高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编附答案解析

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》高考知识点

一、选择题

1．已知()929012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92

B ．94

C ．93

D ．1

【答案】B

【解析】

【分析】

求出二项式()913x -展开式的通项为()193r r r T C x +=⋅-，可知当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++⋯+的值.

【详解】

二项式()913x -展开式的通项()193r

r r T C x +=⋅-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >， 因此，()9

90191314a a a ⎡⎤++⋯+=-⨯-=⎣⎦. 故选：B.

【点睛】

本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）

A ．100种

B ．60种

C ．42种

D ．25种

【答案】C

【解析】

【分析】

给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数.

【详解】

甲可有3种安排方法，

若甲先安排第1社区，

则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1343C C ⋅；

第2社区2个、第3社区安排2个，共2242C C ⋅； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11

41C C ⋅；

故所有安排总数为1322114342413()42C C C C C C ⨯⋅+⋅+⋅=. 故选：C.

【点睛】

本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）

A ．112

B ．115

C ．118

D ．114

【答案】D

【解析】

【分析】

先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，

随机选取两个不同的数，共有2828C =种，

其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种， 所以概率为212814

P =

=. 故选：D .

【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

4．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ）

A ．78

B ．34

C ．12

D ．14

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率.

【详解】

解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，

学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤，

家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，

要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，

则相当于565.5 6.5

x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即求y x ≥的概率， 如图所示：

约束条件对应的可行域面积为：1，

则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228

-⨯⨯=， 所以对应的概率为：7

7818

=， 即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：

78. 故选：A.

【点睛】

本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.

5．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ）

A ．14

B ．13

C ．12

D ．23

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案.

【详解】

三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有233()27C =种不

同

结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有22133218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计 算公式可得所求概率为182273

=. 故选：D

【点睛】 不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.

6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：

分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）

A ．2，5

B ．5，5

C ．5，8

D ．8，8

【答案】C

【解析】 试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85

y y =

+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图

7．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有

A ．96种

B ．124种

C ．130种

D ．150种

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．

【详解】

根据题意，分2步进行分析：

①、五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2

当按照1、1、3来分时共有C 53=10种分组方法；