利用类比思想求函数值域

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谈谈解答最值问题的四个技巧

备考指南最值问题是高考试题中常见的考点之一.此类问题具有较强的综合性，且命题形式多种多样，在解题过程中若找不到恰当的方法，就会因为复杂冗繁的计算量而浪费大量的时间，甚至得不到正确的答案.如何选择合适的方法，如何灵活运用各个模块的知识，是解答最值问题所需要重点考虑的事情.本文举了四个典型的例题，并对其进行了分析、探究，总结出解答最值问题的技巧，供同学们参考.一、用函数的单调性求最值在求解最值问题时，我们通常可将目标式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，利用函数的单调性来求解最值.在解题时，需根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最值.例1.设a 为实数，求x 2+||x -a +1的最小值.解：设f ()x =x 2+||x -a +1，(1)若x ≤a ，则f ()x =æèöøx -122+a +34，①当a <12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上单调递减，可知函数在(]-∞,a 上的最小值为f ()a =a 2+1；②当a ≥12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上的最小值为f æèöø12=34+a ，且f æèöø12≤f ()a .（2）若x >a ，则f ()x =æèöøx +122-a +34.①当a ≤-12时，则函数f ()x 在éëöø-12,+∞上单调递增，在éëöøa ,-12上单调递减，所以函数在[)a ,+∞上的最小值为f æèöø-12=34-a ，且f æèöø-12≤f ()a ；②当a >-12时，则函数f ()x 在[)a ,+∞上的最小值为f ()a =a 2+1.综上可得，当a ≤-12时，f ()x min =34-a ；当-12<a≤12时，f ()x min =a 2+1；当a >12时，f ()x min =a +34.将目标式看作二次函数式，便可根据x 与a 的大小关系，以及a 与函数对称轴-12的大小关系，确定二次函数的单调性，即可根据二次函数的单调性确定函数的最值.在解题时，需运用运动和变化的观点，构建关于变量、自变量的集合，通过类比、联想、转化的方式构造合适的函数.二、用基本不等式求最值基本不等式a +b 2≥ab ()a >0，b >0主要用于求函数的最值及证明不等式.在运用基本不等式求最值时，需把握“一正”“二定”“三相等”三个条件，重点关注或配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.例2.求y =x +4x的值域.解：①当x >0时，x +4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，②当x <0时，()-x +æèöø-4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，所以x +4x ≤-4，故y =x +4x的值域是(]-∞,-4∪[)4,+∞.由于x 的取值不确定，而运用基本不等式的条件是各式均为正值，于是将x 分为x >0和x <0两种情况，分别运用基本不等式来求最值.三、利用线性规划思想求最值线性规划思想是指求线性约束条件下，目标函数的极值.运用线性规划思想求最值的基本步骤是：①根据题意建立数学模型，并作出可行域；②建立目标函数；③利用图形求出目标函数的最值.例3.已知ìíîïïx -y +2≥0，x +y -4≥0，2x -y -5≤0，求z =x 2+y 2-10y +25的最小值.解：作出可行域，如图中阴影部分所示.将直线x -y +2=0、x +y -4=0、2x -y -5=0两两联立可求出三个顶点的坐标A ()1,3、B ()3,1、C ()7,9，51备考指南而z =x 2+y 2-10y +25=x 2+()y -52表示可行域内任一点()x ,y 到定点M ()0,5的距离的平方，过M 作直线AC易知垂足N 在线段AC 上，则z 的最小值为||MN 2，由点到直线的距离公式可得||MN =，故z 的最小值为||MN 2=92.我们将不等式组看作线性约束条件，画出可行域，便可将问题看作线性规划问题，结合图形寻找到目标函数取得最小值的点，即可利用线性规划思想求得问题的答案.四、利用代数式的几何意义求最值大部分的代数式都有几何意义，如y =x 2表示的是一条抛物线，y =x 表示的是一条直线，y =1x表示的是两条双曲线，等等.在求最值时，可先挖掘代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过寻找图形中的临界情形，如相切、相交等情形，确定目标式的最值.例4.已知x ，y 满足x 225+y 29=1，求()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最值.解：由方程x 225+y29=1易知，该曲线为椭圆，设P ()x ,y 为椭圆上的一点，B (2，2)，则a =5，b =3，c =4，右焦点A (4,0)，左焦点F 1(-4,0)，而||PA +||PB =()x -42+y 2+()x -22+()y -22，根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PA |=10，则|PA |=10-|PF 1|，|PA |＋|PB |=10-|PF 1|+|PB |，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质，可得10-|F 1B |≤|PF 1|-|PB |≤10+|F 1B |，又F 1B =210，故10-210≤|PA |+|PB |≤10+210.当且仅当P ，B ，A 共线时等号成立，故()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最大值是10+210，最小值是10-210.解答此题，需将方程x 225+y 29=1看作椭圆，P 看作椭圆上的一个动点，那么目标式表示的是线段||PA +||PB ，问题就变为求两线段和的最大值、最小值.挖掘题目中代数式的几何意义，将问题转化为几何图形问题，利用几何图形的性质以及相关定理、公式即可解题.当然，求最值的方法还有很多，如导数法、转化法等.这就要求让同学们运用发散思维，去寻求、总结更多的解答最值问题的方法.（作者单位：安徽省临泉第二中学）（上接34页）三、引导学生关注时事，点评其中的人与事“文章合为时而著”，在写作教学中，我们要引导学生关注时事，多思考，多评论，让他们走进社会生活，理性地表达自己的观点。

例谈三角函数值域(最值)的几种求法

四、易元变换，整体思想求解例５求函数Ｙｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ的值域．解法一设ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＝ｔ，
则＝√＿ｓｉｎ（＋号）［一，］＇ｓｉ眦ＣＯＳＸ－丁ｔ２－１，
【一芋，】，由ｓｉｎ２ｘ＋Ｃ０８２Ｘ￣．，得ｍ２＋／７，２：１，ｍｓ
【关键词】高中数学；三角函数的值域；几种求法
·
．
．
ｙ：
＋
＝ ÷（￡＋１）一１，ｅ［－，］．
故当：寸，有Ｙ＝＋÷．
解法二构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值
设ｓｉｎｘ＝ｍ＋ｎ，ＣＯＳＸ＝ｍ —ｇ／，，则ｓｉｎｘ＋ｃ０ｓ＝２ｍ，ｓｉｎｏ％ｃｏｓ．ｘ＝ｍ２一ｎ２．
· ＝ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＋ｓｉａｘｅｏｓｘ＝２ｍ＋ｍ一＝２ｍ＋２ｍ一
．．
÷，ｍ［一，】，
故当ｍ：牟时，有），…：＋
五、方程架桥，问题转化
例６求函数Ｙ：一±≥ 拿巫的最大值、最Ｚ十Ｓ１眦
小值．
解析将问题转化为求一元二次方程在闭区间上有解
有ｃｏｓｌ≤ＣＯＳ（ｓｉｎｘ）≤１，．’．ｃｏｓ１≤ ｃｏｓ（ｓｉｎｘ）≤１
三、抓住结构特征。巧用均值不等式
例３若０＜＜竹，求＿厂（）＝坠
的最小值
解析由０＜＜＂ＩＴ得：ＸＳｌ［Ｉ￣＞０，根据均值小等式：
）＝９ｓｉ似４≥２￣９ｘｓｉｎｘｘｓＬｉ＝１２．
即ｄ－
：ｌ，即３ｋ一８ｋ＋３：０，解得：，

函数y=f(x)理解与分析周勇关于

关于函数y=f(x)的理解与分析作者：周勇（湖南省长沙市第七中学邮编：410003）抽象函数y=f(x)是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

一般以中学阶段所学的基本函数为背景，构思新颖，条件隐蔽，技巧性强。

解法灵活，因此它对发展同学们的抽象思维，培养同学们的创新思想有着重要的作用。

一、关于定义域的理解与分析例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］原理：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。

又如：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。

再如：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为，值域为。

(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡原理：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

函数-函数概念,对应是本质

本源探究微课程—函数概念，对应是本质南昌本源探究微课组随着数学的不断发展，函数概念历史演变经历了四个主要阶段：（1）函数概念萌芽：变量作为数学名词是约翰贝努力首先应用的，函数这一名词是德国哲学家兼数学家莱布尼兹首先采用的；（2）函数概念-变量依赖说：1748年，欧拉在约翰贝努力的基础上首次用“解析式”来定义函数，欧拉二次定义函数，第二个定义与现代函数定义很接近，在函数的表达上不拘于用解析式来表达，破除了用公式表达函数的局限性，他认为函数不一定用公式来表达，他曾把画在坐标系上的曲线也叫函数．（3）函数概念-变量对应说：1823年，柯西的函数定义把函数概念与、连续、解析式等纠缠不清的关系给予澄清，也避免了“变化”一词，但是对于函数概念的本质—对应思想强调不够；此后黎曼和狄里克雷认识到这一点，给出了较精确的定义，彻底抛弃了解析式的束缚，特别强调和突出对应思想，使之具有更加丰富的内涵，被公认为函数的现代定义．（4）函数概念-集合对应说：20世纪初，德国数学家康托提出的集合论被世人广泛接受后，用集合对应关系来表示函数概念渐渐地占据了数学家的思维，通过集合论的概念把函数的对应关系、定义域、值域进一步具体化，函数便明确地定义为集合的对应关系，再进一步发展为现代函数定义的集合关系说．【例１】观察以下各小问中的两组数据，选用代数式、图表或图象描述两组变量的关系．（1）设弹簧伸长量为x ,作用于弹簧上拉力为y ，某弹簧的伸长量为1、1.5、2、2.5、3、3.5所对应的拉力分别为2、3、4、5、6、7；（2）设年份为x ,平均身高为y ，小明同学从2015年至2020年这六年的平均身高分别是161、163、168、171、172、173.（3）设学号为x ,分数为y ，学号为1-6 的学生在某次测验的成绩分别是82、85、75、66、85、94；仔细观察可以看出，每一小问中两组数据有一种对应关系，把两组数据分别看成两个集合，也即是两个集合的元素之间有一种对应关系．【解析】（1）弹簧伸长量x 构成集合{1,1.5,2,2.5,3,3.5}A ，弹簧拉力y 的构成集合{2,3,4,5,6,7}B ，两组数据中每一个伸长量x 唯一对应一个拉力y ，对应关系为2y x ，从图象分析，是一条直线，是一一对应；（2）设年份为x 构成集合{2015,2016,2017,2018,2019,2020}A ,小明同学这六年的平均身高y 的构成集合{161,163,168,171,172,173}B ，对应关系是找每一年份的身高，无法用代数式表示对应关系，可以用表格来表示这种对应关系：，也可以用图象表示其中对应关系，从图象分析，是一系列离散的点集，仍是一一对应关系；（3）设学号x 构成集合{1,2,3,4,5,6}A ,某测验的成绩分数y 的构成集合{82,85,75,66,85,94}B ，对应关系是找学号对应学生的分数，用不同学号的学生有考分一样的，无法用代数式表示对应关系，可以用图表来表示这种对应关系：也可以用表格或图象表示其中对应关系，从图象分析，也是些离散点集，只是有二对一的对应关系；所举三个例子可以看出，抽象出两个数集中元素之间有某种对应关系，按照规则，前一集合中的每一个元素在后一集合中都有唯一的元素与之对应（一对一或多对一），对应关系可以是语言文字描述解析式、图象、表格或等。

在高中数学课堂教学中渗透类比思想

在高中数学课堂教学中渗透类比思想摘要：类比是合情推理常用的思想方法，其不仅开拓学生的视野，还能提高学生的创新思维，通过类比的课堂教学也把课堂交给了学生，所以,比思想在高中数学教学中的应用也引起了大家的关注和研究。

关键词：数学类比思想合情推理应用类比是一种重要的数学思想方法，类比推理是合情推理的重要组成部分，它对揭示数学知识之间的内在联系，启迪解题思路等方面，都有着独特的作用。

因此，在高中数学教学中，要注重类比思想的应用，这不仅可以促进学生对所学知识的理解，还可以激发学生学习的积极性。

本文就类比思想在高中数学教学中的应用谈谈自己的看法:一、类比思想在新授课中的应用(一)类比思想在概念的形成过程中的应用高中数学中的概念很多，有些理解起来很抽象，不少学生对此感到困难。

新课程通常通过强化数学知识的实际背景来帮助学生理解概念，其实，对于某些内容，如果能利用类比，把新旧概念结合起来考虑，则可大大降低理解的难度。

例1:在学习等比数列的新授课时，可以让学生对照等差数列概念，类比出等比数列的概念，让学生体会这两个概念只有一个字的差别，这样不仅巩固了等差数列的概念，也让学生更加深刻的理解等比数列的概念。

例2:在讲授直线和圆的位置关系时，可以设计如下类比:1、点和圆的位置关系如何判定?2、如何判断直线与圆的位置关系?这样设计让学生自然的接受了这一新的知识，不会觉得这种判断方法出现的很突然。

例3:在导人棱柱的定义时，可以设计类比让学生思考:1、平面上的点沿某直线方向平移一段距离后形成什么图形?2、线段沿某个方向平移后形成什么图形?3、一个平面图形如三角形，平行四边形，五边形沿某一方向平移后形成什么图形?通过这三个问题，利用类比思想，把点所具有的特点推广到线、线所具有的特点推广到面、面所具有的特点推广到空间，实际上是充分利用学生已经掌握的平面几何知识，去猜测、推导、理解相关的立体几何知识，这使学生对棱柱的理解不仅有了直观的印象，而且有了运动变化的观念。

高中数学函数求最值常用方法总结

高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。

在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。

本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：一、利用一次函数的单调性【例题1】已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .解：得 y = 5/3 （1 - x）, z = 2x - 1∴ w = 9x - 6又 x , y , z 非负，依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,当 x= 1 时，Wmax = 3 .注：再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .二、利用二次函数的性质【例题2】设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？解：∵ α , β 为方程的两个实数根，∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,令 y = α^2 + β^2 , 则有又由原方程由实数根可知，∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .而二次函数的顶点（1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为（-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线，比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .注：利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 . 【例题3】如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .分析：由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB的距离最大 .解：设 P 点坐标为（x0 , y0）,∵ A , B 在直线 y = 3x 上，∴联立抛物线与直线方程，可得xA = -4 , xB = 1 ,∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,则有∴当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为（-3/2 , 7/4）.注：在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .三、利用二次方程的判别式欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程，注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .【例题4】已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求的最值 .解：原式可化为∵ x ∈ R ,∴解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 [ 0 , 1 ] .又 x = 0 时， y = 2/3 ,∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .注：① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得，即要注意验根 .四、利用重要不等式【例题5】设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .解：令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,∴ u ≤ 4√23 ,( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号) 故注：这里是应用柯西不等式，在应用公式时，如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .五、利用三角函数的有界性对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx + bcosx （a , b ≠ 0）引入辅助角 θ，则其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .【例题6】求的最值 .解法一：（利用降幂公式）解法二：（用判别式法）注：本例还可以用万能公式等方法来求解 .六、利用参数换元对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 . 【例题7】求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .解：原函数变为∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .注：这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .七、利用复数的性质【例题8】已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 . 解法一：设 z = 2（cosθ + isinθ）（∵ | z | = 2）故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .解法二：依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ，即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ，∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .注：求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一），复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.八、利用数形结合有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.【例题9】求的最值 .解：将函数式变形为其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ，-1）连线的斜率，动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,即 kAC = 4/3 ,故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .注：形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，通常都可视作点（g(x) ，f(x) ）与点（b , a）的连线的斜率 .运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，将代数式通过转化、变形、给予几何解释，通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .。

求解三角函数问题的五种思想方法

求解三角函数问题的五种思想方法新的课程理念认为，通过学习学生应“了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用……体验数学发现和创造的历程。

”因此，在教学中应注重数学思想的渗透。

而在现行的中学数学教材中，数学思想方法的内容比较隐蔽，除了一些具体的数学方法，如消元法、换元法、待定系数法、比较法、反证法等有明确陈述外，其余一些重要的数学思想方法都没有比较明确的阐述，比如，化归思想、分类讨论思想、数形结合思想……它们一直蕴含在基础知识教学中，隐藏在“幕后”，因此，我们在教学中应安排它们到“前台”亮相，这样才能使学生更好地掌握所学知识。

下面简单介绍一下求解三角函数问题需要用到的几种常见的数学思想。

1 化归思想化归思想就是把不熟悉的问题转化为熟悉问题的数学思想.，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上。

对于含有x x x x c o s s i n ,c o ss i n ±的函数的最值问题，常用的解决方法是令2,c o s s i n ≤=±t t x x ，将x x cos sin 转化为t 的关系式，最终化归为二次函数的最值问题。

例1 求函数x x x x y cos sin cos sin 1+++=的最大值和最小值。

解：设x x t cos sin +=，则]2,2[-∈tx x x x x x t cos sin 21cos cos sin 2sin 222+=++= ，221)1(2112+=++=∴-t t y t， 2223)12(212max +=+=∴y ，0min =y 其实，化归思想在三角函数中处处可见，如应用诱导公式的解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角，化非锐角为锐角……；三角式的化简过程通常遵循的原则，如切割化弦、化异为同、化高为低、化大为小……2 类比思想类别思想是是根据两个（或两类）不同对象之间在某些方面（如特征、属性、关系等）有相同或相似之处，推导或猜测它们在其它方面也可能相同或相似，并作出某种判断的推理思想。

求三角函数值域的常用方法

求三角函数值域的常用方法有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。

掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。

一、利用三角函数的有界性求值域1、形如y=asinx+bcosx+c 型引入辅助角公式化为22b a +sin(x+φ)+c 再求值域. 例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+3π)的值域2、形如y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型通过降幂转化为Asinx+Bcosx 再求值域.例2、（2011重庆高考）设a R ∈，2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-+-，满足()(0)3f f π-=，求函数11(),]424f x ππ在[上的最大值和最小值二、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin 2x+bsinx+c 型令sinx=t 转化为二次函数再求值域.例3、（2011北京卷）已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-（1）求()3f π的值（2）求()f x 的最大值和最小值2、形如y=asinx·cosx+b （sinx±cosx ）+c ，换元令sinx±cosx=t 转化为二次函数在]2,2[-上的值域问题三、根据代数函数的单调性求值域形如y=sint+t b sin ，令sint=x ，根据函数y=x+xb 的单调性求值域. 例6、θ∈(0,π)，则函数y=sin θ+θsin 2的值域为_________.形如y=d x c b x a ++cos cos 型，可用分离常数法转化为y=x+xb 再求值域. 例5、求函数y=1cos 21cos 2-+x x 的值域.。

函数的性质教案8篇

函数的性质教案8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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三角函数值域最值的几种求法

∴ cos1 ≤ cos(sin x) ≤1.
(3)由
y
=
2sin(x
+
π )
知：
π ≤x
+
π≤5π．
6
3
66
由正弦函数的单调性： 1 ≤y ≤2 .．
3 抓住结构特征，巧用均值不等式
例 3 若 0 < x < π, 求 f (x) = 9x2 sin2 x +：由 0 < x < π得 xsin x > 0 ,根据均值不等式
o
数的图象，故可以通
2
x
过图象求解．
解：设 y1 = (x 1)2 , y2 = loga x ,则 y1 的图象为右
图所示的抛物线，要使对一切 x∈(1,2), y1 < y2 恒成
立，显然 a
>1
,并且必须也只需当
x
=
2
时
y 2
的函数
值大于等于 y1 的函数值．
故 loga 2 > 1,a > 1, ∴1 < a ≤2 .
张卓霞福建省泉州市泉港第二中学(362801)
有关三角函数的值域 (最值 )的问题是各类考试考查的热点之一．这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法．掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力． 1 合理转化，利用有界性求值域
a + a2
x1 = ln
2
4，
此时，若 x ∈(0，x1) ，则 g′( x) < 0 ，故 g (x) 在

高三数学专题复习函数的性质及应用

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。

函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。

研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。

函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。

对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。

掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。

要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。

一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有个．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是．（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= ．（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为。

抽象函数常见题型解法

三、值域问题例4. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，
且存在，使得，求函数的值域。解：令，得，即有或。若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必
有。由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意。所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的
五、单调性问题例6. 设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而所以又当时，。所以对任意，恒有
设，则所以，所以在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
，（），考察下列结论，① ；②
为偶函数；③数列
为等差数列；④数列
为等比数列，其中正确的是_______（填序号）答案 ①③④ 3.（岳阳联考题）若
是定义在
上的函数，对任意的实数
，都有
和
且
，则
的值是（）答案 C
A．2008
B．2009
C．2010
4．(成都市石室中学高三三诊模拟)定义在[0，1]上的函数
抽象函数专题训练
1 线性函数型抽象函数
【例题1】已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间上的值域。【例题2】已知函数对任意实数，均有，且当时，求不等式的解。
2 指数函数型抽象函数
【例题3】已知函数定义域为R，满足条件：存在，使得对任何和，成立。求：（1） (2) 对任意值,判断值的正负。【例题4】是否存在函数满足下列三个条件：

函数的值域

课题：函数值域与最值（复习教案）一、知识点：（一）确定函数值域的因素：函数的值域是由函数的定义域和对应法则确定的。

注意：求函数的值域不要忽视了函数的定义域，一般，求函数值域先求函数的定义域。

（二）基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。

3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R}4、指数函数y=a x （a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R 二、求函数值域的常用方法：1、利用基本初等函数值域求一些简单的复合函数的值域例1、求函数y=log 21（x 2-6x+17）的值域。

解法1：设u= x 2-6x+17，则y=log 21u 由x 2-6x+17＞0得函数y 的定义域为R函数u 的在（-∞，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当8≥u 时函数y=log 21u 在R 上是关于u 的减函数所以函数y=log 21（x 2-6x+17），在（-∞，3）上是关于x 的增函数，在（3，+∞）上是关于x 的减函数。

y max =f （3）=log 218=-3 所以函数的值域为（-∞，-3]解法2：设u= x 2-6x+178≥，则y=log 21u （8≥u ）求复合函数的值域等价于求外层函数的值域，由于y=log 21u （8≥u ）为减函数，因此8=u 时函数取得最大值3max -=y ，故函数y=log 21u （8≥u ）的值域为（-∞，-3]，即所求函数的值域为（-∞，-3]2、配方法----常用于二次函数或准二次函数例2、求函数y=3x 2-6x+5（x ＜-2）的值域。

函数的概念

函数的概念【教学目标】一、知识目标1、了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

2、会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法3、了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4、理解函数的最大（小）值及其几何意义；会求简单的函数值域．二、能力目标在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法，培养学生类比思维能力。

通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。

通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力。

三、情感目标通过实例和图象的直观，让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题。

【教学重点】1、会求一些简单函数的定义域与值域；【教学难点】1、会求一些简单函数的定义域与值域；【考点分析】函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 【知识点梳理】 1、函数的定义：设A 、B 是非空数集．．．．，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定．．．．的数()f x 和它对应，那么称:f A B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域.※从定义看，定义域、值域、对应法则是函数的三要素，两个函数相同必须三项均相同。

函数概念教案

函数概念教案函数概念教案1教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1，0，1，2，3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1，3]；（4）x∈(－1，2]；（5）x∈(－1，1)．例3 求下列函数的值域：①＝；②＝．例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：x1234x1234f(x)2341g(x)2143分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①＝2－x2；②＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．（4）已知函数＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质，函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P31-5，8，9．函数概念教案2各位领导老师：大家好！今天我说课的内容是函数的近代定义也就是函数的第一课时内容。

论高中数学必修(1)中的类比思想

论高中数学必修（1）中的类比思想数学中的类比思想是由某事物已有的性质，以类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质，是数学逻辑思考的重要思维方法。

教科书中强调类比思想，尽最大可能展示了这一常用的逻辑思考方法，以使学生体会数学探索活动的基本规律，逐步学会借助数学符号和逻辑关系进行数学推理和探究，推求新的事实和论证猜想，从而发展学生认识事物的“数”“形”属性和规律、处理相应的逻辑关系的悟性和潜能。

它可使学生养成逻辑思维的习惯，能够有条理地、符合逻辑地进行思考、推理、表达与交流，能够利用数学内容的内在联系，使不同的数学内容相互沟通，学会数学中思考问题的方式，提高对数学的整体认识，同时提高数学思维能力、培养理性精神。

那么，教材在哪些地方运用了类比思想呢？我们老师又该如何处理教材，从而培养学生的类比思想呢？首先，教材在介绍集合间的基本关系时，教科书第6页的思考是这样写到：“实数有相等关系，大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等。

类比实数间的关系，你会想到集合之间的什么关系？”教材的意图是启发学生类比熟悉的两个实数之间的关系，联想两个集合之间的关系，从而达到培养学生的类比思想的目的。

当然，老师在教学时应抓住机会让学生充分思考和积极探索，并鼓励他们说出自己的想法。

在学生类比并对两个集合之间的关系产生了某些想法后，老师再通过分析教科书中的三个具体例子的共同特点，给出集合之间的包含关系。

这样，我们就让学生在高中阶段第一次体会了类比这一人们学习新知识的基本思维方法。

其次，教科书中第6页，又与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，引导学生得到了“AB，且BAA=B”。

再次，教科书中第9页，给出的“思考”是这样的：我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？考查下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？（1）A=﹛1，3，5﹜，B=﹛2，4，6﹜，C=﹛1，2，3，4，5，6﹜；（2）A=﹛x︱x是有理数﹜，B=﹛x︱x是无理数﹜，C=﹛x︱x是实数﹜。

类比思想

类比思想类比是一种间接推理的方法，类比是通过两类不同对象B A ,间的某些属性的相似，而从A 具有某种其他属性便猜测B 也具有这种属性。

例1 如图，四面体ABC V -中，C B A V V V ,,两两互相垂直，求证：2222VCA VBC VAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=分析：四面体是最简单的多面体，三角形是最简单的多边形，由它们之间的这种相似性出发，有立体图形类比到平面图形，再由平面图形的证明类比到立体图形的证明。

图1 图2证明：图2中作AB CD ⊥于点D ，则222)(AB BD AD AB AB BD AB AD BC AC =+⋅=⋅+⋅=+，于是类比，过V 作平面BC VAD ⊥，则ABC VAD 面截面⊥222222)21()21()21(VC VA VC VB VB VA S S S VCAVBC VAB ⋅+⋅+⋅=++∆∆∆ ])([4122222BC VD VC VB VA ⋅++=)(412222BC VD BC VA ⋅+⋅=)(41222VD VA BC +=2241AD BC ⋅=2ABC S ∆=例2 已知P 为ABC ∆内一点，c AB b CA a BC ===，,，点P 到ABC ∆的三边AB CA BC ,,的距离分别是321,,d d d ，求证：ABCS c b a d c d b d a ∆++≥++2)(2321（第22届IMO 试题）分析：由题设条件易知3212cd bd ad S ABC ++=∆，所证不等式即2321321)())((c b a cd bd ad d cd b d a ++≥++++⇒ 而由这一不等式的特点联想到柯西不等式事实上，由柯西不等式2111)(∑∑∑===≥⋅ni i i ni i ni i b a b a211212)(∑∑∑===≥⋅ni i i ni ini ib a b a立即可得上面的不等式例3 求满足方程组333434343y x x z y y x z z ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩的实数),,(z y x （1990，北京IMO 集训题）分析：由每个方程的形式联想到三倍角的余弦公式。

高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀

第12讲三角函数一、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

什么是函数思想

什么是函数思想函数的思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系,通过类比、联想、转化合理地构造函数,运用函数的图像和性质,使问题获得解决。

函数的思想方法是最重要、最基本的数学思想方法之一。

《九年义务教育全日制小学数学课程标准》在基本理念中指出：教师帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法[6]。

这说明了数学思想方法对小学数学学习有着极其重要的作用。

虽然在小学数学中没有正式引入函数概念与函数关系式，但这不等于没有函数的雏形、没有函数思想的存在。

在小学阶段渗透函数思想方法，可以使学生懂得一切事物都是在不断变化、而且是相互联系与相互制约的，从而了解事物的变化趋势及其运动的规律。

这对于培养学生的辩证唯物主义观点、培养他们分析和解决实际问题的能力都有极其重要的意义，而且可以为学生以后进一步学习数学奠定良好的基础。

在小学数学教学中如何渗透函数思想教师澄清了对函数的认识，知道了什么是函数思想及其教育价值，有利于教师站在函数思想的高度审视教材、设计教学。

我们认为在小学数学教学中可以从以下几方面做起。

1.在探索“数与运算”的规律中渗透函数思想在人教版小学数学五年级上册第20页中安排了以下练习。

有些老师让学生计算完毕、答案正确就满足了。

如果我们以函数思想的高度来设计教学，则可以这样做：先计算，后核对答案，接着让学生观察所填答案有什么特点（找规律）并思考这个特点是怎样引起的，然后再出现教科书第24页的如下练习。

虽然学生还没有学过一个数除以小数的计算方法，但可以根据前一题得到的规律加以解决。

这种整合不光是能解决一两个练习的问题，而是让学生从中体会到“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”这种朴素的函数思想，同时为六年级学习正、反比例做了很好的孕伏。

这样做可以把商不变的性质、小数除法、正比例和反比例的相关知识串联起来，使知识脉络化，可以说是一举多得，而这种“得”归根到底是依赖于函数思想而实现的。