北师大版初一上数学讲义第四章基本平面图形

第四章：基本平面图形◆4.1 线段、射线、直线1．线段、射线、直线的概念(1)线段概念：铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段，下图就是一条线段．线段的特征：①线段是直的；②线段有2个端点；③线段的长度是有限的，可度量．线段可以向两方无限延长；线段是没有粗细之分的．(2)射线概念：射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形．如图，把线段AB向一个方向无限延伸，就是一条射线．射线的特征：①射线是直的；②射线有一个端点；③因射线向一个方向无限延长，所以射线没有长短，不可测量．射线可以反向延长；射线没有粗细之分．(3)直线概念：直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成的．直线的特征：①直线是直的；②直线没有端点；③向两个方向无限延长，没有长短，不可测量．因为直线是线段向两个方向无限延长形成的，所以我们不能说延长某条直线，即直线不能延长．【例1】下列说法正确的有( )．①画一条射线等于5 cm；②线段AB为直线AB的一部分；③在直线、射线、线段中，线段最短；④射线与其反向延长线形成一条直线．A．1个B．2个C．3个D．4个2.线段、射线、直线的表示方法(1)线段的表示方法①用两个表示端点的大写字母来表示．如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”．②用一个小写字母来表示．如线段AB也可记作“线段a”．(2)射线的表示方法用两个大写字母表示．一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图中的射线，可记作“射线AB”(端点必须在前面)．射线的识别：判断两条射线是否是同一条射线，首先看端点是否相同，再看延伸方向是否相同，如果这两点都符合，那么这两条射线是同一条射线．①端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图射线MB，MC，MN都表示同一条射线．②端点相同，但延伸方向不相同的射线不是同一条射线，如图中射线AB，AC就不是同一条射线．③端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN的延伸方向一致，但端点不同，所以不是同一条射线．【例2－1】射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的是( )．(3)直线的表示方法直线有两种表示方法：①可以用表示这条直线上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直线上任意两个点的字母没有顺序性．如图甲中的直线可记作“直线AB”或“直线BA”；②可用一个小写字母来表示，如图乙中的直线可记作“直线l”．图甲图乙辨误区线段、射线、直线的联系①表示线段、射线、直线时，都要在字母前面注明“线段、射线或直线”；②用两个大写字母表示线段和直线时，两个字母没有顺序性，可以交换位置，如“线段BA”和“线段AB”表示同一条线段，“直线AB”和“直线BA”表示同一条直线；③表示射线的两个大写字母有一定的顺序，表示端点的字母必须写在前面．【例2－2】如图所示，下列说法( )．A．都错误 B．都正确C．只有一个正确D．有两个正确3．直线的性质(1)经过两点有且只有一条直线．①它包含两层含义：一是“肯定有”，二是“只有一条”，不会有两条、三条……；②它可简单地说成“两点确定一条直线”．(2)直线的其他性质：①经过一点的直线有无数条；②不同的两条直线最多有一个交点．【例3】工人师傅要将一块长条钢板固定在机器上，则至少要用__________个螺钉．4．射线、线段的计数方法射线和线段可以看做直线的一部分，因此在一条直线上，取一些点时，会出现射线和线段．(1)点数与射线的条数射线向一方无限延伸，因此射线的条数是由端点的个数决定的．在直线上，以一个点为端点的射线有2条，若直线上有n个点，则共有2n条射线．(2)点数与线段的条数线段有两个端点，直线上每两个点之间的部分就是一条线段．因此，数线段时，只要判断这些点共有多少种组合即可．析规律数线段条数的方法确定线段的条数时，可以先固定第一个点为一个端点，再以其余的点为另一个端点组成线段，然后固定第二个点为一个端点，与其余的点(第一个点除外)组成线段……，依此类推，直到找出最后的线段为止．【例4】画出线段AB：(1)如图(1)，在线段AB上画出1个点，这时图中共有几条线段？(2)如图(2)，在线段AB上画出2个点，这时图中共有几条线段？(3)如图(3)，在线段AB上画出3个点，这时图中共有几条线段？(4)如图(4)，在线段AB上画出n个点时，猜一猜：图中共有几条线段？5．直线性质的应用生活中的很多实际问题要用到直线的性质，如木工师傅在锯木料之前，先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹条墨线，就是利用了直线的“两点确定一条直线”的性质，沿着这条线能锯成直的，而不会歪斜．【例5】 建房屋垒墙时，建筑工人都要在墙的两端固定绳子，请利用所学的知识，说明其中道理．6.与直线有关的规律探究 (1)两点确定一条直线，在同一平面内，不同的点可以确定不同的直线．当任意三点均不在同一直线上时，点数与直线条数的关系见下表：点的个数 最多直线条数2 13 34 6 … …n (n >1) n (n －1)2(2)平面上若有n (n >1)条直线两两相交，则交点个数最多有12n (n －1)个．【例6】平面上有五个点，过其中任意两点画一条直线，最多能得到多少条直线？请画出另外三种不同情 况的图形．………………………………………………………………………………………………………………………◆4.2比较线段的长短1．线段的性质（1）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

（2）线段的性质两点之间的所有连线中，线段最短。

简述为：两点之间，线段最短。

◇延伸拓展①距离是指两点之间线段的长度，是一个非负数，而不是线段本身。

比如,M N 两点之间的距离不能说成是线段MN ，而应说成线段MN 的长度。

②连接两点的线有无数条，线段的长度最短。

连线是指以两个点为端点的任意线，包括线段，折线和曲线。

连接AB 是指画线段AB 。

【例1-1】已知线段5AB cm =，在线段AB 上截取2BC cm =，则AC =【例1-2】如图是,A B 两地之间的公路，在公路工程改造时，为使,A B 两地行程最短，请在图中画出改造后的公路，并说明你的理由。

BA2. 线段的画法（1）尺规作图法用直尺和圆规作一条线段等于已知线段a 。

MB A如图，其作法是：①画射线AM ；②在射线AM 上用圆规截取线段AB a =，则线段AB 就是所求 作的线段。

上面作法中的“截取”是指以点A 为圆心，以a 的长度为半径画弧，角射线AM 于点B ；尺规作图要保留作图痕迹，最后要指出所求作的图形；注意画线段时，不要向任何一方延伸。

（2）度量法用刻度尺画一条线段等于已知线段a 。

画法是：先用刻度尺量出已知线段a 的长度，再画一条线段，使其长度等于线段a 的长度。

◇延伸拓展 线段和差的画法已知两条线段,()a b a b >。

这两条线段和的画法是：①先画线段AB a =；②在线段AB 的延长线上截取BC b =，则线段AC 就是线段,a b 的和，即AC a b =+，如图1.两条线段差的画法：①先画线段AB a =；②再在线段AB 上截取AC b =，则线段BC 就是线段,a b 的差，即BC a b =-，如图2.图2图1a b C BAb abCB A【例2】已知线段,(2)a b a b >，用直尺和圆规作一条线段，使这条线段等于2a b -。

b3. 线段的中点线段的中点：把线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。

MAB如图，M 为线段AB 的中点，则12AM BM AB ==或22AB AM BM ==。

◇延伸拓展类似的，还有线段的三等分点、四等分点等。

三等分点，把线段分成相等的三条线段叫做线段的三等分点； 四等分点，把线段分成相等的四条线段叫做线段的四等分点； ………n 四等分点，把线段分成相等的n 四条线段叫做线段的n 四等分点； 【例3】若P 是线段CD 的中点，则（ ）A.CP CD =B.CP DP =C.CD PD =D.CP PD >4. 线段长短的比较借助不同的方法比较两条线段的长短。

【例4-1】如图，若AB CD =，则AC 与BD 的大小关系是（ ） D【例4-2】已知三角形ABC ，试比较AC BC +与AB 的大小关系。

CBA5. 线段的有关计算线段的有关计算是以后学习几何知识的前提。

【例5-1】如图所示，已知::3:2:4AB BC CD =，,E F 分别是,AB CD 的中点，且22EF cm =，求,,AB BC CD 的长。

DF C BE【例5-2】如图，已知点C 在线段AB 上，线段6,4AC cm BC cm ==，点,M N 分别是,AC BC 的中点。

（1）求线段MN 的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AB a =，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗？请表述你发现的规律。

BN C MA6. 线段性质的应用线段的性质在生活和生产中应用非常广泛，可以根据“两点之间，线段最短”确定位置。

【例6-1】某地区有,,,A B C D 四个村庄如图所示，为了解决当地的缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你帮忙画出蓄水池O 的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。

DCBA【例6-2】如图所示，有一个正方体纸盒''''ABCD A B C D -，在点'C 处有一只小虫，它要爬到A 点处吃食物，应该沿着怎样的路线，才能使行程最短？你能设计出这条路线吗？D'C'B'A'DCBA7. 易错辨析 【例7-1】若12AC AB =，则点C 是线段AB 的中点，这种说法正确吗？为什么？【例7-2】已知线段8AB cm =，点C 在直线AB 上，且3BC cm =，点M 为线段AC 的中点，求线段MC 的长度。

………………………………………………………………………………………………………………………◆4.3角北师大版初一上数学讲义第四章基本平面图形1．角的定义(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．角的有关概念：顶点：两条射线的公共端点．边：组成角的两条射线．(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．谈重点角的理解(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．【例1】下列说法错误的有( )．①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角A．1个B．2个C．3个D．4个2．角的表示方法及画法角的表示方法有四种．(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB 也可记为∠O.(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．释疑点表示角时的注意事项①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC，就不能用∠O来表示了．否则，就会产生混乱．3．平角、周角(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，、如图1.(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等于360°.(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．【例3】 下列说法是否正确，为什么？①平角是一条直线； ②钟表上的分针经过1小时形成一个周角．4．度、分、秒的换算(1)角的单位及意义角的单位是度、分、秒． 意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°； ②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′； ③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.(2)度、分、秒的进率及换算方法 度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.度6060⨯÷分6060⨯÷秒(3)度、分、秒有关的计算度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制．在运算中满60才向高位进1，而借1则表示低位的 60.在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位．从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算．在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位． 【例4－1】 (1)用度、分、秒表示48.13°为__________；(2)用度表示23°9′36″为__________．【例4－2】 计算：(1)13°29′＋78°37″； (2)61°39′－22°5′32″； (3)23°53′×3； (4)107°43′÷5.5.角的计数方法数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角…… 【例5】 如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来．6．角的应用角在生活和生产中随处可见．本节的有关角的应用主要是钟表中的角．钟面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.钟表面上有60个小格，360°÷60＝6°.因此，时针每小时转动30°，分针每分钟转动6°.时针与分针的夹角的求法：先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30°.用30°乘大格数． 特别注意：①从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如2：50. ②从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加．③时针每分钟转30°÷60＝0.5°.【例6】 如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数．………………………………………………………………………………………………………………………◆4.4角的比较1．角的大小比较(1)度量法：先用量角器测量出各角的度数，再按照角的度数比较大小，从而确定两个角的大小关系． (2)叠合法：两个角比较大小时，把两个角的顶点和一条边分别重合，另一条边放在重合边的同侧，根据另一条边的位置确定角的大小．如比较∠ABC 和∠DEF 的大小，可把∠DEF 移到∠ABC 上，使它的顶点E 和∠ABC 的顶点B 重合，一边ED 和BA 重合，另一边EF 和BC 落在BA 的同一侧．①如果EF 和BC 重合(如图1)，那么∠DEF 等于∠ABC ，记作∠DEF ＝∠ABC ；②如果EF 落在∠ABC 的外部(如图2)，那么∠DEF 大于∠ABC ，记作∠DEF ＞∠ABC ； ③如果EF 落在∠ABC 的内部(如图3)，那么∠DEF 小于∠ABC ，记作∠DEF ＜∠ABC .【例1】 如图，求解下列问题：(1)比较∠COD 和∠COE 的大小；(2)借助三角尺，比较∠EOD 和∠COD 的大小； (3)用量角器度量，比较∠BOC 和∠COD 的大小．2．角的平分线(1)定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个 角的平分线．①角平分线是以角的顶点为端点的特殊射线，它在角的内部；②角平分线把角分成两个相等的角． (2)角平分线的表示：①OC 是∠AOB 的平分线；②∠AOC ＝∠COB ＝12∠AOB ，∠AOB ＝2∠AOC ＝2∠COB .(3)作角平分线的方法：①利用量角器量出角的度数，取角的度数的一半并画出射线； ②折叠：把已知角的两边重合后再折叠，可得已知角的平分线．【例2】 如图，已知∠AOC ＝80°，∠BOC ＝50°，OD 平分∠BOC ，求∠AOD .3．角平分线及角的和、差计算(1)角的和、差的意义如图，①和：∠AOB ＝∠1＋∠2；②差：∠1＝∠AOB －∠2，∠2＝∠AOB －∠1.(2)角平分线及角的和、差计算与角有关的计算，是本节的重点，也是易错点．解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，把未知量转化为已知量．(3)三角板中角的和与差一副三角板有两块，一块含30°角，60°角，90°角；一块含45°角，45°角，90°角． 借助于三角板，即可以画出上面的角．利用三角板和角的和、差，还可以得到以下度数的角：15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°.【例3－1】 已知∠AOB ＝30°，∠BOC ＝20°，则∠AOC 的角度是__________．【例3－2】 如图，AOC 为一直线，OD 是∠AOB 的平分线，∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝72°，求∠EOC的度数．4．角的分类(1)角的分类：根据角的度数，常常把大于0°而小于180°的角分为锐角、直角、钝角三类． (2)各种角的规定： 锐角：大于0°且小于90°的角． 直角：等于90°的角． 钝角：大于90°且小于180°的角． 平角：等于180°的角． 周角：等于360°的角． (3)角之间的关系：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角． 1平角＝2直角＝180°；1周角＝2平角＝4直角＝360°.若没有特别说明，我们平常所说的角是指小于平角的角．【例4】 如图，解答下列问题：(1)比较图中∠AOB ，∠AOC ，∠AOD 的大小； (2)找出图中的直角、锐角和钝角．………………………………………………………………………………………………………………………◆4.5多边形和圆的初步认识1． 多边形和多边形的对角线多边形的定义：由若干条不在同一直线上的线段首位顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。