平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，
平面向量基本定理
记作 : a b
练习: 1 ABC是正三角形, AB与BC 的夹角是 _____ 2 已知 | a | 2,| b | 2,(a b) a, 则 a, b ___
例1、梯形ABCD中, AB / /CD, M , N分别 是DA, BC的中点, 且 DC k, 设 AB
AD e1, AB e2 以e1, e2为基 底表示向量 DC, BC, MN .
e
,e
来表示吗？
12
一、平面向量基本定理：
如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数
使
a 1 e1 2 e2
1
, 2
,
我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底.
特别地 当a 0,即1e1+2e2 =0 1=2 =0
(e1 e2 )
思考：
在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序 实数（坐标）表示。那么，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
设i1, j2分别与x轴、y轴方向相同的单位向量
a xi y j (x, y)
i (1,0) j (0,1)
y
ja
j
O
i
i
x
例3、写出图中向量a、 b、 c、 d 的 坐标
在向量加法的平行四边形法则中, a e e , a 可看
1
2
作是 e , e 的合成 ; 反过来, 也可看成是 a 的分解 .
1
2
e
aee
1
2
1
e 2
问题：1) 是不是每一个向量都可分解成两个不共线
的向量之和？这样的分解是否唯一？
2)
平面向量基本定理
12345
4.已知非零向量O→A，O→B不共线，且 2O→P＝xO→A＋yO→B，若P→A＝λA→B(λ∈R)，
则 x，y 满足的关系式是
√A.x＋y－2＝0
C.x＋2y－2＝0
B.2x＋y－1＝0 D.2x＋y－2＝0
12345
解析 由P→A＝λA→B，得O→A－O→P＝λ(O→B－O→A)， 即O→P＝(1＋λ)O→A－λO→B.又 2O→P＝xO→A＋yO→B， 所以xy＝ ＝－ 2＋22λ，λ， 消去 λ 得 x＋y＝2. 即x＋y－2＝0.
二、用基底表示向量
例 2 如图，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设A→D＝a，A→B＝b，试用基底 a，b 表示D→C，E→F.
解 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以D→C＝A→F＝12A→B＝12b. E→F＝E→D＋D→A＋A→F＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.(多选)若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中不能作为平面
向量的基底的是
√A.e1－e2，e2－e1 √C.2e2－3e1,6e1－4e2
√B.2e1－e2，e1－
1 2
e2
D.e1＋e2，e1＋3e2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，B→D＝c， 则以 a，b 为基底时，A→C可表示为___a_＋__b__，以 a，c 为基底时，A→C可 表示为__2_a_＋__c__.
2.3.1平面向量基本定理
总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性 ３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
思考
设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。 解： A、B、D三点共线
B a b b
[0°，180°.1平面向量基本定理
给定平面内任意两个向量e1 , e2 ，取两个你自己 喜欢的实数1，2，表示向量a 1 e1 2 e2 .
提示：当e1 , e2 共线时， a跟它们有什么关系？ 当e1 , e2不共线时， a跟它们有什么关系？
通过给1 , 2赋不同的值，画出不同的a 1 e1 2 e2， 可以发现: 当e1 , e2 共线时， a跟e1 , e2 共线. 当e1 , e2不共线时， a随着1 , 2不同而不同， a可以是平面 内的任何一个向量.
解成竖直向上和水平向前的两个分速度等。
反馈训练
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有 D A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有 a=λe1+μe2(λ,μ∈R) D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向 量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不 共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系 B A.不共线 B.共线 C.相等 D.无 法确定
e2
B
A
e1 2.5e
1
3e2
第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
2．3.1平面向量基本定理1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.用基底表示向量[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.向量夹角的简单求解[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b 与a的夹角又是多少？[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．平面向量基本定理的应用[典例]NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .层级一 学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°2．设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC B ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.8．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．10．证明：三角形的三条中线共点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b )B ．23a ＋13bC ．13a ＋23bD ．13(a ＋b )2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －23bD ．－23a ＋23b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a ＋________b.6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝34AB＋14AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比．(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝x BM＋y BN，求x，y的值．。
2.2-3平面向量基本定理
ur uur
思考：一个平面内的两个不共线的向量 r
e1、e2
与该平面
内的任一向量 a 之间的关系.
M
C
r
ur e1
a
uur e2
A
uuur uuuur uuur O
如图 OC OM ON
NB
uuuur uuur ur uuur uuur uur
Q OM
uuur
1OurA
1ueur1
ON 2OB 2 e2
r rr r (1)a 2e,b 2e;
r ur uur r ur uur (2)a e1 e2 ,b 2e1 2e2
题型一 向量共线的判定及应用 【例 2】 (2011·长春高一检测)已知非零向量 e1，e2 不共线． (1)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证：A、 B、D 三点共线． (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值． [思路探索] 对于(1)，欲证 A、B、D 共线，只需证存在实数 λ， 使B→D＝λA→B即可；对于(2)，若 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线，则一定 存在 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
OC 1e1 r2 e2 ur
uur
即 a 1e1 +2 e2
ur e1
uur e2
r
a
N A
B
C O
uuur uuuur uuur
如图 OC OM ON
M
uuuur uuur ur uuur uuur uur
Q
OM
uuur
1OurA
1ueur1
ON 2OB 2 e2
OC 1e1 r2 e2 ur
平面向量基本定理概念
平面向量基本定理概念
平面向量基本定理也被称为平面向量基本等式，它是平面向量基本运算定律之一，描述了平面向量的加法和乘法运算的关系。
平面向量基本定理可以表述为：对于任意两个平面向量 a 和 b，有以下等式成立：
a +
b = b + a （向量的加法交换律）
a + (
b + c) = (a + b) +
c （向量的加法结合律）
k(a + b) = ka + kb （给向量的加法分配律）
(a + b)·c = a·c + b·c （向量的点乘分配律）
其中，a、b、c 是平面向量，k 是实数。
这些定理告诉我们，在平面向量的加法和乘法运算中，满足交换律、结合律和分配律，可以随意改变运算的顺序，但运算结果不会改变。
平面向量基本定理在平面向量的运算和推导中起到了重要的作用，使得我们可以简化计算，并且轻松地推导出一些重要的结论和性质。
2.3.1平面向量基本定理
B
e2
3 . 如 果 e1、2 是 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基 底 ， e 那 么 （ D）
A . 对 平 面 中 的 任 一 向 量 a， 使 a 1 e 1 2 e 2 的 实 数 1、 2 有 无 数 对
B . 对 实 数 1、 2， 1 e 1 2 e 2 不 一 定 在 平 面 内 C . 空 间 任 一 向 量 a 可 以 表 示 为 a 1 e 1 2 e 2， 这 里 1、 2 是 实 数
2.3.1平面向量的基本定理
镇江市丹徒高级中学
范习昱
1、向量的加法：
b
O
b
B
a
ab
C
A
a
平行四边形法则 B
b
ab
O
a
A
三角形法则
2、向量的数乘
一般地，实数 与向量a的积是 一个向量，记作： a，它的长度和方 向规定如下： （1）| a || || a | （2）当 0时， a与 a的方向相同
O
N
B
O C 1 e1 2 e 2 即 a 1 e1 + 2 e 2
N
A
e1
B C
e2
a
O
如 图 OC OM ON M O M 1 O A 1 e1 O N 2 O B 2 e2
O C 1 e1 2 e 2 即 a 1 e1 + 2 e 2
a 1 e1 + 2 e 2
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。
平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。
一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。
2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。
设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。
设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。
在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。
根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。
对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。
设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。
平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。
平面向量的基本定理和坐标表
04 平面向量的应用
向量在物理中的应用
01
02
03
力的合成与分解
通过向量加法和减法，可 以表示和计算物体受到的 合力或分力。
速度和加速度
在运动学中，速度和加速 度可以用向量表示，从而 描述物体在平面或空间中 的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，表示力对 物体转动效果的量度，可 以用向量表示。
向量在解析几何中的应用
向量的模
向量的模是指向量的大小或长度，用符号 $|overrightarrow{a}|$ 表示。
向量的模的计算公式为 $|overrightarrow{a}| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
向量的模具有一些重要的性质，如 $|overrightarrow{a} + overrightarrow{b}| leq |overrightarrow{a}| + |overrightarrow{b}|$， 这是向量的三角不等式。
三角形法则
总结词
三角形法则是指向量加法可以通过三角形法则来表示，即向量加法可以通过作一个三角形来表示。
详细描述
三角形法则指出，对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$，可以作 一个三角形，其中$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$分别是三角形的两个边，而 这两个边的和就是三角形的第三边，即$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$。
向量加法的性质
平面向量平面向量基本定理
三角形法则
对于两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$，它们之间的差向量 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b}$满足三角形法则。
• 性质：如果向量组$\overset{\longrightarrow}{a{1}},\ldots,\overset{\longrightarrow}{a{n}}$是线性无关 的，则向量组中的任何一个向量都不能被其余的向量线性表示。
04
平面向量的空间几何意义
平面向量的加法与减法
平行四边形法则
对于两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$，它们之间的和向量 $\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}$满足平行四边形法则。
平面向量基本定理的应用举例
要点一
总结词
要点二
详细描述
平面向量基本定理的应用非常广泛，例如在物理学、几 何学、代数学等领域都有应用。
平面向量基本定理的应用举例包括：1) 在物理学中， 平面向量基本定理可以用于描述力、速度、加速度等矢 量的合成与分解；2) 在几何学中，平面向量基本定理 可以用于表示点、线、面等几何元素的位置关系和运动 情况；3) 在代数学中，平面向量基本定理可以用于求 解线性方程组和进行矩阵运算等。
零向量
长度为0的向量称为零向量，记作 $\overset{\longrightarrow}{0}$ 。
长度相等且方向相同的向量称为 相等向量。
平面向量基本定理(完整版)
O 课本P97例2
O
1．已知平行四边形 ABCD，下列各组向量中，是该平面内
所有向量基底的是 ( )
A.A→B，D→C B.A→D，B→C
C.A→D，C→B
D.A→B，D→A
2. 若点o是平行四边形 ABCD 的中心，AB 4e1, BC 6e2, 则3e2 2e1 _______.
向量 c 与 d 能否作为基底 .
跟踪练习. 若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则 下面的四组向量中不能作为基底的 ( )
A. e1 e2和e1 e2 C. e1 3e2和e2 3e1
B. 3e1 2e2和4e2 6e1 D. e2和e1 e2
用基底表示向量 【例 2】在▱ABCD 中，设A→C＝ ，B→D＝ ，试用 ， 表示A→B，B→C.
O
a
的夹角．注 是同意起:两点向的量必须
A
r 特别的： a
r ObB
0
rr a 与 b同向
r
B
A
r
a
Bb O
180
rr
a 与 b 反向
r
A
b
O
r a
A
r r 90 r
r
夹角的范围：
a 与b 垂直， 记作 a b
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
r j
y)
Or
x
i
平面向量的坐标表示
注意： r
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x,
y)(2)
r i
rr i0j
(1, 0)
平面向量的基本定理
P B
A
o
例4、已知梯形ABCD中，AB 2 DC
M，N分别是DC，AB的中点， 若AB e1, AD e2 用e1, e2表示DC，BC，MN
DM C
A
N
B
作业 数学之友：T5.5
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讶地望向热心人,而对方却给她使了一个“走你”の眼色.“谢谢.”陆羽点点头轻声道声谢,不管对方有没听见,已快步转身拐进人群里.即将走出门口时,她回头看了一眼.那是一名体格健硕の青年男子,浓眉大眼,一件短袖恤衫束在牛仔裤里,寸板头显得他形象粗犷略性感.一身の阳刚之气充 满男人味,看人の时候似笑非笑の,气势内敛却又难掩自身の强悍,吸引了不少目光.把那酒鬼扔地下之后,扫一眼全场没发现异常,他来到吧台敲了敲台面.“你老板呢？”“刚有事出去了,让您等会儿.”问得轻松,酒吧主管答得状似轻松随意.如此淡定肯定有所依仗,要么常客要么是熟人.站 得老远の陆羽放心了,迅速离开这个是非之地.这时,青年男子点点头,回头冷淡地瞟一眼挨了自己教训の酒鬼.对方好不容易爬起来,终于有熟人发现他不见了出来找并扶起他,三人四下张望吆喝：“谁？！刚才谁推我？！妈.の...”吧哩吧啦嚷着要找人报仇.事不关己无人搭理,大家继续各 玩各,灯红酒绿,熙熙攘攘の.一杯色泽炫酷の特饮摆在眼前,青年男子转过头来,粗砺而灵活の手缓缓转着杯子.“刚才那情形往日没人理？”“有,当然有,没你快而已.”酒吧主管轻笑,“管之前一般先看女士の表现,如果她愿意,我们也管不着.”这种场合鱼龙混杂,不缺奇葩,你情我愿の买 卖有の是.青年嘴角扯了下,边喝边继续打量四周,那眼神异常锋锐,“没有未成年吧？”感觉刚才那女生长相青涩稚嫩,像是未成年少女.如果是,哈哈,这店完了.“大门口刷胡集取票,旁边还有四双眼睛盯着,不信可以查监控,发现半个算我输...”酒吧主管戏谑举手比划一下眼睛,以示本店绝 对合理合法,严格执行相关の法律法规,未成年绝对混不进来.青年嗤了声,不再多言,仔细品尝杯中美酒耐心等待...晚上の八九点,大都市精彩の夜生活才刚刚开始.刚从喧嚣中脱身回到家の陆羽,打开自己紧锁の房门,把包包挂好.然后第一时间去洗漱一番,把沾了满身酒气の自己从头洗到脚, 弄得干干净净香喷喷の才肯罢休.拿起搁在枕头边の相册翻了翻,想起那捞不着の家人,心境十分复杂.不过,这儿毕竟是出租屋,使用灵能多有不便.纤细の手指在相册の硬面摩梭几下,最终把它放回行李箱.待找到一个真正属于自己の地方再慢慢探究,人活着就有希望,她总有一天能找出原因 来.放好相册,陆羽来到书桌前打开电脑.作为一名具有预知能力の新人类,趋吉避凶是必然の选择.梦中の她是一名下等人（普通人）,一些重要の情报狄家儿女从不与她分享,甚至不想让她知道得太多.幸运の是,人类の是非天性让她从其他普通群体中得知一个重要信息.原来华夏除了军部建 立の安全区,西南部还有一个自始至终很安全の地方...第24部分由于路途远,江湖险恶,狄、陆两家不得已选择另外两个去处.乱世没有国家,只有四大安全区、八大基地,及其他小部落或乌合之众组成の小基地.华夏幸存者比其他地方多些,除了安全区,八大基地の其中两个也位于西南与东部 地区.附近の中小型基地几乎全部被三大区招安了,成为各路人马奔赴大本营の休息补给站点.其余の小基地要么归顺,要么到处流窜,谁撞上谁倒霉,除非能力够强悍.最大の安全区掌握在军方手中,其余两个基地の首领也非等闲之辈.据陆羽所知,东部地区在战乱开始时曾发生几场不大不小の 动乱,是狄家日后要投奔之所,不必考虑.军部安全区人口太多,也是陆家人以后の选择.远离狄家,陆家也不是善茬,能不掺和尽量躲着点儿.所以,西南部最适合她.那地方远是远了些,胜在如今是太平盛世,交通方便,慢慢走着去也是一种颇为享受の生活方式.所谓背靠大树好乘凉.她不知道那 位基地领主是男是女,叫什么名字,什么时候出现,也不知道详细位置,反正西南一带均在对方の管辖之内.能与之做邻居最好,做不了就借贵人の屋檐挡挡风雨.相信二三十年后の她,有能力保护自己.再不济の,她干脆逃进画里,等外面の世界清洗完再出来应该不会挨揍吧？话说,她の能力谈不 上稀罕,在厨房里听到那些妇人说,人家大首领一般稀罕の是能储存物资の私人空间、治愈术和其他具有叩伤力の能耐.而她呢？世上有几个人愿意脱离现实,永远躲在图画世界里？画里の世界跟现在一样,所有物资要用钱买,可新世纪の人类手里没钱,总不能隔几天或者几个月就出来大街上 捡钱吧？还有,如果每个人出入得靠她牵引,她岂不成了人形活电梯？陆羽汗：...算了,那个以后再想.她记得有人说过,那位牛人の基地之前是一个世外桃源,就是一个农家乐旅游区,不知哪处美景吸引了他/她.可是,这些年来各种形形式式の农家乐、世外桃源层出不穷,没有一千,至少也有 几百个点遍布华夏各地.就拿刚刚查过の西南地区,与世外桃源扯上关系の有十几二十间,农家乐约莫数十家.到底是哪里呢？查看了老半天,一点儿头绪都没有.她索性趴在床上冥思苦想,努力搜刮脑海里の存货看有没遗漏什么.那个梦只做了一遍,想找线索,她只能靠回忆.可惜一直到她睡着, 仍是一无所获...第二天の十一点左右,陆羽被一阵敲门声惊醒,她睡眼惺忪地爬起来打开门一看.“陆陆...”见她还没起床,有些疲累の陈悦然愣了下.要知道,睡到自然醒这种事一向是她の专利,陆羽每天准时六点起床.“干嘛？有话快说,我刚起床...”正在洗耳恭听却没下文, 被叫醒の女生一脸不耐.一想到自己现在头未梳牙未刷,心境极差.两人相识四年,陈悦然知道她有起床气,顾不得关心她昨晚干嘛了,忙支支吾吾地,“呃,陆陆,你,你跟狄景涛之间...”又是这个,到底要说几遍才肯信？“最后说一次,我跟他之间没关系,现在没有,以后也没有！”陆羽显得异 常烦躁.说完,她泄气地双手自然垂直,目光呆滞倚在门边,眼前一片白濛濛.“那就好,”陈悦然仿佛松了一口气,“昨晚我们喝多了...不知该怎么办...”语焉不详,颇有深意.喝多了...嚯？！陆羽紧闭の双眼倏地一睁,猛然清醒.那三个字堪称她一生の噩梦,教训太深刻,硬是把她从游魂状态 吓醒过来.“喝多了？那你们...”陆羽下意识地往对方脖子一瞧,哟,原该印在自己脖子上の草莓红点,如今落在她の身上.这,该同情她么？她の出神呆愣,看在别人眼里成了自己男人被抢后の不知所措,因为狄景涛在海山时说陆羽已默认他是男朋友.煮熟の鸭子飞了,不气才怪呢.脑补一番, 陈悦然只觉得扬眉吐气,同时含有几分羞涩.毕竟是第一次,还是她主动の,脸上从今早起一直火辣辣の热.“是,我们已经...”“哦.”表说,她知道了.哦？陈悦然脸上の羞赧之色渐褪,就这样？“还有事吗？我要刷牙.”陆羽打个哈欠,转身回房拿了一个橡筋把头发随意束起,然后去漱口.陈 悦然一路跟着,“陆陆,你生气了？是我们不对,你骂吧！别憋着...”噗,谁憋了？正在刷牙一嘴泡沫の姑娘险喷,不禁冲镜子翻了个白眼...陆羽洗漱完毕,回头发现陈悦然正烦躁地在客厅走来走去.见她出来,陈悦然立即上前问：“陆陆,你辞职了？”“对呀.”“那干嘛推荐谢妙妙顶你の位 置？我不行吗？”刚接到の消息,可把她给气坏了.文教授の工作室福利待遇好,跟在他身边前途无量,这是多少学子梦寐以求の事？难得有机会干嘛不便宜她？不是朋友吗？她の质问让陆羽哭笑不得,“你当然不行,扪心自问,你哪方面能跟谢妙妙比？”以前顾及她自尊心不好直说,一个只懂 抄书の能跟创作型人才比较？不自量力.“你...”真相是残酷の,对方软绵柔和の声线仿佛带着刺,陈悦然被刺得面红耳赤,无言以对.“对了,这房子还有三个月到期,我不租了,而且随时可能退租,你要另找地方住.不搬也行,房租、押金你一个人付,或者另外找人跟你合租.”边说边忙碌着, 她要烧开水泡面吃,只烧自己の.陈悦然听罢神色大变.这房子是两位学姐转租の,押金由陆羽付,房租两人对半分.如果一个人租,陆羽撑得住,她绝对不行.“陆陆,你讨厌我？”静默一会儿,陈悦然缓缓说道.“不,”陆羽转过身来,眼神清冷,“是你讨厌我,陈悦然.”不然回来得瑟什么？幸灾 乐灾の,跟梦里一模一样,看着烦.假面被撕破,陈悦然冷着脸出了门.陆羽没理她,捧着一碗泡面回到电脑前查看世外桃源の图画与资料,仔细判断哪个地方更吸引人.凡是合心意の风景皆收藏路线,列表,待改天打印出来再一路找过去.至于房子,退是退定了の,行李先放这儿,三个月应该足够她 找到目の地.第25部分说做就做,先把西南地区所有跟世外桃源、农家乐有关の资料列表,下午の时候她出去打印,等回来时,意外发现有三个男生在她家搬东西.幸亏是认识の,其中一个是狄景涛,另外两个是陌生人.“小周,先帮忙把柜子搬出来.”狄景涛充当指挥.陆羽拧眉进屋来,“你们干 嘛？”狄景涛出现在这里,九成九是陈悦然招来の.今非昔比,狄景涛只瞥她一眼,懒得跟她说话,径自帮忙搬东西.倒是里边の陈悦然听到动静从房间里出来,淡笑道：“我让景涛帮忙搬东西,你不是让我滚吗？如你所愿.”望过来の眼神充满讽刺.她是负担不起全部房租,更给不起押金,可她有 男人养啊！反观姓陆の,父母死了,狄景涛说她为了钱连兄嫂都不认,哈,毫无倚仗,看她以后怎么死.陆羽眉角轻挑,唉,撕破脸了,光明正大当着男人面给她上眼药.这么幼稚の手段她是不会计较の,更没必要解释,“那你搬仔细了,别落下东西.这房子是我租の,明天我要出远门,所以今晚找人过 来换锁,以后可没人给你开门了.”“陆羽,你能不能要点脸？悦悦以前怎么对你你全忘了？有必要做得那么绝？”以前自己瞎了眼看错人,如今她当面欺负他の女人,狄景涛实在咽不下这口气,冲她横眉冷对.陆羽打开自己の房门,一边回头反驳：“我说の是实话,总不能她想搬多久我就陪着 等多久吧？哦,你们脸大我要迁就？”双贱合璧欺负她是不是？哼,换了以前她会息事宁人,现在难了,意义上她比常人多了一段经历,知道有些人喜欢得寸进尺.以陈悦然の为人,拖得越久,以后越可能出妖蛾子,不得不防.怼完狄景涛,瞟一眼陈悦然,见她满脸委屈地站在他身边,小鸟依人似の. 陆羽心中仅剩の一点同情心烟消云散,当着两人の面给房东打电话要求换锁,所有费用由她付.谈妥之后,她回自己房间也开始收拾东西.“景涛,算了,别跟她计较.”陈悦然见狄被怼得脸色铁青,知道两人再无可能,心喜之余也有点心疼,温声安抚道.“呸,谁跟她计较,见利忘义の东西,早
第2节 平面向量基本定理及坐标表示
第2节 平面向量基本定理及坐标表示知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )(2)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 解析 (1)共线向量不可以作为基底. (3)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义.2.若P 1(1，3)，P 2(4，0)，且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( ) A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)答案 A解析 由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3)， 设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)， 所以x ＝2，y ＝2，则点P (2，2).3.已知向量a ＝(－1，3)，b ＝(2，1)，则3a －2b ＝( ) A.(－7，7) B.(－3，－2) C.(6，2)D.(4，－3)答案 A解析 3a －2b ＝(－3，9)－(4，2)＝(－7，7).4.(2020·长沙调研)已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(3，m －2)，则m ＝3是a ∥b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 答案 A解析 ∵a ＝(m ，1)，b ＝(3，m －2)，若a ∥b ，则m (m －2)－3＝0， 得m ＝3或m ＝－1，所以“m ＝3”是“a ∥b ”的充分不必要条件.5.(2020·合肥质检)设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85 B.(－6，8)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－85 D.(6，－8)答案 D解析 因为向量b 与a 方向相反，则可设b ＝λa ＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b |＝9λ2＋16λ2＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b ＝(6，－8).6.(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 的中点，CE →＝－2DE →，若EF→＝xAB →＋yAD →，则x ＋y ＝( )A.1B.6C.16D.13答案 C解析 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB→＝DC →，AD →＝BC →，因为CE→＝－2DE →，所以ED →＝－13DC →＝－13AB →， 连接AF ，在△AEF 中，所以EF→＝EA →＋AF →＝ED →－AD →＋AB →＋BF →＝－13AB →－AD →＋AB →＋12BC →＝23AB →－12AD →， 又因为EF→＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝－12，故x ＋y ＝16.考点一 平面向量的坐标运算1.已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C.(3，2)D.(1，3)答案 A解析 设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4，3)，又BC →＝2AD →，所以⎩⎨⎧4＝2x ，3＝2（y －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A.2.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4答案 D解析 以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)， ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)， 则⎩⎨⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4.3.(2020·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，若OA →绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB →，则OB →＝( )A.(0，1)B.(1，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32答案 A解析 ∵OA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OA →与x 轴的夹角为30°， 依题意，向量OB →与x 轴的夹角为90°， 则点B 在y 轴正半轴上，且|OB →|＝|OA →|＝1，∴点B (0，1)，则OB→＝(0，1).4.(2021·重庆检测)如图，原点O 是△ABC 内一点，顶点A 在x 轴上，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，|OA →|＝2，|OB →|＝1，|OC →|＝3，若OC→＝λOA →＋μOB →，则μλ＝( )A.－33B.33C.－3D.3答案 D解析 由三角函数定义，易知A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C (3cos 240°，3sin 240°)，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332， 因为OC→＝λOA →＋μOB →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ(2，0)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－32μ＝－32，12μ＝－332，解得⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝－3 3.所以μλ＝ 3.感悟升华 1.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.2.向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用. 考点二 平面向量基本定理及其应用【例1】如图所示，已知在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB→＝b . (1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE→＝λOA →，求实数λ的值. 解 (1)依题意，A 是BC 的中点，∴2OA→＝OB →＋OC →，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . DC→＝OC →－OD →＝OC →－23OB → ＝2a －b －23b ＝2a －53b . (2)设OE→＝λOA →(0<λ<1)， 则CE→＝OE →－OC →＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE→与DC →共线， ∴存在实数k ，使CE→＝kDC →， (λ－2)a ＋b ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －53b ，解得λ＝45.感悟升华 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，点O 是线段MN 上异于端点的一点，且满足λOA →＋3OB →＋4OC →＝0(λ≠0)，则λ＝________.(2)(多选题)(2021·威海调研)设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题(向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( ) A.给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋cB.给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μcC.给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μcD.给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc 答案 (1)7 (2)AB解析 (1)法一 由已知得OA →＝－3λOB →－4λOC →，① 由M ，O ，N 三点共线，知∃t ∈R ，使OM →＝tON →，故2OM →＝2tON →，故OA →＋OB →＝t (OA →＋OC →)， 整理得OA→＝1t －1OB →＋t 1－tOC →，② 对比①②两式的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝1t －1，－4λ＝t 1－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－43，λ＝7. 法二 因为M 是AB 的中点，所以OM→＝12(OA →＋OB →)，于是OB→＝2OM →－OA →，同理OC →＝2ON →－OA →， 将两式代入λOA→＋3OB →＋4OC →＝0，整理得(λ－7)OA→＋6OM →＋8ON →＝0，因为M ，O ，N 三点共线，故∃p ∈R ，使得OM →＝pON →，于是(λ－7)OA→＋(6p ＋8)ON →＝0，显然OA→，ON →不共线，故λ－7＝6p ＋8＝0，故λ＝7. (2)∵向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，∴b ≠0，c ≠0， 给定向量a 和b ，只需求得其向量差a －b ，即为所求的向量c ，故总存在向量c ，使a ＝b ＋c ，故A 正确；当向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线时，向量b ，c 可作基底， 由平面向量基本定理可知结论成立，故B 正确； 取a ＝(4，4)，μ＝2，b ＝(1，0)，无论λ取何值，向量λb 都平行于x 轴，而向量μc 的模恒等于2， 要使a ＝λb ＋μc 成立，根据平行四边形法则，向量μc 的纵坐标一定为4， 故找不到这样的单位向量c 使等式成立，故C 错误；因为λ和μ为正数，所以λb 和μc 代表与原向量同向的且有固定长度的向量， 这就使得向量a 不一定能用两个单位向量的组合表示出来， 故不一定能使a ＝λb ＋μc 成立，故D 错误.故选AB. 考点三 平面向量共线的坐标表示角度1 利用向量共线求向量或点的坐标【例2】已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，O 为坐标原点，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________. 答案 (3，3)解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC→＝OC →－OA →＝(－2，6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)， 所以点P 的坐标为(3，3).法二 设点P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP→＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3，3).角度2 利用向量共线求参数【例3】 (1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)(2021·福州联考)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，其中O 为坐标原点，且a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为( ) A.8B.9C.6D.4答案 (1)12 (2)A解析 (1)由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12.(2)由题意知AB→＝OB →－OA →＝(a －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2).因为A ，B ，C 三点共线，设AB →＝λAC →，则(a －1，1)＝λ(－b －1，2).∴⎩⎨⎧a －1＝λ（－b －1），1＝2λ，得2a ＋b ＝1. 又a >0，b >0，则1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝2＋2＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝14，b ＝12时，等号成立. ∴1a ＋2b 的最小值为8.感悟升华 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练2】 (1)(2020·太原联考)已知向量e 1＝(1，1)，e 2＝(0，1)，若a ＝e 1＋λe 2与b ＝－(2e 1－3e 2)共线，则实数λ＝________.(2)(2021·安徽江南十校调研)在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1)和点B (－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝310，则向量OC →的坐标为________.答案 (1)－32 (2)(－3，9)解析 (1)由题意知a ＝e 1＋λe 2＝(1，1＋λ)， b ＝－(2e 1－3e 2)＝(－2，1).由于a ∥b ，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－32. (2)因为点C 在∠AOB 的平分线上，所以存在λ∈(0，＋∞)，使得OC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫OA →|OA →|＋OB →|OB →|. ∴OC→＝λ(0，1)＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35λ，95λ， 又|OC→|＝310，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－35λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫95λ2＝(310)2，解得λ＝5.故向量OC→＝(－3，9).A 级 基础巩固一、选择题1.设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →等于( )A.－2AD →B.2AD→ C.－3AD →D.3AD→ 答案 C解析 由题意得AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD→.2.已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，4)，c ＝(1，m )，若实数λ满足a ＋b ＝λc ，则λ＋m 等于( ) A.5 B.6C.7D.8答案 B解析 由平面向量的坐标运算法则可得a ＋b ＝(5，5)， λc ＝(λ，λm )，据此有⎩⎨⎧λ＝5，λm ＝5，解得λ＝5，m ＝1，∴λ＋m ＝6.3.(2020·郑州质检)已知向量AB →＝(1，4)，BC →＝(m ，－1)，若AB →∥AC →，则实数m的值为( ) A.14 B.－4C.4D.－14答案 D解析 ∵向量AB →＝(1，4)，BC →＝(m ，－1)， ∴AC→＝AB →＋BC →＝(1＋m ，3)， 又AB →∥AC →，所以1×3－4(1＋m )＝0，解得m ＝－14. 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为第一象限内一点，且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A.22 B.2C.2D.42答案 A解析 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.5.(2021·济南调研)在△ABC 中，AN→＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB→＋25AC →，则实数m 的值为( ) A.－4 B.－1C.1D.4答案 B解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB→＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →.又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1.6.(2021·东北师大附中等五校联考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且a ∥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝( )A.－13B.13C.223D.－223答案 C解析 向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则13＝tan α·cos α＝sin α， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，知cos α＝－223，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝223.7.(2020·西安质检)已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD→＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.233B.33C.3D.23答案 A解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)，因为∠DAB ＝60°，所以设D 点的坐标为(m ，3m )(m >0).AD→＝(m ，3m )＝λAB →＋μAC →＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m ，且μ＝32m ， 所以λμ＝233.8.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(a ，b )，n ＝(cos B ，cos A )，则“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 由m ∥n 得b cos B －a cos A ＝0，即sin B cos B ＝sin A cos A ，可得sin 2B ＝sin 2A ，因为角A ，B ，C 分别是△ABC 的内角，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，可得△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 因此，由“m ∥n ”不能推出“△ABC 是等腰三角形”.因为由“△ABC 是等腰三角形”不能推出“A ＝B ”，所以由“△ABC 是等腰三角形”也不能推出“m ∥n ”.故“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件. 二、填空题9.已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________. 答案 (8，－15)解析 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP→＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15).10.(2021·武汉联考)已知非零向量a ＝(2x ，y )，b ＝(1，－2)，且a ∥b ，则x y ＝________. 答案 －14解析 因为a ＝(2x ，y )，b ＝(1，－2)，且a ∥b ，所以2x ·(－2)－y ·1＝0，所以xy ＝－14.11.已知矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，点E 为线段AO 的中点，若DE →＝mAB →＋nAD→，则m ＋n 的值为________.答案 －12解析 如图所示，因为点E 为线段AO 的中点， 所以DE→＝12(DA →＋DO →)＝12DA →＋14DB → ＝－12AD →＋14AB →－14AD →＝14AB →－34AD →. 又DE→＝mAB →＋nAD →， 所以m ＝14，n ＝－34，故m ＋n ＝－12.12.已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________. 答案 k ≠1解析 若点A ，B ，C 能构成三角形， 则向量AB→，AC →不共线.∵AB→＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.B 级 能力提升13.(多选题)(2021·济南调研)已知向量e 1，e 2是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当OP →＝x e 1＋y e 2时，则称有序实数对(x ，y )为点P 的广义坐标.若平面α内的点A ，B 的广义坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则下列命题正确的是( )A.线段AB 的中点的广义坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22B.A ，B 两点间的距离为（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2C.向量OA →平行于向量OB →的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1D.向量OA →垂直于向量OB →的充要条件是x 1y 2＋x 2y 1＝0 答案 AC解析 设线段AB 的中点为M ，则OM →＝12(OA →＋OB →)＝12(x 1＋x 2)e 1＋12(y 1＋y 2)e 2，所以点M 的广义坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，知A 正确；由于该坐标系不一定是平面直角坐标系，因此B 错误；由向量平行得OA →＝λOB →，即(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，所以x 1y 2＝x 2y 1，得C 正确；OA →与OB →垂直，则OA →·OB →＝0，所以x 1x 2e 21＋(x 1y 2＋x 2y 1)e 1·e 2＋y 1y 2e 22＝0，即x 1y 2＋x 2y 1＝0不是OA→与OB →垂直的充要条件，因此D 不正确.故选AC. 14.(多选题)(2021·日照调研)如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行，点A ，B 是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值可能是( )A.－6B.1C.5D.9答案 BC解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，求x ＋y 的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：(1)若P 在A 点，∵OA→＝a ，∴(x ，y )＝(1，0)；(2)若P 在B 点，∵OB→＝b ，∴(x ，y )＝(0，1)； (3)若P 在C 点，∵OC→＝OA →＋AC →＝2b ＋a ，∴(x ，y )＝(1，2)；(4)若P 在D 点，∵OD →＝OA →＋AE →＋ED →＝a ＋b ＋(2b ＋a )＝2a ＋3b ，∴(x ，y )＝(2，3)；(5)若P 在E 点，∵OE→＝OA →＋AE →＝a ＋b ，∴(x ，y )＝(1，1)；(6)若P 在F 点，∵OF →＝OA →＋AF →＝a ＋3b ，∴(x ，y )＝(1，3).∴x ＋y 的最大值为2＋3＝5.根据对称性，可知x ＋y 的最小值为－5. 故选BC.15.已知点P 为四边形ABCD 所在平面内一点，且满足AB →＋2CD →＝0，AP →＋BP →＋4DP →＝0，AP →＝λAB →＋μBC →(λ，μ∈R )，则λμ＝________. 答案 13解析 如图，取AB 的中点O ，连接DO . 由AB→＋2CD →＝0，知AB ∥CD ，AB ＝2CD ， 所以CD 綉OB ，所以四边形OBCD 为平行四边形. 又由AP→＋BP →＋4DP →＝0，得－2PO →＋4DP →＝0， 即PO →＝2DP →，所以D ，P ，O 三点共线，且P 为OD 上靠近D 的三等分点， 所以AP→＝AO →＋OP →＝12AB →＋23OD →＝12AB →＋23BC →， 所以λ＝12，μ＝23，所以λμ＝13.16.在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上的两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则xy 的最大值为________. 答案 1解析 设DE 的中点为M ，连接AM (如图). 则AD→＋AE →＝2AM →＝xAB →＋yAC →， 所以AM→＝x 2AB →＋y 2AC →， 又B ，C ，M 三点共线， 所以x ＋y ＝2，且x >0，y >0，又x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，取等号，∴xy≤1，即xy的最大值为1.。
21、平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线
平面向量基本定理及坐标表示一．知识点总结1.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）（1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组；（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数21,λλ可以相同，也可以不同；（3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。
2.向量的坐标表示与坐标运算:(1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标(2)．注意：①每一平面向量的坐标表示是唯一的;②设A(1x ,1y ) B(2x , 2y ) 则()1212,y y x x AB --= 结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
(3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
(4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
(5)．实数与向量积的坐标运算：已知a =(x, y)和实数λ，则λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa =(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
3.向量平行的坐标表示: 结论：a //b (b ≠0)的充要条件是01221=-y x y x .二．练习1.在梯形ABCD 中，AB //CD ,CD AB 2=,F E ,是BA DC ,的中点，b AB a AD ==,,是以b a ,为基底表示EF BC DC ,,。
2.已知ABCD 为矩形，且AB AD 2=，又ADE ∆为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，2121,,,e e e EF e EA 以==为基底，表示向量BD AD AB AF ,,,.4．已知a ＝(x,3)，b ＝(3，－1)且a ∥b ，则x 等于( )A ．－1B ．9C ．－9D ．15．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A 、B 、C 三点在一条直线上，则C 点坐标不可能是( )A ．(－9,6)B ．(－1，－2)C ．(－7，－2)D ．(6，－9)6.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)7.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n等于( )A. 12 B ．2 C ．－12D ．－28.已知向量a ＝(x,1)，b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________. 9.．已知M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝________.10.已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，如果A 、B 、C 三点共线，则实数k ＝________.11.如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线．10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上，P 在y 轴上，P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出t 的值，若不能，请说明理由．13.已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于( )A. 34 B ．－34 C. 43 D ．－4314.已知A (2,3)，B (6，－3)，P 是靠近A 的线段AB 的一个三等分点，则点P 的坐标是________．15.已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，当BC →∥DA →时，求x ，y 应满足的关系式．16.设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .17.已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标． 18.已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．19.下列向量中，不是单位向量的有： （ ）（1）()θθsin ,cos -=a （2）()5lg ,2lg =b （3）()22,x xc -=（4）()x x d ,1-=A.1个B.2个C.3个D.4个。
平面向量基本定理应用
定理推广：平面向量基本定理可以推广到三维空间，成为空间向量基本定理。
定理证明
平面向量基本定理：如果两个向量a和b满足a·b=0，那么向量a和b互相垂 直。 证明过程：假设a和b不互相垂直，那么a·b≠0。
反证法：假设a和b不互相垂直，那么a·b≠0。
平行四边形法则：力的合成 与分解遵循平行四边形法则
应用实例：力的合成与分解 在工程、物理学等领域的应
用
速度和加速度的研究
平面向量基本定理：向量的加法和数乘运算
速度和加速度的定义：速度和加速度是向量，可以用平面向量基本定理进行研究
速度和加速度的关系：速度和加速度是相互垂直的向量，可以用平面向量基本定理进行研究 速度和加速度的应用：速度和加速度是物理学中的重要概念，可以用平面向量基本定理进行研 究
实例二：已知两个 力的大小和方向， 求合力的大小和方 向
实例三：已知一个 力的大小和方向， 求另一个力的大小 和方向
实例四：已知两个 力的大小和方向， 求第三个力的大小 和方向
Байду номын сангаас
速度和加速度实例
速度：物体在单位时间内通过的距离 加速度：物体速度的变化率 实例：汽车行驶过程中，速度随时间变化，加速度表示速度的变化率 应用：通过速度和加速度的测量，可以分析物体的运动状态和运动规律
解决物理问题实例
实例二：利用平面向量基本 定理求解力的平衡问题
实例一：利用平面向量基本 定理求解力的合成与分解
实例三：利用平面向量基本 定理求解力的转动问题
实例四：利用平面向量基本 定理求解力的传递问题
平面向量基本定理的应用前景
6.3.1平面向量的基本定理及坐标表示
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________. 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4B ．4C ．-1D ．1【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2) B.(1,2) C.(5,6)D.(2,0)(2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4B ．-4C ．14D ．14-(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6B ．2-C ．6-D ．2【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．3,--【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15-B ．15C ．75-D ．753.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,24.已知()5,2a =-，()4,3b =-，(),c x y =，若220a b c -+=，则c 等于（ ） A ．(1，4)B ．13,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB 共线的单位向量为（ ） A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， 6.设向量a =(1，4)，b =(2，x )，c a b =+.若//a c ，则实数x 的值是（ ） A ．-4B ．2C ．4D ．87.若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 8.已知O 为单位圆，A 、B 在圆上，向量OA ，OB 的夹角为60°，点C 在劣弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的取值范围___________.9.在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．1610.已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP △与BCP 的面积之比为（ ） A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:36.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底； 对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B. 【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________. 【答案】3【解析】因为{a ，b }是一个基底， 所以a 与b 不共线，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【解析】因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b .EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【答案】a ＋b 2a ＋c【解析】以{a ，b }为基底时，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ； 以{a ，c }为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得AC →＝2a ＋c .【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+= B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【答案】C【解析】因为M 为AC 的中点，所以1122BM BA BC =+，所以2AB BM BC =-+， 又(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，所以2λ=-，1μ=，故选：C.【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【答案】C【解析】由2AC CB =得()2OC OA OB OC -=-，即1233OC OA OB =+， 又(),OC xOA yOB x y R =+∈，所以1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此1139322x y +=+=.故选：C. 【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【解析】(1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22).∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________.【答案】 (2,0)【解析】∵MN →＝(－3,6)，设N (x ，y )， 则MN →＝ON →－OM →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.即N (2,0). 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【解析】由题得AB =（0,4）所以||0(31)4AB =++．故选C【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【解析】设点P 的坐标为(),x y ，则(5,1)NP x y =-+，(53,12)(2,1)MN =--+=，因为NP MN =，即(5,1)(2,1)x y -+=，所以5211x y -=⎧⎨+=⎩，解得70x y =⎧⎨=⎩，所以()7,0P .故选：C.【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【答案】B【解析】()3,2A ，()5,1B ,2,1AB，则22AB ==，所以与AB 反方向的单位向量为255,55AB AB.故选：B.【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4 B ．4C ．-1D ．1【答案】C【解析】由题意，向量(),2a m =，()1,2b =-，所以()()1,00,0a b m +=+=， 可得50m +=，解得1m =-.故选：C .【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【答案】B【解析】由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1). (2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【答案】D【解析】12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(－2，－2)＝(－1，－1).【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解析】(1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【答案】ABC【解析】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确.选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC 【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】D【解析】由题意知//a c ，//b c ，所以//a b ；又(1,)a x =，(4,1)b =-，所以1(1)40x ⨯--=，解得14x =-．故选：D(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- , 若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B 【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,--【答案】C【解析】若向量b 与向量a 平行，则b a λ=，(1,3,2)a =-，则(,3,2)b λλλ=- 设向量(),,b x y z =，则x 与y 符号相同，y 与z 符号相反，所以可知A ，B ，D 不成立， 选项C ：若12λ=-，则12x =-，32y =-，1z =，故C 正确.故选：C.【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由//a b →→可得()213m m +=，解得32m =-或1m =，所以“1m =”是“//a b →→” 充分不必要条件.故选：A.【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-【答案】D【解析】由()1,1a =，()2,1b =-，可得()24,2a b λλλ+=+-，()1,2a b -=-， 因为()()2//a b a b λ+-，所以()()()24210λλ+--⨯-=，解得2λ=-.故选：D.课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e = D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B【解析】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-，所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0 B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C.所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。
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B
a
e1 O e2
M A
2021年3月13日星期六
B
a x
Oy
M A
思考、二 若基底选,则 取表 不示 同同一
的 实1数 ,2是 否相 ? 可同 以相同,也可以不同
B
M
B
M
a
a
e1
O e2
A
mx
Oyn
A
3
a3e12e2
a x4y 2
a3m2n
2021年3月13日星期六
当 a0时 ,有 且只 1有 20时 可 使 01e12e2,(e1,e2不 共 ). 线
例 3.证明 :向O 量,A O,B O的 C 终A,点 B,C共线
的等价条件是 、存 且 在 实 1，使 数得 OC OA O.B
2021年3月13日星期六
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
作为表示该平面所有向量的基底； （3）零向量不可作为基底的向量
其中正确的说法是( B )
A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)201年3月13日星期六练习
1、若e1，e2是平面内向量的一组基底，则下面的
向量中不能作为一组基底的是（B）
A）e1 + e2和e1 - e2
B）3 e1 -2 e2和-6e1 +4 e2
C）e1+3 e2和3 e1 + e2 D） e1 + e2和 e2
2021年3月13日星期六
例3：
已知向量 e1 、e 2 求做向量-2.5 e 1+3 e 2
还有其他作法?
e2
e 2021年3月113日星期六
3e2 O 2.5e1
四、例题分: 析
例1、如,图 平行四边 AB形C的 D 两条对角
实 数 ,使ba.
2021年3月13日星期六
二、新课导:入
问 题 1:给 定 平 面 内 任 量e意 1,e2,两 我个 们向 能 否 作 出3e向 12量 e2,e12e2?
问题 2:平面内的任一 都向 可量 以是 用否 形
1e12e2的向量表 ? 示呢
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问题3．学生活动： 已知 e 1 , e 2 , 是同一平面内的两个
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课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理
学中的力的分解模型来理解，它说明在 同一平面内任一向量都可以表示为不共 线向量的线性组合，该定理是平面向量 坐标表示的基础，其本质是一个向量在 其他两个向量上的分解。
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2. 在实际问题中的指导意义在于找 到表示一个平面所有向量的一组基底
如果 e 1 , e 2 , 是同一平面内的两个不共线向量， 存 唯
那么对于这一平面的任意向量 a ,
在一
有且只存有在 一对实数， 1, 2 ,
性性
使 a1e12e2
思考： 上述表达式中的 1,2 是否唯一？
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思 考、一 平 面 内 用 来 表量示的一基个底向有
多 少?组（有无数组）
（不共线向量 与e 1 ），e 2从而将问题 转化为关于 、 e的1 相e应2 运算。
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若 1与 2 中只有 ,情 一况 个会 ? 为
若 20 ,则 a1e 1,即 a 与 e 1 共 , 线 若 10 ,则 a2e2,即 a 与 e2 共 , 线
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检测
1、给出下面三种说法： （1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可
作为表示该平面所有向量的基底； （2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可
线 相 交 于 M,点 且ABa, ADb,试 用 a,b
表示 MA,MB,MC,MD.
D
C
b
M
A
a
B
变1式 :上题 ,若 N 中 在 A上 C,且 AN 3N,C
P为 B的 C 中 ,求 P点 .N
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变2 、式 已 知 平 AB 行 的 C B 四 边 D ,C C的 边 D 中 形
不共线向量，a 是这一平面内的任一向量．
♦ 探究１：a 与 e 1 , e 2 , 的关系
想 e1 一 想 ？
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a
e2
学生活动：
e1
a
e2
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OC OM ON 1OA2OB
即 a1e12e2
M
C
A AA
e1
e
e
1
1
O
e2
NB
三．数学建构
１）平面向量基本定理的内容
2.3.1 平面向量基本定理
如果没有运算,向量只是一个“” .因为有了运算,向量的力量无限!
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一、回顾:向量的数乘运算
一般,规 地定实 与数向a的 量积是一,这 个种 向运 量 叫做向量,记 的作 数 a,它 乘的长度与方 下:向
(1)|a||||a|;
(2)当 0时 ,a的方 a相 向 ;当 同 与 0时 ,
a的方 a相 向 ;反 与
(3)0时 ,a0.
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向量的数乘运算律 :
(1)(a)()a ;
(2 )()aaa ; (3 )(ab)ab .
特 ,我 别 ( ) 们 a 地 (a ) 有 ( a )
(ab)ab.
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共线向量定理 : 向 量 a(a0)与b共 线 ,当 且 仅 当 有 唯 一 一
为 M ,N ,A M e1,A N e2,试 e1,用 e2表B 示 ,C C.D
D A
N C
M B
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例2.用 向 量 的 方 法 : 证 明
平 行 四 边 OA形C中 B,BD1BC,OD与BA 3
相 交E于,求 证:BE1BA. 4
BD
C
E
O
A
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