最长公共子序列问题LCS-Read
详解Python最长公共子串和最长公共子序列的实现
详解Python最长公共⼦串和最长公共⼦序列的实现最长公共⼦串(The Longest Common Substring)LCS问题就是求两个字符串最长公共⼦串的问题。
解法就是⽤⼀个矩阵来记录两个字符串中所有位置的两个字符之间的匹配情况，若是匹配则为1,否则为0。
然后求出对⾓线最长的1的序列，其对应的位置就是最长匹配⼦串的位置。
def find_lcsubstr(s1, s2):m=[[0 for i in range(len(s2)+1)] for j in range(len(s1)+1)] #⽣成0矩阵，为⽅便后续计算，⽐字符串长度多了⼀列mmax=0 #最长匹配的长度p=0 #最长匹配对应在s1中的最后⼀位for i in range(len(s1)):for j in range(len(s2)):if s1[i]==s2[j]:m[i+1][j+1]=m[i][j]+1if m[i+1][j+1]>mmax:mmax=m[i+1][j+1]p=i+1return s1[p-mmax:p],mmax #返回最长⼦串及其长度print find_lcsubstr('abcdfg','abdfg')运⾏得到输出：('dfg',3)最长公共⼦序列 (The Longest Common Subsequence)⼦串要求字符必须是连续的，但是⼦序列就不是这样。
最长公共⼦序列是⼀个⼗分实⽤的问题，它可以描述两段⽂字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从⽽能够⽤来辨别抄袭。
对⼀段⽂字进⾏修改之后，计算改动前后⽂字的最长公共⼦序列，将除此⼦序列外的部分提取出来，这种⽅法判断修改的部分，往往⼗分准确。
解法就是⽤动态回归的思想，⼀个矩阵记录两个字符串中匹配情况，若是匹配则为左上⽅的值加1，否则为左⽅和上⽅的最⼤值。
⼀个矩阵记录转移⽅向，然后根据转移⽅向，回溯找到最长⼦序列。
算法,最长公共子序列
最长公共子序列（LCS）问题（非连续子序列）的两种解法最长公共子序列也称作最长公共子串，英文缩写是LCS（Longest Common Subsequence）。
其定义是：一个序列S，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是符合此条件的子序列中最长的，则称S为已知序列的最长公共子序列。
关于子序列的定义通常有两种方式，一种是对子序列没有连续的要求，其子序列的定义就是原序列中删除若干元素后得到的序列。
另一种是对子序列有连续的要求，其子序列的定义是原序列中连续出现的若干个元素组成的序列。
求解子序列是非连续的最长公共子序列问题是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。
本文将介绍对子序列没有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题，对子序列有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题将在后续的文章中介绍。
一、动态规划法（Dynamic Programming）最长公共子序列问题应该是属于多阶段决策问题中求最优解一类的问题，凡此类问题在编制计算机程序时应优先考虑动态规划法，如果不能用动态规划法，而且也找不到其它解决方法，还可以考虑穷举法。
对于这个问题，只要能找到描述最长公共子序列的最优子结构和最优解的堆叠方式，并且保证最优子结构中的每一次最优决策都满足“无后效性”，就可以考虑用动态规划法。
使用动态规划法的关键是对问题进行分解，按照一定的规律分解成子问题（分解后的子问题还可以再分解，这是个递归的过程），通过对子问题的定义找出最优子结构中最优决策序列（对于子问题就是最有决策序列的子序列）以及最优决策序列子序列的递推关系（当然还包括递推关系的边界值）。
如果一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列，也就意味着子序列在原序列中的位置索引（下标）保持严格递增的顺序。
例如,序列S = <B,C,D,B>是序列K = <A，B，C，B，D，A，B>的一个子序列（非连续），序列S的元素在在K中的位置索引I = [2,3,5,7]，I是一个严格递增序列。
最长公共子序列(LCS)算法实验
试验四.最长公共子序列(LCS)算法一．实验原理对于给定的两个序列A和B，如果序列C既是A的子序列，又是B的子序列，则称C是A和B的公共子序列，A和B的公共子序列可能不止一个，其中最长的那个序列称为公共子序列。
公共子序列在很多实际应用中起关键作用。
序列A={abdledefiess},B={abwdifgdefiesa}，最长公共子序列为C={defies}二．实验目的本次实验就是要找出两个序列XY的最长公共子序列LCS三．实验步骤1.查找公共子序列2.输出公共子序列核心算法代码如下：int **lcs_length(char p[],char q[],int **c,int **k,int m,int n){int i,j;for(i=1;i<=m;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(p[i-1]==q[j-1])//如果两个字母相等的情况{c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;k[i][j]=1;}else{if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])//两字母不等情况1{c[i][j]=c[i-1][j];k[i][j]=2;}else//两字母不等情况2{c[i][j]=c[i][j-1];k[i][j]=3;}}}}return c,k;}输出代码void print_lcs(int **k,char p[],int i,int j){if(i==0||j==0)return ;if(k[i][j]==1){print_lcs(k,p,i-1,j-1);//通过递归的方法按照输入的从头到尾的顺序输出LCScout<<p[i-1];}else if(k[i][j]==2)print_lcs(k,p,i-1,j);elseprint_lcs(k,p,i,j-1);}四.实验结果根据实验算法运行结果如下:以上算法表明可以正确的找出两个序列的最长公共子序列,达到了本次实验的目的.。
最长公共子序列算法
最长公共子序列算法最长公共子序列算法概述最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是一种常见的字符串匹配问题。
给定两个字符串S和T，求它们的最长公共子序列，即在S和T中都出现的最长的子序列。
该问题可以用动态规划算法解决。
算法原理动态规划算法是一种将复杂问题分解成更小的子问题来解决的方法。
在LCS算法中，我们将两个字符串S和T分别看作X和Y，并定义一个二维数组c[i][j]表示X[1..i]和Y[1..j]的LCS长度。
则有以下递推公式：c[i][j] = 0, if i=0 or j=0c[i][j] = c[i-1][j-1]+1, if X[i]=Y[j]c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]), if X[i]!=Y[j]其中第一行和第一列均初始化为0，因为空字符串与任何字符串的LCS长度均为0。
当X[i]=Y[j]时，说明当前字符相同，那么当前字符可以加入到LCS中，所以LCS长度加1；否则当前字符不能加入到LCS中，则需要从上一个状态继承得到当前状态。
最终结果即为c[m][n]，其中m和n分别表示X和Y的长度。
算法实现以下是LCS算法的Python实现：def lcs(X, Y):m = len(X)n = len(Y)c = [[0] * (n+1) for i in range(m+1)]for i in range(1, m+1):for j in range(1, n+1):if X[i-1] == Y[j-1]:c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1else:c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])return c[m][n]其中X和Y分别为两个字符串。
算法优化以上算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别表示X和Y的长度。
如果X和Y较长，算法会很慢。
但是我们可以通过一些优化来降低时间复杂度。
利用递归求最长公共子序列问题
利用递归求最长公共子序列问题1.引言最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一个经典的动态规划问题，其可以描述为：给定两个序列X和Y，求出它们的最长公共子序列的长度。
在计算机科学领域，LCS问题广泛应用于字符串比较、文本相似度计算、基因序列比对等领域，因此对于LCS问题的求解具有重要的意义。
2.问题描述对于序列X和Y，它们的最长公共子序列可以定义为：如果一个序列Z既是X的子序列又是Y的子序列，且Z的长度最大，那么Z称为X和Y的最长公共子序列。
3.递归解法我们可以使用递归的方式来解决LCS问题。
递归的思想是将原问题划分为更小的子问题求解，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
对于LCS问题，我们可以将其划分为更小的子问题求解。
假设X和Y的长度分别为m和n，我们可以考虑X中的第m个元素和Y中的第n 个元素是否相等，从而将原问题划分为以下三种情况：a) 如果X[m]等于Y[n]，那么X和Y的最长公共子序列就是X[1..m-1]和Y[1..n-1]的最长公共子序列再加上X[m]。
b) 如果X[m]不等于Y[n]，那么X和Y的最长公共子序列就是X[1..m-1]和Y[1..n]的最长公共子序列，或者是X[1..m]和Y[1..n-1]的最长公共子序列，取两者的最大值。
c) 如果X或Y的长度为0，那么它们的最长公共子序列的长度为0。
4.递归求解步骤基于上述的划分情况，我们可以得到递归求解LCS问题的步骤如下：a) 如果X和Y的最后一个元素相等，那么LCS(X, Y, m, n) = 1 + LCS(X, Y, m-1, n-1)；b) 如果X和Y的最后一个元素不相等，那么LCS(X, Y, m, n) = max(LCS(X, Y, m-1, n), LCS(X, Y, m, n-1))；c) 如果m等于0或n等于0，那么LCS(X, Y, m, n) = 0。
最长公共子序列lcs算法
最长公共子序列lcs算法最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）算法是一种常用的字符串匹配算法，用于在两个字符串中找到最长的公共子序列。
在计算机科学领域，字符串匹配是一项基础性的任务，常用于文本比较、版本控制、DNA序列比对等领域。
LCS算法的基本思想是通过动态规划的方式，从头开始比较两个字符串的每个字符，逐步构建一个二维数组来保存公共子序列的长度。
具体步骤如下：1. 创建一个二维数组dp，大小为两个字符串长度加1。
dp[i][j]表示字符串1的前i个字符和字符串2的前j个字符的最长公共子序列的长度。
2. 初始化dp数组的第一行和第一列，即dp[0][j]和dp[i][0]都为0，表示一个空字符串与任何字符串的最长公共子序列长度都为0。
3. 从字符串的第一个字符开始，逐行逐列地比较两个字符串的字符。
如果两个字符相等，则说明这个字符属于最长公共子序列，将dp[i][j]的值设置为dp[i-1][j-1]+1。
如果两个字符不相等，则说明这个字符不属于最长公共子序列，取dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的较大值来更新dp[i][j]的值。
4. 最后，dp[m][n]即为两个字符串的最长公共子序列的长度，其中m和n分别为两个字符串的长度。
接下来，我们通过一个例子来演示LCS算法的具体过程。
假设有两个字符串str1="ABCDAB"和str2="BDCABA"，我们要找出这两个字符串的最长公共子序列。
创建一个二维数组dp，大小为(str1.length()+1)×(str2.length()+1)。
初始化dp数组的第一行和第一列为0。
```B DC A B AA 0 0 0 0 0 0B 0C 0D 0A 0B 0```从第一个字符开始比较，我们发现str1[1]和str2[1]都是B，因此dp[1][1]=dp[0][0]+1=1。
最长公共子序列问题
2.3最长公共子序列问题和前面讲的有所区别，这个问题的不涉及走向。
很经典的动态规划问题。
例题16最长公共子序列(lcs.pas/c/cpp)【问题描述】一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X= < x1, x2,…, xm>，则另一序列Z= < z1, z2,…, zk>是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列< i1, i2,…, ik>，使得对于所有j=1,2,…,k有Xij=Zj例如，序列Z=是序列X=的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。
给定两个序列X 和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X= < A, B, C, B, D, A, B>和Y= < B, D, C, A, B, A>，则序列是X和Y的一个公共子序列，序列也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
给定两个序列X= < x1, x2, …, xm>和Y= < y1, y2, … , yn>，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
【输入文件】输入文件共有两行，每行为一个由大写字母构成的长度不超过200的字符串，表示序列X和Y。
【输出文件】输出文件第一行为一个非负整数，表示所求得的最长公共子序列的长度，若不存在公共子序列，则输出文件仅有一行输出一个整数0，否则在输出文件的第二行输出所求得的最长公共子序列(也用一个大写字母组成的字符串表示。
【输入样例】ABCBDABBDCBA【输出样例】4BCBA【问题分析】这个问题也是相当经典的。
这个题目的阶段很不明显，所以初看这个题目没什么头绪，不像前面讲的有很明显的上一步，上一层之类的东西，只是两个字符串而且互相没什么关联。
但仔细分析发现还是有入手点的：既然说是动态规划，那我们首先要考虑的就是怎么划分子问题，一般对于前面讲到的街道问题和数塔问题涉及走向的，考虑子问题时当然是想上一步是什么？但这个问题没有涉及走向，也没有所谓的上一步，该怎么办呢？既然是求公共子序列，也就有第一个序列的第i个字符和第二个序列的第j个字符相等的情况。
最长公共子序列问题;
最长公共子序列问题；最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）问题是指找到多个字符串中最长的公共子序列。
公共子序列是指这些字符串在所有字符串中都以相同的顺序出现，但不要求连续。
例如，对于字符串"ABCD"和"ACDF"，其最长公共子序列为"ACD"。
最长公共子序列问题可以通过动态规划来解决。
基本思路是使用一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示字符串A的前i个字符和字符串B的前j个字符的最长公共子序列的长度。
首先，初始化dp[0][j]和dp[i][0]为0，表示空字符串与任何字符串的最长公共子序列长度为0。
然后，对于每个字符A[i]和B[j]，如果A[i]等于B[j]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，表示在之前的最长公共子序列长度的基础上加1。
否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，表示要么在字符串A的前i-1个字符和字符串B的前j个字符的最长公共子序列的基础上取得，要么在字符串A的前i个字符和字符串B的前j-1个字符的最长公共子序列的基础上取得。
最终，dp[m][n]即为所求，其中m和n分别为字符串A和字符串B的长度。
可以通过追踪dp数组来还原出最长公共子序列，具体方法是从dp[m][n]开始，如果A[i]等于B[j]，则该字符是公共字符，将其加入结果序列，然后向左上方移动，即dp[i-1][j-1]。
如果dp[i][j]等于dp[i-1][j]，则说明最长公共子序列在A中取得，向上移动，即dp[i-1][j]；如果dp[i][j]等于dp[i][j-1]，则说明最长公共子序列在B中取得，向左移动，即dp[i][j-1]。
重复上述过程，直到dp[i][j]为0。
数据结构与算法题解：最长公共子序列和最长公共子串
f [0][0] = 0, f [0][∗] = 0, f [∗][0] = 0,最后应该返回f [lenA][lenB]. 即 f 中索引与字符串串索引
ource, target)); }
}
二二、最⻓长公共子子串串
2.1 简单考虑
可以使用用两根指针索引分别指向两个字符串串的当前遍历位置，若遇到相等的字符时则同时向后移 动一一位。
public class Demo { public static int longestCommonSubstring(String A, String B) { if (A == null || A.length() == 0) return 0; if (B == null || B.length() == 0) return 0; int lenA = A.length(); int lenB = B.length(); int lcs = 0, lcs_temp = 0; for (int i = 0; i < lenA; ++i) { for (int j = 0; j < lenB; ++j) { lcs_temp = 0; while ((i + lcs_temp < lenA) && (j + lcs_temp < lenB) && (A.charAt(i + lcs_temp) == B.charAt(j + lcs_temp))) { ++lcs_temp; }
最长公共子序列问题
1. 实验环境本实验采用java语言编写实现，环境：，编译器：eclipse2. 实验目的通过最长公共子序列问题，巩固并详细分析动态规划思想和解题步骤。
3. 设计思路最长公共子序列的定义为：设有两个序列S1[1..m]和S2[1..n]，需要寻找它们之间的一个最长公共子序列。
例如，假定有两个序列：S1：I N T H E B E G I N N I N GS2：A L L T H I N G S A R E L O S T则S1和S2的一个最长公共子序列为THING。
又比如：S1：A B C B D A BS2：B D C A B A则它们的一个最长公共子序列为BCBA。
这里需要注意的是，一个子序列不一定必须是连续的，即中间可被其他字符分开，单它们的顺序必须是正确的。
另外，最长公共子序列不一定只有一个，而我们需要寻找的是其中一个。
当然，如果要求子序列里面的元素必须连成一片也是可以的。
实际上，连成一片的版本比这里实现的更容易。
4. 过程我们可以通过蛮力策略解决这个问题，步骤如下：1. 检查S1[1..m]里面每一个子序列。
2. 看看其是否也是S2[1..n]里的子序列。
3. 在每一步记录当前找到的子序列里面最长的子序列。
这种方法的效率十分低下。
因此本实验采用动态规划的方法实现该算法。
利用动态规划寻找最长公共子序列步骤如下：1. 寻找最长公共子序列的长度。
2. 扩展寻找长度的算法来获取最长公共子序列。
策略：考虑序列S1和S2的前缀序列。
设c[i，j] = |LCS (S1[1..i],S2[1..j])|，则有c[m，n] = |LCS(S1，S2)|所以有c[ i – 1 ， j – 1 ] + 1，如要S1[i] = S2[j]c[i，j] =max{ c [ i - 1，j ]，c[ i ，j -1 ] }，如果S1[i]≠S2[j]然后回溯输出最长公共子序列过程：5. 实现源代码package lcsimple;public class LCSImplem {断点调试及代码分析首先在main方法里定义两个字符串，如：对这两个字符串，使它们的第一个字符为空，即初始化之后的c[][]的第一行第一列，之所以要空出，是因为c[][]代表的是两个字符串数组多少个，0的意思就是某个字符串的长度为0。
动态规划经典——最长公共子序列问题（LCS）和最长公共子串问题
动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。
例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。
此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。
注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。
当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。
所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。
最长公共子序列
最长公共子序列
最长公共子序列（longest common subsequence，简称LCS）是在一系列序列中找到最长
公共子序列的算法，这是一种计算机科学中重要的算法，因为它可以用于文本处理、图像处理和生物信息学中的序列比较，并给定的两个序列的编辑距离。
关于LCS算法的历史，称为最早的提出者是Muntz在1971年提出的，但它后来也被Hirschberg和哈利时用来
计算机科学领域。
LCS算法是一种动态规划方法，它的关键在于它需要从底部开始着手，然后一步步的递推到上面，而不是传统的栈方式，只有从上面开始而不会有正确的结果，同时它具有极高的计算效率。
通过动态规划，我们可以用二维表dp[i] [j]来记录字符串X[0]…X[i] 与Y[0]…Y[j] 的LCS，这是该方法的最重要的步骤，每更新一次状态表dp，就可以获得一个新的解。
此外，我们可以使用空间换时间的思想来优化我们的LCS算法，通常有单行存储和单列存储两种方式，尽管这也大大降低了内存的占用，但在计算量的增加的情况下，这种方式也不是很实用。
最长公共子序列算法已经广泛应用在计算机科学，生物信息和图像处理上，它使得在序列比较或文本处理中的传统办法变得简单，更加可靠。
这种算法有着极高的计算效率，可以加快运算的速度，并使用尽可能少的内存存储状态表，这使得LCS算法在当前的应用中日益受到重视。
最长公共子上升序列
最长公共子上升序列
最长公共子上升序列（LCS）是指在一组有序数列中，两个或多个序列具有最长公共子序列（LCS）的问题，其中子序列必须保持原始序列中数字的相对顺序，而且所有的数字都是递增的，即公共子序列是一个上升的序列。
它的解决方案是基于动态规划（DP）算法的，可以利用递归算法和顺序搜索技术以有效的方式求解最长公共子上升序列问题。
假设有两个有序序列X和Y，其中X={x1，x2，x3，...，xm}和
Y={y1，y2，y3，...，yn}，LCS问题的解决方法是首先判断输入序列X 和Y有没有相同的元素，如果有，则称为基本情况。
如果没有，则假设xm=ym，比较xm-1与ym-1的大小，当xm-1 < ym-1时，得到xm-1的最长公共子上升序列的问题的解是xm-1的最长公共子上升序列，当xm-1 > ym-1时，得到ym-1的最长公共子上升序列的问题的解是ym-1的最长公共子上升序列，如果xm-1 = ym-1，则得到最长公共子上升序列的问题的解是xm-1和ym-1的最长公共子上升序列加上xm或ym。
再谈最长公共子串问题
再谈最长公共子串问题作者：寒雨疏桐文章来源：网易点击数：1049 更新时间：12/30/2003最长公共子串（Longest common substring, 简称LCS）问题指的是求出给定的一组字符串的长度最大的共有的子字符串。
举例说明，以下三个字符串的LCS就是 cde：abcdecdefccde高效的查找LCS算法可以用于比较多篇文章的最长相同片段，以及生物学上的基因比较等实际应用。
前几天写了一个穷举法的简单实现，感觉在数据量稍大时效率极低，所以今天上网查了一些资料，找到了解决LCS问题的最佳算法并编程实现，程序效率得到了极大的提高。
采用的是广义后缀树（Generalized Suffix Tree，简称GST)算法，就是把给定的N个源字符串的所有的后缀建成一颗树，这个树有以下一些特点：1.树的每个节点是一个字符串，树根是空字符串“”2.任意一个后缀子串都可以由一条从根开始的路径表达（将这条路径上的节点字符串依次拼接起来就可以得到这个后缀）3.特别应注意任意一个子串都可以看作某一个后缀的前缀。
既然每一个后缀都可以由一条从根开始的路径表达，那么我们可以从根节点开始一个字符一个字符的跟踪这条路径从而得到任意一个子串。
4.为了满足查找公共子串的需求，每个节点还应该有从属于哪个源字符串的信息由以上的定义我们不难看出，在这棵GST树上，如果找到深度最大并且从属于所有源字串的节点，那么，把从根到这个节点的路径上的所有节点字符串拼接起来就是LCS。
还是举例说明，上面提到的三个字符串【abcde cdef ccde】的所有后缀子串列表如下：(注：.1表示是从第一个串abcde来的，同理.2,.3分别表示从cdef，ccde来的) abcde.1bcde.1cde.1de.1e.1cdef.2def.2ef.2f.2ccde.3cde.3de.3e.3建成的GST如下图所示(注:.1表示从属于第一个串，.123表示既从属于第一又从属于第二，第三个源串）--\_______【abcde.1】||_____【bcde.1】 .....最深的并且带.123的节点| :|_____【c.123】____【de.123】_______【f.2】| || |__【cde.3】||_____【de.123】___【f.2】||_____【e.123】____【f.2】||_____【f.2】上图中虚线所指的【de.123】节点所表示的子串cde正是LCS以上是一些基本概念，但是实际应用时还要涉及到构建GST树以及查找LCS的具体算法，参考了网上的一些资料，我用java语言实现了这些算法，基本上可以以O(n)的时间复杂度进行建树及查找处理。
动态规划解最长公共子序列问题
的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。
例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。
不难证明有以下性质：（1）如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；（2）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；（3）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解：引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。
此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
多序列最长公共子序列
多序列最长公共子序列通用文档第 1 篇
【多序列最长公共子序列研究】
随着生物信息学、基因组学和序列比对等领域的快速发展，多序列比对问题逐渐成为研究 的热点。多序列比对旨在寻找一组序列之间最相似的关系，进而揭示序列间的进化关系和 功能联系。在多序列比对中，最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）问题 是一个关键问题。LCS 问题是指在给定一组序列的情况下，找出这些序列中最长的公共子 序列。该问题在生物信息学、编译原理、模式识别等领域具有广泛的应用。本文将针对多 序列最长公共子序列问题进行研究，并提出一种有效的解决方法。
多序列最长公共子序列通用文档第 4 篇
【引言】 多序列最长公共子序列(Multiple Sequence Longest Common Subsequence, MS-LCS)问题是 生物信息学中一个重要的研究课题。在基因组学、蛋白质序列比对等领域,常常需要对多个 序列进行比对,找出它们之间的相似性和差异性。而 MS-LCS 问题则是比对过程中一个关键 问题,可以用来衡量多个序列之间的相似程度,对于研究生物进化和基因功能具有重要意 义。本文将介绍 MS-LCS 问题的背景、算法和应用,并探讨其在生物信息学领域的前景。
【背景】 在生物信息学中,序列比对是一个基本问题。给定两个序列,需要找出它们之间最长的公共 子序列(Longest Common Subsequence, LCS),即两个序列中公共的最长序列。LCS 问题是一 个经典的动态规划问题,可以用 O(n^2)的时间复杂度解决。但是,当需要对多个序列进行比 对时,问题变得更为复杂。MS-LCS 问题就是要找出多个序列中最长的公共子序列,其应用范 围包括基因组注释、蛋白质序列比对、基因表达数据分析等。
算法设计与分析动态规划——最长公共子序列LCS及模板
算法设计与分析动态规划——最长公共⼦序列LCS及模板摘⾃这位⼤佬写的对理解DP也很有帮助，我就直接摘抄过来了，代码部分来⾃我做过的题⼀，问题描述给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共⼦序列（Longest Common Sequence）。
⽐如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB则这两个字符串的最长公共⼦序列长度为4，最长公共⼦序列是：BCBA⼆，算法求解这是⼀个动态规划的题⽬。
对于可⽤动态规划求解的问题，⼀般有两个特征：①最优⼦结构；②重叠⼦问题①最优⼦结构设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共⼦序列记为LCS(X,Y)找出LCS(X,Y)就是⼀个最优化问题。
因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共⼦序列。
⽽要找X 和 Y的LCS，⾸先考虑X的最后⼀个元素和Y的最后⼀个元素。
1）如果 xn=ym，即X的最后⼀个元素与Y的最后⼀个元素相同，这说明该元素⼀定位于公共⼦序列中。
因此，现在只需要找：LCS(X n-，Y m-1)1LCS(X n-1，Y m-1)就是原问题的⼀个⼦问题。
为什么叫⼦问题？因为它的规模⽐原问题⼩。
（⼩⼀个元素也是⼩嘛....）为什么是最优的⼦问题？因为我们要找的是X n-1 和 Y m-1的最长公共⼦序列啊。
最长的换句话说，就是最优的那个。
（这⾥的最优就是最长的意思）2）如果xn != ym，这下要⿇烦⼀点，因为它产⽣了两个⼦问题：LCS(X n-1，Y m) 和 LCS(X n，Y m-1)因为序列X 和 序列Y 的最后⼀个元素不相等嘛，那说明最后⼀个元素不可能是最长公共⼦序列中的元素嘛。
（都不相等了，怎么公共嘛）。
LCS(X n-1，Y m)表⽰：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。
LCS(X n，Y m-1)表⽰：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。
算法系列之六：最长公共子序列(LCS)问题(连续子序列)的三种解法
算法系列之六：最长公共子序列（LCS）问题（连续子序列）的三种解法最长公共子序列（LCS）问题有两种方式定义子序列，一种是子序列不要求不连续，一种是子序列必须连续。
上一章介绍了用两种算法解决子序列不要求连续的最终公共子序列问题，本章将介绍要求子序列必须是连续的情况下如何用算法解决最长公共子序列问题。
仍以上一章的两个字符串“abcdea”和“aebcda”为例，如果子序列不要求连续，其最长公共子序列为“abcda”，如果子序列要求是连续，则其最长公共子序列应为“bcd”。
在这种情况下，有可能两个字符串出现多个长度相同的公共子串，比如“askdfiryetd”和“trkdffirey”两个字符串就存在两个长度为3的公共子串，分别是“kdf”和“fir”，因此问题的性质发生了变化，需要找出两个字符串所有可能存在公共子串的情况，然后取最长的一个，如果有多个最长的公共子串，只取其中一个即可。
字符串“abcdea”和“aebcda”如果都以最左端的a字符对齐，则能够匹配的最长公共子串就是“a”。
但是如果用第二个字符串的e字符对齐第一个字符串的a 字符，则能够匹配的最长公共子串就是“bcd”。
可见，从两个字符串的不同位置开始对齐匹配，可以得到不同的结果，因此，本文采用的算法就是穷举两个字符串所有可能的对齐方式，对每种对齐方式进行字符的逐个匹配，找出最长的匹配子串。
一、递归方法首先看看递归方法。
递归的方法比较简单，就是比较两个字符串的首字符是否相等，如果相等则将其添加到已知的公共子串结尾，然后对两个字符串去掉首字符后剩下的子串继续递归匹配。
如果两个字符串的首字符不相等，则用三种对齐策略分别计算可能的最长公共子串，然后取最长的一个与当前已知的最长公共子串比较，如果比当前已知的最长公共子串长就用计算出的最长公共子串代替当前已知的最长公共子串。
第一种策略是将第一个字符串的首字符删除，将剩下的子串与第二个字符串继续匹配；第二种策略是将第二个字符串的首字符删除，将剩下的子串与第一个字符串继续匹配；第三种策略是将两个字符串的首字符都删除，然后继续匹配两个字符串剩下的子串。
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最长公共子序列问题LCS问题描述一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X=<x1, x2,…, x m>，则另一序列Z=<z1, z2,…, z k>是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列<i1, i2,…, i k>，使得对于所有j=1,2,…,k有例如，序列Z=<B,C,D,B>是序列X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X=<A, B, C, B, D, A, B>和Y=<B, D, C, A, B, A>，则序列<B, C, A>是X和Y的一个公共子序列，序列<B, C, B, A>也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
最长公共子序列(LCS)问题：给定两个序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, … , y n>，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
参考解答动态规划算法可有效地解此问题。
下面我们按照动态规划算法设计的各个步骤来设计一个解此问题的有效算法。
1.最长公共子序列的结构解最长公共子序列问题时最容易想到的算法是穷举搜索法，即对X的每一个子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列，并且在检查过程中选出最长的公共子序列。
X的所有子序列都检查过后即可求出X和Y的最长公共子序列。
X 的一个子序列相应于下标序列{1, 2, …, m}的一个子序列，因此，X共有2m个不同子序列，从而穷举搜索法需要指数时间。
事实上，最长公共子序列问题也有最优子结构性质，因为我们有如下定理：定理: LCS的最优子结构性质设序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2, …,z k>，则：1.若x m=y n，则z k=x m=y n且Z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列；2.若x m≠y n且z k≠x m ，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列；3.若x m≠y n且z k≠y n，则Z是X和Y n-1的最长公共子序列。
其中X m-1=<x1, x2, …, x m-1>，Y n-1=<y1, y2, …, y n-1>，Z k-1=<z1, z2, …, z k-1>。
证明1.用反证法。
若z k≠x m，则<z1, z2, …, z k ,x m >是X和Y的长度为k十1的公共子序列。
这与Z是X和Y的一个最长公共子序列矛盾。
因此，必有z k=x m=y n。
由此可知Z k-1是X m-1和Y n-1的一个长度为k-1的公共子序列。
若X m-1和Y n-1有一个长度大于k-1的公共子序列W，则将x m加在其尾部将产生X和Y的一个长度大于k的公共子序列。
此为矛盾。
故Z k-1是X m-1和Y n-1的一个最长公共子序列。
2.由于z k≠x m，Z是X m-1和Y的一个公共子序列。
若X m-1和Y有一个长度大于k的公共子序列W，则W也是X和Y的一个长度大于k的公共子序列。
这与Z是X和Y 的一个最长公共子序列矛盾。
由此即知Z是X m-1和Y的一个最长公共子序列。
3.与2.类似。
这个定理告诉我们，两个序列的最长公共子序列包含了这两个序列的前缀的最长公共子序列。
因此，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。
2.子问题的递归结构由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1,y2, …, y n>的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当x m=y n时，找出X m-1和Y n-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上x m(=y n)即可得X和Y的一个最长公共子序列。
当x m≠y n 时，必须解两个子问题，即找出X m-1和Y的一个最长公共子序列及X和Y n-1的一个最长公共子序列。
这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。
由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。
例如，在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Y n-1及X m-1和Y的最长公共子序列。
而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算X m-1和Y n-1的最长公共子序列。
与矩阵连乘积最优计算次序问题类似，我们来建立子问题的最优值的递归关系。
用c[i,j]记录序列X i和Y j的最长公共子序列的长度。
其中X i=<x1, x2, …, x i>，Y j=<y1, y2, …, y j>。
当i=0或j=0时，空序列是X i和Y j的最长公共子序列，故c[i,j]=0。
其他情况下，由定理可建立递归关系如下：3.计算最优值直接利用(2.2)式容易写出一个计算c[i,j]的递归算法，但其计算时间是随输入长度指数增长的。
由于在所考虑的子问题空间中，总共只有θ(m*n)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。
计算最长公共子序列长度的动态规划算法LCS_LENGTH(X,Y)以序列X=<x1, x2, …,x m>和Y=<y1, y2, …, y n>作为输入。
输出两个数组c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。
其中c[i,j]存储X i与Y j的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的，这在构造最长公共子序列时要用到。
最后，X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。
Procedure LCS_LENGTH(X,Y);beginm:=length[X];n:=length[Y];for i:=1 to m do c[i,j]:=0;for j:=1 to n do c[0,j]:=0;for i:=1 to m dofor j:=1 to n doif x[i]=y[j] thenbeginc[i,j]:=c[i-1,j-1]+1;b[i,j]:="↖";endelse if c[i-1,j]≥c[i,j-1] thenbeginc[i,j]:=c[i-1,j];b[i,j]:="↑";endelsebeginc[i,j]:=c[i,j-1];b[i,j]:="←"end;return(c,b);end;由于每个数组单元的计算耗费Ο(1)时间，算法LCS_LENGTH耗时Ο(mn)。
4.构造最长公共子序列由算法LCS_LENGTH计算得到的数组b可用于快速构造序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>的最长公共子序列。
首先从b[m,n]开始，沿着其中的箭头所指的方向在数组b中搜索。
当b[i,j]中遇到"↖"时，表示X i与Y j的最长公共子序列是由X i-1与Y j-1的最长公共子序列在尾部加上x i得到的子序列；当b[i,j]中遇到"↑"时，表示X i与Y j的最长公共子序列和X i-1与Y j的最长公共子序列相同；当b[i,j]中遇到"←"时，表示X i与Y j的最长公共子序列和X i与Y j-1的最长公共子序列相同。
下面的算法LCS(b,X,i,j)实现根据b的内容打印出X i与Y j的最长公共子序列。
通过算法的调用LCS(b,X,length[X],length[Y])，便可打印出序列X和Y的最长公共子序列。
Procedure LCS(b,X,i,j);beginif i=0 or j=0 then return;if b[i,j]="↖" thenbeginLCS(b,X,i-1,j-1);print(x[i]); {打印x[i]}endelse if b[i,j]="↑" then LCS(b,X,i-1,j)else LCS(b,X,i,j-1);end;在算法LCS中，每一次的递归调用使i或j减1，因此算法的计算时间为O(m+n)。
例如，设所给的两个序列为X=<A，B，C，B，D，A，B>和Y=<B，D，C，A，B，A>。
由算法LCS_LENGTH和LCS计算出的结果如图2所示。
j 0 1 2 3 4 5 6i y j B D C A B A┌─────────────┐0 x i│0 0 0 0 0 0 ││↑↑↑↖↖│1 A │0 0 0 0 1 ←1 1 ││↖↑↖│2 B │0 1 ←1←1 1 2 ←2││↑↑↖↑↑│3 C │0 1 1 2 ←2 2 2 ││↖↑↑↑↖│4 B │0 1 1 2 2 3 ←3││↑↖↑↑↑↑│5 D │0 1 2 2 2 3 3 ││↑↑↑↖↑↖│6 A │0 1 2 2 3 3 4 ││↖↑↑↑↖↑│7 B │0 1 2 2 3 4 5 │└─────────────┘图2 算法LCS的计算结果5.算法的改进对于一个具体问题，按照一般的算法设计策略设计出的算法，往往在算法的时间和空间需求上还可以改进。
这种改进，通常是利用具体问题的一些特殊性。
例如，在算法LCS_LENGTH和LCS中，可进一步将数组b省去。
事实上，数组元素c[i,j]的值仅由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]三个值之一确定，而数组元素b[i,j]也只是用来指示c[i,j]究竟由哪个值确定。
因此，在算法LCS中，我们可以不借助于数组b而借助于数组c 本身临时判断c[i,j]的值是由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]中哪一个数值元素所确定，代价是Ο(1)时间。
既然b对于算法LCS不是必要的，那么算法LCS_LENGTH便不必保存它。
这一来，可节省θ(mn)的空间，而LCS_LENGTH和LCS所需要的时间分别仍然是Ο(mn)和Ο(m+n)。
不过，由于数组c仍需要Ο(mn)的空间，因此这里所作的改进，只是在空间复杂性的常数因子上的改进。
另外，如果只需要计算最长公共子序列的长度，则算法的空间需求还可大大减少。
事实上，在计算c[i,j]时，只用到数组c的第i行和第i-1行。