复变函数与积分变换期末试题(附有答案)

复变函数与积分变换期末试题

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．231i -的幅角是

；2.)1(i Ln +-的主值是

（

）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是

4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z

z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分）

1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；

（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；

（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.

2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰C

z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2

)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ；

3．如果级数∑∞=1n n n

z c 在2=z 点收敛，则级数在

（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；

（C ）i z

+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( )

（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

（C ）如果0)(=⎰C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；

（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．

5．下列结论不正确的是（ ）．

(A) 的可去奇点；为z

1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C)

;1sin 1

的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）

（1）．设)()(2

222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a

解：因为)(z f 解析，由C-R 条件

y v x u ∂∂=∂∂ x

v y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+

,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c

给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算⎰-C z

z z

z e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数z

z e z f z

2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内

⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C z

z z z e z z

z e z z z e i z e i z e i z z z z πππ2)1(2)(202

1=-+'===

无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．⎰=++33

42215

d )2()1(z z z z z

解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3

]),([Re 2d )2()1(3342215

∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分）

]1)1([Re 22z

z f s i π= ----（8分） 234221521))1(2()11()1(1)1(z

z z z z z f ++= 0,z )12()1(11)1(3

4222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)

12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z ⎰==++∴33

42215

2d )2()1(z i z z z z π --------（10分） （4）函数23

32)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.

解 ：

∞±±±==-+-=，的奇点为Λ,3,2,1,0,)

(sin )3()2)(1()(32

32k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z k k z πsin ,,,,,Λ

（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±==

（3）的一级极点，为)(3z f z =

（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z

Λ±-= （5）的非孤立奇点。为)(z f ∞

备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。

四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=

z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-

解：（1）当110<-

])

11(1[)1(1)1(1)(2'+---=-=z z z z z f 而])1()1([])11(1[0

'--='+-∑∞=n n n z z ∑∞

=---=0

1)1()1(n n n z n

∑∞=-+--=0

21)1()1()(n n n z n z f -------6分

（2）当10<