微积分发展简史

微积分发展简史

一、微积分的创立

微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。

大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。这四个问题是：

1. 运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，

使瞬时变化率的研究成为必要；

2. 曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；

3. 有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提

出的求函数的极大值、极小值问题；

4. 当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重

心等问题。

第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。

开普勒（Kepler ）、伽利略（Galileo ）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes ）、卡瓦列里（Cavalieri ）等学者都做出了杰出贡献。

1669,巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。这个比较接近于微积分基本定理。

牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）至V质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。

牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis ）,尤其是笛卡尔的著作。1665年5月，牛顿发明

“正流数术”（微分法）；1666年5月，发明“饭流数术”（积分法）。1666年10月将此整理成文名为《流数简论》，此文虽未发表，却是历史上第一篇系统的微积分文献。将从古希腊依赖用无穷小的方法来解各种问题的特殊技巧统一为两类算法，正、反流数

术，记微分与积分；并指出两者是互逆关系，即是一对矛盾。还应用已简历起来的统一算法，用来求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求面积、求引力与引力中心等16类问题，现实了这中算法的普遍性、系统性以及强大威力。

莱布尼兹于1673年提出特征三角形（ds, dx , dy ）,认识

到：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差

值变成无穷小时的比，而求曲线下的面积则依赖于去穷小区间上

的纵坐标之和，且看出了这两类问题的互逆关系。符号ds,dx,dy ，dy/dx,等都是属于莱布尼兹的。

二.微积分的严格化

自牛顿和莱布尼兹之后，微积分得到了突飞猛进的发展，人们将

微积分应用到自然科学的各个方面，建立了不少以微积分方法为主的分支学科，如常微分方程、偏微分方程、积分方程、变分法等等形成了数学的三大分支之一的“分析”。微积分应用于几何开拓了微分几何，有了几何分析；应用于理学上，就有了分析力学；于天文上就有了天体力学等。但是微积分的基础是不牢固的，尤其在适用无穷小概念上的随意与混乱，一会儿说不是零，一会儿说是零，这引起了人们对他们的理论的怀疑与批评。最有名的批评来自英国牧师伯克莱

(Berkeley ) .1734年，他在《分析学家，或致以为不信神的数学家》中写道“这些小时的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无穷小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”他对莱布尼兹的微积分也大家抨击，认为那些正确的结论，是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而得到的。他的结论是：连牛顿的微积分、无穷小量那样模糊不清、逻辑混乱的东西都可以相信，为什么你们却不肯相信上帝呢？

经过达朗贝尔(D Alembert)、欧拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange) 等

人的百年努力，微积分严格化到19世纪初终于见到效果。捷克数学家波尔察诺(Bolzano )在1817年的著作中给出了包括函数连续性、

导数等概念的合理定义。他还用几何方法第一个给出了连续函数处处不可微的例子，但是其工作长期不为人所注意。只到法国大数学家柯西(Cauchy),他的三大著作：《工科大学分析教程》，1821;《无穷小计算教程概论》，1823;《微积分学讲义》，1929.通过这些著作，他赋予微积分以今天大学教科书中的模型，他给出了“变量” “函数”的正确定义，且突破了函数必须有解析表达式的要求。他给出了“极限”的合适定义：当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限。他的“无穷小量”不再是一个无穷小的固定数，而定义为：当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以至比任意给定

的数还要小，这个变量就是所谓的无穷小或无穷小量；并用无穷小量

给出了连续函数的定义、并用极限正确定义了微商、微分与定积分。Cauchy正确地表述并严格地证明了微积分基本定理、中值定理等微积分中一系列重要定理。Cauchy的工作是微积分走向严格化的极为关键的一步，但是他的理论也仍然存在着要进一步弄清楚的地方，例如他在定义“极限”时，用到了“无限趋近” “要多小就多小”等描述性的语言。

微积分是在实数域上进行讨论的，但是Cauchy时代，对于什么是实数，依然没有做过深入的探讨，仍然是用直观的方式来理解实数。在Cauchy论证的微积分的种种定理中都任意适用了实数的完备性。