江苏省四校2020届高三12月联考数学试题版含答案
新高考数学考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质考点分类讲义练习题附解析1
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B.5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图39、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<，10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ． CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 11、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________． 【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎝⎭π1223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-2019【答案】B 【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax +=，所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-. 故选B2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B3、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数【答案】B 【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ．4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T， T π=，12||x x ∴-的最小值为2π， 即12a x x -的最小值为2π.故选：B ．5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误；()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.【答案】4【解析】由题得12=,4,()42n n n Z ππωω⨯⨯∴=∈, 因为0>ω，所以ω的最小值等于4.故答案为：47、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 【答案】43. 【解析】由题意可得,32k k Z ππωπ⨯+=∈，求得22,3k k Z ω=-∈， 又0>ω，则ω的最小值为43， 故答案为：43. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．【答案】. 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1.9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32 解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32cos(±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．【答案】 π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．【答案】.3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-， sin 42sin 2cos 2()cos 2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D.3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π24【答案】C【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图像向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.4、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 【答案】D【解析】因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选D. 5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[24444x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______. 【答案】12【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12， 故答案为12．题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( )A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.【答案】(1)()sin(2)6g x x π=-；(2)[1,2]-.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω=()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。
江苏省苏州市昆山市四校联考2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题
江苏省苏州市昆山市四校联考2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC 中，5AC =，7BC =，9AB =，用图示尺规作图的方法在边AB 上确定一点D ．则ACD 的周长为（）．A ．12B ．14C ．16D ．213．到三角形三条边的距离相等的点是三角形的（）交点A ．三个内角平分线B ．三边垂直平分线C ．三条中线D ．三条高线4．如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，若BC =15，BD =10，则点D 到AB 的距离是（）A ．15B ．10C ．8D ．55．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN BC 交AB于M ，交AC 于N ，若BM +CN =9，则线段MN 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．96．已知 ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列条件不能判断 ABC 是直角三角形的是（）A ．∠A-∠B ＝∠CB ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5C ．（b ＋c ）（b -c ）＝a 2D ．a ＝7，b ＝24，c ＝257．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=.其中说法正确的是()A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④8．如图，四边形ABCD 中，40A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，M ，N 分别是AB ，AD 上的点，当CMN 的周长最小时，则MCN ∠的度数为（）A ．40︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒二、填空题16．如图，在 ABC中，AB三、解答题17．如图，在规格为88⨯的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），ABC 的三个顶点都在格点上，且直线m 、n 互相垂直．(1)画出ABC 关于直线n 的对称图形A B C ''' ；(2)直线m 上存在一点P ，使APB △的周长最小；在直线m 上作出该点P ；（保留画图痕迹）18．如图，在ABC 中，90B ∠=︒，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，且AB BD =．求CAD ∠的度数．19．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，求证：DE=DF ．20．如图，在ABC 中，点是AB 的中点，连接EF 四、计算题21．如图，在四边形ABCD 中，4AB =，12BC =，13CD =，3AD =，90A ∠=︒，求四边形ABCD 的面积．五、问答题22．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度0.5m DE =，将它往前推送2m （水平距离2m BC =）时，秋千的踏板离地的垂直高度 1.5m BF =，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度．六、计算题23．已知，如图长方形ABCD 中，3cm AB =，9cm AD =，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求BEF △的面积．七、解答题24．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的边分别为a 、b 、c ．(1)若:3:4a b =，10c =，求a ，b 的值．(2)若4c a -=，16b =，求a 的值．25．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点．（1）求证：EF ⊥BD ；（2）若∠BED=90°，求∠BCD 的度数．（3）若∠BED=α，直接写出∠BCD 的度数．（用含α的代数式表示）八、作图题26．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．(1)如图1，三角形内角分别为80︒，25︒，75︒，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．(2)如图2，ABC 中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交BC 于点D ．求证：AD 是ABC 的一条双腰分割线．(3)如图3，已知ABC 中，64B ∠=︒，AD 是三角形ABC 的双腰分割线，且AB AD =．①求∠C 的度数．②若3AB =，5AC =，求BC 的长．九、解答题27．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，且BD ：AD ：CD ＝2：3：4，（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）已知S △ABC ＝90cm 2，如图2，动点P 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点P 运动的时间为t （秒），①若△DPQ 的边与BC 平行，求t 的值；②若点E 是边AC 的中点，问在点P 运动的过程中，△PDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．。
2020届江苏省四校2017级高三下学期4月联考数学试卷(含附加题)及答案
2020届江苏省四校2017级高三下学期4月联考数学试卷★祝考试顺利★参考公式:一组数据12,,,n x x x L 的方差为:2211(),ni i s x x n ==-∑其中x 是数据12,,,n x x x L 的平均数. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分｡请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={x|-1<x≤1}, B={-1,0,1},则A∩B=___.2.已知复数z 满足(1-i)z=|1+i|(i 为虚数单位),则z 的实部为____.3.若一组样本数据8, 9, x, 9, 10的平均数为9,则该组数据的方差为__.4.根据如图所示伪代码,最后输出的i 的值为____.5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动,则至少有1名女同学被选中的概率为____.6.双曲线2213y x -=的准线方程为____. 7.已知*){}(n a n ∈N )为等差数列,其公差为-2,且6a 是2a 与8a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,则10S 的值为_____.8.已知函数21()ln 2f x x x ax =-+,若函数f(x)在区间(1,2)上存在极值,则实数a 的取值范围为____.9.给出下列命题:①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m 垂直;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中真命题的序号是_____.10. 已知函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象过点(0,2),且在区间[0,]2π上单调递减,则ω的最大值为____11. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:(2)4,C x y -+=点A 是直线x-y+2=0上的一个动点,直线AP,AQ 分别切圆C 于P,Q 两点,则线段PQ 长的取值范围为_____.12. 已知正实数x, y 满足2()1,xy x y -=则x+y 的最小值为____.13. 如图,在梯形ABCD 中,AB//CD 且DC=2AB=2BC,E 为BC 的中点, AC 与DE 交于点O.若125,CB CD OA OD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则∠BCD 的余弦值为____.14. 已知周期为6的函数f(x)满足f(4+x)= f(4-x),当x ∈[1,4]时,ln (),x f x x =则当323a e <≤时(e 为自然对数的底数),关于x 的不等式2()()0f x af x -<在区间[1,15]上的整数解的个数为_____.二､解答题:本大题共6小题,共90分｡请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡15. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD 是菱形,M 为PC 的中点｡(1)求证:PA//平面BDM;(2)若PA=PC,求证:平面PBD ⊥平面ABCD.。
高考数学母题解密专题06 双曲线附答案解析(江苏专版)
（a>0，b>0）与直线 y＝ 3 x 无交点，则离心率 e 的取值范围是________．
7．（江苏省南通市 2020 届高三下学期 6 月模拟考试数学试题）已知离心率 e 2 的双曲
x2 线 D： a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，虚轴的两个端点分别为
双曲线 C 的渐近线方程为 y x ，且它的一个焦点为 F ( 2,0) ，则双曲线 C 的一条准
线与两条渐近线所成的三角形的面积为______． 4．（2020 届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三下学期
第三次调研考试数学试题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2＝4x 的准线是双
bc c
b
，
所
以
b
3 c ， 因 此 a2 c2 b2 c2 3 c2 1 c2 ， a 1 c ，
2
44
2
e 2．
【 名 师 点 睛 】 （ 1） 已 知 双 曲 线 方 程
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 求
渐
近
线
：
x2 y2 0 y b x ；
a2 b2
a
（2）已知渐近线 y mx 可设双曲线方程为 m2 x2 y2 ( 0) ；
（三）求双曲线的离心率一般有两种方法：
（1）由条件寻找 a, c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中 a，b，c 的关系
c2
a2
b2
将双曲线的离心率公式变形，即 e
c a
1 b2 a2
1
，注意区分
1
b2 c2
双曲线中 a，b，c 的关系与椭圆中 a，b，c 的关系，在椭圆中 a2 b2 c2 ，而在双
【精选】2024.1~2新高考新结构地区、名校卷21套(解析版)
精选2024.1~2新高考新结构地区、名校卷21套解析版目录浙江省温州市2024届高三上学期期末考试数学试题 1浙江省温州市第五十一中学2024届高三上学期期末数学试题 12浙江省丽水第二高级中学2024届高三第二学期开学检测试卷数学试题 26江西省南昌市第二中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题(一) 37江西省南昌市江西师范大学附属中学2024届高三下学期开学考数学试题 52江西省抚州市临川第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题(一) 69江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学试题 85江苏省南通市如皋市2024届高三上学期1月诊断测试数学试题 97江苏省南通市新高考2024届高三适应性测试数学试题 107江苏省南京市南京师大附中2024届高三寒假模拟测试数学试题 120安徽省合肥市第一中学2024届高三上学期期末质量检测数学试题 136湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考数学试题(六) 148湖南省长沙市长郡中学2024届高三寒假作业检测(月考六)数学试题 163安徽省蚌埠市2024届高三年级第三次教学质量检查考试数学试题 176重庆市巴蜀中学校2024届高考适应性月考卷(六)数学试题 182湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模数学试题 196广东省深圳市2024届高三第一次调研考试数学试卷 197湖北省武汉市2024届高中毕业班二月调研考试数学试题 213东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题 227湖南省师范大学附属中学2023-2024学年高三月考(六)数学试题 241山东省日照市校际联合考试2024届高三一模数学试题 256浙江省温州市2024届高三上学期期末考试数学试题第I 卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
江苏省淮安市2020届高三期中联考数学(理科)试题及参考答案
2020届高三11月联合调研测试 2019.11数学I 理科注意事项1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上． 3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚．―、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡．．．上． 1．全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{3,5}B =，则C ()U A B ⋂=________． 2．已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________． 3．函数ln(1)y x =++的定义域为________． 4．已知单位向量a ，b 的夹角为120，则|2|a b -的值是________．5．已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项和为________．6．“a b >”是“22a b>”的________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）7．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则ϕ的值为________．8．在ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________． 9．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(2)f x f ≤的解集为________．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈R 都有(4)()(2)f x f x f +=+，(1)4f =，则(3)(10)f f +=________．11．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2CD =，4BAD π∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅，则AD AC ⋅=________．12．在ABC中，BC =，tan 3tan A B =，则tan 2C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．13．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为________．14．已知函数()ln f x x x =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x ≤的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足22()b c a bc -=-． （1）求角A 的大小；（2）若3a =，sin 2sin C B =，求ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，1OC =，且AOC=x ∠，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值． 17．（本小题满分14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5 V 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6 V 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短． 18．（本小题满分16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+． （1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2xf x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈． 19．（本小题满分16分）已知函数3()3||f x x x a =+-，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）当[1,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值；（3）已知0a >，且任意1x ≥有2()(1)15ln f x a f a a x +-+…，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a -=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n +-=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．数学II （附加题）解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21．（本小题满分10分）已知矩阵0123A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2018B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A B -． 22．（本小题满分10分）已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α． 23．（本小题满分10分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB CD ∥，90DAB ︒∠=，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点．（1）求AC 与PB 所成角的余弦值；（2）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值． 24．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=．（1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B AC D --的大小为60，求实数λ的值．理科参考答案1．{1,2,4,5} 2．1 3．(1,2)- 45．31 6．充要 7．3π8．9．{|1}x x ≤+ 10．4 11．12 12．2+13．3 14．ln 2104ln 216,23--⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．解：（1）∵22()b c a bc -=-，可得：222b c a bc +-=，∴由余弦定理可得：2221cos 222b c a br A bc bc +-==-, 又∵(0,)A π∈，∴3A π=；（2）由sin 2sin C B =及正弦定理可得2c b =，∵3a =，3A π=，∴由余弦定理可得2222222cos 3a b c bc A b c bc b =+-=+-=，∴解得：b =c =，∴11sin 2222ABCSbc A ==⨯=16．解：（I ）设(,0)(01)D t t ≤≤，又22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以,22OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭所以22211||122OC OD t t +=-++=-+ 21(01)22t t ⎛=-+≤≤ ⎝⎭所以当2t =时，||OC OD +最小值为2． （II ）由题意得(cos ,sin )C x x ，(cos 1,sin )m BC x x ==+则221cos sin 2sin cos 1cos2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--124x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52444x πππ≤+≤ 所以当242x ππ+=时，即8x π=时，sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值1所以8x π=时，1224m n x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值1-所以m n ⋅的最小值为1-8x π=17．试题解析：解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AB θ=． 所以11()5656sin 6AE EF T v v v v v θθθ=+=++，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （2）11()56sin 6T vv vθθθ=++， 22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ'-+-=-==-．记02cos 3θ=，03,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当2cos 3θ=时，时间T 最短． 18．解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+， 故()32f x x =+不属于集合M ﹒ （2）由2()lg 2af x x =+，属于集合M ，可得 方程22lglg lg (2)226a a ax x =++++有实解()22(2)262a x x ⎡⎤⇔++=+⎣⎦有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解，若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥，解得1212a -≤≤+，故所求a 的取值范围是[12-+．（3）当2()2xf x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔2222(2)24432440x x x b x bx b bx -++=+++⇔⨯+-=，令()3244xg x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点当0b <时，(0)10g =-<，11320b g b ⎛⎫=⨯> ⎪⎝⎭，故()g x 在1,0b ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x M ∈．19．解：（1）当1x >时，3()33f x x x =+-，(2)11f =．由2()33f x x '=+，得(2)15f '=．所以()y f x =在2x =处的切线方程为15(2)11y x =-+即15190x y --=． （2）①当1a ≤-时，得3()33f x x x a =+-，因为2()330f x x '=+>， 所以()f x 在[1,1]-单调递增，所以min ()(1)43f x f a =-=--． ②当1a ≥时，得3()33f x x x a =-+，因为2()330f x x '=-≤， 所以()f x 在[1,1]-单调递减，所以min ()(1)23f x f a ==-+．③当11a -<<时，3333,1,()33,1,x x a a x f x x x a x a ⎧+-<<=⎨-+-<≤⎩由①②知：函数()f x 在(1,)a -单调递减，(,1)a 单调递增，所以3min ()()f x f a a ==，综上，当1a ≤-，min ()43f x a =--；当11a -<<时，3min ()f x a =；当1a ≥时，min ()23f x a =-+．（3）当0a >，且任意1x ≥有2()(1)15ln f x a f a a x +-+≥， 即对任意1x ≥有323()315ln (1)30x a x a x a ++--+-≥． 设323()()315ln (1)3g x x a x a x a =++--+-，则(1)0g =，2215()3()3a g x x a x'=++-．设2215()()3()3a h x g x x a x'==++-，因为0a >，1x ≥，所以2215()6()0a h x x a x'=++>，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，所以()(1)h x h ≥，即22()(1)3(1)315(1)(21)g x g a a a a ''≥=++-=--+， ①当(1)0g '≥即01a <≤时，所以()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[1,)+∞单调递增，此时()(1)0g x g ≥=，满足题意． ②当(1)0g '<即1a >时，因为2()121533(1)(41)0g a a a a a '=-+=-->，且()g x '在[1,)+∞单调递增，所以存在唯一的01x >，使得()00g x '=，因此当01x x <<时()0g x '<；当0x x >时()0g x '>；所以()g x 在()01,x 单调递减，()0,x +∞单调递增． 所以()0(1)0g x g <=，不满足题意． 综上，01a <≤．20．解：（1）数列{}n a ，444n mn m n m n m b b b -+==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列” （2）数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数坚数列”11111311232131n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列， 11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331m n n m n n n m a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列” （III ）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：11112nn n mn m n n n a a a a a a a a a a --+⎛⎫=⇒=⇒== ⎪+⎝⎭假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<则2t s u a a a =+，得：11122222t s ut s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：2(1)(2)(2)(1)t su s u s u s a a a a ----++=+++（*）若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；若a 为奇数时，右边为偶数，(2)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；所以，对任意的*a ∈N ，（*）式不成立．数学II （附加题）21．解：∴1312210A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴154220A B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦22．已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α． 解：因为212()5614f λλλλλ--==-+-，由()0f λ=，得2λ=或3λ=．当2λ=时，对应的一个特征向量为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 当3λ=时，对应的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 设521311m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得2,1.m n =⎧⎨=⎩所以55521371221311307A α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 23．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）因(1,1,0)AC =，(0,2,1)PB =-，∴||2AC =，||5PB =，2AC PB ⋅=，∴10cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅<>==⋅． （3）设平面AMC 的一个法向量为()111,,n x y z =， 则1n AM ⊥，∴()11111111,,0,1,022n AM x y z y z ⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎝⎭，又1n AC ⊥，∴()111111,,(1,1,0)0n AC x y z x y ⋅=⋅=+=， 取11x =，得11y =-，12z =，故1(1,1,2)n =-． 同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =． ∵1212122cos ,3||||6n n n n n n ⋅<>===，∴平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为23． 24．解：分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C（1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-，11(0,4,0)AC =，1(1,2,2)AD =-，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =，又111111cos ,||||3DB n DB n DB n ⋅<>=== 所以直线1DB 与11AC D （2）∵BD DC λ=，∴24,,011D λλλ⎛⎫⎪++⎝⎭，∴11(0,4,0)AC =，124,,211A D λλλ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩， 所以取1(1,0,1)n λ=+．又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =，由题意得121|cos ,|2n n <>=，12=，解得1λ=-或1λ=（不合题意，舍去）， 所以实数λ1-．。
2022-2023学年江苏省连云港市海州区四校高一年级上册学期期中联考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省连云港市海州区四校高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定是（ ） A ．1x ∃≥，21x < B ．1x ∃<，21x ≥ C ．1x ∃≥，21x ≥ D ．1x ∃<，21x <【答案】A【分析】直接用存在量词否定全称命题即可得到答案. 【详解】因为用存在量词否定全称命题，所以命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定是“1x ∃≥，21x <”. 故选：A2．已知集合3=<2A x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}=12>0B x x -，则（ ）A ．1=<2AB x x ⋂⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．1=<2A B x x ⋃⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．A B ⋃=R【答案】A【分析】根据集合交集，并集定义计算即可.【详解】由题可知1{|}2B x x =<1{|}2A B x x ⋂=<，A 正确，B 错误;3{|}2A B x x ⋃=<，C 错误，D 错误.故选:A3．不等式23180x x -++<的解集为（ ） A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<<【答案】A【分析】根据二次不等式的解法求解即可.【详解】23180x x -++<可化为23180x x -->， 即()()630x x -+>，即6x >或3x <-． 所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-. 故选：A4．如图，已知集合R U =，集合{}1,2,3,4,5A =，()(){}|120B x x x =+-≤，则图中阴影部分表示的集合的子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【分析】先求得图中阴影部分表示的集合，再根据该集合中元素个数即可求出该集合子集个数. 【详解】{}{}(1)(2)012B x x x x x =+-≤=-≤≤，则{R1UB B x x ==<-或}2x >，图中阴影部分表示的集合为{}()1,2,3,4,5U A B ={1x x <-或}{}23,4,5x >=；集合{}3,4,5的子集有328=（个）则图中阴影部分表示的集合的子集个数为8. 故选：D 5．“14m <”是“关于x 的方程()20x x m m ++=∈R 有实数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出当方程()20x x m m ++=∈R 有实数根时，实数m 的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若关于x 的方程()20x x m m ++=∈R 有实数根，则140m ∆=-≥，解得14m ≤，因为14m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ 14m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，因此，“14m <”是“关于x 的方程()20x x m m ++=∈R 有实数根”的充分不必要条件. 故选：A.6．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c<a<b D ．b<c<a【答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 7．设a >0，则4a a a++的最小值为（ ）A ．B ．2C ．4D ．5【答案】D【分析】根据基本不等式可求解.【详解】0a >，44115a a a a a +∴+=++≥+，当且仅当a =2时取等号， 所以4a a a++的最小值为5. 故选：D.8．为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ） A ．1.28 B ．1.26C ．1.24D ．1.22【答案】B【分析】理解题意，把已知数据代入公式计算12E E 即可. 【详解】由题意()212.02 1.77 2.5lg lg E E -=-，可得12lg 0.1E E =， 0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E ∴=≈+⨯+⨯=≈. 故选：B.二、多选题9．已知,,,a b c m R ∈，则下列推证中不正确的是( ) A ．22>⇒>a b am bm B ．a b a b c c>⇒> C ．22ac bc a b >⇒> D ．2211,0a b ab a b>>⇒< 【答案】ABD【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】解：A ．0m =时不成立． B ．0c <时不成立．C ．22ac bc >，两边同除以2c ，可得a b >，正确．D ．由22a b >，0ab >，取2,1a b =-=-，可得11a b>，不成立． 故选ABD ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．10．设{}220A x x x =--=，{}10B x mx =-=，若A B B =，则实数m 的值可以为（ ）A ．12B ．-1C ．0D ．12-【答案】ABC【解析】由A B B =可得B A ⊆，求出集合A ，讨论0m =和0m ≠，即可得m 的值.【详解】{}()(){}{}2|20|2101,2A x x x x x x =--==-+==-,由A B B =可得B A ⊆， 当0m =时，B =∅，满足B A ⊆， 所以0m =符合题意；当0m ≠时，{}1|10B x mx B m ⎧⎫=-===⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆，则11m =-或12m =，可得：1m =-或12m =， 综上所述：实数m 的值可以为：1-，0，12； 故选：ABC.【点睛】易错点睛：若B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论分析. 11．已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（ ） A ．2214a a -+=B．1a a --=C．1122a a -+=D ．332211223a a a a--+=+【答案】ACD【分析】由14a a -+=结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误． 【详解】14a a -+=,()2122216a a a a --∴+=++=，2214a a -∴+=，故选项A 正确;()()2211244412a a a a ---=+-=-=，1a a -∴-=±B 错误;2111222426a a a a --⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭,1122a a ∴+=C 正确; 31133113311331112222222222222233333a a a a aa a a a a a a a a a a --------⎛⎫⎛⎫+=+++=++++++ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭,且1122a a +=3322a a-+=+3322a a ∴+=332211223a a a a--+∴==+，故选项D 正确. 故选：ACD12．下列说法中，以下是真命题的是（ ）．A ．存在实数0x ，使200240x x +-=+B ．所有的素数都是奇数C ．至少存在一个正整数，能被5和7整除.D ．三条边都相等的三角形是等边三角形 【答案】ACD【分析】举例证明选项AC 正确；举反例否定选项B ；依据等边三角形定义判断选项D. 【详解】选项A ：当0x 时，200240x x +-=+成立.判断正确；选项B ：2是素数，但是2不是奇数.判断错误； 选项C ：正整数35和70能被5和7整除. 判断正确； 选项D ：三条边都相等的三角形是等边三角形. 判断正确. 故选：ACD三、填空题13．已知}{31,,2a a ∈-则实数a 的值为_____________ 【答案】5【分析】根据集合中元素的确定性讨论3a =和23a -=，再结合元素互异性即可求解. 【详解】因为}{31,,2a a ∈-，当3a =时，那么21a -=，不满足集合元素的互异性，不符合题意， 当23a -=时，5a =，此时集合为}{1,5,3符合题意， 所以实数a 的值为5， 故答案为：5．14．若a =b a b +的值为__________. 【答案】1【分析】利用根式的性质进行求解.【详解】因为3πa =-，2ππ2b =-=-，所以1a b +=. 故答案为：1.15．若命题“x ∃∈R ，2210x ax -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】11a -<<．【分析】由原命题的否定是真命题，结合一元二次不等式恒成立可得．【详解】命题“x ∃∈R ，2210x ax -+≤”是假命题，则其否定x ∀∈R ，2210x ax -+>是真命题， 所以2440a ∆=-<，解得11a -<<． 故答案为：11a -<<．16．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数,a b 满足4a b +=，且11t a b+>恒成立，则实数t 的取值范围是__________.【答案】(,1)-∞【分析】先利用基本不等式求出11a b+的最小值，再利用不等式11t a b +>恒成立进行求解.【详解】因为0a >，0b >，且4a b +=，所以111111()()(2)44b aa b a b a b a b+=++=++1(214≥+=（当且仅当4b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即2a b ==时取“=”）， 因为11t a b+>恒成立，所以1t <.故答案为：(,1)-∞.四、解答题17．化简下列式子并求值: (1)7lg142lg lg7lg183-+-;(2)0.5232027492(0.2)(0.081)8925--⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1)0 (2)89-【分析】(1)将式子用对数运算公式log log log ,log log log ,c c c c c c aab a b a b b=+=-log log b c c a b a =等展开合并化简即可求值;(2)将式子用分数指数幂运算公式11,mmn a a a -===,进行化简求值即可.【详解】（1）解:原式为7lg142lg lg7lg183-+-()()lg2lg72lg7lg3lg7lg2lg9=+--+-+lg2lg72lg72lg3lg7lg22lg3=+-++--0=;（2）原式为0.5232027492(0.2)(0.081)8925--⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2225125⨯-= 47193=-+ 89=-.18．已知集合{}2210,R A xax x a =++=∈∣. (1)若A 中只有一个元素，求a 的值； (2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围. 【答案】(1)0a =或1a = (2){}|1a a ≤【分析】(1)针对0a =和0a ≠两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出a 的值即可(2)确定A 中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素的情况即可得出a 的取值范围【详解】（1）由题意，当0a =时，210x +=，得12x =-，集合A 只有一个元素，满足条件；当0a ≠时，2210ax x ++=为一元二次方程，440a ∆=-=，得1a =，集合A 只有一个元素=1x -，∴A 中只有一个元素时0a =或1a =.（2）由A 中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A 中有两个元素时，0a ≠并且440a ∆=->，得1a <且0a ≠，再结合A 中一个元素的情况，∴a 的取值范围为{}|1a a ≤. 19．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，且B ≠∅． (1)若命题p ：“x B ∀∈，x A ∈”是真命题，求实数m 的取值范围； (2)若命题q ：“x A ∃∈，x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围。
江苏省四校(常州北郊中学等)2022-2023学年高三下学期4月阶段性测试数学试题(原卷版)
2022-2023学年第二学期高三阶段性测试2023.4无锡市辅仁高级中学、江阴高中、宜兴一中、常州市北郊中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知复数z 满足()()31i 1i z -+=-，z=（）A.B.C.D.2.设R U =，已知两个非空集合M ，N 满足()U M N ⋂=∅ð，则（）A.RM N ⋂= B.M N⊆ C.N M⊆ D.RM N ⋃=3.大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数N （N 不为素数）能唯一地写成1212k aaak N p p p =⋅⋅⋅L （其中i p 是素数，i a 是正整数，1i k ≤≤，12k p p p <<<L ），将上式称为自然数N 的标准分解式，且N 的标准分解式中有12k a a a +++ 个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（）A .6B.13C.19D.604.已知多项式()()562560125621x x a a x a x a x a x -+-=+++⋅⋅⋅++，则1a =（）A.11B.74C.86D.1-5.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知2AB =，P 为弧AC 上的点且45PBC ∠=︒，则BP CP ⋅的值为（）A.4 B.4+ C.4- D.4+6.在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，224BC CD CD AB BC ⊥===，，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积与三棱锥A BCD -的体积之比为（）A.3π4B.3π2C.2πD.9π7.已知πsin 4sin 0,,21cos 4cos 2ααααα⎛⎫∈= ⎪+-⎝⎭，则tan 2α=（）A.5 B.3C.15D.8.已知函数()ln x x xϕ=．设s 为正数，则在()2(),,(2)s s s ϕϕϕ中（）A.()2sϕ不可能同时大于其它两个B.(2)s ϕ可能同时小于其它两个C.三者不可能同时相等D.至少有一个小于4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用1A ，2A ，3A 分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B 表示乙袋取出的球是白球，则（）A.1A ，2A ，3A 两两互斥B.()213P B A =C.3A 与B 是相互独立事件D.()13P B =10.已知经过点()2,4P 的圆C 的圆心坐标为()0,t （t 为整数），且与直线-=0l y 相切，直线:20m ax y a ++=与圆C 相交于A 、B 两点，下列说法正确的是（）A.圆C 的标准方程为()2242x y +-=B.若PA PB ⊥，则实数a 的值为2-C.若AB =，则直线m 的方程为20x y -+=或7140x y -+=D.弦AB 的中点M 的轨迹方程为()()22125x y ++-=11.已知函数()y f x =的导函数()y f x '=，且()()()12f x x x x x =---'，12x x <，则（）A.2x 是函数()y f x =的一个极大值点B.()()12f x f x <C.函数()y f x =在1223x x x +=处切线的斜率小于零 D.1202x x f +⎛⎫>⎪⎝⎭12.如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =2CB =，DE 是ABC 的中位线，沿DE 将ADE V 进行翻折，连接AB ，AC 得到四棱锥A BCED-（如图2），点F 为AB 的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（）A.当点A 与点C 重合时，三角形ADE3π2⎛++ ⎝B.四棱锥A BCED -的体积的最大值为32C.若三角形ACE 为正三角形，则点F 到平面ACD 的距离为32D.若异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为34，则A 、C 两点间的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题卡相应的位置上.13.在平面直角坐标系中，抛物线28y x =-的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过点P 作PA l ⊥，交准线l 于点A .若PF AF =，则OP 的长为_________.14.已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，将()f x 的图像向右平移π8个单位长度后的函数()g x 的图像，若()g x 为偶函数，则函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为___________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a m =，22(1)n n na S n n =+-，若对任意N n *∈，等式2nnS k S =恒成立，则m =_______.16.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A 、B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，6328S S =，数列{}n b 满足()33log 1n n b a =+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n ∈N ，3n n b a λ<恒成立，求实数λ的取值范围．18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，满足()221sin 3S a b C =-.（1）证明sin 2sin A B=（2）求所有正整数k ，m 的值，使得c mb =和tan tan A k C =同时成立19.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB BC⊥．（1）求点A到平面PBC的距离；（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为3010，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．20.互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m =，样本平均数18x =，样本方差2119s =；乙镇的样本容量18n =，样本平均数36y =，样本方差2270s =．（1）求由两镇样本组成的总样本的平均数z 及其方差2S ；（2）为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为35，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X ，求()E X ．参考数据：2222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12⨯=⨯==⨯=⨯=．21.已知曲线22:163x y E +=，直线:l y x m =+与曲线E 交于y 轴右侧不同的两点,A B ．（1）求m 的取值范围；（2）已知点P 的坐标为()2,1，试问：APB △的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．22.已知函数()2e xf x ax =-，R a ∈．（1）若e2a ≤，证明：()f x 在()0,∞+上单调递增．（2）若()()ln f x F x a x x=+存在两个极小值点12,x x ()12x x <．①求实数a 的取值范围；②试比较()1F x 与()2F x 的大小．。
新高考数学考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质考点分类讲义练习题附解析3
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2 3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．211、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20192、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.7、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π244、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π)5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.解析附后考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-2、【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 3、【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③. 4、【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B. 5、【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC. 6、【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 7、【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ． 8、【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图39、【答案】Df x在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，【解析】①若()f x在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；由图1可知，()f x在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；②由图1、2可知，()10、【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 11、【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12、【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-．【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[122-+．题型一 三角函数的性质1、【答案】B 【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax+=， 所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax ---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-. 故选B 2、【答案】B 【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B3、【答案】B 【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+， 对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ． 4、【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T， T π=，12||x x ∴-的最小值为2π， 即12a x x -的最小值为2π.故选：B ． 5、【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误；()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 6、【答案】4【解析】由题得12=,4,()42n n n Z ππωω⨯⨯∴=∈, 因为0>ω，所以ω的最小值等于4.故答案为：4 7、【答案】43. 【解析】由题意可得,32k k Z ππωπ⨯+=∈，求得22,3k k Z ω=-∈， 又0>ω，则ω的最小值为43， 故答案为：43. 8、【答案】. 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1.9、【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32 解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32cos(±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！10、【答案】π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.11、【答案】.3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.题型二 三角函数图像的变换1、【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 2、【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-， sin 42sin 2cos 2()cos 2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D. 3、【答案】C【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图像向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.4、【答案】D【解析】因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 5、【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[1,244442x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD6、【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.7、【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.8、【答案】12【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12，故答案为12．题型三 三角函数的解析式1、【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈， 所以2,6k k Z πϕπ=+∈， 因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确； 故选：D.2、【答案】(1)()sin(2)6g x x π=-；(2)[1,2]-.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω= ()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。
江苏省南通市如皋市十四校联考2024-2025学年高三上学期教学质量调研(二) 数学试题
江苏省南通市如皋市十四校联考2024-2025学年高三上学期教学质量调研（二）数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.某运动员在一次训练中共射击6次，射击成绩（单位：环）如下：6，7，7，9，9，10.则下列说法正确的是（）A 、成绩的极差为-4B ．成绩的第50百分位数等于成绩的平均数C ．成绩的中位数为7和9D ．若增加一个成绩8，则成绩的方差不变2.已知集合{21,3,4},{},2R ,A B xx m x =-=-<∈‖∣，若R A B ⋂=∅ð，则实数m 取值范围为（）A.4m > B.4m C.2m D.2m >3.抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m ，n .设平面向量(4,2),(,)a b m n == ，则向量,a b不能作为平面内的一组基底的概率为（）A.112B.16 C.14D.134.若πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-5.已知x ，y 为正实数，则可成为“x y <”的充要条件的是（）A.11x y< B.ln ln x y y x +<+ C.sin sin x y < D.cos cos x y y x-<-6.位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm ，塔顶宽10cm ，侧面面积为2，据此计算该观音塔模型体积为（）3cm ．A.31500B.30000C.10500D.100007.已知动点P 在拋物线24x y =上，定点(1,4)D .圆22:(1)3F x y +-=上两个动点A ，B 满足1||()2AB FM FA FB ==+，则||||PM PD + 的最小值为（）A.7B.6C.5D.48.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对(0,)+∞内的任意两个不相等的数12,x x ，都有()()12120,()22(1)(2)f x f x f x f x x x x x ->+=-+≥-且(2)2f =.若实数m ，n 满足623m f n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n m -的最小值为（）A.202B.192C.20D.19二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.cos y x x =- C.|sin 2|y x = D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.随机事件A ，B 满足111(),(),()232P A P B P A B ===∣，则下列说法正确的是（）A.事件AB 与AB 互斥B.事件A 与B 相互独立C.()()P A B P B += D.(()P B A P A =∣11.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，经过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），连接22,AF BF .现将平面12AF F 沿x 轴向上折叠，使得面12AF F ⊥面12F F B ，则下列说法正确的是（）A.当直线l 的倾斜角为π3时，2AO BF ⊥B.当直线l 的倾斜角为π3时，三棱锥12A BF F -的外接球的表面积为884π75C.三棱锥12A BF F -的体积最大值为94D.当2ABF 折叠后的周长为152时，直线l 的斜率为33514±三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上）12.已知i 为虚数单位，复数z 满足42i i (1i)z z +=++，则||z =______.13.某工厂生产的A 产品的长度l （单位：cm ）服从正态分布()25,3N ，按长度l 分为5级：10l为一级，810l < 为二级，68l < 为三级，46l < 为四级，4l <为废品.将一级与二级产品称为优品.对该工厂生产的A 产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率p =______（精确到0.1）.若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率为______.附：()0.6827,(22)0.9545P Z P Z μσμσμσμσ-<+=-<+=，(33)0.9773P Z μσμσ-<+= 14.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上且121π,3F PF PF ∠=的平行线OQ 与12F PF ∠的角平分线交于,||Q OQ b =，则椭圆C 的离心率为______.四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在边AC 上且||2||AD DC =，2sin sin cos sin sin cos 4sin B C A C A B A +=.（1）求证：2c a =；（2）若1a =，求||b BD ⋅的最大值.16.（本小题满分15分）为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试.从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分x 和对应的考试成绩y 作为样本，得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i = ，其中i x 和i y 分别表示第i 个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得20212080,ii xx =-=∑()20219000,ii yy =-=∑20120800i i i x y xy =-=∑.（1）求样本(),(1,2,,20)i i x y i = 的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩y 和错题订正整理情况得分x 的相关程度；（2）已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数y .利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于y 的个数为X ，求随机变量X 的分布列.附：相关系数()()1.414niix x y y r --=≈∑.17.（本小题满分15分）在三棱锥A BCD -中，ABD 是边长为2的正三角形，P ，M 分别为线段AD ，CD 的中点，,CDAD CD AD ⊥>，平面ABD ⊥平面BCD .（1）求证：BD CD ⊥；（2）若AC 与平面BCP 所成角的余弦值为26，求二面角P BM D --的余弦值.18.（本小题满分17分）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且121()e(1)13x f x f x -'=++.（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若对于任意的[1,2],()x f x mx ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.19.（本小题满分17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点(2,0)A -，其渐近线方程为20x y ±=.圆B 过点(3,0),(3,0)M N -，与y 轴交于E ，F .记直线EA 与双曲线C 的另一个交点为P ，直线FA 与双曲线C 的另一个交点为Q .（1）求双曲线C 的标准方程；（2）求证：直线AE 和直线AF 斜率之积为定值；（3）判断直线PQ 与圆B 的位置关系，并说明理由.2024-2025学年度高三年级第一学期教学质量调研（二）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】1064-=，极差为4 A ，错．第50百分位数7982+=，平均数1(6779910)86+++++=，B 对.2.【答案】A【解析】R A B ⋂=∅ð，则22},{B B xm x m ≠∅=-+<<+∣，{2B x x m =≤-R ∣ð或},2x m A B ≥+⋂=∅R ð，则22,424m m m -<-⎧∴>⎨+>⎩，选A.3.【答案】A【解析】,a b 不能作为基底，则42n m =，即,312361 2m n P ===，选A.4.【答案】C 【解析】π2ππcos 2cos 2πcos 2333ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222222πππcos sin 1tan 143333πππ145cos sin 1tan 333αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=-=-=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C.5.【答案】D 【解析】,110A x y x y<⇔>>错．ln ln ln ln x y y x x x y y x y +<+⇔-<-<¿，В错.sin sin x y x y <<¿，C 错，选D.6.【答案】C【解析】每个侧面面积，侧面的高1h，则111(2010)2h h +=∴=侧棱长=，正四棱台的高45h ==，1(400100200)4515003,0V =++⨯=选C.7.【答案】D【解析】1()2FM FA FB =+，则M 为AB 中点，22AB =，则1FM =1114PM PD PF PD PP PD DP ''+≥-+=+-≥-=（其中PP '为P 到准线1y =-的距离），选D.8.【答案】B【解析】(2)22(1)2(1)1f f f +=+⇒=，令()2[(1)(1)]f x ax b f x a x b ++=-+-+()2(1)2f x f x ax a b ⇒=-+-+和原式比较1,()2[(1)1]0a f x x f x x b =⎧⇒∴+=-+-⎨=⎩19196262556255622233333333f ff f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+⇒=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1212,0,x x x x ∀>≠ 都有()()12120,()f x f x f x x x ->∴-在(0,)+∞上单调递增191958626211621(1)(2)222333333f f f f ⎛⎫⎛⎫∴=<<=⇒⋅-<<⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19191919min 118222,()233n m n m ∴-≥⋅-⋅=-=，选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC 【解析】ππππ3ππ,,()sin 422444x x f x x ⎛⎫<<<+<=+ ⎪⎝⎭在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，A 对.π2sin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，B 错．|sin 2|sin 2y x x ==在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，C 对.πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，D 错，选AC.10.【答案】ABC【解析】AB 与AB 一定互斥，A 对()()111()()()(),,1()2233P AB P AB P A B P AB P A P B A B P B ===∴=⨯=∴∣独立，B 对.11121()()()()1(23633P A B P A P B P AB P B +=+-=+-==-=对.(()()()(1())1(()(),D ()1()1()3P BA P B P AB P B P A P B A P B P A P A P A P A --=====≠--∣错11.【答案】ABD【解析】方法一：对于A ，当l 倾斜角为π3时，l方程为221)1)34,12y x y x x y ⎧=+⎪=+⎨+=⎪⎩221833580,,(1,0),(1,0)55,x x A B F F ⎛⎫⇒+=∴--- ⎪ ⎪⎝⎭此时A 位于椭圆短轴的一个端点，1212,AF AF AO F F ∴=∴⊥，又 平面12AF F ⊥平面12,F F B AO ∴⊥平面122,,A F F B AO BF ∴⊥正确.（图中绿色为平面12AF F 折叠后的面）对于B ，当1倾斜角为π3时，12AF F 为等边三角形，边长为2，121233535313tan ,sin ,11114BF BF BF BF k k k k θθ-===+⋅12AF F ∴外接圆半径11222sin 603,r BF F ︒==外接圆半径25314r ==∴三棱锥12A BF F -外接球半径为R =，2 2218844π4ππ,7575S R ∴==⨯=表B 正确.对于C ，设直线AB 方程为()()1122121,,, 00, ,,x my A x y B x y y y =-><()()()2222222134690,36363414413412x my m y my m m m x y =-⎧⇒+--=∆=++=+⎨+=⎩ 平面12AF F ⊥面()12122112211133,2323344A BF F F FB V y y y y m -∴=⋅⨯-⋅=-=≤+()12max 9,C 4A BF F V -∴=错.对于D ，如图建系，翻折前原先AB =，翻折后，()()1122,,0,,0,,A x y B x y A B ''''-∴=由2222 1518,, 22AB AF BF A B AF BF AB A B ''''++=++=∴-=1 2⇒=①12⇒124y y ⇒+=-②，联立①②21222111828||243443445AB y y m m m ⇒=-⇒=+⇒=++,D 14m k ∴===±正确，选ABD.方法二：当l 的倾斜角为π3时，835, 55A B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，此时12AO F F ⊥，又 面12AF F ⊥面12, BF F AO ∴⊥面122, ,A BF F AO BF ∴⊥对.12AF F 外接圆圆心M 到12F F 距离123614,,35 5BF BF ==，1236196411532525cos sin ,6141414255 B B BF F +-===⨯⨯ 外接圆半径1r，1283143211515r rl ==∴=，圆心N 到12F F距离25外接球半径2236314221884,4ππ,625347575R S R =++===B 对.令12AF F α∠=，则1213133sin ,2sin 2cos 22cos 2cos BF F BF S ααααα==⋅⋅=+++ 13,2cos AF A α=-到12F F 距离2sin 2cos αα-12222213sin 2sin 3sin 3sin 332cos 2cos 4cos 3sin 4A BF F V αααααααα-=⋅⋅==≤+--+，C 错.对于D ，同法一三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【解析】242i 2i i (2i)i 2i 4 , ,||,1i z z z z z z --+=+∴-=--∴==-.13.【答案】0.2；0.36【解析】优品满足8,(8)(53)()l P l P l P l μσ≥≥=≥+=≥+10.68270.158650.222=-=≈（第一空）0.20.80.20.36P =+⨯=（第二空）14.【答案】277【解析】延长OQ 与2PF 交于N ，则N 为2PF 中点，112QN ON OQ PF b =-=-而QPN 为等腰三角形，2111,22PN QN PF PF b ∴=∴=-，即122PF PF b -=又12122,,,PF PF a PF a b PF a b +=∴=+=- ()222222221212124,2242PF PF PF PF c a b a b c ∴+-⋅⋅=∴+--=()22222734,.7c a a c c a ∴+-=∴=四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】方法一：sin sin cos sin sin cos B C A C A B+2sin (sin cos cos sin )sin sin()sin C B A B A C A B C=+=⋅+=2sin sin cos sin sin cos 4sin B C A C A B A += 22sin 4sin C A∴=由正弦定理：sin sin a c A C=得224c a =2c a =.（2）2, 2c a BA BC =∴= ，又 2,BA ADAD DC BC DC=∴= 所以BD 为ABC ∠的角平分线，设, CBD BD xθ∠==则111sin sin sin 2222BC BD BD BA BC BA θθθ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯3sin 2sin 2sin 2,3sin 4sin cos ,cos 4x x x xθθθθθθθ∴+=∴=∴=又在BCD 中，由余弦定理得22121cos 9b x x θ+-=⨯⨯⨯，2222223112,1,1949292b b b x x x x x +-=⨯-=∴+=≥即：322bx ≤，当且仅当132b ==时“=”号成立，max 32()2b BD ∴⋅=.方法二：（1）2sin sin cos sin sin cos 4sin B C A C A B A+= 2222222422b c a a c b bc ac a bc ac+-+-∴+=即22,2 4c a c a =∴=.（2）设 ,BD x BDA α=∠=，在ABD 中，22422cos 493x b x b α+-⋅=①，在BCD 中，22112cos(π)193x b x b α+-⋅-=②，由①②得，222363x b +=，下同法一方法三：（2）122,33AD DC BD BA BC =∴=+，两边同时平方得222944BD BA BA BC BC=+⋅+ 即294421cos 4x ABC =+⨯⨯⨯∠+，所以2241988221b x +-=+⨯⨯⨯，所以229182x b =-，下同法一.16.【解析】（1）()()202020iii ix x y y x y xyr ---=∑∑0.943===≈，r 接近1,∴考试成绩y 和错题订正整理情况得分x 高度相关.（2）考试成绩低于样本平均数y 的概率记为p ，则822,~4,205 5p x B ⎛⎫==∴ ⎪⎝⎭43014438123216(0)C ,(1)C 562555625p x p x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2232344232162396(2)C ,(3)C 5562555625p x p x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭444216(4)C .5625p x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭x 01234p 8625216625216625966251662517.【解析】（1）证明：取BD 中点Q ，连接AQABD 为正三角形，AB AD ∴=，Q 为BD 中点，AQ BD ∴⊥，,AQ BD AQ ⊥⊂面ABD ，面ABD ⊥面BCD ，面ABD ⋂面BCD BD =AQ ⇒上面BCD ，又CD ⊂ 面,BCD AQ CD ∴⊥，1, AQ CDAD CD CD AD AQ A AD AQ ABD ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⎭面面ABD又BD ⊂面,ABD CD BD∴⊥（2）方法一：由（1）可知CD ⊥面ABD ，建立空间直角坐标系如图，1(0,0,0),1,0),,,022D B A P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(0,0,)C t ，则(1,)AC t =- ，记平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =30 33,,0,(),2222x y BP BC ty tz⎧⎛⎫-+=⎪=-=∴⎪⎨⎪⎝⎭⎪++=⎩令y t=，则,,,2)2xy t n tz⎧=⎪=∴=⎨⎪=⎩|cos,|AC n∴〈〉==AC与平面BCP 所成角余弦值为713,26∴正弦值为3926.423933712026t t=∴-+=()()22231120, 1t t t--=∴=或212t=又2,2,CD AD t t M>=∴>∴=∴.设面BPM的一个法向量为()1111,,n x y z=33,,0,1,22BP MB⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭11111111113330222xx yy y nzy⎧=⎧⎪-+=⎪∴=⇒=∴=⎨⎨⎪=-=⎩取设面BMD的一个法向量为()2222,,n x y z=2221,0),(0,0,yDB DM-==-==取2222211(1,xx y nz=⎧⎪=⇒==⎨⎪=⎩1263cos,.424n n∴==⨯由图可知二面角的平面为锐角，∴二面角的余弦值为34.方法二：由（1）AQ⊥面BCD过Q 作//QN CD ，则QN BD ⊥，以{,,}QN QD QA为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设130,,,(0,1,0),(,1,0)22,,CD a A P B C a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭所以33(,1,0,,,(,2,0)22AC a BP BC a ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BCP 的法向量为()111,,m x y z =11113302220y z ax y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令12x =得(2,)m a =- AC 与平面BCP所成角余弦值为26，AC ∴与平面BCP 所成角正弦值为3926.39|cos ,|26AC m ∴〈〉== 42337120a a ∴-+=，()()22231120,1a a a --=∴=或212a =又2,2,CD AD a a >=∴>∴= 因为平面BDM的法向量1(0,0,1),n BM ==设平面BMP 的法向量为()2222,,n x y z =2222302220y z y ⎧+=⎪+=，令22x =得2(2,n =123cos ,4n n ∴=，下同法一方法三：由（1）可知面ABD 得,CD BP AD BP ⊥⊥，所以BP ⊥面ACD ，面BCP ⊥面ACD ，AC ∴与平面BCP 所成角为ACP ∠，设CD a =，,CD AD AC ⊥= ，又P 为AD的中点，CP ∴=在ACP中，22cos ACP ∠==，21a ∴=或212a =，又22,,CD AD a a >=∴>∴= .过P 作PE BD ⊥交BD 于E ，过E 作EF BM ⊥于F ，连接PF，PFE ∠为二面角P BM D --的平面角.因为32,PE EF ==，所以3cos 4EF PF PFE PF =∠==.由图可知二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为34.18.【解析】方法一：（1）122()e(1)(1)1(1)(1)333x f x f x f f f '-''''=+⇒=+⇒=12()e 1x f x x -∴=++，切点(1,3),()f x ∴在(1,(1))f 处的切线方程为3(1)33y x x=-+=（2）12e1x x mx-++≥①当0x =时，左边110e=+>=右边，不等式显然成立.②当10x -≤<时，1max e 1x m x x x -⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭令11122e 1e e 1(),()1x x x x g x x g x x x x x ---'⋅-=++=+-()11222e (1)(1)(1)1e 1x x x x x x x x x x---+--=+=++当10x -≤<时，1210e1e ,0()0(),,x x x g x g x --'-<++≥>∴<在[1,0)-上单调递减222max ()(1)e 11e 2,e 2.g x g m ---∴=-=---=--∴≥--③当02x <≤时，1min e 1x m x xx -⎛⎫⇒≤++ ⎪⎝⎭令()01g x x '=⇒=，当01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；当12x <≤时，()0,()g x g x '>单调递增.min ()(1)1113,3g x g m ∴==++=∴≤综上：m 的取值范围为2e 2,3-⎡⎤--⎣⎦.方法二：（1）12()e()3x f x f x '-'=+，令1x =，则2(1)1(,1)(1)33f f f '''=+∴=12()e 1,(1)1113,x f x x f -∴=++∴=++=:33(1)l y x ∴-=-，即：30x y -=.（2）令12()()e1x g x f x mx x mx-=-=++-11()e 2,()e 20x x g x x m g x '-''-∴=+-=+> 恒成立，()g x '∴在[1,2]-上递增.①若()e 40g z m '=+-≤，即e 4m ≥+对[1,2]()(0,2)x g x g ''∀∈-≤≤()g x ∴在[1,2]-单调递减，min e 5()(2)e 5202,g x g m m +∴==+-≥∴≤与e 4m ≥+矛盾，∴无解，舍去.②若2(1)e20g m '--=--≥，即212e m ≤-，[1,2],()(1)0,()x g x g g x ''∀∈-≥≥∴在[1,2]-上递增2min 21()(1)e 20,2e g x g m m -∴=-=++≥∴≥--故221122e e m --≤≤-.③若(1)0(2)0g g ''⎧-<⎨>⎩即：212e 4e m -<<+时，0(1,2)x ∃∈-使得()00g x '=，即：010e 2x x m-+=000111222min 00000()()e 10,e 1e 20x x x g x g x x mx x x x ---∴==++-≥++--≥即：()()()0011200001e10,1e 10x x x x x x ---+-≥-++≥0100001,e 10,10,11x x x x x -≥-∴++>∴-≥∴-≤≤ 01021e 22,3e x m x -⎡⎤∴=+∈-⎢⎥⎣⎦，故2123e m -≤≤综上2123em --≤≤．方法三：（2）①当0x =时，1e 10-+≥恒成立；②当(0,2]x ∈时，12e 1x x m x -++≤；③当[1,0)x ∈-时，12e 1x x m x -++≥，令()1122(1)e 1e 1(),()x x x x x g x g x x x --'-++++==所以()g x 在,[1,0)(0,1)-上单调递减，(0,2]上单调递增，所以2123em --≤≤.19.【解析】（1）由题意知22,112a ab b a =⎧=⎧⎪∴⎨⎨==⎩⎪⎩，双曲线C 的标准方程为2214x y -=.（2）方法一：设(0,)(0,)(,),0,B t E t r F t r ∴+-，其中229t r +=，而(2,0)A -2292244AE AFt r t r t r k k +--∴⋅=⋅==-方法二：设()()120,,0,F y E y ，则12121210,,222y y y y y y Q r y ++-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则()2212212:24y y y y Q x y -+⎛⎫+-= ⎪⎝⎭代入点(3,0)-得：()()22121212124999444,,y y y y y y y y +--+=∴=∴=-12129.2244AE AF y y y y k k ⋅=⋅==-（3）方法一：由（2）知94AP AQ k k =-⋅，将双曲线平移至22(2)14x y --=，即22440x y x --=，此时A 平移至(0,0)A '此时P ，Q 分别平移至()()1122,,P x y Q x y ''，，设直线P Q ''方程为1mx my +=代入：双曲线222244()044(41)0x y x mx ny y nxy m x ⇒--+=⇒++-=244410y yn m x x⎛⎫⇒⋅+⋅+-=⎪⎝⎭12129419,2444AP AQ A P A Q y y m k k k k m x x ''''-∴⋅=⋅=⋅=-⇒=-∴=-∴直线P Q ''恒过定点1,0,2PQ ⎛⎫-∴ ⎪⎝⎭恒过定点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然R 在圆B 内，PQ ∴恒与圆B 相交.方法二：1:2FA AF y l k =，()122211122(2):14440244FA y y x l y x y x y x y ⎧=+⎪⇒----=⎨⎪-=⎩2211221144222,11Q Q y y x x y y ++=∴=--2221111112221112222222212121Q y y y y y y y y y y ⎛⎫+++-=+⨯== ⎪---⎝⎭()2112211212,11y y Q y y ⎛⎫+ ⎪∴ ⎪--⎝⎭，同理：()2222222212,11y y P y y ⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭()()()()()()()122222122112222221212122122221211121212121111PQ y y y y y y y y k y y y yy y y ------∴==+++-+----()()()()()121212221212122121444y y y y y y y y y y y y -++-===++-()2112211212124:11PQ y y l y x y y y y ⎛⎫+- ⎪∴-=- ⎪-+-⎝⎭12121241045 : 2x y x y y y y y y --⎛⎫=-=+ ⎪+++⎝⎭即PQ l ∴恒过点5,02T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由（2）圆2221212:24y y y y Q x y +-⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：()221290x y y y y +-+-=，代入5,02⎛⎫-⎪⎝⎭得25904-<∴点T 在圆内，PQ l ∴与圆相交.。
专题03 充分、必要、充要问题的研究(解析版)
专题03 充分、必要、充要问题的研究一、题型选讲题型一 、充分、不要条件的判断充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 例1、【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选A ．1-1、【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.1-2、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知,x y 是非零实数，则“x y >”是“11x y<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 因为11x y <,所以00x y x y xy xy >⎧->⇒⎨>⎩或0x y xy <⎧⎨<⎩ ,所以x y >是“11x y <”的既不充分也不必要条件,选D 1-3、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知0a >且1a ≠，则“()log 1a a b ->”是“()10a b -⋅<”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()log 1a a b ->当1a >时，a b a ->得0b <，推出()10a b -<， 当01a <<时，0a b a <-<得0b >，推出()10a b -<， 则()log 1a a b ->是()10a b -<的充分条件，但当()10a b -<时不一定能推出()log 1a a b ->（比如：01a <<，1b >，这时0a b -<无意义） 则()log 1a a b ->是()10a b -<的不必要条件， 故选：A.1-4、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知m 为非零实数，则“11m＜-”是“1m ＞-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由11m <-，得10m m +<，解得10m -<<，故“11m<-”是“1m >-”的充分不必要条件.故选A.例2、【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选B.2-1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立； 当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.例3、【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C ．3-1、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.3-2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B3-3、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（）的图象.则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要【解析】由题意，将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，可得sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x 的图像， 当34πϕ=时，可得3sin sin cos 442（）=πππ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭gx x x x ，显然()g x 为偶函数， 所以“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分条件； 若函数()g x 为偶函数，则,42ππϕπ-=+∈k k Z ，即,4πϕπ=--∈k k Z ，不能推出34πϕ=， 所以“34πϕ=”不是“函数()g x 为偶函数”的必要条件， 因此“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要例4、【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件. 故选C.4-1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）设,a b 是非零向量，则2a b =是a abb =成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =可知：a b ， 方向相同，a ba b ， 表示 a b ， 方向上的单位向量所以a b a b=成立;反之不成立. 故选B例5、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知,R a b ∈，则“1a =”是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直， 则()220a a +-=，解得2a =-或1a =，所以，由“1a =”可以推出“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”，由 “直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”不能推出“1a =”，故“1a =”是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”的充分不必要条件， 故选：A.5-1、（2020·浙江温州中学高三3月月考）“直线()1330m x y +-+=与直线220x my -+=平行”的充要条件是m =（ ） A ．-3 B ．2 C ．-3或2 D ．3或2【答案】A【解析】当0m =或1m =-时，显然直线不平行， 由132m m+=，解得：3m =-或2m =， 3m =-时，直线分别为：2330x y --+=和2320x y ++=，平行， 2m =时，直线分别为：3330x y -+=和2220x y -+=，重合，故3m =-， 故选：A ．例6、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“990S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，当1q =时，19910990a S a >⇔=>，当1q ≠时，999999111,011q q S a q q --=⋅>--， 19900a S >⇔>∴，所以“10a >”是“990S >”的充要条件. 故选:C.6-1、（2020·浙江高三）等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，则“d ＝0”是“2nnS S ∈Z ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，若d ＝0，则{a n }为常数列，故a n =1a ， 即2112,n n S na S na ==⇒“2nnS S ∈Z ”，当2nnS S ∈Z 时，d 不一定为0， 例如，数列1，3，5，7，9，11中，631357911135S S +++++==++4，d ＝2， 故d ＝0是2nnS S ∈Z 的充分不必要条件． 故选：A ．题型二、根据充分、必要条件判断含参的问题解决此类问题要注意以下两点：（1）把充分、不要条件转化为集合之间的关系；（2）根据集合之间的关系列出关于参数的不等式。
江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学试题+答案
江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的A ．12倍 B C ．14倍 D 倍 2．已知a ，b 是两个不共线的单位向量，向量 (,)c a b λµλµ=+∈R，则“0λ>且0µ>”是“()0c a b ⋅+>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41S =，84S =，则17181920a a a a +++=A ．7B ．8C ．9D ．104．设i a = A ．1−B ．1C ．0D ．25．甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下．甲说：“乙在丙之前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名”．若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为 A ．第一名B ．第二名C ．第三名D ．第四名6．已知P 为抛物线24x y =上一点，过P 作圆22(3)1x y +−=的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos APB ∠的最小值为 A ．12B ．23C ．34D ．787．若全集为U ，定义集合A 与B 的运算：{|}A B x x A B x A B ⊗=∈∉ 且，则()A B B ⊗⊗= A ．A B ．BC ．U A BD ．U B A8．设14a =，112ln(sin cos )88b +，55ln 44c =，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
江苏省兴化市楚水实验学校、兴化一中等四校2023-2024学年高三上学期第一次阶段测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A x x 3 , B x 2 x 0 ，则 A B （ ）
A． 3, 2
B． 2,3
C． 0,3
D． ,3
2．已知扇形面积为 3 ，半径是 1，则扇形的圆心角是（ ） 8
A． 3 16
B． 3 8
C． 3 4
3．已知
sin
6
1 2
，则
cos
3
（
）
A． 3
2
B．
1 2
C．
1 2
D．
3 2
D． 3 2
4．已知函数
f
x
ax , x 0
a 2 x 3a, x
R，
A
x
y
log2
3 x x 1
，
B
a 1, a 6 ．
(1)当 a＝1 时，求 A B ， ðU A B ；
(2)若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
18．已知
f
x
ax
1
x 1
a R
.
(1)当 a 1 时，求不等式 f x 1 f x 1 的解集；
(2)若 x 1, 2 时， f x 有零点，求 a 的范围.
19．已知函数
f
x
Asin
x
A
0,
0,
π 2
的部分图象如图所示.
(1)求函数 f x 的解析式及单调递减区间；
2020届四省名校高三第二次大联考数学(理)试题(PDF版,含答案解析)
2020届四省名校高三第二次大联考理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{})2ln(+==x y x A ，{}13<=x x B ，则=B A A.{}02<<-x x B.{}02<≤-x x C.{}12<<-x x D.{}12<≤-x x 2.对于平面内两个非零向量a 和b ，0:>⋅b a p ，a q :和b 的夹角为锐角，则p 是q 的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入x n ,的值分别为2,4，则输出v 的值为A.24B.25C.49D.504.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1032=+a a ，305=S ，则数列{}n a 的公差为A.1B.2C.3D.45.42)2(xx -展开式中含5x 的项的系数为A.8B.8-C.4D.4-6.正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）111C B A ABC -中，AB AA =1，M 为棱1CC 的中点，则异面直线C A 1与BM 所成的角为A.6π B.4πC.3π D.2π7.2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去CB A ,,三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为A.121 B.81C.61D.418.已知函数)sin(31)cos(33)(θθ+-+=x x x f )2|(|πθ<是偶函数，则θ的值为A.3π B.3π-C.6π D.6π-9.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 3=，点M 在AD 边上，AM AD 3=，若AC AB CM μλ+=，则=+μλA.32- B.32C.67 D.67-10.抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点F 是双曲线12222=-x y 的一个焦点，过F 且倾斜角为︒60的直线l 交C 于B A ,，则=||AB A.2334+ B.234+C.316D.1611.下列选项中，函数1sin 2)(2+-=x x x x f 的部分图象可能是A. B.C. D.12.设点)0,1(A ，)0,4(B ，动点P 满足||||2PB PA =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：4)3(3(22=-++y x ，1C 与2C 交于点N M ,，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则=⋅MQ MN A.4 B.32C.2 D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数|43|1i ii z +-+=，则=z _______.14.在正项等比数列{}n a 中，1011010=a ，则=++++2019321lg lg lg lg a a a a _______.15.如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，BC SB ⊥，2==BC AB ，3==PC PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为_______.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+--=1,21ln 1,272)(2x x x x x x f 若关于x 的方程kx x f =)(恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。
江苏专版2020届高三数学一轮复习《统计与概率》典型题精选精练附答案详析
江苏专版2020届高三数学一轮复习典型题精选精练统计与概率一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为▲．2、（南京市2019高三9月学情调研）已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为▲．3、（南京市2019高三9月学情调研）不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是▲．4、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）若一组样本数据3，4，8，9，a的平均数为6，则该组数据的方差s2＝▲．5、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．6、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是▲．7、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为▲．8、（南师附中2019届高三年级5月模拟）某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是．9、（南师附中2019届高三年级5月模拟）3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是．10、（苏州市2018高三上期初调研）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2: 3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是．11、（徐州市2019届高三上学期期中）某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有▲个网箱产量不低于50 kg．12、（海安市2019届高三上学期期中）已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为．13、（海安市2019届高三上学期期中）有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是．14、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）如图是某次青年歌手大奖赛上5位评委给某位选手打分的茎叶图，则这组数据的方差为▲15、（如皋市2019届高三上学期期末）为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为▲16、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为．17、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n＝▲18、（泰州市2019届高三上学期期末）从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为19、（无锡市2019届高三上学期期末）史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为．20、（宿迁市2019届高三上学期期末）春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为▲．21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，……，第五组，右图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组于第二组共有20人，则第三组钟人数为.22、（南京市2019届高三第三次模拟）已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为▲．23、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））随机抽取100名年龄在［10,20），［20,30），…，［50,60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在［50,60）年龄段抽取的人数为＿＿24、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为▲.25、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为▲．26、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为▲．27、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为．28、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为．29、（盐城市2019届高三第三次模拟）现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_____.30、（江苏省2019年百校大联考）某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．二、解答题1、（南京市2018高三9月学情调研）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习．（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在某次活动中，有5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记X Y期望．4、（徐州市2018高三上期中考试）某同学在上学路上要经过A 、B 、C 三个带有红绿灯的路口.已知他在A 、B 、C 三个路口遇到红灯的概率依次是13、14、34，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.5、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．6、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立，规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级加5分，记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值。
江苏名校备战高考12讲专题04 立体几何(学生版)
专题04 立体几何 一、单选题1. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，23AB =，Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．50πB ．55πC ．57πD ．108π2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量.设(,)e A B =是直线l 的一个方向向量，那么(,)n B A =- 就是直线l 的一个法向量.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离.已知P 是直线l 外一点，n 是直线l 的一个法向量，在直线l 上任取一点Q ，那么PQ 在法向量n 上的投影向量为()cos n PQ n θ⋅(θ为向量n 与PQ 的夹角），其模就是点P 到直线l 的距离d ，即PQ n d n ⋅=.据此，请解决下面的问题：已知点A (-4，0)，B (2，-1)，C (-1，3)，则点A 到直线BC 的距离是（ ） A ．215 B ．7 C ．275 D ．83. 【江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是A ．334B ．33C ．34D ．3124. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，2BC BD ==，ACD △的面积为11，则此三棱锥外接球的体积为（ ）A ．16πB ．4πC ．163πD ．323π 5. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11AB BC ，的中点，则异面直线EF 与1C D 所成的角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒6. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，且3PA =，则二面角P BC A --的大小为（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．无法确定7. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱14BB =，2AB =，3AC BC ==，则点C 到平面11A BC 的距离为（ ）A ．22211B ．42211C ．62211D ．1222118. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】正三棱锥S ABC -中，2SA =，22AB =，则该棱锥外接球的表面积为（ ）A ．43πB ．4πC ．12πD ．6π9. 【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M ､N 分别是边CD ､BC 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，在ADM △翻折到PAM △的过程中，tan PND ∠的最大值为（ ）A ．54B ．255C ．55D ．2310. 【江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）A ．33sin θB ．33cos θC ．12sin θD ．12cos θ11. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】正三棱锥S ABC -中，2SA =，22AB =，则该棱锥外接球的表面积为（ ）A ．43πB ．4πC ．12πD ．6π12. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】棱长为6的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的体积为（ ）A ．92B ．242C ．362D ．722二、多选题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，m β⊥，则αβ⊥C ．若//αβ，m α⊥，n β⊥，则//m nD ．若αβ⊥，//m α，βn//，则m n ⊥ 2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】已知边长为2的等边ABC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，满足//DE BC 且ADAC λ=（()0,1λ∈），将ADE 沿直线DE 折到A DE '的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面ACD 'B ．存在102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE C ．若12λ=，当二面角A DE B '--等于60°时，72A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为2393. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △是等边三角形，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，M 为棱PD 的中点，N 为菱形ABCD 的中心，下列结论正确的有（ ）A ．直线PB 与平面AMC 平行B ．直线PB 与直线AD 垂直C ．线段AM 与线段CM 长度相等D ．PB 与AM 所成角的余弦值为24 4. 【江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】已知菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AC 与BD 相交于点O ．将∠ABD 沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，下列结论正确的是（ ） A ．BD ∠CMB ．存在一个位置，使∠CDM 为等边三角形C ．DM 与BC 不可能垂直D ．直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60°5. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若AB BC =，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则下列结论中成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45︒ D ．//EF 平面1111D C B A6. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】在棱长为2的正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，DA 的中点，则（ ）A ．//AC 平面EFGB ．过点E ，F ，G 的截面的面积为12C ．AD 与BC 的公垂线段的长为2D ．CD 与平面GBC 所成角的大小小于．．二面角G BC D --的大小 7. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M ，N 分别是棱11A D ，CD 的中点，点P 在四边形ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若25PM =，则（ ） A ．点P 的轨迹的长度为2π B ．线段MP 的轨迹与平面11ADC B 的交线为圆弧C ．PQ 长度的最小值为65105-D ．PQ 长度的最大值为252+ 8. 【江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）A ．三棱锥1P A BD -的体积为定值13B ．过点P 平行于平面1A BD 的平面被正方体1111ABCD A BCD -截得的多边形的面积为32C ．直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．当点P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -的外接球的体积为32π 9. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】设α，β是两个相交平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若直线m α⊥，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直B ．若直线m α⊥，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线C ．若直线m α⊂，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线D ．若直线m α⊂，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线10. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连结PB ，PC ，在ADM △翻折到PAM △的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥P ABCM -的体积的最大值为255B ．当面PAM ⊥平面ABCM 时，二面角PAB C 的正切值为54C ．存在某一翻折位置，使得AM PB ⊥D ．棱PB 的中点为N ，则CN 的长为定值 11. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】在正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别为1B B ，11B C 的中点，则（ ）A ．直线1//A E 平面1ACDB ．直线1B D ⊥平面1ACDC ．平面1//A EF 平面1ACD D ．平面11A B CD ⊥平面1ACD 12. 【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】在四面体ABCD 中，ABC 是边长为2的正三角形.60ADB ∠=︒，二面角D AB C --的大小为60︒，则下列说法正确的是（ ）A ．AB CD ⊥B ．四面体ABCD 的体积V 的最大值为32 C ．棱CD 的长的最小值为3D ．四面体ABCD 的体积最大时，四面体ABCD 的外接球的表面积为529π 13. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】在正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别为1B B ，11B C 的中点，则（ ）A ．直线1//A E 平面1ACDB ．直线1B D ⊥平面1ACDC ．平面1//A EF 平面1ACD D ．平面11A B CD ⊥平面1ACD14. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1BA 的中点（ ）A ．直线1EC 与直线AD 是异面直线B ．在直线11AC 上存在点F ，使EF ⊥平面1ACDC ．直线1BA 与平面1ACD 所成角是6π D ．点B 到平面1ACD 的距离是22 15. 【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】如图，在半圆柱中，AB 为上底面直径，DC 为下底面直径，AD ，BC 为母线，AB ＝AD ＝2，点F 在AB 上，点G 在DC 上，BF ＝DG ＝1，P 为DC 的中点.则（ ）A ．BF ∠PGB ．异面直线AF 与CG 所成角为60°C ．三棱锥P —ACG 的体积为32D ．直线AP 与平面ADG 所成角的正弦值为1510 16. 【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】下列命题中正确的是（ ） A ．,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为55三、填空题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________.2. ．【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，现将ABD △沿对角线BD 折起，得到三棱锥P BCD -.则当二面角P BD C --的大小为23π时，三棱锥P BCD -的外接球的表面积为______.3. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研】在三棱锥P ABC -中，ABC 与PBC 均为边长为1的等边三角形，,,,P A B C ，四点在球O 的球面上，当三棱锥P ABC -的体积最大时，则球O 的表面积为______．4. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1==PA AB ，2BC =，则二面角A PC B --的正弦值为______.5. ．【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期期中】已知三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，以P 为球心，22为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为______. 6. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．7. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】已知某空心圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，记该圆锥内半径最大的球为球O ，则球O 与圆锥侧面的交线的长为________cm .8. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心．．工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是R ，球冠的高是h ，那么球冠的表面积计算公式是2S Rh π= . 由此可知，该实心．．工艺品的表面积是____.9. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BB ==，1BC =，5AC =，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.10. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，222AD AB BC ===，将ABC 沿对角线AC 翻折到AMC ，连结MD ．当三棱锥M ACD -的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为__________．11. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，三角形PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为_________.12. 【江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高三上学期第五次阶段性测试】我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且26,22,15,5AB AD EH EF ====，平面EFGH 与平面ABCD 的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.13. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，三棱锥P ABC -中，1BC =，2AC =，3PC =，PA AB =，PA AC ⊥，PB BC ⊥.点Q 在棱PB 上且1BQ =，则直线CQ 与平面ABC 所成的角是__________.14. 【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m 的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(2＋1)m ，则水晶球的表面积为_______m 2.15. 【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点．则平面AEF 截正方体所得的截面面积为______；以点E 为球心，以104为半径的球面与对角面11ACC A 的交线长为______．四、解答题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】如图，在正六边形ABCDEF 中，将ABF 沿直线BF 翻折至A BF '△，使得平面A BF '⊥平面BCDEF ，O ，H 分别为BF 和A C '的中点.（1）证明：//OH 平面A EF '；（2）求平面A BC '与平面A DE 所成锐二面角的余弦值.2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，45BCD ∠=︒，2BC AD =.（1）求证：BD PC ⊥；（2）若PC BC =，求平面PAD 和平面PBC 所成的角（锐角）的余弦值.3. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期末模拟】如图，在四棱锥P -ABCD 中，23,AD =3,AB =3,AP =//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，90APB ︒∠=，点E 满足2133PE PA PB =+.（1）证明：PE DC ⊥； （2）求二面角A -PD -E 的余弦值.4. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】已知四棱锥P ABCD ，底面ABCD 为菱形，PD ＝PB ，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∠平面AMHN .（1）证明：MN ∠PC ；（2）当H 为PC 的中点，PA ＝PC ＝3AB ，PA 与平面ABCD 所成的角为60°，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值.5. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研】如图，平面ABCD ⊥平面DBNM ，且菱形ABCD 与菱形DBNM 全等，且MDB DAB ∠=∠，G 为MC 中点.（1）求证：平面//GBD 平面AMN .（2）求直线AD 与平面AMN 的所成角的正弦值.6. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，2PA PB PC AC ====.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34，求BM . 7. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期期中】如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =，PD ⊥平面ABCD .（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）已知2PD =，点E 为棱PB 的中点，求直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值.8. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒.（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值.9. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥A BCDE -中，//BC DE ，22BC DE ==，BC CD ⊥，F 为AB 的中点，BC EF ⊥.（1）求证：AC BC ⊥；（2）若AD CD =，2AC =，求直线AE 与平面BDE 所成角的正弦值的最大值.10. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，2AB =，且60DAB DBF ∠=∠=．（1）求证：AC BF ⊥；（2）求二面角E AF B --的余弦值．11. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，233AB =，12A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.12. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】如图所示的某种容器的体积为318dm π，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为dm r ，圆柱的高为dm h .已知顶部半球面的造价为3a 元2/dm ，圆柱的侧面造价为a 元2/dm ，圆柱底面的造价为23a 元2/dm .（1）将圆柱的高h 表示为底面半径r 的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？13. 【江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末】如图，几何体为圆柱Ω的一半，四边形ABCD为圆柱Ω的轴截面，点E 为圆弧AB 上异于A ，B 的点，点F 为线段ED 上的动点.（1）求证：BE AF ⊥；（2）若2AB =，1AD =，30ABE ∠=︒，且直线CA 与平面ABF 所成角的正弦值为1510，求EF ED 的值. 14. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，底面ABCD 是菱形，且1A D ⊥平面1AA C ．（1）求证：平面1AB C ⊥平面1A DB ；（2）求证：11//BB DD ．15. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】如图，已知五面体ABCDEF 中，CDEF 为正方形，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，120ADC BCD ∠=∠=.（1）证明：ABCD 为等腰梯形；（2）若AD DE =，求二面角F BD C --的余弦值.16. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC ，BD 相交于点N ，2DN NB =，已知3PA AC AD ===，33BD =30ADB ∠=︒.（1）求证：AC ⊥平面PAD ；（2）设棱PD 的中点为M ，求平面PAB 与平面MAC 所成二面角的正弦值.17. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2正三角形，侧面11ACC A 是菱形，且平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，12C G GC =.（1）证明：//EF 平面11ABB A ；（2）若①三棱锥1C ABC -的体积为1；②1C C 与底面所成的角为60︒；③异面直线1BB 与AE 所成的角为30.请选择一个条件求平面EFG 与平面11ACC A 所成的二面角(锐角)的余弦值.18. 【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．（∠）求证：平面//BDGH 平面AEF ；（∠）求二面角H BD C --的大小．19. 【江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高三上学期第五次阶段性测试】如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF 和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（∠）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（∠）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是223． 20. 【江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 上的点．（1）当E 是PD 的中点时，求证：//PB 平面AEC ；（2）设1==PA AB ，3PC =，若直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为13，求PE 的长． 21. 【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，//,2,4AB DC BC CD AB ===．M N ，分别是,AB AD 的中点，且PD NC ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）已知三棱锥D PAB -的体积为23，求二面角C PN M --的大小． 22. 【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】如图，已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 是边长为2的正方体，FA ∠底面ABCD ，AF ＝2，且DE ＝AF λ(0＜λ＜1).（1）求证：CE ∠平面ABF ；（2）若二面角B —CF —E 的大小为56π，求λ的值. 23. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，E 为侧棱PA 上一点，且2AE PE =，3AP =，2AB BC ==，4=AD .（1）证明：//PC 平面BDE . （2）求平面PCD 与平面BDE 所成锐二面角的余弦值.24. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2正三角形，侧面11ACC A 是菱形，且平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，12C G GC =.（1）证明：//EF 平面11ABB A ；（2）若①三棱锥1C ABC -的体积为1；②1C C 与底面所成的角为60︒；③异面直线1BB 与AE 所成的角为30.ACC A所成的二面角(锐角)的余弦值.请选择一个条件求平面EFG与平面11。
江苏省盐城市四校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题
江苏省盐城市四校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4},{2,4,6,8}A B ==，则A B =I （ ） A ．{2,3,4}B ．{2,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,6,8}2．若()()12i i 5z --=，则z =（ ）AB ．CD 3．设θ∈R ，则“sin tan 0θθ<”是“θ为第二象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为()cos y A x ωϕ=+时，通过降噪系统产生声波曲线()cos y A x ωϕ=-+将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线()()cos 0,0,ππy A x A ωϕωϕ=+>>-<<的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线解析式为（ ）A ．π2cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin )()(sin sin )a A B b a c B C -+=+，则ABC V 面积的最大值为（ ）A ．14B ．12C D6．若πtan 24tan 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．45-B ．25-C ．25D ．457．已知数列{}n a 的前n 项和()()*11N 3n n S a n =-∈，若1423log n n b a +=，且数列{}nc 满足n n c b ，若集合{},R n n c λλ>∈中有三个元素，则实数λ的取值范围（ ） A ．15,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．15,28⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．57,88⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．57,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意R x ∈，满足(1)()1,(3)()3f x f x x f x f x x +-≥-+-≤，且(1)0f =，则(52)f =（ ）A ．651B ．676C ．1226D ．1275二、多选题9．已知向量(1,2),(3,4)a b =-=r r，则下列说法正确的是（ ）A ．a br r ∥ B ．()b a a -⊥rr rC ．与a r 同向的单位向量为⎛ ⎝⎭D ．a r 与b r 10．对于函数()y f x =，如果对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有x D -∈，并且()()1f x f x ⋅-=，则称函数()y f x =为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x x =“倒函数”B ．若函数()y f x =在R 上为“倒函数”，则(0)1f =C ．若函数()y f x =在R 上为“倒函数”，当210,()2x x f x x-≤=+，则20,()2x x f x x >=+ D ．若函数()y f x =在R 上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在R 上是单调增函数，记()()()1F x f x f x =-，若120x x +>，则()()120F x F x +>. 11．函数()()log 110,1a y x a a =-+>≠的图象恒过定点P ，若点P 在直线()0100,m m x ny n +->>=上，则（ ）A ．18mn ≥B ．22142m n +≥C ．214m n +>D ．1231m n+>+三、填空题12．若命题：“R x ∃∈，210ax x ++<”为假命题，则实数a 的取值范围为.13．已知平行四边形ABCD ，点E 在边CD 上（不与C 、D 两点重合），5AB =，AD =tan 7A =，45AE BE ⋅=u ur u uu u r ，则sin EBC ∠=．14．已知(0,)∀∈+∞x ，不等式1e 1(ln ln )xa a x x ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题15．已知(sin ,(cos ,cos 2)a x b x x ==r r，设()f x a b =⋅r r ．(1)当π3π[,]34x ∈，求函数()f x 的值域.(2)若05π2π[,]123x ∈，且04()25=x f ，求0πsin()12x -的值．16．已知数列{}n a 为等比数列，公比0q >，前n 项和为n S ，数列{}n b 为等差数列，且112a b ==，33a b =，35S b =．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：(2)若12c =，()21nn n n c c b ++-=，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求16T ．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．()2cos cos b c A a C -=. (1)求A ； (2)若2125a bc =，求sin sin B C +的值. 18．已知函数()31ln 22f x ax x x x=--(1)若1a =，（ⅰ）求函数()y f x =在()()1,1f 上的切线方程； （ⅱ）求函数()f x 的单调区间；(2)若1x ≥时，()2f x ≥-，求a 的取值范围．19．已知12:,,,k Q a a a L 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{}1,2,,n m ∈L ，在Q 中存在()12,,,,0i i i i j a a a a j +++≥L ，使得12i i i i j a a a a n +++++++=L ，则称Q 为m －连续可表数列．(1)判断Q ：1，3，2是否为6－连续可表数列?说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a L 为8－连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a L 为20－连续可表数列，且1220k a a a ++⋯+<，求证：7k ≥．。
江苏省南京市鼓楼区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
江苏省南京市鼓楼区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列说法中，正确的是（ ）A ．“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件B ．“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件C ．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件D ．可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生3．某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为 （ ）A ．12012032x x =-- B ．12012032x x =-+ C ．12012032x x =-+ D ．12012032x x =-- 4．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( ) A ．平行四边形B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边5．如图，AB CD ∥，E 、F 分别是AC ，BD 的中点，若6AB =，4CD =，则EF 的长为（ ）A ．5B ．3C ．2D ．16．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 从点A 出发沿着线段AD 向点D 运动（不与点A 、D 重合），点F 从点D 出发沿着线段DC 向点C 运动（不与点D 、C 重合），点E 与点F 的运动速度相同．BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 中点．①BGF ∠是定值；②FB 平分AFC ∠；③当E 运动到AD 中点时，GH =④当AG BG +=GEDF 的面积是12． 其中正确的是（ ）A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①④二、填空题7．当x 时，分式293x x --的值为零． 8．任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为．①面朝上的点数小于2； ②面朝上的点数大于2； ③面朝上的点数是奇数． 9．一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1,2,3,4组数据的个数分别是2,8,15,5，则第5组数据的频数为，频率为.10．若分式2x y xy +的值为5，当x 和y 都变为原来的3倍，那么分式的值是． 11．14x x +=，求2421x x x ++的值．12．如图，将ABCD Y 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B '处，1242∠=∠=︒，则B ∠=．13．如图所示，点D 、E 分别是ABC V 的边AB 、AC 的中点，连接BE ，交DE 的延长线于点F ，若CF BE ∥，6EF =，则DE =．14．▱ABCD 的周长是32cm ，∠ABC 的平分线交AD 所在直线于点E ，且AE ：ED ＝3：2，则AB 的长为．15．如图，菱形ABCD 的周长为20，面积为24，分别作P 点到直线AB 、AD 的垂线段PE 、PF ，则PE PF +等于 ．16．如图，矩形ABCD 的边AB ＝112，BC ＝3，E 为AB 上一点，且AE ＝1，F 为AD 边上的一个动点，连接EF ，若以EF 为边向右侧作等腰直角三角形EFG ，EF ＝EG ，连接CG ，则CG 的最小值为．三、解答题17．计算： (1)222ab b a b a b--+ ； (2)22x x y x y-++； 18．甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次．两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买20千克大米，而乙家庭每次用去20元，商店也按价计算卖给乙家庭．设前后两次的米价分别是每千克m 元和n 元（0m >，0n >，m n ≠），请问谁的购买方式合算？19．某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t （单位：min ）课外阅读时间频数分布表请根据图表中提供的信息回答下列问题：(1)=a ，b =；(2)将频数分布直方图补充完整；(3)若全校共1000名学生，估计有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min ？20．六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为40000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．()1求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；()2请你估计袋中白球接近多少个？21．如图，已知在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E、F是对角线BD上两点，且BE=DF．求证：AE=CF．22．如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（－3，4）、B（－7，1）、C（－2，1）．(1)请画出ABC V 关于坐标原点O 的中心对称图形A B C '''V ，并写出点A 的对应点A '的坐标：______；(2)将△ABC 绕坐标原点O 顺时针旋转90°，直接写出点A 的对应点P 的坐标；______；(3)请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标；______； 23．如图，已知ABC V ，AP 平分BAC ∠（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．(1)作菱形AMPN ，使点M ，N 分别在边AB CA 、上；(2)若9084C AB BP ∠=︒==，，，求（1）菱形AMPN 的面积24．如图，平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在边BC 上以每秒1个单位长的速度由点C 向点B 运动．（1）当t =时，四边形PODB 是平行四边形；（2）在线段PB 上是否存在一点Q ，使得四边形ODQP 为菱形？若存在，求出当四边形ODQP 为菱形时t 的值，并求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当△OPD 为等腰三角形时，写出点P 的坐标（直接写出答案）．25．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如：()()2131223211111x x x x x x x x x x x x --+--+-+==+=-+----，这样，分式就拆分成了一个分式21x -与一个整式x ﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题： (1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ①54x x +=+；②22412x x x -+=-； (2)利用分离常数法，求分式22231x x +-+的最大值． (3)已知：2P x =+，82x Q x =+，设412Q y P =-，若x ，y 均为非零整数，求xy 的值． 26．数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上任意一点，过点E 作EF AC ⊥，垂足为E ，交BC 所在直线于点F ．探索AF 与DE 之间的数量关系，并说明理由．小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E 是对角线AC 的中点时，他发现AF 与DE 之间的数量关系是______．若点E 在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将AF 沿AD 方向平移得到DG ，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG 与DE 之间的数量关系．(1)请你按照小明的思路，完成解题过程；(2)你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程．。
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2017届高三“四校联考”试卷
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在答题卡的相应位置上..
1.全集{}1,2,3,4,5，集合{}1,3,4A =，则U C A = .
2.设复数z a bi =+（,,a b R i ∈为虚数单位），若()2z i i -=，则a b +的值为 .
3.函数
y =的定义域为 .
4.棱长均为1的正四棱锥的体积为 .
5.已知实数,x y 满足不等式组0,,40,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =-的最大值为 .
6.若“2,20x R x x a ∃∈++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 .
7.将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
的图象至少向右平移 个单位，所得图象恰好关于坐标原点对称.
8.已知等差数列{}n c 的首项为11c =，若{}23n c +为等比数列，则2017c = . 9.在平面直角坐标系xoy 中，设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦距为()20c c >，当,a b 任意变化时，a b c
+的最大值是 . 10.已知()()tan 2,tan 3αβαβ+=-=，则
sin 2cos 2αβ=的值为 . 11已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件
(),a b 的数组为 .
12.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22:2C x y +=，直线20x by +-=与圆C 交于A,B 两点，且3OA OB OA OB +≥-，则b 的取值范围为 .
13.已知函数()31log 1
x f x x +=-，平行四边形ABCD 四个顶点都在函数()f x 的图象上，且
()52,1,,24A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则平行四边形ABCD 的面积为 . 14.已知数列{}n x 各项为正整数，满足1,21,n n n n
n x x x x x +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数，为奇数，，若343x x +=，则1x 所
有可能的取值集合为 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15.（本题满分14分）
在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，已知3, 2.b c ==
（1）若2cos 3a C =，求a 的值；
（2）若cos 1cos c C b B
=+，求cos C 的值. 16.（本题满分14分）
如图，在四面体ABCD 中，AD=BD,90ABC ∠=,点E,F 分别为棱AB,AC 上的点，若点G 为棱AD 的中点，且平面EFG//平面BCD ，求证：
（1）BC=2EF;
（2）平面EFD ⊥平面ABC.
17.（本题满分16分）
图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图
2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD
是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4，若
凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设
2,.AB x BC y ==
（1）写出y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围；
（2）求当x 取何值时，凹槽的强度最大.
18.（本题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆
()2222:10x y C a b a b
+=>>3A,B 分别为椭圆C 的上顶点，右顶点，过坐标原点的直线交椭
圆C 于D,E 两点，交AB 于M 点，其中点E 在第一象限，设直线DE 的斜率为.k
（1）当12
k =时，证明直线DE 平分线段AB; （2）已知点()0,1A ，则
①若6ADM AEM S S ∆∆=，求k ；
②求四边形ADBE 的最大值.
19.（本题满分16分）
已知数列{}n a 满足121
0,8a a ==，且对任意,m n N *∈都有
()2212113
24n n m n a a a m n -++-+=+-
（1）求35,a a ；
（2）设2121n n n b a a -+=+，
①求数列{}n b 的通项公式； ②设数列11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，是否存在正整数,p q ，且1p q <<，使得
1,,p q S S S 成等比数列？若存在求出,p q 的值，若不存在，说明理由.
20.（本题满分16分）
已知()()ln .f x ax x a R =-∈
（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；
（2）函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x <
①求a 的取值范围；
②实数m 满足12ln ln x x m +>，求m 的最大值.
2017届高三“四校联考”试卷
数学Ⅱ（附加题）
21【选做题】本题包括A,B,C,D 四个小题，请选定其中两题，并在相应答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解题时，应写出文字说明，证明过程和演算步骤. A[选修4—1：几何证明选讲]（本题满分10分）
如图已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上，另一个
圆的圆心O 在AB 上，且四边形ABCD 的其余三边相切，
点E 在边AB 上，且AE=AD.
求证：O,E,C,D 四点共圆.
B[选修4—2：矩阵与变换]（本题满分10分）
在直角坐标xoy 中，设点(),5P x 在矩阵1234M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到点()2,Q y y -，求1x M y -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦.
C.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）
已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线sin 24πρθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭
交于A,B 两点， 求AB 线段的长.
D.[选修4—5：不等式选讲]（本题满分10分） 已知0,0x y >>，求证：22
.x y xy x y
+=+ 【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分，请在答题卡的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22、在直角坐标xoy 中，已知定点()8,0A -，M,N 分别是x 轴、y 轴上的点，点P 在直线MN 上满足0,0.NM NP AM MN +=⋅=
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设F 是P 点的轨迹的一个焦点，C,D 为轨迹在第一象限内的任意两点，直线FC 、FD 的斜率分别为12,k k ，且满足120k k +=，求证：直线CD 过定
点.
23.（本小题10分）
已知函数()()0sin ax
f x e bx c =+，设()n f x 为()1n f x -的导数.n N *∈
（1）求()()()123,,f x f x f x ；
（2）求()n f x 的表达式，并证明你的结论.。