人教版七年级下学期期末试卷及答案

七年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．9的平方根是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．2．不等式2x﹣4＜0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥23．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对长江水质情况的调查B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C．对某班40名同学体重情况的调查D．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查5．下列各数中，是无理数的是（）A．B．3.14 C．D．6．已知是方程2x﹣ay=3的一组解，那么a的值为（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣157．下列各式中，运算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．a2b﹣ab2=0 C．（2ab）2=4a2b2 D．（a+b）2=a2+b28．如果a＜b，那么下列不等式成立的是（）A．a﹣b＞0 B．a﹣3＞b﹣3 C．a＞ b D．﹣3a＞﹣3b9．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°10．定义运算a□b=a（1﹣b），下面给出了关于这种运算的几个结论：①2□（﹣2）=6；②a□b=b□a；③若a+b=0，则（a□a）+（b□b）=2ab；④若a□b=0，则a=0，其中正确结论的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．已知x的一半与5的差小于3，用不等式表示为．12．已知方程5x﹣y=7，用含x的代数式表示y，y=．13．不等式2x+5＞4x﹣1的正整数解是．14．若a＜＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为．15．已知a，b是正整数，若+是不大于2的整数，则满足条件的有序数对（a，b）为．16．已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列命题：①是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（共10小题，共72分）17．计算下列各题（1）（+2）﹣|﹣|（2）（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1﹣|1﹣）18．如图，已知∠ABC=180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠1=36°，求∠2的度数．19．解方程组：．20．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．21．如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67度方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，由B点沿北偏东23度的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，使所修路段CE∥AB，此时∠ECB有多少度？试说明理由．22．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（3，0），将A，B同时分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的对应点分别为D，C，连接AD，BC．（1）直接写出点C，D的坐标：C，D；（2）四边形ABCD的面积为；（3）点P为线段BC上一动点（不含端点），连接PD，PO．求证：∠CDP+∠BOP=∠OPD．23．在某项针对18﹣35岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m，规定：当0≤m＜5时为A级，5≤m＜10时为B级，10≤m＜15时为C级，15≤m＜20时为D级．现随机抽取部分符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，根据调查数据整理并制作图表如下：青年人日均发微博条数统计表m 频数百分数A级（0≤m＜5）90 0.3B级（5≤m＜10）120 aC级（10≤m＜15） b 0.2D级（15≤m＜20）30 0.1请你根据以上信息解答下列问题：（1）在表中：a=，b=；（2）补全频数分布直方图；（3）若某大城市常住人口中18～35岁的青年人大约有530万人，试估计其中“日均发微博条数”不少于10条的大约有多少万人．24．在一次知识竞赛中，甲、乙两人进入了“必答题”环节．规则是：两人轮流答题，每人都要回答20个题，每个题回答正确得m分，回答错误或放弃回答扣n分．当甲、乙两人恰好都答完12个题时，甲答对了9个题，得分为39分；乙答对了10个题，得分为46分．（1）求m和n的值；（2）规定此环节得分不低于60分能晋级，甲在剩下的比赛中至少还要答对多少个题才能顺利晋级？25．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A，B的“m和点”．例如C坐标为（0，0）时，AC+BC=4，则称C（0，0）为点A，B 的“4和点”．请根据上述规定回答下列问题（1）若点C为点A，B的“m和点”，且△ABC为等边三角形（三边相等的三角形），求m的值；（2）点E是点A，B的“5和点”，且点E在x轴上，则点E的坐标为（3）若点C为点A，B的“m和点”，且点C和C′在y轴上，如果ACBC′组成正方形，求出正方形的边长．26．在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），BC平分∠ABO交x轴于点C（2，0）．点P是线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D，与y轴交于点E，DF平分∠PDO交y轴于点F．设点D的横坐标为t．（1）如图1，当0＜t＜2时，求证：DF∥CB；（友情提示：三角形内角和为180°）（2）当t＜0时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论．七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．9的平方根是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．【考点】平方根．【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数进行解答即可．【解答】解：±=±3，故选：A．【点评】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．不等式2x﹣4＜0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2【考点】解一元一次不等式．【专题】计算题．【分析】先移项，然后把x的相似化为1即可．【解答】解：2x＜4，所以x＜2．故选A．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．3．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】点的坐标．【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：点（﹣2，3）在第二象限．故选B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对长江水质情况的调查B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C．对某班40名同学体重情况的调查D．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查【考点】全面调查与抽样调查．【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【解答】解：A：长江水污染的情况，由于X围较大，适合用抽样调查；故此选项错误；B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，数量较大；不容易掌控，适合抽样调查，故此选项错误；C：对某班40名同学体重情况的调查，数量少，X围小，采用全面调查；故此选项正确；D：对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查，具有破坏性，应选择抽样调查；故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了适合普查的方式，一般有以下几种：①X围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．基于以上各点，“了解全班同学本周末参加社区活动的时间”适合普查，其它几项都不符合以上特点，不适合普查．5．下列各数中，是无理数的是（）A．B．3.14 C．D．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、=4，是整数，是有理数，选项错误；B、是有限小数，是有理数，选项错误；C、是分数，是有理数，选项错误；D、正确．故选D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中X围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．6．已知是方程2x﹣ay=3的一组解，那么a的值为（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣15【考点】二元一次方程的解．【分析】把x、y的值代入方程，可得以关于a的一元一次方程，可求得a的值．【解答】解：∵是方程2x﹣ay=3的一组解，∴代入方程可得：2+a=3，解得a=1，故选A．【点评】本题主要考查二元一次方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关键．7．下列各式中，运算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．a2b﹣ab2=0 C．（2ab）2=4a2b2 D．（a+b）2=a2+b2【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式．【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案．【解答】解：A、2a+3b不是同类项不能合并，故A选项错误；B、a2b﹣ab2不是同类项不能合并，故B选项错误；C、（2ab）2=4a2b2，故C选项正确；D、（a+b）2=a2+b2，故D选项错误．故选：C．【点评】此题考查了合并同类项的法则，积的乘方和完全平方公式的知识的乘方等知识，解题要注意细心．8．如果a＜b，那么下列不等式成立的是（）A．a﹣b＞0 B．a﹣3＞b﹣3 C．a＞ b D．﹣3a＞﹣3b【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的基本性质对每个选项进行判断．【解答】解：a＜bA、a﹣b＜0，故A选项错误；B、a﹣3＜b﹣3，故B选项错误；C、a＜b，故C选项错误；D、﹣3a＞﹣3b，故D选项正确．故选：D．【点评】此题考查的知识点是不等式的性质，关键不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；另外要注意不等号的方向是否变化．9．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【考点】平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°﹣20°=25°．故选：C．【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．10．定义运算a□b=a（1﹣b），下面给出了关于这种运算的几个结论：①2□（﹣2）=6；②a□b=b□a；③若a+b=0，则（a□a）+（b□b）=2ab；④若a□b=0，则a=0，其中正确结论的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】整式的混合运算；有理数的混合运算．【专题】新定义．【分析】先认真审题，根据新运算展开，求出结果后，再判断即可．【解答】解：∵2□（﹣2）=6，∴2×（1+2）=6，∴①正确；∵a□b=a（1﹣b）=a﹣ab，b□a=b（1﹣a）=b﹣ab，∴②错误；∵a+b=0，∴（a□a）+（b□b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a﹣a2+b﹣b2=（a+b）﹣（a2+（﹣a）2=﹣2a2=﹣2a（﹣b）=2ab，∴③正确；∵a□b=0，∴a（1﹣b）=0，∴a=0或b=1，∴④错误；故选B．【点评】本题考查了整式的混合运算和有理数的混合运算的应用，能根据题意展开是解此题的关键，难度适中．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．已知x的一半与5的差小于3，用不等式表示为x﹣5＜3 ．【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．【分析】首先表示出“x的一半与5的差”为x﹣5，再表示出“小于3”即可得到不等式．【解答】解：由题意得：x﹣5＜3，故答案为：x﹣5＜3．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键语句，找准不等号．12．已知方程5x﹣y=7，用含x的代数式表示y，y= 5x﹣7 ．【考点】解二元一次方程．【专题】计算题．【分析】将x看做已知数求出y即可．【解答】解：5x﹣y=7，解得：y=5x﹣7．故答案为：5x﹣7．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．13．不等式2x+5＞4x﹣1的正整数解是1，2 ．【考点】一元一次不等式的整数解．【分析】首先移项、然后合并同类项、系数化成1即可求得不等式的解集，然后确定解集中的正整数即可．【解答】解：移项，得：2x﹣4x＞﹣1﹣5，合并同类项，得：﹣2x＞﹣6，系数化成1得：x＜3．则正整数解是：1，2．故答案是：1，2．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．14．若a＜＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为11 ．【考点】估算无理数的大小．【分析】先估算出的X围，即可得出a、b的值，代入求出即可．【解答】解：∵5＜＜6，∴a=5，b=6，∴a+b=5+6=11，故答案为：11．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出的X围．15．已知a，b是正整数，若+是不大于2的整数，则满足条件的有序数对（a，b）为（7，10）或（28，40）．【考点】二次根式的化简求值．【分析】根据二次根式的性质和已知得出即可．【解答】解：∵+是整数，∴a=7，b=10或a=28，b=40，因为当a=7，b=10时，原式=2是整数；当a=28，b=40时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（a，b）为（7，10）或（28，40），故答案为：（7，10）或（28，40）．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．16．已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列命题：①是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确命题的序号是②③④．（把所有正确命题的序号都填上）【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】①将x与y的值代入方程组求出a的值，即可做出判断；②将a的值代入方程组计算求出x与y的值，即可做出判断；③将a的值代入方程组计算求出x与y的值，即可做出判断；④将a看做已知数求出x与y，根据x的X围求出a的X围，即可确定出y的X围．【解答】解：①将x=5，y=﹣1代入方程组得a=2，不合题意，错误；②将a=﹣2代入方程组得：，两方程相减得：4y=12，即y=3，将y=3代入得：x=﹣3，此时x与y互为相反数，正确；③将a=1代入方程组得：，解得：，此时x=3，y=0为方程x+y=3的解，正确；④，解得：，∵x=2a+1≤1，即a≤0，∴﹣3≤a≤0，即1≤1﹣a≤4，则1≤y≤4，正确，故答案为：②③④【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．三、解答题（共10小题，共72分）17．计算下列各题（1）（+2）﹣|﹣|（2）（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1﹣|1﹣）【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）本题涉及二次根式化简、三次根式化简、绝对值三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（1）（+2）﹣|﹣|=2+2﹣2=2；（2）（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1﹣|1﹣）=1+3﹣2+1﹣=2．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、三次根式、绝对值等考点的运算．18．如图，已知∠ABC=180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠1=36°，求∠2的度数．【考点】平行线的判定与性质．【分析】（1）求出∠ABC+∠A=180°，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质求出∠3，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠2．【解答】（1）证明：∵∠ABC=180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A=180°，∴AD∥BC；（2）解：∵AD∥BC，∠1=36°，∴∠3=∠1=36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠2=∠3=36°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．19．解方程组：．【考点】解二元一次方程组．【专题】计算题．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1），②×2得，2x﹣2y=2，③①﹣③得，x=﹣2；把x=﹣2代入①得，﹣6﹣2y=0，解得：y=﹣3，∴方程组的解是．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【专题】计算题．【分析】先分别解两个不等式得到x＞﹣2和x≤3，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣2，解不等式②得x≤3，所以这个不等式组的解集﹣2＜x≤3，在数轴上表示解集为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．21．如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67度方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，由B点沿北偏东23度的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，使所修路段CE∥AB，此时∠ECB有多少度？试说明理由．【考点】平行线的性质；方向角．【专题】应用题．【分析】先根据平行线的性质求出∠2的度数，再由平角的定义求出○CBA的度数，根据CE∥AB即可得出结论．【解答】解：∠ECB=90°．理由：∵∠1=67°，∴∠2=67°．∵∠3=23°，∴∠CBA=180°﹣67°﹣23°=90°．∵CE∥AB，∴∠ECB=∠CBA=90°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．22．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（3，0），将A，B同时分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的对应点分别为D，C，连接AD，BC．（1）直接写出点C，D的坐标：C （4，2），D （0，2）；（2）四边形ABCD的面积为8 ；（3）点P为线段BC上一动点（不含端点），连接PD，PO．求证：∠CDP+∠BOP=∠OPD．【考点】作图-平移变换．【分析】（1）根据C、D两点在坐标系中的位置即可得出此两点坐标；（2）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再求出其面积即可；（3）过点P作PQ∥AB，故可得出CD∥PQ，AB∥PQ，由平形线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）由图可知，C（4，2），D（0，2）．故答案为：（4，2），（0，2）；（2）∵线段CD由线段BA平移而成，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴S=4×2=8．平行四边形ABCD故答案为：8；（3）证明：如图，过点P作PQ∥AB，∵CD∥AB，∴CD∥PQ，AB∥PQ，∴∠CDP=∠1，∠BOP=∠2，∴∠CDP+∠BOP=∠1+∠2=∠OPD．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．23．在某项针对18﹣35岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m，规定：当0≤m＜5时为A级，5≤m＜10时为B级，10≤m＜15时为C级，15≤m＜20时为D级．现随机抽取部分符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，根据调查数据整理并制作图表如下：青年人日均发微博条数统计表m 频数百分数A级（0≤m＜5）90 0.3B级（5≤m＜10）120 aC级（10≤m＜15） b 0.2D级（15≤m＜20）30 0.1请你根据以上信息解答下列问题：（1）在表中：a= 0.4 ，b= 60 ；（2）补全频数分布直方图；（3）若某大城市常住人口中18～35岁的青年人大约有530万人，试估计其中“日均发微博条数”不少于10条的大约有多少万人．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【分析】（1）根据A组的频数是90，频率是0.3即可求得总数，然后根据频率的计算公式求得a、b的值；（2）根据（1）的结果即可作出直方图；（3）利用总数530万，乘以对应的频率即可．【解答】解：（1）总数是：90÷0.3=300，则a==0.4，b=300×0.2=60，故答案为：0.4，60；（2）补全频数分布直方图如图；（3）其中“日均发微博条数”不少于10条的大约有：530×（0.2+0.1）=159（万人）．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．24．在一次知识竞赛中，甲、乙两人进入了“必答题”环节．规则是：两人轮流答题，每人都要回答20个题，每个题回答正确得m分，回答错误或放弃回答扣n分．当甲、乙两人恰好都答完12个题时，甲答对了9个题，得分为39分；乙答对了10个题，得分为46分．（1）求m和n的值；（2）规定此环节得分不低于60分能晋级，甲在剩下的比赛中至少还要答对多少个题才能顺利晋级？【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）根据甲答对了9个题，得分为39分；乙答对了10个题，得分为46分，列方程组求解；（2）设甲在剩下的比赛中答对x个题，根据总分数不低于60分，列不等式，求出x的最小整数解．【解答】解：（1）根据题意，得，解得：，答：m的值为5，n的值为2．（2）设甲在剩下的比赛中答对x个题，根据题意，得39+5x﹣2（20﹣12﹣x）≥60，解得：x≥，∵x≥5且x为整数，∴x最小取6．而6＜20﹣12，符合题意．答：甲在剩下的比赛中至少还要答对6个题才能顺利晋级．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．25．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A，B的“m和点”．例如C坐标为（0，0）时，AC+BC=4，则称C（0，0）为点A，B 的“4和点”．请根据上述规定回答下列问题（1）若点C为点A，B的“m和点”，且△ABC为等边三角形（三边相等的三角形），求m的值；（2）点E是点A，B的“5和点”，且点E在x轴上，则点E的坐标为（﹣2.5，0），或E（2.5，0）（3）若点C为点A，B的“m和点”，且点C和C′在y轴上，如果ACBC′组成正方形，求出正方形的边长．【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】（1）利用“m和点”的定义和等边三角形的性质得出AC，BC的长，计算即可；（2）利用“m和点”的定义，根据已知分类讨论可得结果；（3）根据正方形的性质得出CO=C′O=BO=AO=2，利用勾股定理可得正方形的边长．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），B（2，0），∴AB=4，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB=4，∴m=AC+BC=8；（2）设E点坐标为（x，0），∵点E是点A，B的“5和点”，∴若点E在A的左侧，则有（﹣2﹣x）+（2﹣x）=5，解得：x=﹣2.5；若点E在B的右侧，则有[x﹣（﹣2）]+（x﹣2）=5，解得：x=2.5；∴E（﹣2.5，0），或E（2.5，0），故答案为：（﹣2.5，0），或E（2.5，0）；（3）∵若点C为点A，B的“m和点”，且点C和C′在y轴上，ACBC′组成正方形，∴AB，CC′是正方形的对角线，∴CO=C′O=BO=AO=2，∴BC==2，∴正方形的边长为2．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质和正方形的性质，运用新定义，分类讨论是解答此题的关键．26．在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），BC平分∠ABO交x轴于点C（2，0）．点P是线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D，与y轴交于点E，DF平分∠PDO交y轴于点F．设点D的横坐标为t．（1）如图1，当0＜t＜2时，求证：DF∥CB；（友情提示：三角形内角和为180°）（2）当t＜0时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论．【考点】坐标与图形性质；垂线；平行线的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】（1）由题意可知∠AOB=90°，∠DOB=90°，在四边形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，故此∠PBO+∠PDO=180°（∠PBO+∠PDO）=90°，在△FDO中，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2，由同位角相等两直线平行可知DF∥CB；（2）延长DF交CB于点Q，在△ABO中，∠AOB=90°，所以∠BAO+∠ABO=90°可证得∠ABO=∠PDA，由角平分线的定义可证得∠1=∠2，在△CBO中，∠1+∠3=90°所以∠2+∠3=90°，所以∠CQD=90°，故此DF⊥CB．【解答】（1）证明：如图1．∵在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），∴∠AOB=90°．∵DP⊥AB于点P，∴∠DOB=90°．∵在四边形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，∴∠PBO+∠PDO=180°．∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，∴，．∴（∠PBO+∠PDO）=90°．∵在△FDO中，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2．∴DF∥CB．（2）直线DF与CB的位置关系是：DF⊥CB．证明：延长DF交CB于点Q，如图2．∵在△ABO中，∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°．∵在△APD中，∠APD=90°，∴∠PAD+∠PDA=90°．∴∠ABO=∠PDA．∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，∴，．∴∠1=∠2．∵在△CBO中，∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°．∴在△QCD中，∠CQD=90°．∴DF⊥CB．【点评】本题主要考查的是坐标与图形的变化、平行线的判定，多边形的内角和定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．。