最新-2018年高考数学一轮复习 第8章解析几何圆的方程课件 精品

∴半径r=|AP|= (2 +1)2 + (1 - 5)2 =5,
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25, 即x2+y2-4x-2y-20=0.
返回目录
(2)解法一:如图所示,由于圆C在两坐标轴上所截弦长相等, 即AD=EG,∴它们的一半也相等,
即AB=GF.又AC=GC,
∴Rt△ABC≌Rt△GFC.
x (2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
【分析】方程x2+y2-4x+1=0表示圆心为(2,0)，半径
为
3的圆;
y x
的几何意义是圆上一点与原点连线
的
斜
率，y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距,x2+y2 可看作
是圆上一点与原点距离的平方 ， 可借助于平面几何知
识，利用数形结合求解.
②
又∵所求圆心在直线 3x-y=0上，
∴3a-b=0，
③
联立①②③，解得
a=1，b=3，r2=9或a=-1，b=-3，r2=9. 故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.
返回目录
【评析】求圆的方程时，据条件选择合适的方程形 式是关键.
（1）当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用 一般式，通过解三元一次方程组来得相应系数.
（2）当条件中给出的圆心坐标或圆心在某直线上、 圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式.
返回目录
＊对应演练＊
(1)已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,- 2), C(5,5),求其外接圆的方程; (2)已知圆C过点P(1,2)和点Q(-2,3),且圆C在两坐标轴上 截得的弦长相等,求圆C的方程.
（3）设k= y - 2 ，则直线kx-y-k+2=0与圆 x-1
（x+2）2+y2=1有公共点，
∴ | -3k + 2 | ≤1.∴
k2 +1
3- 3
4 ≤k≤
∴kmax=
3+ 4
3,kmin=
3- 3 4
.
3 + ,3
4
返回目录
1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、 定参数”是求圆的方程的基本方法,是指根据题设条件 恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.
为
DE
(
-
,22
) ，半径为
D2 + E2 - 4F
2
的圆.
（2）当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示
DE
一个点
(
- ,22
)
;
（3）当D2+E2-4F<0时，方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0 不表示任何图形
.
返回目录
3.点P（x0,y0）与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
返回目录
(1)解法一:设所求圆的方程为
{ { x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由题意有
-D+5E+F+26=0
D=-4
-2D-2E+F+8=0 解得 E=-2
5D+5E+F+50=0,
F=-20.
故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.
返回目录
解法二:由题意可求得AC的中垂线方程为x=2,BC的中垂 线方程为x+y-3=0. ∴圆心P是两中垂线的交点(2,1).
返回目录
解法二:（1）同上.
(2)令
{x=2+ 3cosθ y= 3 sinθ
∴y-x= 3sinθ- c3osθ-2=
(θ∈R).
π s6in（θ- ）4-2.
∴y-x的最大值为 6-2,最小值为- 6-2. (3)由(2)知x2+y2=（2+ 3cosθ）2+( 3sinθ)2
=4+4 3 cosθ+3=7+4 3cosθ.
{解得 E=3D-8 F=11-7D. ∴圆C的方程为x2+y2+Dx+(3D-8)y+11-7D=0. 将y=0代入得x2+Dx+11-7D=0, ∴圆C在x轴上截得的弦长为|x1-x2|= D2 - 4(11 - 7D).
返回目录
将x=0代入得y2+(3D-8)y+11-7D=0. ∴圆C在y轴上截得的弦长为
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又|AM|= (2 - 0)2 + (0 + 2)2 = 2 2 .
从而矩形ABCD外接圆的方程为（x-2）2+y2=8.
返回目录
（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径， 又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|=|PN|+2 2 ，即 |PM|-|PN|=2 2 .
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2 2 的 双曲线的左支.因为实半轴长a= 2，半焦距c=2.所以虚
半轴长b= c2 - a2 = 2.
从而动圆P的圆心的轨迹方程为 x2 - y2 = 1 22
（x≤- 2）.
返回目录
考点三 圆的最值问题
已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 y 的最大值和最小值;
截距b取得最大值和最小值，此时 | 2 - 0 + b | = 3，即
b=-2± 6.
2
故y-x的最大值为-2+ 6，最小值为-2- 6.
返回目录
(3)x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面 几何知识知它在原点及圆心连线与圆的两个交点处取 得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,
故(x2+y2)max=(2+ 3 )2=7+4 3 , (x2+y2)min=(2- 3 )2=7-4 3 .
d=
=
32 + 42
5
∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为
d+r=
6
11
6
+1= ，最小值为d - r=
百度文库
-1=
1
.
55
55
返回目录
（2）设t=x-2y，则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1
有公共|点-2.- t |
∴
12 + 22≤1.∴-
-52≤t≤ -2, 5
∴tmax= 5-2,tmin=-2- 5.
1
∴m=3，此时Δ＞0,圆心坐标为(- 2，3)，半径r=
5
2.
返回目录
解法二：如图所示，设弦PQ中点为M，
∵O1M⊥PQ，∴ k O1M =
∴O1M的方程为y-3=2(x+
.2
12)，即y=2x+4.
{ 由方程组 y=2x+4 解得M的坐标为（-1，2）. x+2y-3=0，
则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.
返回目录
考点二 圆的方程的综合问题
已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两 点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标 及半径.
【分析】（1）利用垂直列出坐标之间的关系，再 化为关于m的方程求解；（2）OP⊥OQ得到O点在以 PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解；（3）利用 圆的性质列出m的方程求解.
学案3 圆 的 方 程
1.圆的标准方程 设圆心为C(a,b)，半径为r，则圆的标准方程 为 (x-a)2+(y-b)2=r2 ， 当圆心在坐标原点时，圆的标准方程 为 x2+y2=r2 .
返回目录
2.圆的一般方程
（1）当 D2+E2-4F＞0 时，方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，它表示圆心
∴圆心为( - 1 ，3)，半径为 5 .
2
2
返回目录
【评析】 (1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的 几何性质,往往会使得思路简捷明了,简化思路,简便运算.
(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值,即三种 解法围绕“列出m的方程”求m值.
返回目录
＊对应演练＊
如图所示，矩形ABCD的两条对角 线相交于点 M（2，0），AB边所 在直线的方程为 x-3y-6=0，点T （-1，1）在AD边所在直线上. （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的方程； （3）若动圆P过点（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆 外切，求动圆P的圆心的轨迹的方程.
返回目录
（1）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与 AB垂直，所以直线AD的斜率为-3.又因为点T（-1，1） 在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y-1=-3（x+1）， 即3x+y+2=0.
{ （2）由
x-3y-6=0， 解得点A的坐标为（0，-2），
3x+y+2=0，
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0），
|y1-y2|= (3D - 8)2 - 4(11 - 7D) .
由题意有 D2 - 4(11 - 7D) = (3D - 8)2 - 4(11 - 7,D) 即D2-4(11-7D)=(3D-8)2-4(11-7D), 解得D=4或D=2. 故圆C的方程为x2+y2+4x+4y-17=0或x2+y2+2x-2y-3=0.
∴x2+y2的最大值为7+4 3，最小值为7-4 3.
返回目录
【评析】与圆有关的最值问题，可y -借b 助图形性质，
u=
利用数形结合求解.一般地:①形如 x - a 的最值问题， 可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最 值问题，可转化为动直线截距的最值问题;③形如 m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离 平方的最值问题等.
(1)当(x0-a)2+(y0-b)2 ＞ r2时，点P在圆外;
(2)当(x0-a)2+(y0-b)2 (3)当(x0-a)2+(y0-b)2
= r2时,点P在圆上; ＜ r2时，点P在圆内.
返回目录
考点一 求圆的方程 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-
y=0截得的弦长为2 7 的圆的方程.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.
∴(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5，MQ2=r2.
在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.
1
∴(- 2+1)2+（3-2）25+5=
1 + (-6)2 - 4m.
41
∴m=3.∴半径为 2,圆心为( - 2,3 ).
返回目录
解法三：设过P，Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0.
由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
∴m-3λ=0,即m=3λ.∴圆的方程可化为
x2+y2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0.
即x2+（1+λ）x+y2+2(λ-3)y=0.
1 + λ 2(3 - λ) ∴圆心M( - 2 , 2 ),
又圆在PQ上,∴ - 1 + λ +2（3-λ）-3=0,∴λ=1,∴m=3. 2
返回目录
【解析】解法一:（1）原方程化为(x-2)2+y2=3，表
示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设 y =k，即
x
y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小
| 2k - 0 |
值，此时
= k2 +1
3 ，解之得k=±
3.
故y x
的最大值为
3 ，最小值为-
3.
(2)设y-x=b，即y=x+b，当y=x+b与圆相切时，纵
∴BC=FC.
设C(a,b),则|a|=|b|.
①
又圆C过点P(1,2)和Q(-2,3),
∴圆心在PQ的垂直平分线上,即在y-
5
=3(x+
1)上,
2
2
即在y=3x+4上,∴b=3a+4. ②
返回目录
{ { 由①知a=±b,代入②得
a=-1 b=1
a=-2 或
b=-2,
∴r= (a -1)2 + (b - 2)2 = 5或5.
返回目录
【解析】解法一：将x=3-2y，代入方程
x2+y2+x-6y+m=0，
得5y2-20y+12+m=0.
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1，y2满足条件： 12 + m
y1+y2=4，y1y2= 5 .
∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1，x2=3-2y2.
∴x1x2=9-6（y1+y2）+4y1y2.
【分析】先由条件确定选用圆的标准方程还是一般 方程，再由待定系数法确定常数大小.
返回目录
【解析】设所求的圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，
则圆心（a，b）到直线y-x=0的距离为 | a - b |，
∴r2=
(| a - b |)2 2
+（
7）2，
2
即2r2=（a-b）2+14.
①
由于所求的圆与x轴相切，∴r2=b2.
故所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25,
即x2+y2+2x-2y-3=0或x2+y2+4x+4y-17=0.
返回目录
解法二:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵圆C过点P(1,2)和点Q(-2,3),
{∴ 12+22+D+2E+F=0 4+9-2D+3E+F=0,
返回目录
＊对应演练＊
已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2=1上任意一点. （1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小
值. （2）求x-2y的最大值和最小值；
y-2 （3）求 x - 1 的最大值和最小值.
返回目录
(1)圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为
| 3×(-2) + 4×0 +12 | 6