北师大版初一上数学讲义第四章基本平面图形
第四章：基本平面图形
◆4.1 线段、射线、直线
1．线段、射线、直线的概念
(1)线段
概念：铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段，下图就是一条线段．
线段的特征：①线段是直的；②线段有2个端点；③线段的长度是有限的，可度量．
线段可以向两方无限延长；线段是没有粗细之分的．
(2)射线
概念：射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形．如图，把线段AB向一个方向无限延伸，就是一条射线．
射线的特征：①射线是直的；②射线有一个端点；③因射线向一个方向无限延长，所以射线没有长短，不可测量．
射线可以反向延长；射线没有粗细之分．
(3)直线
概念：直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成的．
直线的特征：①直线是直的；②直线没有端点；③向两个方向无限延长，没有长短，不可测量．因为直线是线段向两个方向无限延长形成的，所以我们不能说延长某条直线，即直线不能延长．
【例1】下列说法正确的有( )．
①画一条射线等于5 cm；②线段AB为直线AB的一部分；③在直线、射线、线段中，线段最短；④射线与其反向延长线形成一条直线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.线段、射线、直线的表示方法
(1)线段的表示方法
①用两个表示端点的大写字母来表示．如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”．
②用一个小写字母来表示．如线段AB也可记作“线段a”．
(2)射线的表示方法
用两个大写字母表示．一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图中的射线，可记作“射线AB”(端点必须在前面)．
射线的识别：
判断两条射线是否是同一条射线，首先看端点是否相同，再看延伸方向是否相同，如果这两点都符合，那么这两条射线是同一条射线．
①端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图射线MB，MC，MN都表示同一条射线．
②端点相同，但延伸方向不相同的射线不是同一条射线，如图中射线AB，AC就不是同一条射线．
③端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN的延伸方向一致，但端点不同，所以不是同一条射线．
【例2－1】射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的是( )．
(3)直线的表示方法
直线有两种表示方法：①可以用表示这条直线上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直线上任意两个点的字母没有顺序性．如图甲中的直线可记作“直线AB”或“直线BA”；②可用一个小写字母来表示，如图乙中的直线可记作“直线l”．
图甲
图乙
辨误区线段、射线、直线的联系
①表示线段、射线、直线时，都要在字母前面注明“线段、射线或直线”；②用两个大写字母表示线段和直线时，两个字母没有顺序性，可以交换位置，如“线段BA”和“线段AB”表示同一条线段，“直线AB”和“直线BA”表示同一条直线；③表示射线的两个大写字母有一定的顺序，表示端点的字母必须写在前面．
【例2－2】如图所示，下列说法( )．
A．都错误 B．都正确C．只有一个正确D．有两个正确
3．直线的性质
(1)经过两点有且只有一条直线．
①它包含两层含义：一是“肯定有”，二是“只有一条”，不会有两条、三条……；
②它可简单地说成“两点确定一条直线”．
(2)直线的其他性质：①经过一点的直线有无数条；②不同的两条直线最多有一个交点．
【例3】工人师傅要将一块长条钢板固定在机器上，则至少要用__________个螺钉．
4．射线、线段的计数方法
射线和线段可以看做直线的一部分，因此在一条直线上，取一些点时，会出现射线和线段．
(1)点数与射线的条数
射线向一方无限延伸，因此射线的条数是由端点的个数决定的．在直线上，以一个点为端点的射线有2条，若直线上有n个点，则共有2n条射线．
(2)点数与线段的条数
线段有两个端点，直线上每两个点之间的部分就是一条线段．因此，数线段时，只要判断这些点共有多少种组合即可．
析规律数线段条数的方法
确定线段的条数时，可以先固定第一个点为一个端点，再以其余的点为另一个端点组成线段，然后固定第二个点为一个端点，与其余的点(第一个点除外)组成线段……，依此类推，直到找出最后的线段为止．
【例4】画出线段AB：
(1)如图(1)，在线段AB上画出1个点，这时图中共有几条线段？
(2)如图(2)，在线段AB上画出2个点，这时图中共有几条线段？
(3)如图(3)，在线段AB上画出3个点，这时图中共有几条线段？
(4)如图(4)，在线段AB上画出n个点时，猜一猜：图中共有几条线段？
5．直线性质的应用
生活中的很多实际问题要用到直线的性质，如木工师傅在锯木料之前，先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹条墨线，就是利用了直线的“两点确定一条直线”的性质，沿着这条线能锯成直的，而不会歪斜．
【例5】 建房屋垒墙时，建筑工人都要在墙的两端固定绳子，请利用所学的知识，说明其中道理．
6.与直线有关的规律探究 (1)两点确定一条直线，在同一平面内，不同的点可以确定不同的直线．当任意三点均不在同一直线上时，点数与直线条数的关系见下表：
点的个数 最多直线条数
2 1
3 3
4 6 … …
n (n >1) n (n －1)
2
(2)平面上若有n (n >1)条直线两两相交，则交点个数最多有1
2
n (n －1)个．
【例6】平面上有五个点，过其中任意两点画一条直线，最多能得到多少条直线？请画出另外三种不同情 况的图形．
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◆4.2比较线段的长短
1．线段的性质
（1）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （2）线段的性质
两点之间的所有连线中，线段最短。简述为：两点之间，线段最短。
◇延伸拓展
①距离是指两点之间线段的长度，是一个非负数，而不是线段本身。比如,M N 两点之间的距离不能说成是线段MN ，而应说成线段MN 的长度。
②连接两点的线有无数条，线段的长度最短。连线是指以两个点为端点的任意线，包括线段，折线和曲线。连接AB 是指画线段AB 。
【例1-1】已知线段5AB cm =，在线段AB 上截取2BC cm =，则AC =
【例1-2】如图是,A B 两地之间的公路，在公路工程改造时，为使,A B 两地行程最短，请在图中画出改造后的公路，并说明你的理由。
B
A
2. 线段的画法
（1）尺规作图法
用直尺和圆规作一条线段等于已知线段a 。
M
B A
如图，其作法是：①画射线AM ；②在射线AM 上用圆规截取线段AB a =，则线段AB 就是所求 作的线段。
上面作法中的“截取”是指以点A 为圆心，以a 的长度为半径画弧，角射线AM 于点B ；尺规作图要保留作图痕迹，最后要指出所求作的图形；注意画线段时，不要向任何一方延伸。 （2）度量法
用刻度尺画一条线段等于已知线段a 。画法是：先用刻度尺量出已知线段a 的长度，再画一条线段，使其长度等于线段a 的长度。
◇延伸拓展 线段和差的画法
已知两条线段,()a b a b >。这两条线段和的画法是：①先画线段AB a =；②在线段AB 的延长线上截取BC b =，则线段AC 就是线段,a b 的和，即AC a b =+，如图1.
两条线段差的画法：①先画线段AB a =；②再在线段AB 上截取AC b =，则线段BC 就是线段,a b 的差，即BC a b =-，如图2.
图2
图1
a b C B
A
b a
b
C
B A
【例2】已知线段,(2)a b a b >，用直尺和圆规作一条线段，使这条线段等于2a b -。 b
3. 线段的中点
线段的中点：把线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。
M
A
B
如图，M 为线段AB 的中点，则1
2
AM BM AB ==
或22AB AM BM ==。 ◇延伸拓展
类似的，还有线段的三等分点、四等分点等。
三等分点，把线段分成相等的三条线段叫做线段的三等分点； 四等分点，把线段分成相等的四条线段叫做线段的四等分点； ………
n 四等分点，把线段分成相等的n 四条线段叫做线段的n 四等分点； 【例3】若P 是线段CD 的中点，则（ ）
A.CP CD =
B.CP DP =
C.CD PD =
D.CP PD >
4. 线段长短的比较
借助不同的方法比较两条线段的长短。
【例4-1】如图，若AB CD =，则AC 与BD 的大小关系是（ ） D
【例4-2】已知三角形ABC ，试比较AC BC +与AB 的大小关系。
C
B
A
5. 线段的有关计算
线段的有关计算是以后学习几何知识的前提。
【例5-1】如图所示，已知::3:2:4AB BC CD =，,E F 分别是,AB CD 的中点，且22EF cm =，求,,AB BC CD 的长。
D
F C B
E
【例5-2】如图，已知点C 在线段AB 上，线段6,4AC cm BC cm ==，点,M N 分别是,AC BC 的中点。 （1）求线段MN 的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AB a =，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗？请表述你
发现的规律。
B
N C M
A
6. 线段性质的应用
线段的性质在生活和生产中应用非常广泛，可以根据“两点之间，线段最短”确定位置。
【例6-1】某地区有,,,A B C D 四个村庄如图所示，为了解决当地的缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你帮忙画出蓄水池O 的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。
D
C
B
A
【例6-2】如图所示，有一个正方体纸盒''''ABCD A B C D -，在点'C 处有一只小虫，它要爬到A 点处吃食物，应该沿着怎样的路线，才能使行程最短？你能设计出这条路线吗？
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
7. 易错辨析 【例7-1】若1
2
AC AB =
，则点C 是线段AB 的中点，这种说法正确吗？为什么？
【例7-2】已知线段8AB cm =，点C 在直线AB 上，且3BC cm =，点M 为线段AC 的中点，求线段MC 的长度。
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◆4.3角
北师大版初一上数学讲义第四章基本平面图形
1．角的定义
(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．
角的有关概念：
顶点：两条射线的公共端点．
边：组成角的两条射线．
(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．
谈重点角的理解
(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．
(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．
【例1】下列说法错误的有( )．
①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角
③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．角的表示方法及画法
角的表示方法有四种．
(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．
(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB 也可记为∠O.
(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.
(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．
释疑点表示角时的注意事项
①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．
②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．
③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC，就不能用∠O来表示了．否则，就会产生混乱．
3．平角、周角
(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，、
如图1.
(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等
于360°.
(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．
平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．
北师大版初一上数学讲义第四章基本平面图形
【例3】 下列说法是否正确，为什么？
①平角是一条直线； ②钟表上的分针经过1小时形成一个周角．
4．度、分、秒的换算
(1)角的单位及意义
角的单位是度、分、秒． 意义：
①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°； ②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′； ③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.
(2)度、分、秒的进率及换算方法 度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.
度
6060
?÷分
6060
?÷秒
(3)度、分、秒有关的计算
度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制．在运算中满60才向高位进1，而借1则表示低位的 60.
在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位．从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算．
在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位． 【例4－1】 (1)用度、分、秒表示48.13°为__________；
(2)用度表示23°9′36″为__________．
【例4－2】 计算：
(1)13°29′＋78°37″； (2)61°39′－22°5′32″； (3)23°53′×3； (4)107°43′÷5.
5.角的计数方法
数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：
①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．
②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角…… 【例5】 如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来．
6．角的应用
角在生活和生产中随处可见．本节的有关角的应用主要是钟表中的角．
钟面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.钟表面上有60个小格，360°÷60＝6°.因此，时针每小时转动30°，分针每分钟转动6°.
时针与分针的夹角的求法：
先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30°.用30°乘大格数． 特别注意：
①从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如2：50. ②从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加．