。
理解函数的极限可以帮助我们更好地理解数学中的变化规律。
2. 导数与微分导数是微积分的重要概念之一，也是高数考试中的重点内容。
需要掌握导数的定义、性质和计算方法，以及应用导数解决实际问题的方法。
3. 积分与不定积分积分是微积分的另一个重要概念，需要掌握积分的定义、性质和计算方法。
特别是不定积分的计算方法，需要熟练掌握积分表和常用的积分公式。
4. 微分方程微分方程是数学中的一个重要分支，也是高数考试的一个难点。
需要掌握不同类型的微分方程的解法和应用，以及常见的一阶线性微分方程和二阶齐次线性微分方程的解法。
二、备考建议1. 制定合理的复习计划考试前，制定一个合理的复习计划是非常重要的。
可以按照考纲的内容，制定每天的复习任务，并合理安排时间。
同时，要注意合理安排休息时间，保证精力充沛。
2. 多做练习题高数考试的题目类型比较多样化，需要通过大量的练习来熟悉各种题型和解题思路。
可以选择一些经典教材或试题集，多做一些典型的题目，并及时总结和归纳解题方法。
3. 注意归纳总结在复习过程中，要注意归纳总结，将知识点和解题方法进行分类整理。
可以制作一份复习笔记，将重要的知识点和解题方法进行整理和总结，方便日后的复习和回顾。
4. 合理安排时间考试时间有限，所以要合理安排时间，不要在一道题上花费过多的时间。
可以根据题目的难易程度，合理安排解题顺序，先解易题后解难题，提高解题效率。
5. 自信心与冷静心态备考阶段，要保持积极的心态，相信自己的能力，不要过分焦虑和紧张。
遇到难题时，要保持冷静，采取合理的解题思路，不要惊慌失措，相信自己能够解决问题。
通过合理的复习规划和科学的备考方法，相信大家一定可以顺利应对2024年四川专升本高数考试。
希望大家都能取得好成绩！。
专升本高数数学第二章导数与微分
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率。
详细描述
函数在某一点的导数等于该点处切线的斜率。如果函数在某点可导，那么在该点处一定存在切线，并且切线的斜 率就是函数的导数值。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量变化率的重要工具。
详细描述
在物理学中，许多物理量的变化率都可以用导数来描述。例如，速度是位置函数的导数，加速度是速 度函数的导数等。通过导数的计算，可以深入了解物理量的变化规律和性质。
微分的物理意义是函数值随自变量变化的速率。
02
在物理量中，速度、加速度、角速度等都是微分的应
用，它们都是描述物理量随时间变化的速率。
03
微分可以用来解决物理中的一些问题，如求瞬时速度
、加速度等。
04 导数与微分的应用
CHAPTER
导数在几何中的应用
切线斜率
导数可以用来求曲线上某一点的 切线斜率，从而了解曲线在该点 的变化趋势。
专升本高数数学第二章导数与 微分
目录
CONTENTS
• 导数概念 • 导数的运算 • 微分概念 • 导数与微分的应用
01 导数概念
CHAPTER
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要概念。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的 斜率，即函数在该点附近的小范围内 变化的速度。导数的计算公式为极限 lim(x->0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx，其中 Δx是自变量的增量。
解的精度。
无穷小分析
03
微分是无穷小分析的基础，可以用来研究函数在无穷小情况下
的性质和变化趋势。
谢谢
专升本高数数学第二章导数与微分
例. 见 P53 页例4，5，6
例 求函数 y (x 1)(x 2) (x 4) 的导数.
(x 3)(x 4)
解： 两边取对数，得
ln y 1 [ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)], 2
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右
导数 f( x0 )都存在且相等.
在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式 可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。
x { f [(x)]} 表示复合函数对自变量
求导
f [(x)] 表示复合函数对中间变量 (x) 求导
例求下列函数的导数
y cos ln(1 x)
例 设 y ln(arcsinx) ，求 y' .
解
y 1 (arcsin x) 1 1
1
.
arcsin x
arcsin x 1 x2 1 x2 arcsin x
x0
lim f (x) f (0)
x sin 1 lim x
lim sin 1
x0 x 0
x0 x
x0
x
因为limsin 1 不存在
x0
x
f ( x)在x 0处不可导.
练习：P43页第7题
5、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C ) 0
(sin x) cos x
f (x0
安徽专升本 高数讲义 第二章导数与微分第四讲
4
(2) y x e x x e x
e x xe x 1 x e x
y 1 x e x 1 x e x
e x (1 x )e x 2 x e x
(3) y arctan x
x
y e x sin( x y ) x
x x y e y e cos( x y ) x y 1
y e x y e x cos( x y) x y 1
y e x y e x cos( x y ) y cos( x y ) 1
1 1 x2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x 2 ) 2
2. 设
y a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an , 求y ( n ) .
解 y' na0 x n 1 (n 1)a1 x n 2 (n 2)a2 x n 3 an 1 ,
y 0 2e0 cos0 2
作
业
一、计算下列各函数的二阶导数：
1. 2 x3 x 4 y x
2. y x arctan x
1 1 1 3. y x 3 3 3 1 3 x 3 3 x 3 9 x 二、计算下列各函数的n 阶导数：
可导，并且：
y f ( u( x )) f ( u) u( x )
隐含数求导法则:
（ 1） 方程两边关于 x 求导，求导过程中把 y 看作
中间变量，得到一个关于 y的方程。
(2) 从上述方程中解出 y
专升本内容导数与微分
二阶导数旳导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3 dx
y
3
.
一般地,函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f
(n) ( x),
y(n) ,
dn dx
y
n
或
d
n f( dx n
x
)
.
5、微分旳定义
若函数y f (x)的增量 y f (x0 x) f (x0) A x o(x) ( A与x无关),则称A x为函数y f (x)在点x0处 的微分,记作 dy xx0 A x. 微分dy叫做函数增量 y的线性主部 .(微分旳实质)
d
(u) v
vdu udv v2
无论x是自变量还是中间变量 ,函数y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
注：若x为中间变量，则dx x
导数的几何意义 :
(1) f (x0 ) 0 表示有不平行于x轴的切线
(2) f(x)在x0连续,f (x0 ) (此时f (x)在x0不可导) 切线 : x x0 ,法线 : y y0
(a 0且a 1)
(sin x)(n) sin(x n ) , (cos x)(n) cos( x n )
2
2
常见类型
导数旳概念；连续与可导旳关系、可导与 可微旳关系。变限积分旳导数。复合函数旳导 数(微分)；隐函数旳导数(微分)；参数方程旳 导数。分段函数旳可导性(待定常数)。简朴函 数旳n阶导数。求曲线旳切线与法线。
试卷题型分布
导数：约30分(选择、填空、计算)
3). f (x)、g (x)皆不可导时,不能推出 f (x) g(x)、f (x) g(x)不可导
专升本高等数学第二章导数与微分练习题
第二章 导数与微分1、设函数⎩⎨⎧≥+<=)0(),1ln()0(,)(x x x x x f ，求)0(f 与)0(f '2、设⎩⎨⎧+=,,)(b ax e x f x 11>≤x x 在1=x 可导，试求a 与b3、求下列函数的导数 （1）32121x x x y ++=（2）x x y =（3）xe x y =（4）xxy sin 1cos +=（5）2)2(arcsin x y =（6）x y ln 1+=（7）)arctan(xe y =（8）)ln(22x a x y ++=（9）x y arccos =（10）212arctanxxy -=4、求下列方程所确定的隐函数)(x y y =的导数 （1）0=+-xy e e xy（2）0333=-+axy y x（3）)sin(y x x +=（4）xy e e xy=-5、设参数方程为⎩⎨⎧+==tt y te x t cos sin ，求dx dy6、求下列函数的二阶导数（1）113+=x y（2）xe y x=（3）)1ln(2x x y ++=（4）)sin(y x y +=7、求下列函数的微分 （1）)1(ln 2x y -=（2）x x y 2sin =（3）)ln(cos xe y =（4）x y arcsin =8、求下列方程所确定的隐函数)(x y y =的微分 （1）yxe y +=1（2）xy e e yx =-（3）xy y x =（4）22ln arctany x xy+=9、求下列极限（1）22)2(sin ln lim x xx -→ππ；（2）)0(lim ≠--→a a x a x nnmm a x（3）xxx 2tan ln 7tan ln lim 0+→（4）xxx 3tan tan lim2π→；（5）xarc x x cot )11ln(lim++∞→（6）)ln 11(lim 1xx x x --→（7）)sin 11(cot lim 0xx x x -→（8）xx x x 20)21(lim +→-（9）)1ln(arctan lim20x tdtxx +⎰→（10）21)(cos lim x x x →10、求下列函数的单调区间 （1）)1ln(x x y +-=（2）)0(82>+=x xx y（3）)1ln(2x x y ++=11、求下列函数的极值（1）3223x x y -=（2）x x y 33-=（3）)1ln(x x y +-=12、求下列函数的最大值和最小值 （1）40,≤≤+=x x x y（2）31,2824≤≤-+-=x x x y13、求下列函数的凹凸区间和拐点 （1）24334+-=x x y（2）x xe y -=（3）xe x y ++=4)1(14、证明下列不等式（1）当0>x 时，1)1ln(+>+x x x（2）)0(211cos 2>->x x x（3）当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++（4）当4>x 时，22x x >15、试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处取得极值，并求此极值。
专升本高数2PPT课件
f (4) (x) ________．
34.
设
参
数
方
程
x
y
2t 1 3t2 1
所
确
定
的
函
数
为
y
y(x) ，则
d2 y dx2
________．
42 ． 设 由 方 程 e y xy2 e2 确 定 的 函 数 为
y y(x) ，求 dy ． dx x0
2011年河南专升本
2.1 导数的概念
本章重点考核的知识点
• 1．导数的定义； • 2．导数的几何意义； • 3．导数的四则运算法则； • 4．反函数求导法则； • 5．复合求导法则； • 6．简单函数的高阶导数； • 7．隐函数求导； • 8．对数求导法； • 9．幂指函数求导； • 10．参数方程求导； • 11．一元函数一阶微分形式的不变性。
2010年河南专升本
6.
函数
f (x) 在点 x
x0 处可导，且
f
(x0 )
1，则 lim h0
f (x0 ) f (x0 3h) 2h
A． 2 3
B． 2 3
C． 3 2
D． 3 2
8. 设函数 y 1 x2 2sin π ，则 y 5
A． x 2 cos π
1 x2
5
B． x 1 x2
0
00 0
为
y f (x ) f (x )(x x )；
0
0
0
曲线 y f (x)在点M (x , y )处的法线方程为 00 0
y f (x ) 1 (x x ) ，( f (x ) 0).
0
f (x0 )
0
0
专升本第二讲导数与微分
第二讲 导数与微分考点：1、理解导数的概念，掌握导数的定义。
2、能利用导数定义判断函数的可导性，会判断分段函数分段点处的可导性。
3、掌握导数的几何意义，会表示切线方程与法线方程。
4、了解可导性与连续性之间的关系。
5、熟练掌握导数计算的基本公式，四则运算法则，复合函数求导链式法则，隐函数求导法，参数方程求导法，对数求导法以及高阶导数的计算。
6、理解函数微分的基本概念，会求函数的微分，了解可导与可微之间的关系。
典型题目：1、求)1ln(2x x y ++=的导数2、求函数x ey 1sin 2=的导数 3、 已知0=-+e xy e y ,求dy dx 4、22ln arctan y x xy += 5、求曲线03275=--+x x y y 上在0=x 的点处的切线方程6、 sin (tan )x y x =，求y '. 7、 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y ()4>x 的导数 8、设()0f x m '=,求下列极限:(1) ()()x x f x x f x ∆-∆-→∆0003lim ; (2) ()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆23lim 000 9、设)(x f 在]1,1[-上有界,2sin )()(x x f x g =,求)0(g '.10、 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0;0,1sin )(x x x x g x f 且)0()0(g g '==0,证明:0)0(='f . 11、 设()x x x y sin +=,求dxdy . （导数()x f '为()x f 的边际函数）12、 某企业每月生产x 吨产品的总成本C (单位:千元)是产量x 的函数()20102+-=x x x C .如果每吨产品的销售价格为2万元,试求每月生产8吨时的边际利润.13、 设市场对某商品的需求量Q 是价格p 的函数275p Q -=,求4=p 时的边际需求,并说明其经济意义.（ 对于一般的x ,如果()x f y =是可导函数,且()0f x ≠,则：()().y x f x f x η'= 是x 的函数,称为()x f 的弹性函数(简称为弹性)）14、 设某种商品的需求函数为p Q -=50,p 为价格()500<<p ,试求:当30p =的需求弹性，并解释其经济意义。
专升本高数考试大纲 (1)
浙江省普通高校“专升本”统考科目：《高等数学》考试大纲考试要求考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程、向量代数与空间解析几何的基本概念、基本理论和基本方法。
考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。
考试内容一、函数、极限和连续(一)函数1．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。
2．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
3．理解函数y =ƒ(x )与其反函数y =ƒ-1(x )之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。
4．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。
5．掌握基本初等函数的性质及其图像。
6．理解初等函数的概念。
7．会建立一些简单实际问题的函数关系式。
(二)极限1．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义)，能根据极限概念描述函数的变化趋势。
理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。
2．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。
3．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。
会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量替换求极限。
4．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e )11(lim =+∞→x x x， 并能用这两个重要极限求函数的极限。
(三)连续1．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系。
会判断分段函数在分段点的连续性。
2．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判断间断点的类型。
专转本导数与微分
旳极限即为
vt0
vt0
lim
t 0
st0
t
t
st0
s
lim lim v
t 0 t
t 0
2: 曲线旳切线斜率 L
切线旳一般定义:
设 P 是曲线 L 上旳一种定点, Q 是曲线 L 上旳另一种点,
过点 P 与点 Q 作一条直线 PQ, 称 PQ 为曲线 L 旳 割线, 当点 Q 沿着曲线 L 趋向定点 P 时, 割线 PQ 旳极限位置 PT
所以y 0
(2)算比值 y 0 x
(3)取极限: y lim y 0
x0 x
即 (c)' 0
例2 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
lim a xx a x x0 x
a x lim ax 1 x0 x
Q 越接近于 P ,
PQ 越接近于 PT, tan 越接近于 k ,
即:
k tan lim y
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x 0
x
曲线在 P 处旳切线斜率为:
函数旳增量与自变量增量之比,
当自变量旳增量趋于 0 时旳极限.
二. 导数旳定义
1. 导数定义: 设函数 y f (x)在 x0旳某个邻域内有定义, 若极限
在几何上表达曲线 y f (x)
y
M
Hale Waihona Puke 在点 M(x0 , f (x0 )) 处旳切线旳斜率,
α
x0
x
即 f '( x0 ) tan
假如函数 y f (x) 在点 x0处可导, 则曲线 y f (x) 在点 P(x0, f (x0 )) 旳切线方程为
专升本高数知识点归纳浙江
专升本高数知识点归纳浙江专升本高数是许多专科生在追求本科学位过程中必须面对的挑战之一。
在浙江省，高数的知识点广泛，涵盖了多个领域。
以下是对专升本高数知识点的归纳总结：一、函数与极限- 函数的概念：定义域、值域、奇偶性、周期性等。
- 极限的概念：数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量。
- 极限的运算法则：四则运算、复合函数的极限。
二、导数与微分- 导数的定义：导数的几何意义、物理意义。
- 基本导数公式：幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
- 高阶导数：二阶导数、三阶导数等。
- 微分的概念：一阶微分、高阶微分。
三、积分学- 不定积分：换元积分法、分部积分法。
- 定积分：定积分的性质、定积分的计算。
- 广义积分：无穷限积分、无界函数的积分。
- 应用问题：面积、体积、平均值等。
四、级数- 级数的概念：收敛性、发散性。
- 正项级数：比较判别法、比值判别法、根值判别法。
- 幂级数：泰勒级数、麦克劳林级数。
- 函数展开：傅里叶级数、傅里叶变换。
五、多元函数微分学- 多元函数的概念：偏导数、方向导数、梯度。
- 多元函数的极值：拉格朗日乘数法。
- 多重积分：二重积分、三重积分。
六、常微分方程- 一阶微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程。
- 高阶微分方程：特征方程、欧拉方程。
- 微分方程的应用：物理问题、经济问题等。
七、线性代数基础- 向量空间：基、维数、线性组合。
- 矩阵运算：加法、乘法、行列式。
- 线性变换：特征值、特征向量。
- 线性方程组：克拉默法则、高斯消元法。
结束语专升本高数的学习是一个系统性的过程，需要同学们扎实掌握每一个知识点，并能够灵活运用到实际问题中。
希望以上的归纳能够帮助同学们更好地复习和掌握专升本高数的知识，为考试做好充分的准备。
2山东专升本高等数学第二章导数与微分
第二章 导数与微分【考试要求】1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．【考试内容】一、导数（一）导数的相关概念1．函数在一点处的导数的定义设函数()yf x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()yf x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆， 也可记作0x x y ='，x x dydx=或()x x df x dx=．说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=和000()()()limx x f x f x f x x x →-'=- ；式中的h 即自变量的增量x ∆．2．导函数上述定义是函数在一点处可导．如果函数()y f x =在开区间I 内的每点处都可导，就称函数()f x 在区间I 内可导．这时，对于任一x I ∈，都对应着()f x 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数()y f x =的导函数，记作y '，()f x '，dy dx 或()df x dx．显然，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '就是导函数()f x '在点0x x =处的函数值，即00()()x x f x f x =''=．3．单侧导数（即左右导数）根据函数()f x 在点0x 处的导数的定义，导数0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此0()f x '存在（即()f x 在点0x 处可导）的充分必要条件是左右极限 000()()lim h f x h f x h-→+- 及000()()lim h f x h f x h+→+- 都存在且相等．这两个极限分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数和右导数，记作0()f x -'和0()f x +'，即0000()()()lim h f x h f x f x h--→+-'=，0000()()()lim h f x h f x f x h++→+-'=．现在可以说，函数()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在并且相等．说明：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，就说()f x 在闭区间[,]a b 上可导． 4．导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线的斜率，即0()tan f x α'=，其中α是切线的倾角．如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线0x x =．根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程和法线方程分别为： 切线方程：000()()y y f x x x '-=-；法线方程：0001()()y y x x f x -=--'． 5．函数可导性与连续性的关系 如果函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处必连续，但反之不一定成立，即函数()yf x =在点0x 处连续，它在该点不一定可导．（二）基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式（1）()0C '= ； （2）1()xx μμμ-'= ；（3）(sin )cos x x '= ； （4）(cos )sin x x '=- ；（5）2(tan )secx x '= ； （6）(cot )csc x x '=- ；（7）(sec )sec tan x x x '= ； （8）(csc )csc cot x x x '=- ；（9）()ln xx aa a '= ； （10）()x x e e '= ；（11）1(log )ln a x x a '= ； （12）1(ln )x x'= ；（13）(arcsin )x '=； （14）(arccos )x '= ；（15）21(arctan )1x x '=+ ； （16）21(arccot )1x x'=-+ ． 2．函数的和、差、积、商的求导法则设函数()uu x =，()v v x =都可导，则（1）()u v u v '''±=± ； （2）()Cu Cu ''=（C 是常数）； （3）()uv u v uv '''=+ ；（4）2()u u v uv v v''-'= （0v ≠）． 3．复合函数的求导法则 设()yf u =，而()ug x =且()f u 及()g x 都可导，则复合函数[()]y f g x =的导数为dy dy dudx du dx=⋅ 或 ()()()y x f u g x '''=⋅． （三）高阶导数1．定义一般的，函数()yf x =的导数()y f x ''=仍然是x 的函数．我们把()y f x ''=的导数叫做函数()y f x =的二阶导数，记作y ''或22d ydx ，即()y y ''''=或22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭．相应地，把()y f x =的导数()f x '叫做函数()y f x =的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，，一般的，(1)n -阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作y '''，(4)y ，，()n y 或33d y dx ，44d ydx ，，n nd ydx． 函数()yf x =具有n 阶导数，也常说成函数()f x 为n 阶可导．如果函数()f x 在点x 处具有n 阶导数，那么()f x 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：1．方程两边对x 求导，求导时要把y 看作中间变量．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx． 解：方程两边分别对x 求导，()(0)yx x exy e ''+-= ，得0ydy dy e y x dx dx ++= ， 从而 ydy y dx x e =-+．2．一元隐函数存在定理x y F dydx F '=-'． 例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dydx． 解：设(,)y F x y e xy e =+-，则()()yx yy y e xy e F dy yx dx F e x e xy e y∂+-'∂=-=-=-∂'++-∂ ． （五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ 确定y 是x 的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为()()dy t dx t φϕ'='，上式也可写成 dy dy dt dxdx dt=．其二阶导函数公式为223()()()()()d y t t t t dx t φϕφϕϕ''''''-=' ． （六）幂指函数的导数一般地，对于形如()()v x u x （()0u x >，()1u x ≠）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法： 1．复合函数求导法将幂指函数()()v x u x 利用指数函数和对数函数的性质化为()ln ()v x u x e的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的()ln ()v x u x e 恢复为()()v x u x 的形式．例如：求幂指函数xy x =的导数dydx．解：因ln x x x x e = ，故()ln ln (ln )(1ln )x xx x x dy d e e x x x x dx dx'==⋅=+． 2．对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求y 对x 的导数．例如：求幂指函数x y x =的导数dy dx． 解：对幂指函数x y x =两边取对数，得 ln ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x的函数，得11ln dy x y dx ⋅=+，故 (1ln )(1ln )x dy y x x x dx=+=+． 二、函数的微分1．定义：可导函数()y f x =在点0x 处的微分为00()x x dyf x dx ='= ；可导函数()y f x =在任意一点x 处的微分为()dy f x dx '=．2．可导与可微的关系函数()yf x =在点x 处可微的充分必要条件是()y f x =在点x 处可导，即可微必可导，可导必可微． 3．基本初等函数的微分公式 （1）()0d C dx = ； （2）1()d x x dx μμμ-= ；（3）(sin )cos d x xdx = ； （4）(cos )sin d x xdx =- ；（5）2(tan )sec d x xdx = ； （6）(cot )csc d x xdx =- ； （7）(sec )sec tan d x x xdx = ； （8）(csc )csc cot d x x xdx =- ；（9）()ln xx d aa adx = ； （10）()x x d e e dx = ；（11）1(log )ln ad x dx x a =； （12）1(ln )d x dx x = ；（13）(arcsin )d x dx =； （14）(arccos )d x = ；（15）21(arctan )1d x dx x =+ ； （16）21(arccot )1d x dx x=-+ ． 4．函数和、差、积、商的微分法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()d uv du dv ±=± ；（2）()d Cu Cdu =（C 是常数）；（3）()d uv vdu udv =+ ；（4）2()u vdu udvd v v-= （0v ≠）． 5．复合函数的微分法则设()y f u =及()u g x =都可导，则复合函数[()]y f g x =的微分为()()x dy y dx f u g x dx'''==．由于()g x dx du '=，所以复合函数[()]y f g x =的微分公式也可写成()dyf u du '= 或 udy y du '=． 由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分形式()dyf u du '=保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式()dy f u du '=并不改变．【典型例题】【例2-1】以下各题中均假定0()f x '存在，指出A 表示什么．1．000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆．解：根据导数的定义式，因0x ∆→时，0x -∆→，故0000000()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆， 即0()A f x '=-．2．设0()limx f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在． 解：因(0)0f =，且(0)f '存在，故00()()(0)lim lim (0)0x x f x f x f f x x →→-'==-，即(0)A f '=． 3．000()()limh f x h f x h A h→+--=．解：根据导数的定义式，因0h →时，0h -→，故00000000()()()()()()lim limh h f x h f x h f x h f x f x f x h h h →→+--+-+--= 00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim limh h f x h f x f x h f x h h→→+---=+- 000()()2()f x f x f x '''=+=，即 02()A f x '=．【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．1．讨论函数322,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩ 在1x =处的可导性．解：根据导数的定义式，3211122()(1)233(1)lim lim lim(1)2113x x x x f x f f x x x x ----→→→--'===++=--，2112()(1)3(1)lim lim11x x x f x f f x x +++→→--'===+∞--，故()f x 在1x =处的左导数(1)2f -'=，右导数不存在，所以()f x 在1x =处不可导．2．讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处的可导性． 解：因20001sin 0()(0)1(0)lim lim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x →→→--'====-， 故函数()f x 在0x =处可导．3．已知函数2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 在1x =处连续且可导，求常数a 和b 的值．解：由连续性，因(1)1f =，211(1)lim ()lim 1x x f f x x ---→→===，11(1)lim ()lim()x x f f x ax b a b +++→→==+=+，从而1a b +=①再由可导性，2111()(1)1(1)lim lim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--，11()(1)1(1)lim lim 11x x f x f ax b f x x +++→→-+-'==--，而由①可得1b a =-，代入(1)f +'，得11()(1)(1)lim lim 11x x f x f ax a f a x x +++→→--'===--，再由(1)(1)f f -+''=可得2a =，代入①式得1b =-．【例2-3】已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩ ，求()f x '． 解：当0x <时，()(sin )cos fx x x ''==，当0x ≥时，()()1f x x ''==，当0x =时的导数需要用导数的定义来求．0()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→-'===-，00()(0)0(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→--'===-，(0)(0)1f f -+''==，故 (0)1f '=，从而cos ,0()1,0x x f x x <⎧'=⎨≥⎩ ． 【例2-4】求下列函数的导数． 1．(sin cos )x ye x x =+．解：()(sin cos )(sin cos )x x y e x x e x x '''=+++ (sin cos )(cos sin )x x e x x e x x =++-2cos x e x =．2．22sin1x y x =+．解：222222sin cos 111x x x y x x x ''⎛⎫⎛⎫'==⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭2222222(1)(2)cos 1(1)x x x x x +-=⋅++22222(1)2cos (1)1x xx x -=++．3．ln cos()x ye =． 解：1ln cos()cos()cos()xxx y e e e '''⎡⎤⎡⎤==⋅⎣⎦⎣⎦ 1sin()()cos()x xx e e e '⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦1sin()cos()x x x e e e ⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦ tan()x x e e =-．4．ln(yx =+．解：ln((y x x '⎡⎤''=+=⋅+⎣⎦21⎡⎤'=+⎢⎣1⎡⎤=+⎢⎣==．【例2-5】求下列幂指函数的导数． 1．sin x yx = （0x >）． 解：sin sin ln sin ln ()()(sin ln )x x x x x y x e e x x ''''===⋅sin ln 1(cos ln sin )x xex x x x=⋅+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+． 说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数sin x y x =两边取对数，得ln sin ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得11cos ln sin y x x x y x'⋅=+⋅， 故1(cos ln sin )y y x x x x '=+⋅sin sin (cos ln )xx x x x x=+．2．1xx yx ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（0x >）．解：ln ln 11ln 11x x x x x xx x x y e e x x x ++'''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫'===⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦ln11ln 11xx xx x x ex xx x +⎡⎤'+⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅⋅ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()ln1211ln 11x x xx x x x ex x x x +⎡⎤++-=⋅+⋅⋅⎢⎥++⎢⎥⎣⎦1ln 111xx x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭两边取对数，得ln ln 1xy x x=+，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得 111ln ln 1111x x x x y x y x x x x x'+⎛⎫'⋅=+⋅⋅=+ ⎪++++⎝⎭ ， 故11ln ln 11111xx x x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数． 1．xy yx = （0x >）． 解：等式两边取对数，得ln ln x y y x =，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得ln ln x y y y y x y x ''+⋅=+ ，整理得 (ln )ln x yx y y y x'-=-， 则22ln ln ln ln yyy xy y x y xx xy x x y --'==-- ． 2．y =．解：等式两边取对数，得21ln lnln 2y ==，即 2212ln ln(1)ln(2)5y x x =+-+，也即 2210ln 5ln(1)ln(2)y x x =+-+，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得221010212x x y y x x '=-++ ，故222210*********y x x x x y x x x x ⎛⎫⎛'=-=- ⎪ ++++⎝⎭⎝．【例2-7】求下列抽象函数的导数． 1．已知函数()yf x =可导，求函数1sin ()xy f e=的导数dy dx． 解：111sin sin sin ()()()x x x dy d f e f e e dx dx ⎡⎤'==⋅⎢⎥⎣⎦11sin sin 1()()sin x x f e e x '=⋅⋅1111sin sin sin sin 22cos cos ()()sin sin xxx x x x f e ee f e x x-=⋅⋅=- ． 2．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f xg x +≠，试求函数y =dy dx． 解：22()()f x g x dy d dx dx'⎡⎤+==''''==．【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数()y y x =的导数．1．220xxy y -+=．解：方程两边分别对x 求导，得 220dy dyx y x y dx dx--⋅+⋅=， 整理得 (2)2dyx y x y dx-=-，故22dy x y dx x y -=- ． 说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设22(,)F x y x xy y =-+，则2222x y F dy x y x ydx F x y x y '--=-=-='-+- ． 2．1y yxe =+．解：方程两边分别对x 求导，得0y y dy dye xe dx dx=++⋅， 整理的 (1)yy dy xe e dx-=，故1yy dy e dx xe =- ．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设(,)1y F x y xe y =+-，则11y yx y yy F dy e e dx F xe xe'=-=-='-- ． 【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数()yy x =的导数．1．2t tx e y e-⎧=⎨=⎩ ．解：()()21222t t t t t dye dy e dt dx dx e e e dt --'-====-' ．2．111x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．解：()()2211111111t t t dy t dy t dt dx dx dt t t '+-⎛⎫ ⎪++⎝⎭====--'⎛⎫ ⎪++⎝⎭．【例2-10】求下列函数的微分． 1．22()tan (12)f x x =+．解：因22222()tan (12)2tan(12)sec (12)4f x x x x x ''⎡⎤=+=+⋅+⋅⎣⎦， 故222()8tan(12)sec (12)dy f x dx x x x dx '==++．2．()f x =．解：因()()f x ''==⋅=，故()dy f x dx '==．3．2()arctan f x x =解：因(22()arctan 211f x x x x x ''==++-，故2()2arctan dy f x dx x dx ⎡'==+⎢⎣．4．22()sin ln(1)f x x x =+．解：因222222()sin ln(1)2sin cos ln(1)sin 1x f x x x x x x x x''⎡⎤=+=++⎣⎦+， 故 2222sin ()sin 2ln(1)1x x dy f x dx x x dx x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦． 【例2-11】求曲线x y xe -=在点(0,1)处的切线方程和法线方程．解：()x x x y xe e xe ---''==-，01x y ='=，故曲线在点(0,1)处的切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+=；法线方程为11(0)y x -=-⋅-即10x y +-=．【例2-12】求曲线224xxy y ++=在点(2,2)-处的切线方程和法线方程．解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有220x y xy y y ''+++⋅=，即22x y y x y+'=-+ ；由导数的几何意义，曲线在点(2,2)-处的斜率为2222212x x y y x y y x y===-=-+'=-=+，故曲线在点(2,2)-处的切线方程为21(2)y x +=⋅-，即 40x y --=；法线方程为 21(2)y x +=-⋅-，即0x y +=．【例2-13】求椭圆2cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在点4t π=处的切线方程和法线方程．解：将4t π=代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又4cos 2cot 2sin t t y ty t x t''===-'-，切线斜率为 442cot 2t t y tππ=='=-=-，故所求切线方程为2(y x -=--，即20x y +-=；所求法线方程为1(2y x -=--，即20x y +-=．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）已知(1)1f '=，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆等于（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）2- 解：根据导数的定义，00(12)(1)[1(2)](1)lim2lim2x x f x f f x f x x∆→∆→-∆-+-∆-=-∆-∆ 2(1)2f '=-=-，选（D ）．2．（2010年，1分）曲线2y x =在点(1,1)处的法线方程为（ ）（A ）y x = （B ）322x y =-+（C ）322x y=+ （D ）322x y =--解：根据导数的几何意义，切线的斜率1122x x k y x=='===，故法线方程为11(1)2y x -=--，即 322x y =-+，选（B ）． 3．（2010年，1分）设函数()f x 在点0x 处不连续，则（ ）（A ）0()f x '存在 （B ）0()f x '不存在（C ）lim()x f x →∞必存在 （D ）()f x 在点0x 处可微解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B ）正确．4．（2009年，1分）若000()()lim h f x h f x h A h→+--=，则A =（ ）（A ）0()f x ' （B ）02()f x ' （C ）0 （D ）01()2f x ' 解：000()()lim h f x h f x h A h→+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim limh h f x h f x f x h f x h h→→+---=+- 000()()2()f x f x f x '''=+=，选项（B ）正确．5．（2008年，3分）函数()f x x =，在点0x =处()f x （ ）（A ）可导 （B ）间断 （C ）连续不可导 （D ）连续可导 解：由()f x x =的图象可知，()f x 在点0x =处连续但不可导，选项（C ）正确．说明：()f x x =的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．6．（2008年，3分）设()f x 在0x 处可导，且0()0f x '≠，则0()f x '不等于（ ）（A ）000()()limx x f x f x x x →-- （B ）000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆（C ）000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆ （D ）000()()lim ()x f x x f x x ∆→-∆--∆解：根据导数的定义，选项（C ）符合题意． 7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数()f x 在点0x 处的导数定义的选项是（ ）（A ）001lim [()()]n n f x f x n →∞+-（B ）000()()lim x x f x f x x x →--（C ）000()()lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()lim x f x x f x x x∆→+∆-+∆∆解：选项（A ）000001()()1lim [()()]lim()1n n f x f x n n f x f x f x nn+→∞→∞+-'+-==，选项（C ）0000()()lim2()x f x x f x x f x x∆→+∆--∆'=∆，选项（D ）0000(3)()lim 2()x f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，故选（B ）． 8．（2007年，3分）若()f u 可导，且(2)x y f =，则dy =（ ）（A ）(2)x f dx ' （B ）(2)2x x f d ' （C ）[(2)]2x x fd ' （D ）(2)2x x f dx '解：因(2)(2)2(2)2ln 2x x x x x dydf f d f dx ''===，故选项（B ）正确．9．（2006年，2分）设()u x ，()v x 为可导函数，则()ud v=（ ） （A ）du dv （B ）2vdu udv u- （C ）2udv vdu u + （D ）2udv vduu- 解：222()()u u u v uv u vdx uv dx vdu udvd dx dx v v v v v''''---'====，选（B ）． 10．（2005年，3分）设()(1)(2)(99)f x x x x x =---，则(0)f '=（ ）（A ）99!- （B ）0 （C ）99! （D ）99 解：当0x=时，()f x '中除(1)(2)(99)x x x ---项外，其他全为零，故(0)(01)(02)(099)99!f '=---=-，选项（A ）正确． 11．（2005年，3分）设ln y x =，则()n y =（ ）（A ）(1)!nn n x -- （B ）2(1)(1)!n n n x --- （C ）1(1)(1)!n n n x ---- （D ）11(1)!n n n x --+-解：由ln yx =可得，1y x '=，21y x''=-，433222!x y x x x-'''=-==， 2(4)64233!x yx x⋅=-=-，，对比可知，选项（C ）正确．12．（2005年，3分）2sin ()d xd x =（ ） （A ）cos x （B ）sin x - （C ）cos 2x （D ）cos 2xx解：2sin cos cos ()22d x xdx xd x xdx x==，选项（D ）正确． 二、填空题1．（2010年，2分）若曲线()yf x =在点00(,())x f x 处的切线平行于直线23y x =-，则0()f x '= ．解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故0()2f x '=．2．（2010年，2分）设cos(sin )y x =，则dy = ．解：cos(sin )sin(sin )cos dyd x x xdx ==-．3．（2008年，4分）曲线21y x =+在点(1,2)的切线的斜率等于 ．解：由导数的几何意义可知，切线斜率(1,2)(1,2)22k y x'===．4．（2008年，4分）由参数方程cos sin x t y t =⎧⎨=⎩ 确定的dy dx = ．解：(sin )cos cot (cos )sin t t y dy t tt dx t tx ''====-'-'． 5．（2006年，2分）曲线2sin yx x =+在点(,1)22ππ+处的切线方程是 ．解：切线的斜率(,1)(,1)2222(12sin cos )1k y x x ππππ++'==+=，故切线方程为(1)1()22y x ππ-+=⋅-，即 1y x =+．6．（2006年，2分）函数2()(1)f x x x x =-不可导点的个数是 ．解：2222(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩ ，显然，当0x ≠时，()f x 可导；当0x =时，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x +++→→-+'===-，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x-+-→→--+'===-，故 (0)0f '=．故函数()f x 的不可导点的个数为0．7．（2006年，2分）设1(1)xy x=+，则dy = ．解：因11ln(1)ln(1)21111[(1)][][ln(1)()]11x x x x x y e e x x x x x++'''=+==++⋅⋅-+111(1)[ln(1)]1x x x x =++-+，故 111(1)[ln(1)]1x dy dx x x x =++-+．三、计算题1．（2010年，5分）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定，求x dydx=．解：方程2xyx y =+两边对x 求导，考虑到y 是x 的函数，得2ln 2()1xy dy dy y xdx dx ⋅+=+，整理得 2ln 22ln 21xy xy dy dy y x dx dx+⋅=+， 故2ln 2112ln 2xy xydy y dx x -=-．当0x =时，代入原方程可得1y =，所以 0012ln 21ln 21ln 2112ln 21xy x x xy y dy y dx x ===--===--． 说明：当得到2ln 2()1xydy dyy xdx dx⋅+=+后，也可直接将0x =，1y =代入，得 ln 21dydx=+，故ln 21x dy dx ==-．2．（2010年，5分）求函数sin x y x =（0x >）的导数．解：sin sin ln sin ln sin ln 1()()()(cos ln sin )x x x x x x xy x e e e x x x x ''''====+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+． 3．（2009年，5分）设22sin1xy x =+，求dy dx．解：因22sin1x y x =+，故22(sin )1dy x dx x'=+2222222222(1)22222cos cos 1(1)(1)1x x x x x x x x x x+-⋅-=⋅=++++． 4．（2006年，4分）设()f x可导，且()f x '=d f dx ．解：df f dx ''=⋅2x x==-． 5．（2005年，5分）已知0sin ,0(),0x tdt x f x xa x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ ．（1）()f x 在0x =处连续，求a ； （2）求()f x '．解：（1）因 0sin lim ()limlimsin 0xx x x tdt f x x x→→→===⎰，故由()f x 在0x =处连续可得，0lim()(0)x f x f →=，即 0a =．（2）当0x ≠时，002sin sin sin ()x x tdt x x tdt f x x x '⎛⎫- ⎪'== ⎪⎝⎭⎰⎰； 当0x =时，02000sin sin ()(0)(0)limlim limxxx x x tdt tdt f x f xf x xx→→→-'===-⎰⎰0sin 1lim22x x x →==．故2sin sin,0 ()1,02xx x tdtxxf xx⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰．。
河南专升本高数总共分为十二个章节
第一章、函数、极限和连续考点一：求函数的定义域考点二：判断函数是否为同一函数考点三：求复合函数的函数值或复合函数的外层函数考点四：确定函数的奇偶性、有界性等性质的问题考点五：有关反函数的问题考点六：有关极限概念及性质、法则的题目考点七：简单函数求极限或极限的反问题考点八：无穷小量问题考点九：分段函数求待定常数或讨论分段函数的连续性考点十：指出函数间断点的类型考点十一：利用零点定理确定方程根的存在性或证明含有的等式考点十二：求复杂函数的极限第二章、导数与微分考点一：利用导数定义求导数或极限考点二：简单函数求导数考点三：参数方程确定函数的导数考点四：隐函数求导数考点五：复杂函数求导数考点六：求函数的高阶导数考点七：求曲线的切线或法线方程或斜率问题考点八：求各种函数的微分第三章、导数的应用考点一：指出函数在给定区间上是否满足罗尔定理、拉格朗日定理或满足定理求定理中的值考点二：利用罗尔定理证明方程根的存在性或含有的等式考点三：利用拉格朗日定理证明连体不等式考点四：洛必达法则求极限考点五：求函数的极值或极值点考点六：利用函数单调性证明单体不等式考点七：利用函数单调性证明方程根的唯一性考点八：求曲线的凹向区间考点九：求曲线的拐点坐标考点十：求曲线某种形式的渐近线考点十一：一元函数最值得实际应用问题第四章、不定积分考点一：涉及原函数与不定积分的关系，不定积分性质的题目考点二：求不定积分的方法考点三：求三种特殊函数的不定积分第五章、定积分考点一：定积分概念、性质和几何意义等题目考点二：涉及变上限函数的题目考点三：求定积分的方考点四：求几种特殊函数的定积分考点五：积分等式的证明考点六：判断广义积分收敛或发散第六章、定积分的应用考点：直角坐标系下已知平面图形，求面积及这个平面图形绕坐标走旋转一周得到的旋转体的体积第七章、向量代数与空间解析几何考点一：有关向量之间的运算问题考点二：求空间平面或直线方程考点三：确定直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系;或已知位置关系求待定系数考点四：由方程识别空间曲面或曲线的类型考点五：写出旋转曲面方程和投影柱面方程第八章、多元函数的微分及应用考点一：求二元函数定义域考点二：求二元函数的复合函数或求复合函数的外层函数考点三：求多元函数的极限考点四：求简单函数的偏导数或某点导数考点五：求简单函数全微分或高阶偏导数考点六：复杂函数(特别是含符号f)的求偏导数或全微分或高阶导数考点七：隐函数的求偏导数或全微分考点八：求空间曲面的切平面或法线方程;求空间曲线的切线和法线方程考点九：求函数的方向倒数和梯度考点十：求二元函数的极值或极值点、驻点考点十一：多元函数有关概念的问题考点十二：二元函数最值的实际应用问题第九章、二重积分考点一：利用二重积分性质和几何意义等基本问题考点二：直角坐标系下计算二重积分考点三：直角坐标系下两种累次积分次序互换考点四：在极坐标系下计算二重积分考点五：两种坐标系下二重积分互换第十章、曲线积分考点一：计算对弧长的曲线积分考点二：计算对坐标的曲线积分第十一章、无穷级数考点一：有关级数收敛定义和性质的题目考点二：指出数项级数的收敛、发散、条件收敛、绝对收敛考点三：确定幂级数在某点处是否收敛或发散考点四：求幂级数的收敛域或收敛区间考点五：利用公式把简单函数展开成幂级数考点六：求数项级数的和或幂级数的和函数第十二章、常微分方程考点一：涉及微分方程有关概念的基本问题考点二：求可分离变量的微分方程的通解和特解考点三：涉及可变量微分方程的实际应用问题考点四：求齐次微分方程的通解或特解考点五：求一阶线性微分方程通解考点六：求通解或特解考点七：求通解或特解考点八：设出通解或特解考点九：求通解或特解高数的复习知识点比较多，逻辑性比较强，大家在复习的时候一定要按照以上老师总结的考点重点的加以复习备考。
专升本高数公式大全
专升本高数公式大全1.初等函数的性质- 一次函数的表达式：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
- 二次函数的表达式：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
-绝对值函数的表达式：y=，x。
2.导数与微分的基本公式- 函数极限的定义：lim(x→a) f(x) = L。
- 导数的定义：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx。
-基本导数公式：- (1) 若f(x) = xⁿ，则f'(x) = nxⁿ⁻¹。
-(2)若f(x)=eˣ，则f'(x)=eˣ。
- (3) 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- (4) 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- (5) 若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
3.极限的基本性质-极限的四则运算：- (1) 若lim(x→a) f(x) = A，lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x)±g(x)] = A±B。
- (2) 若lim(x→a) f(x) = A，lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x)g(x)] = AB。
- (3) 若lim(x→a) f(x) = A，lim(x→a) g(x) = B（B≠0），则lim(x→a) [f(x)/g(x)] = A/B。
- (4) 若lim(x→a) f(x) = A，则lim(x→a) [c·f(x)] = c·A。
4.函数的极值与最值-函数的极值：设f(x)在x₀处有定义，称f(x)在x₀处有极小值，如果存在εₒ>0，使得当0<，x-x₀，<εₒ时，恒有f(x)≥f(x₀)。
-函数的最值：设f(x)在区间I上有定义，x₀∈I，如果对于任意x∈I，恒有f(x)≥f(x₀)，则称f(x)在x₀处有最小值。
完整版专升本高等数学知识点汇总3篇
完整版专升本高等数学知识点汇总第一篇：导数与微分导数：是用来研究函数在某一点的变化率的一种工具。
其代表的是函数在该点的微小变化与自变数的微小变化之比的极限值。
微分：是由函数的导数所定义的另一种函数。
微分是利用导数对自变数进行微小的变化而得到的函数值的变化量，即函数的微分为函数在某一点的导数与自变数的微小变化值的乘积。
导数的定义公式：$\Large f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$微分的定义公式：$\Large dy=f'(x)dx$常用导数公式：常数函数的导数为0：$\large (\mathrm{C})'=0$幂函数的导数为其幂次减一倍的函数值：$\large(x^n)'=nx^{n-1}$指数函数的导数是其自身的函数值再乘以以e为底数的指数，即：$\large (e^x)'=e^x$常数倍的函数的导数，等于常数倍和该函数的导数之积：$\large (k f(x))'=k f'(x)$和差函数的导数等于其各自的导数之和：$\large(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$常用微分公式：$\large dy=(\frac{d}{dx}f(x))dx$$\largedy=\frac{d}{dx}(f(x)g(x))dx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)dx$ $\largedy=\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})dx=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}dx$高阶导数：如果函数的一阶导数存在，可以对其再进行一次导数运算，得到函数的二阶导数；继续运算，可以得到函数的三、四、五……n阶导数。
河南专升本高数考纲
河南专升本高数考纲高数考纲是指在河南地区专升本考试中与高等数学相关的考试大纲。
高数作为专升本考试中的一门重要科目，对于考生来说是一项关键的考试内容。
掌握高数考纲的内容，对于考生能否取得优异的考试成绩起着至关重要的作用。
在河南专升本高数考纲中，主要包括以下几个方面的内容：一、数列与级数。
这一部分主要包括数列的定义、数列的通项公式、等差数列、等比数列以及级数的概念和性质等内容。
对于数列与级数的理解和掌握，是解题的基础，也是后续学习的重要前提。
二、极限与连续。
这部分内容涉及到数列极限、函数极限以及连续函数的概念和性质。
极限是高数中的重点难点，通过深入理解和掌握极限的概念和性质，能够帮助考生更好地解决相关的极限问题。
三、导数与微分。
导数与微分是高数中的重要概念，也是解决函数问题的主要手段之一。
这部分内容包括导数的定义、导数的基本运算法则、高阶导数等内容。
对导数与微分的理解和掌握，能够帮助考生解决函数的变化规律和最优化问题。
四、积分与应用。
积分是高数中的另一个重要概念，也是解决函数问题的常用方法之一。
这部分内容包括不定积分的定义与性质、定积分的概念与计算、曲线下面积与曲线长度的计算等。
积分的应用广泛且实用，对考生来说需要掌握各类积分的计算方法和应用技巧。
总的来说，河南专升本高数考纲的内容涉及到了数列与级数、极限与连续、导数与微分、积分与应用等方面的内容。
对于考生来说，只有深入理解和掌握以上内容，才能够在考试中取得优异的成绩。
因此，建议考生在备考过程中要注重对考纲内容的系统学习和复习，不断加强自己的理论基础，提升解题能力，同时也要注重积累解题经验，灵活运用所学知识，以便能够在考试中发挥出自己的实力。
只有经过充分准备和努力，才能够取得令人满意的成绩。
专升本高数知识点汇总
专升本高数知识点汇总高数（高等数学）是专升本考试的重要科目，涉及的知识点较多。
下面是高数的主要知识点汇总，供参考。
一、数列与数学归纳法1.数列的定义和表示方法2.等差数列、等差中项数列、等差数列的通项公式和前n项和公式3.等比数列、等比中项数列、等比数列的通项公式和前n项和公式4.递归定义的数列5.数学归纳法的基本原理和应用二、极限与连续1.函数的极限：-函数极限的定义与性质-左极限和右极限的定义-极限的四则运算法则2.数列的极限：-数列极限的定义与性质-收敛数列与发散数列-数列极限的四则运算法则-无穷小量与无穷大量的概念3.无穷级数：-无穷级数的概念与性质-收敛级数与发散级数-常见无穷级数的求和公式4.连续函数：-连续函数的概念与性质-连续函数的运算法则-闭区间上连续函数的性质三、导数与微分1.导数的概念与性质：-函数在一点处的导数定义与左右导数的定义-导数的四则运算法则-函数可导与函数连续的关系-高阶导数的概念2.基本初等函数的导数：-幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数的导数-常见函数的导数公式3.隐函数与参数方程的导数4.微分的概念与性质：-微分的定义-微分中值定理-高阶微分的概念5.函数的单调性与曲线的凹凸性：-函数的单调性与曲线的单调区间-曲线的凹凸性与拐点-曲线的凹凸区间四、不定积分与定积分1.不定积分：-不定积分的定义与性质-基本初等函数的不定积分公式-基本不定积分的性质2.定积分：-定积分的定义与性质-定积分的计算方法-定积分中值定理-平面图形的面积与旋转体的体积五、微分方程1.微分方程的基本概念与分类2.一阶微分方程：-可分离变量的方程-齐次方程-一阶线性方程- Bernoulli方程3.高阶微分方程：-齐次线性方程与非齐次线性方程的解法-常系数线性齐次方程-常系数线性非齐次方程4.变异参数法5.欧拉方程与欧拉型微分方程6.常微分方程的应用以上仅为高数知识点的大部分内容，考生在备考时还需细化每个知识点的具体内容并进行深入理解与掌握。
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(sin x)(n) sin(x n ) , (cos x)(n) cos( x n )
2
2
常见类型
连续与可导的关系、可导与可微的关系。 变限积分的导数。复合函数的导数(微分)；隐 函数的导数(微分)；参数方程的导数。分段函 数的可导性(待定常数)。简单函数的n阶导数。 求曲线的切线与法线。
f( x0 )
lim
x x0 0
f
(x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f
(x0 );
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数f( x0 ) 和右
导数 f( x0 )都存在且相等.
第二章 导数与微分 主要内容
（一）导数与微分的概念 （二）导数与微分的计算
一、主要内容
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数
微分
dy yx
求导法则
1、导数的定义
y
x x0
y lim x0 x
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 ) .
单侧导数:
可导偶函数的导数是奇函数;可导奇函数的导数是 偶函数; 周期函数的导数仍是周期函数,且周期不变.
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
二阶导数 ( f ( x)) lim f ( x x) f ( x) ,
x0
x
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx2 .
(3) f(x)在x0连续,f (x)在x0不可导,也非f (x0 )
f (x)在点(x0, f (x0 ))处没有切线
微分的几何意义:
当y是曲线的纵坐标增量时, dy就是切线 纵坐标对应的增量.
• 注意:
1).f(x)>g(x)未必有 f’(x)>g’(x)
2). f [(x)]与f [(x)]不同; D( f ') D( f )
d
(u) v
vdu v2
udv
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
注：若x为中间变量，则 dx x
导数的几何意义:
(1) f (x0 ) 0 表示有不平行于x轴的切线
(2) f(x)在x0连续,f (x0 ) (此时f (x)在x0不可导) 切线 : x x0,法线 : y y0
6、导数与微分的关系
函数f ( x)在点x0可微的充要条件是函数f ( x) 在点x0处可导,且 A f ( x0 ).
7、 微分的求法 dy f ( x)dx
8、 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv
d(Cu) Cdu
d(uv) vdu udv 微分形式的不变性
2、基本导数公式
（常数和基本初等函数的导数公式）
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x),v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu (c 是常数),
（3）(uv) uv uv,
（4）( u )
v
uv v2
uv
(v
0) .
(2) 反函数的求导法则
'(x0 )
A
5). f D f C ; f C f D;
f C f D; f D f ' C;
f D f D; u du
sin sin 2 sin cos
2
2
sin sin 2 sin cos
2
2
cos cos 2 cos cos
试卷题型分布
导数：约30分(选择、填空、计算)
(loga
x )
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x
)
Байду номын сангаас
1
1 x
2
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x2
2. 常用的高阶导数公式
(1) (u v)(n) u(n) v (n) (2) (Cu)(n) Cu(n)
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
注意:若f’(x)在x0有定义,则 f ( x0 ) f ( x) xx0 . f’(x)在x0处无定义即f(x)在x0处不可导.
定理 凡可导函数都是连续函数.反之未必
推论：不连续函数一定不可导.
(5) 指数求导法
先将函数化为指数形式, 然后用链式法则求出导数. (6) 对数求导法
先在方程两边取对数,然后用隐函数求导法求出导数.
(7) 参数方程求导法
dy
若参数方程
x y
(t) ,则 (t)
dy dx
dt dx
dt
(t); (t )
判断可导性、求分段点的导数：
-------利用导数定义、单侧导数与导数的关系、 可导与连续的关系。
2
2
cos cos 2 sin sin
2
2
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec2 x (sec x) sec xtgx (a x ) a x ln a
( x ) x1 (cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc xctgx (e x ) e x
如果函数x ( y)的反函数为y f (x),则有
f (x) 1 .
( y)
(3) 复合函数的求导法则 设y f (u),而u ( x)则复合函数y f [( x)]的导数为
dy dy du 或 y( x) f (u) ( x). dx du dx (4) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3 dx
y
3
.
一般地,函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
f
(n) ( x),
y(n) ,
dny dx n
或d
n f( dx n
x
)
.
5、微分的定义
若函数y f (x)的增量 y f (x0 x) f (x0) A x o(x) ( A与x无关),则称A x为函数y f (x)在点x0处 的微分,记作 dy xx0 A x. 微分dy叫做函数增量y的线性主部.(微分的实质)
3). f (x)、g (x)皆不可导时,不能推出 f (x) g(x)、f (x) g(x)不可导
4). lim
x x0
f
'(x)
lim
x x0
f
'(x)
A不能推出 f
'(x0 )
A.
lim
x x0
f
'(x)
lim
x x0
f
'(x)
A且 lim
x x0
f (x)
f
(x0)
f
(3) (x )(n) ( 1)L ( n 1)xn (n 1, R)
1 (n)
x
( x1 )(n)
(1)n n! x n1
(ln
x )( n )
(1)n1
(n 1)! xn
y(n) (a x )(n) a x (ln a)n
y(n) (e x )(n) e x
(n 1, 0! 1)